Sáng kiến kinh nghiệm Phát huy tính sáng tạo của học sinh qua việc khai thác một số bài toán Hình học

p các em thấy được sự bổ ích và đạt được kết quả tốt khi học chuyên đề này.
 Đề tài này được áp dụng trong việc giảng dạy môn toán, cho học sinh lớp 8A và bồi dưỡng học sinh giỏi năm học 2018 – 2019.
B. NỘI DUNG:
I. Mục tiêu.
Từ những bài toán rất đơn giản mà học sinh có thể đã tự giải được, giáo viên gợi ý, định hướng cho học sinh tư duy theo những phương pháp phù hợp như: so sánh, tương tự, khái quát hoá, đặc biệt hoá, ... để học sinh tự phát hiện, phát biểu một vấn đề mới, những bài toán mới.
II. Giải pháp thực hiện
1. Nội dung giải pháp
Dưới đây tôi xin đưa ra một số bài tập cụ thể về toán hình học: 
Bài toán 1: 
Cho tam giác ABC (AB = AC). Gọi M là trung điểm của đường cao AH, D là giao điểm của CM và AB. Chứng minh rằng: AB = 3 AD.
Chứng minh:

Ta có: ABC cân tại A mà AH là đường cao 
 AH là trung tuyến 
 H là trung điểm của BC.
Gọi N là trung điểm của BD 
 MD // NH 
D là trung điểm của AN 
 AN = ND (2)
Từ (1) và (2) ta có : AD = ND = BN = AB hay AB = 3 AD.
- Nếu AH không là đường cao mà là đường trung tuyến thì quan hệ AB và AD như thế nào?
 Câu trả lời là: Vẫn như vậy có nghĩa là AB = 3AD.
- Nhưng nếu ABC không cân thì AB = 3 AD còn đúng không?
Bài toán 1.1: 
Cho tam giác ABC. Gọi M là trung điểm của trung tuyến AH, D là giao điểm của CM và AB. Chứng minh rằng: AB = 3 AD.
Hướng dẫn: 

Gọi N là trung điểm của BD. 
Ta chứng minh được 
AD = DN 
AB = 3AD

Sau đó giáo viên tiếp tục hướng dẫn Học sinh nghiên cứu bài toán đảo của bài toán 1.1 . Có bài toán 1.2:
Bài toán 1.2: 
	Cho tam giác ABC, trung tuyến AH, trên cạnh AB lấy D sao cho: 3AD = AB. Gọi M là giao điểm của CD và AH. Chứng minh rằng M là trung điểm của AH.
 Giáo viên hướng dẫn học sinh khai thác từ bài toán 1.2: CD đi qua trung điểm của AH. Do vai trò AB và AC bình đẳng nên nếu như lấy E trên cạnh AC sao cho AC = 3AE thì tương tự ta cũng có BE đi qua trung điểm của AH.
 Từ đó yêu cầu học sinh nêu được bài toán sau:
Bài toán 1.3: 
Cho tam giác ABC, trung tuyến AH. Ccá điểm D,K theo thứ tự thuộc các cạnh AB và AC sao cho: AB = 3AD, AC = 3AK. 
Chứng minh rằng: các đường thẳng AH,DC và BK đồng quy.
(Bài toán này rất đơn giản nếu như đã chứng minh được bài toán 1.2)
 Giáo viên khai thác tiếp từ bài toán 1:
 Dựa vào tính chất đường trung bình trong tam giác AHE và tam giác BDC ta có: DC = 4MD và MC = 3 MD. 
Từ đó cho học sinh xây dựng bài toán sau:
Bài toán 1.4: 
	Cho tam giác ABC, gọi H là trung điểm của cạnh BC, trên cạnh AB lấy D sao cho: AB = 3 AD, kéo dài DC cắt AH tại M. Chứng minh rằng : MC = 3MD.
Hướng dẫn:

- Gọi N là trung điểm của BD.
- Chứng minh : CD = 2 NH
- Chứng minh : NH = 2 DM
- Suy ra : CD = 4 DM
 MC = 3 DM

