Sáng kiến kinh nghiệm Phát huy trí lực học sinh thông qua việc khai thác sâu một bài tập trong SBT Toán lớp 9

Ba điểm C;F;K thẳng hàng. 
b/ Ba điểm D;A;F thẳng hàng.
 Giải:
a/ nên (1)
Vì CFAB nội tiếp nên (2)
Từ (1) và (2) (3)
Vì BDKF nội tiếp nên (4)
Từ (3) và (4) = 1800 Ba điểm C;F;K thẳng hàng
b/ Gọi giao của CA với DK là E. Tam giác ABC vuông tại B (gt) nên =900 (5)
Từ (1) và (5) = 900 hay = 900 CE KD 
 Tam giác KCD có hai đường cao là CE và KB gặp nhau tại A nên DA CK (6)
Ta lại có = 900 nên AF CK (7)
Từ (6) và (7) DA và FA là hai đường thẳng trùng nhau Ba điểm D;A;F thẳng hàng
Hướng khai thác thứ 25.
 Đặt vấn đề tìm điều kiện của hai đường tròn (O) và (O’) để FE là tiếp tuyền chung của hai đường tròn (O) và (O’) ta có thêm bài toán sau
 Bài toán 1.25 Hai đường tròn (O;R) và (O’;R’) cắt nhau tại A và B(O và O’ thuôc hai nữa mặt phẳng đối nhau bờ AB). Lần lượt kẻ các đường kính AC và AD của (O) và (O’). Giả sữ CA cắt (O’) tại E, DA cắt (O) tại F. T ìm điều kiện của hai đường tròn (O) và (O’) để FE là tiếp tuyền chung của hai đường tròn đó. 
 Giải: FE là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O) và (O’) O’E EF và OF EF 
 Vì tứ giác OFEO’ nội tiếp đường tròn (Theo bài 1.20) nên = 900 
 Tứ giác OF EO’ là hình chữ nhật 
 OF = O’E R = R’ Hai đường tròn (O) và (O’) bằng nhau.
 Hướng khai thác thứ 26: Từ điều kiện R = R’ ở hình vẽ bài 1.26 hãy dự đoán xem AB có bằng R không? Gọi K là giao điểm của CF với DE. Tam giác KCD là tam giác gì? Tứ giác FEDC là hình gì? So sánh độ dài FE với CD? tứ giác KFBE là hình gì? Tứ giác KFAE có nội tiếp được đường tròn không? Gọi M là giao điểm của BK với FE; H là giao điểm của OO’với BK hãy so sánh AK với R? Ta có thêm bài toán sau đây:
 Bài 1. 26 Hai đường tròn (O) và (O’) có cùng bán kính R, cắt nhau tại A và B. Lần lượt kẻ các đường kính AC và AD của (O) và (O’) (O và O’ thuôc hai nữa mặt phẳng đối nhau bờ AB). Giả sữ CA cắt (O’) tại E, DA cắt (O) tại F.Biết FE là tiếp tuyến chung của hai đường tròn.
 a/ Chứng minh ba đường thẳng CF; BA; DE đồng quy tại K.
 b/ Tính AB theo R.
 c/ Tam giác KCD là tam giác gì? Chứng minh.
 d/ Tứ giác KEBF là hình gì? chứng minh.
 e/ Chứng minh tứ giác KFAE nội tiếp đường tròn.
 g/ Gọi M là giao điểm của BK với FE; H là giao điểm của OO’với BK, hãy so sánh AK với R.
Giải: 
 b/Dễ dàng cm được FEO’O là hình chữ nhật và AF = AE = AO = AO’ = R. Theo bài 1.20 thì 5 điểm O;F;E;O’;B cùng thuộc một đường tròn nên AB = R.
b/ Dễ dàng chứng minh được BA là trung trực của CD BA mà K thuộc đường thẳng (theo câu a) nên KC =KD KCD là tam giác cân (1)
 ABC vuuong tại B có AB = AC nên (2)
Từ (1) và (2) KCD là tam giác đều.
c/ Vì tam giác KCD là tam giác đều nên dễ dàng chứng minh được KE =KF = FB =BE Tứ giác KEBF là hình thoi 
d/ Ta có (Góc tạo bởi tia tiếp tuyến với dây cung và góc nội tiếp cùng chắn một cung) 
Mà (tổng ba góc của một tam giác)
Nên Tứ giác KFAE nội tiếp đường tròn.