Bài toán 2: 
Cho tam giác ABC, đường cao AH. Dựng điểm M sao cho đường thẳng AB là đường trung trực của HM, dựng điểm N sao cho đường thẳng AC là đường trung trực của HN. Hãy xác định tâm đường tròn đi qua các đỉnh của tam giác NHM.
Lời giải:
+ Vì AB là đường trung trực của đoạn thẳng MH AM = AH (1)
+ Vì AC là đường trung trực của đoạn thẳng HN AN = AH (2)
Từ (1) và (2), suy ra : AM = AH = AN A là tâm đường tròn đi qua 3 điểm M, N, H.
Lấy giả thiết đường cao AH không được sử dụng tới. Như vậy nếu như điểm H là điểm bất kì trên đoạn BC thì sao? Từ đó giáo viên cho học sinh phát biểu bài toán 2.1
Bài toán 2.1:
Cho tam giác ABC, H là điểm bất kì thuộc cạnh BC. Dựng điểm M sao cho đường thẳng AB là đường trung trực của HM, dựng điểm N sao cho đường thẳng AC là đường trung trực của NH. 
Hãy xác định tâm đường tròn đi qua các đỉnh của tam giác NHM.
 Từ bài toán 2, giáo viên hướng dẫn học sinh suy nghĩ thêm: Nếu tam giác ABC có 3 góc nhọn và MN cắt AB và AC lần lượt tại E và F. Hãy so sánh góc EHA và góc FHA. Ta có bài toán 2.2
Bài toán 2.2:
Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, H là điểm bất kì thuộc cạnh BC. Dựng điểm M sao cho đường thẳng AB là đường trung trực của HM, dựng điểm N sao cho đường thẳng AC là đường trung trực của HN, đường thẳng MN cắt AB và AC lần lượt tại E và F. 
Chứng minh HA là tia phân giác của góc EHF.
Lời giải:
+ Theo tính chất của đường trung trực
 EMH cân tại E 
 EB là phân giác của góc HEM
+ Tương tự FC là phân giác
của góc HFN.
 EB và FC là phân giác ngoài của EFH tại đỉnh E và F, mà hai phân giác này cắt nhau tại A nên HA là phân giác của góc EHF.	
 Từ đó giáo viên trở lại bài toán 2 (mà AH là đường cao) thì ta luôn có HA là phân giác của góc EHF. Sau đó giáo viên yêu cầu học sinh nhận xét về các quan hệ CE,BF với AB,AC. Từ đó giáo viên yêu cầu học sinh thực hiện bài toán sau:

Bài toán 2.3: 
Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, đường cao AH, dựng điểm M sao cho AB là trung trực của HM, dựng điểm N sao cho AC là trung trực của HN. Đường thẳng MN cắt AB và AC theo thứ tự tại E và F. 
Chứng minh rằng các đường thẳng AH, CE và BF đồng quy.
Hướng dẫn:
F
E
B
C
A
M
N
H

+ Từ bài toán 2 ta có HA là phân giác của góc EHF.
 Mặt khác: AH là đường cao và HC HA nên HC là phân giác góc ngoài tại đỉnh H của EFH mà HC và FC cắt nhau tại C nên suy ra EC là phân giác của góc FEH (1).
Mà EB là phân giác của góc MEH ( t/c đường trung trực) (2)
Do hai góc MEH và HEF kề bù (3)
Từ (1), (2) và (3) ta có EB EC tại E hay CE AB (a).
Tương tự như vậy ta có : BE AB (b)
Mà AH là đường cao của ABC (c)
 Từ (a), (b) và (c) ta có : AH, BF và CE đồng quy.
Bài toán 3: 
Từ một điểm M thuộc đáy BC của ABC cân. Vẽ ME và MF lần lượt vuông góc với AB và AC (E thuộc AB, F thuộc AC). Chứng minh tổng ME + MF không đổi.
Giáo viên hướng dẫn
Đặc biệt hoá vị trí của M.
Nếu M trùng với B thì ME + MF = BH ( BH là đường cao hạ từ B không đổi )
Từ đó tìm cách chứng minh: ME + MF = BH.
Giáo viên hướng dẫn tìm cách giải:
Cách 1:

Vẽ đường cao AH, vẽ MI BH
Xét tam giác vuông MBE và tam giác vuông BMI có: IMB = ACB
 mà ACB = ABC (do ABC cân tại A) IMB = ABM, BM - chung 
 BME = MBI 
 ME = BI (1)
Mặt khác : MF = IH (MFHI là hình chữ nhật)
 ME + MF = BI + IH = BH (không đổi )
Cách 2:

Vẽ đường cao BH, vẽ BJ FM
Có: BME = BMJ 
 MJ = ME
 ME + MF = MJ + MF = JF
Mà tứ giác BJFH là hình chữ nhật
 JF = BH = không đổi.

Cách 3:

Vẽ đường cao BH, nối A với M.
Ta có : SABM + SMAC = SABC
 ME.AB + MF.AC = BH.AC
 ME + MF = BH = không đổi (Do AB = AC vì ABC cân tại A)

Sau khi học sinh đã nắm được các cách giải như trên, giáo viên tiếp tục hướng dẫn học sinh khai thác tiếp bài toán 3 :
Bài toán 3.1 : 
Cho tam giác ABC có AB = AC, trên đoạn BC lấy điểm M, Từ M kẻ ME AB, MF AC (E AB, F AC).
a) Chứng minh tứ giác AEMF có chu vi không đổi.
b) = const (không đổi)
Hướng dẫn:

a) Theo cách giải 1 của bài toán 3 khi chứng minh: BME = BMI 
Ta còn được: BE = MI 
 BE = HF = MI do đó:
AE + AF = (AB-BE) + (AH + HF) = AB + AH = const (do BH không đổi)
 ME + EA + AF+ FM = const 
 điều phải chứng minh.
b) Mặt khác cũng từ cách giải 1 ta có:
= const
(Do AB = AC , BE = HF, BH không đổi AH không đổi)
 	Giáo viên tiếp tục hướng dẫn học sinh khai thác: Nếu M thuộc đường thẳng BC mà M đoạn BC thì kết luận tổng ME + MF không đổi còn đúng nữa hay không. Và học sinh cũng thấy ngay rằng kết luận đó không còn đúng nữa. Từ đó giáo viên yêu cầu học sinh nghiên cứu hiệu ME - MF (hoặc MF - ME) và ta có bài toán sau: 
Bài toán 3.2: 
Cho tam giác ABC cân tại A, M thuộc đường thẳng BC (trong đó M không thuộc đoạn BC). Từ M kẻ ME AB , MF AC. 
Chứng minh : = const
Hướng dẫn:

+ Xét TH1: 
M thuộc tia đối của tia CB
- Vẽ BJ MF và theo cách giải 2 của bài toán 3 ta được: MJ = ME và JF = BH.
Ta có: ME - MF = MJ - MF 
 = JF = BH = const
+ Xét TH2: 
M thuộc tia đối của tia BC.
Tương tự.
 Kết luận.
 	Hướng dẫn học sinh bỏ giả thiết tam giác ABC cân và giả sử AB > AC rồi yêu cầu học sinh nhận xét về tổng : ME + MF . Từ đó ta có bài toán 3.3:
Bài toán 3.3: 
Cho tam giác ABC (AB > AC), lấy M BC, từ M kẻ ME AB, MF AC. Gọi BH và CK là các đường cao lần lượt hạ từ đỉnh B và C của tam giác ABC. Chứng minh: CK ME + MF BH.
Hướng dẫn:
+ Vẽ MI BH và MI kéo dài cắt AB tại D
+ Ta có: MF = IH.
+ Vì AB > AC > < (do = , so le trong)
 DBM có < 
 MD < BD (quan hệ cạnh và góc đối diện)
 BI > ME (vì BI là đường cao của DBM ứng với cạnh nhỏ hơn thì lớn hơn)
Khi M trùng với B thì ME + MF = BH .
Vậy: ME + MF BI + LH = BH.
Tương tự ta cũng có: CK ME + MF.
Từ bài toán 3.3 giáo viên có thể cho học sinh làm quen với bài toán cực trị với yêu cầu là: 
Tìm vị trí của điểm M BC sao cho: Tổng ME + MF là lớn nhất (nhỏ nhất)
 Tiếp theo giáo viên thay giả thiết ME AB, MF AC bằng một giả thiết khác là : ME // AB, MF //AC còn tam giác ABC vẫn cân tại A và yêu cầu học sinh nhận xét về tổng: ME + MF. Từ đó ta có bài toán 3.4:
Bài toán 3.4:
Cho tam giác ABC cân tại A, M BC. Từ M kẻ ME // AB, MF //AC (E AC, F AB). Chứng minh rằng: ME + MF = const.
Hướng dẫn:

Ta có tứ giác AEMF là hình bình hành AE = MF; ME = AF.
Ta có C = B = FMC
FMC cân tại F FM = FC
AE= FC
ME + MF = AF+ AE 
 = AF + FC = AC
Hay tổng ME + MF không đổi.
 Như vậy từ việc thay giả thiết ME AB, MF AC bằng ME // AB, MF //AC mà ta có 2 bài toán tương đương sau:
Bài toán 3a (Bài toán 3): 
Từ một điểm M thuộc đáy BC của ABC cân. Vẽ ME và MF lần lượt vuông góc với AB và AC (E thuộc AB, F thuộc AC). 
Chứng minh rằng: tổng ME + MF không đổi.
Bài toán 3.b (Bài toán 3.4): 
Từ một điểm M thuộc đáy BC của ABC cân. Vẽ ME và MF lần lượt song song với AB và AC (E thuộc AC, F thuộc AB). 
Chứng minh rằng: tổng ME + MF không đổi.
 	Chính vì vậy mà giáo viên có thể hướng dẫn học sinh khai thác bài toán 3b theo như cách của bài toán 3a.
2. Khả năng áp dụng
Đây là một số bài tập mà tôi đã áp dụng giảng dạy đại trà vào các buổi chuyên đề cho học sinh lớp 8. Có điều bài toán 2 và bài toán 3 có thể áp dụng cho học sinh lớp 7 nhưng chương trình các em học lại vào nửa giữa và cuối kì 2 nên việc áp dụng còn gặp khó khăn, vả lại chúng ta không áp dụng dễ dàng như học sinh lớp 8. Ví dụ như cách giải 1, 2 của bài toán 3 thì không thể lí luận với học sinh lớp 7 rằng: Tứ giác MFHI, BJFH là hình chữ nhật vì các em chưa học cách nhận biết tứ giác có 3 góc vuông là hình chữ nhật mà lúc đó chúng ta phải hướng dẫn cho học sinh cách giải của lớp 7 mà các em đã được học. Tuy nhiên các bạn đồng nghiệp hãy áp dụng xem sao?
3. Hiệu quả 
Qua quá trình giảng dạy theo hướng tích cực hoá của học sinh, thông qua việc khai thác bài toán một cách tích cực, sáng tạo, tôi nhận thấy đã đạt được một số kết quả sau:
- Làm cho học sinh hứng thú hơn trong việc học môn Toán kể cả học sinh học chưa tốt về môn Toán. Tạo cho các em có niềm tin vào chính mình.
- Bước đầu đã xây dựng cho học sinh một phong cách say sưa tìm tòi, khám phá những vẫn đề mới lạ từ những vấn đề tưởng chừng như rất đơn giản. Các em đã thực sự hứng khởi khi phát hiện ra những điều đó.
- Các em nắm vững kiến thức cơ bản và kĩ năng giải Toán của các em được nâng cao rõ rệt, chính xác hơn, sâu hơn. 
- Rèn cho học sinh ý chí kiên trì trước những hoàn cảnh khó khăn, không ngại khi gặp những bài toán khó, đặc biệt là Toán hình.
- Góp phần nâng cao trình độ và đổi mới phương pháp dạy học của bản thân.
4. Kết quả 
Chất lượng
T/g áp dụng
Số HS khảo sát
Giỏi
Khá
TB
Yếu
Kém
SL
(%)
SL
(%)
SL
(%)
SL
(%)
SL
(%)
Khi chưa
áp dụng
30
0
0
7
23
18
60
4
14
1
3
Khi áp dụng
30
4
14
15
50
10
33
1
3
0
0