d/ Ta có MK =MB; HA =HB
 AK = AM + MB = AM + MA +AB = 2AM + 2 AH = 2(AM +AH) = 2 OF = 2R
 Hướng khai thác thứ 27: Từ hình vẽ ở bài 1.27 bỏ điều kiện hai đương tròn bằng nhau,vẽ tiếp tuyến chung FE của (O) và (O’) gọi M là giao của BA với EF. Thì EM có bằng MF không? Lấy điểm K đối xứng của B qua M thì tứ giác KEBF là hình gì? Tứ giác KEAF có nội tiếp đường tròn không? Gọi N là trung điểm của OO’ lúc này MN như thế nào so với R + R’? Ta có thêm bài tập sau:
Bài 1.27 Hai đường tròn (O;R) và (O’;R’),R > R’, cắt nhau tại A và B(O và O’ thuôc hai nữa mặt phẳng đối nhau bờ AB). Trên cùng nữa mặt phẳng bờ OO’có chứa điểm A,vẽ tiếp tuyến chung FE của (O) và (O’) (F (O); E (O’)). Gọi giao của BA vơi FE là M. Lầy K đối xứng với B qua M.Gọi N là trung điểm của OO’. 
a/ Chứng minh ME = MF 
b/ Chứng minh tứ giác KFAE nội tiếp đường tròn. 
c/ Chứng minh AK < R + R’
Giải 
a/ CM được ME 2 = MF2 =MA.MB ME = MF
b/ Chứng minh được KFBE là hình bình hành rồi cm tương tự câu e của bài 1.28 ta có tứ giác KFAE nội tiếp đường tròn.
c/ Gọi H là giao của OO’với AB ta có MK = MB; HA = HB
 AK = AM + MB = AM + MA +AB = 2AM + 2 AH = 2(AM +AH) = 2 MH .
Dễ dàng chứng minh được MN là đường trung bình của hình thang vuông OFEO’
 nên MN = (OF +O’E) = (R + R’)
Tam giác MHN vuông tại H nên MH < MN 2MH < 2 MN = R + R’ AK < R + R’
 Hướng khai thác thứ 28: Từ hình vẽ hai đường tròn (O;R) và (O’;R’) cắt nhau tại A và B vẽ FE là tiếp tiếp tuyến chung của (O) và (O’). Qua B vẽ đường thẳng d //FE cắt (O) và (O’) lần lượt tại C và D. Gọi Giao của CF với DE là K hãy dự đoán xem FE đóng vai trò gì của BK ?.Gọi giao điểm của d với EA và FA lần lượt là P và Q. Hãy so sánh BP và BQ ? Ta có thêm bài tập sau đây:
Bài 1.28: Cho hai đường tròn (O;R) và (O’;R’) cắt nhau tại A và B(O và O’ thuôc hai nữa mặt phẳng đối nhau bờ AB).Trên cùng nữa mặt phẳng bờ OO’có chứa điểm A,vẽ FE là tiếp tiếp tuyến chung của (O) và (O’) (F (O); E (O’)). Qua B vẽ đường thẳng d //FE cắt (O) và (O’) lần lượt tại C và D. Gọi Giao của CF với DE là K.
a/ Chứng minh FE là trung trực của BK.
b/ Gọi giao điểm của d với EA và FA lần lượt là P và Q.Hãy so sánh BP và BQ ? 
Giải:
a/ Ta có (so le trong); (góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến vơi dây cung cùng chắn cung BAF)
Chứng minh tương tự có 
KFE và BFE có ; cạnh FE chung; KFE = BFE (g –c –g ) 
KE = BF ; KE = BE FE là trung trực của BK
b/ Gọi giao điểm của BA với FE là M ta có FM = ME (theo bài 1.27) 
Dễ dàng cm được mà FM = ME nên BP = BQ
 Hướng khai thác thứ 29 : Từ bài toán 1.20 ta có 5 điểm F,O,B,E,O’ cùng thuộc một đường tròn. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AK và CD. Thì M và N có thuộc đường tròn đi qua 5 điểm F,O,B,E,O’ hay không? Tứ giác FMEN có nội tiếp đương tròn hay không ? Giải quyết được định hướng này ta có bài tập 1.30 sau đây:
 Bài tập 1.29: Hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Lần lượt kẻ các đường kính AC,AD của (O) và (O’). Giả sữ CA cắt (O’) tại E, DA cắt (O) tại F. Gọi K là giao điểm của CF và DE. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AK và CD. Chứng minh 6 điểm M; E; O’; N; O; F cùng thuộc một đường tròn.
Giải :
 Theo bài tập 1.17 thì BA đi qua K và CE; DF; KB là các đường cao của tam giác KCD
Ta có MO và NO lần lượt là dường trung bình của các tam giác KAC và ACD MO //CK và NO // FD mà FD KC nên MO NO (1)
Tương tự ta có (2)
 Chứng minh được (3)
Từ (1) ; (2); (3) 6 điểm M; E; O’; N; O; F cùng thuộc một đường tròn đường kính MN.
Hướng khai thác thứ 30: 
 Cho Hai đường tròn (O;R) và (O’;R’) cắt nhau tại A và B. Kẻ dường kính AC, AD lần lượt của (O), (O’). Đặc biệt hóa bài toán: Nếu AC là tiếp tuyến của đường tròn (O’) và AD là tiếp tuyến của đường tròn (O) ta có điều gì? Gọi M là điểm chính giữa của cung nhỏ BD; AM cắt BD tại E. 
 So sánh góc MAB và MAD ? So sánh góc CAB và ADB ?
 So sánh góc AEC và CAE ? Tam giác ACE là tam giác gì?
Bài toán 1.30
 Cho Hai đường tròn (O;R) và (O’;R’) cắt nhau tại A và B (O và O’ thuôc hai nữa mặt phẳng đối nhau bờ AB). Kẻ dường kính AC và AD lần lượt của (O) và (O’). Biết AC là tiếp tuyến của đường tròn (O) và AD là tiếp tuyến của đường tròn(O’). Gọi M là điểm chính giữa của cung nhỏ BD.AM cắt BD tại E. 
 Chứng minh tam giác ACE là tam giác cân.
Giải: 
Ta có (hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau) 
 (Góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến vớí một dây cùng chắn cung AB của đường tròn(O’)) 
 = + = + = Tam giác ACE cân tại C.
 Hướng khai thác thứ 31: Gọi N là giao của AM với đường tròn (O). Có nhận xét về vị trí của 3 điểm O; N; O’?
 Bài toán 1. 31: Cho Hai đường tròn (O;R) và (O’;R’) cắt nhau tại A và B. Kẻ dường kính AC,AD lần lượt của (O), (O’).Biết AC là tiếp tuyến của đường tròn (O) và AD là tiếp tuyến của đường tròn(O’).Gọi M là điểm chính giữa của cung nhỏ BD.AM cắt BD tại E và cắt đường tròn (O) tại N. Chứng minh O;N;O’ thẳng hàng. 
 Giải:
 Ta có (Góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến vớí một dây cùng chắn cung AN của đường tròn(O)) 
 ( do ) nên góc NA = NB 
 Lại có OA =OB ; O’A = O’B O; N; O’ thuộc trung trực của AB Ba điểm O;N;O’ thẳng hàng. 
 Hướng khai thác thứ 32 : 
 Gọi I là trung điểm của MN. Có nhận xét gì về vị trí của O’I và IO?
 Bài toán 1.32: Cho Hai đường tròn (O;R) và (O’;R’) cắt nhau tại A và B. Kẻ dường kính AC,AD lần lượt của (O), (O’).Biết AC là tiếp tuyến của đường tròn (O) và AD là tiếp tuyến của đường tròn(O’).Gọi M là điểm chính giữa của cung nhỏ BD.AM cắt BD tại E và cắt đường tròn (O) tại N.Gọi I là trung điểm của MN.Chứng minh O’I IO
 Giải: 
Vì M B = MD; O’B =O’D nên O’M là trung trực của BD O’M BD, mà OO’//CD nên OO’ O’M Tam giác NO’M vuông . Gọi I là trung điểm của MN, tam giác NO’M vuông tại O’ O’I = IN = Tứ giác AOIO’ nội tiếp mà nên O’I IO.
Hướng khai thác thứ 31: 
Vẽ đường tròn (I) ngoại tiếp tam giác KCD. Có nhận xét gì về vị trí của IC và FB ? 
 Bài toán 1. 31: Hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B(O và O’ thuôc hai nữa mặt phẳng đối nhau bờ AB). Lần lượt kẻ các đường kính AC,AD của (O) và (O’). giả sữ CA cắt (O’) tại E, DA cắt (O) tại F. Gọi K là giao điểm của CF và DE Vẽ đường tròn (I) ngoại tiếp tam giác KCD.Chứng minh IC FB
 Giải: Tứ giác KFBD nội tiếp nên góc (cùng bù với góc KBD). Vẽ tiếp tuyến Cx của đường tròn (I) ta có góc (góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến với một dây cùng chắn cung DC)
 FB//Cx 
Mà IC Cx (t/c tiếp tuyến) IC FB.
Hướng khai thác thứ 32: 
 Tương tự ta có IK như thế nào với FE; ID như thế nào với BE? Hãy tính diện tích tam giác KCD theo R1 là bán kính của đường tròn (I) và chu vi tam giác BFE?
Bài toán 1.32 Hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B (O và O’ thuôc hai nữa mặt phẳng đối nhau bờ AB). Lần lượt kẻ các đường kính AC và AD của (O) và (O’). giả sữ CA cắt (O’) tại E, DA cắt (O) tại F. Gọi K là giao điểm của CF và DE. Gọi R1 là bán kính đường tròn (I) ngoại tiếp tam giác KCD.Gọi p là nữa chu vi tam giác BFE. 
 Chứng minh SKCD = p . R1
 Giải: Theo bài tập 1.19 thì BA đi qua K
 Chứng minh tương tự bài 1.31 ta có IK FE; ID EB.
Đặt bán kính của đường tròn (I) là R1 ta có: SKFIE = IK . FE = R1. FE 
Tương tự có SIEDB = R1. BE; S IBCF = R1. BF 
SKCD= SKFIE+ SIEDB+ ; SIBCF = R1.(FE + BE + BF) SKCD = p . R1 
 Hướng khai thác thứ 33: Từ hình vẽ của bài trên ; nếu góc thi lúc đó So sánh KF và HD? KA và KI ?
Bài toán 1.33 Hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Lần lượt kẻ các đường kính AC, AD của (O) và (O’). Giả sữ CA cắt (O’) tại E, DA cắt (O) tại F. Gọi K là giao điểm của CF và DE. Biết góc CAD = 1200, Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác KCD. Chứng minh KA =KI.
Giải:
Ta có 
 KF = KD (1) 
Gọi M là trung điểm của KD ta có IM KD; 
 KM = KD.(2)
 Từ (1) và (2) KM = KF 
 Chứng minh KFA = KMI KA =KI 
 Ví dụ 2
 Bài tập 2 ( Bài tập 30 trang 116 SGK hình học lớp 9)
 Cho nữa đường tròn (O;R) đường kính AB. Trên cùng nữa mặt phẳng bờ AB chứa nữa đường tròn vẽ các tia tiếp tuyến Ax,By. M là một điểm di chuyển trên nữa đường tròn, tiếp tuyến tại M cắt Ax, By thứ tự tại C, D .Chứng minh rằng:
 a/ Góc COD bằng 900 
 b/ CD = AC + BD
 c/ AC .BD không đổi khi M di chuyển trên nữa đường tròn.
 *) Hãy dự đoán xem khi M chuyển động trên nữa đường tròn (O) thì trọng tâm G cả tam giác AMB chuyển động trên đường nào?
 Tam giác AMB có trung tuyến là MO, khi M di chuyển trên nữa đường tròn thì độ dài đường trung tuyến OM = R không đổi. Nếu ta chọn G là trọng tâm của tam giác AMB thì G phải thuộc OM và OG = OM =R không đổi. Điểm G cách điểm O cố định một khoảng không đổi bằng R nên khi M di chuyển trên nữa đường tròn (O,R) thì trọng tâm G của tam giác AMB chuyển động trên nữa đường tròn (O,R).Từ nhận xét này ta có thêm câu sau:
2. 1 Khi M di chuyển trên nữa đường tròn (O,R) thì trọng tâm G của tam giác AMB chuyển động trên nữa đường nào?
 *) Gọi I là giao điểm của OC với AM, K là giao điểm của OD với BM. Khi M di chuyển trên nữa đường tròn (O,R) thì I; K di chuyển trên đường nào? 
 Chứng minh được tứ giác OIMK là hình chữ nhật,Dễ dàng nhận thấy I , K lần lượt là trung điểm của AM và BM . Góc AIO và góc BKO cố số đo bằng 900 không đổi do đó khi M di chuyển trên nữa đường tròn (O,R) thì I ,K thứ tự di chuyển trên các đường tròn đường kính là AO và BO . Từ nhận xét đó ta có thêm câu sau:
 2.2. Khi M di chuyển trên nữa đường tròn (O,R) thì trung điểm của AM và BM chuyển động trên nữa đường nào?
 *) Khi M di chuyển trên nữa đường tròn (O,R) thì trung điểm N của IK chuyển động trên nữa đường nào?
 Gọi I là giao điểm của OC với AM, K là giao điểm của OD với BM .Dễ dàng chứng minh được tứ giác OIMK là hình chữ nhật, nếu gọi N là trung điểm của IK thì N cũng là trung điểm của OM. Khi M di chuyển trên nữa đường tròn (O,R) thì ON = R không đổi nên N sẽ chuyển động trên nữa đường tròn (O,R).Từ nhận xét đó ta có thêm câu sau:
 2.3 Gọi I là giao điểm của OC với AM, K là giao điểm của OD với BM .Khi M di chuyển trên nữa đường tròn (O,R) thì trung điểm N của IK chuyển động trên nữa đường nào?
 *) Hãy xác định vị trí của M trên nữa đường tròn(O,R) để diện tích của tam giác COD đạt GTNN.
 Vì SCOD = OM.CD = R . CD mà CDAB = 2R SCOD R2 nên SCOD đạt giá trị nhỏ nhất khi CD = AB CD // AB M là điểm chính giữa cung AB. Từ nhận xét này ta có thêm câu sau: 
 2.4 Xác định vị trí của M trên nữa đường tròn(O,R) để diện tích của tam giác COD đạt GTNN.
 *) Vẽ MH vuông góc với AB (H thuộc AB). Hãy xác định vị trí của M trên nữa đường tròn (O,R) để diện tích của tam giác OMH đạt GTLN.
 Vì MH vuông góc với AB, theo DL Pitago ta có OH2 + MH2 = OM2 = R2 lại có OH.MH = . SOMH = OH.MH . Từ nhận xét này ta có thêm câu sau:
 2.5 Vẽ MH vuông góc với AB (H thuộc AB).Xác định vị trí của M trên nữa đường tròn (O,R) để diện tích của tam giác OMH đạt GTLN.
 *) Vẽ MH vuông góc với AB (H thuộc AB).Xác định vị trí của M trên nữa đường tròn(O,R) để chu vi của tam giác OMH đạt GTLN 
 Chu vi tam giác MHO bằng MH + MO + HO = MH + HO + R 
 Chú ý đến BĐT (MH + HO)2 2(MH2 + HO2) = 2 MO2 = 2R2 MH + HO R 
 Chu vi tam giác MHO (1 + )R.Từ nhận xét 6 ta có thêm câu sau:
 2.6 Vẽ MH vuông góc với AB (H thuộc AB).Xác định vị trí của M trên nữa đường tròn (O,R) để chu vi của tam giác OMH đạt GTLN.
Nhận xét 7:
 Gọi độ dài các cạnh CD,CO,DO của tam giác COD lần lượt là a,b,c.gọi r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác COD.Dễ dàng chứng minh được SCOD = (a + b + c)r = a.R 
Để ý đến a > b; a > c a + b + c = > (1)
Áp dụng BĐT tam giác ta có b + c > a a + b + c > 2a < = (2)
 Từ (1) và (2) ta có thêm câu sau:
Câu 7: Gọi r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác COD chứng minh: < < 
Nhận xét 8:
 Từ nhận xét 6 SCOD = (a + b + c)r,gọi p là nữa chu vi tam giác COD ta có SCOD = p.r
 Gọi r1 là bán kính đướng tròn nội tiếp tam giác CMD,p1 là nữa chu vi tam giác CMD ta có sCMD = p1.r1
 Tam giác CMD và tam giác COD đồng dạng nên và 
.Từ nhận xét 7 ta có thêm câu sau:
 Câu 8: Gọi r1 là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác CMO. chứng minh (1)
Nhận xét 9: 
 Gọi r2 là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác DMO chứng minh tương tự ta có (2) .Từ (1) và (2) ta có = .Mặt khác CO2 + DO2 = CD2 nên r12 + r22 = r2 . Từ đó ta có thêm câu sau:
 Câu 9: Gọi r1;r2;r lần lượt là bán kính đường tròn nội tiếp các tam giác CMO; DMO; COD. Chứng minh rằng: r12 + r22 = r2