C. KẾT LUẬN:
I. Kết luận chung
 	Đổi mới phương pháp dạy học là một quá trình, song mỗi giáo viên cần phải có ý thức cao trong việc tìm tòi những phương pháp phù hợp đối với mỗi bài tập và các đối tượng học sinh để tăng cường sự hoạt động tích cực của học sinh trong mỗi bài học. Thầy không chỉ dạy những kiến thức có sẵn trong SGK cho học sinh mà cần phải hướng cho học sinh tìm tòi, khám phá những vẫn đề liên quan hay cả nững vẫn đề mới lạ (Cho dù vấn đề đó đúng hay sai). Đối với mỗi học sinh để giải được một bài toán khó là cả một quá trình vì khả năng khái quát, tư duy của các em còn hạn chế nhiều. Chính vì thế mà đòi hỏi mỗi giáo viên cần phải đầu tư nghiên cứu có những chuyên đề hay nhằm giúp học sinh có năng lực độc lập tư duy, khái quát hoá các kiến thức. Tuy nhiên không phải mảng kiến thức nào cũng có nhiều kiến thức liên quan bổ sung, nhưng bên cạnh đó cũng không ít những mảng kiến thức có nhiều kiến thức liên quan. Để làm được điều đó rất cần mỗi giáo viên có lòng tâm huyết với sự nghiệp trồng người.
 	Trên đây là một số bài toán liên quan từ 3 bài toán rất quen thuộc đối với mỗi học sinh, tôi tin tưởng rằng sẽ còn rất nhiều bài toán khác liên quan tới 3 bài toán trên. Rất mong các bạn đóng góp thêm.
II. Điều kiện, kinh nghiệm áp dụng
Vì lẽ đó với mỗi giáo viên nói chung và bản thân tôi nói riêng cần hiểu rõ khả năng tiếp thu bài của các đối tượng học sinh để từ đó đưa ra những bài tập và phương pháp giải toán cho phù hợp giúp học sinh làm được các bài tập, gây hứng thú học tập, say sưa giải toán, yêu thích học toán. Từ đó dần dần nâng cao từ dễ đến khó, có được như vậy thì người thầy giáo cần phải tìm tòi nhiều phương pháp giải toán, có nhiều bài toán hay để hướng dẫn học sinh làm, đưa ra cho học sinh cùng làm, cùng phát hiện ra các cách giải khác nhau cũng như cách giải hay, tính tự giác trong học toán, phương pháp giải toán nhanh, có kỹ năng phát hiện ra các cách giải toán nhanh, có kỹ năng phát hiện ra các cách giải.
III. Triển vọng phát triển
	Áp dụng kinh nghiệm trên trong bồi dưỡng học sinh giỏi theo tôi sẽ đạt được kết quả tốt.
IV. Đề xuất kiến nghị.
 	Tôi xin đưa ra một số ý kiến sau:
	- Cần tạo điều kiện hơn nữa để người giáo viên có thời gian nghiên cứu đổi mới phương pháp dạy học, đặc biệt phân loại được các dạng bài tập cơ bản và khó
 	- Nếu có thể khi chọn lọc từ đầu vào chúng ta nên chọn ra hai lớp: Chuyên về các môn tự nhiên và một lớp chuyên về các môn xã hội để giáo viên có điều kiện hơn nữa để rèn cho nhiều học sinh. 
	Phòng giáo dục cần tổ chức một chuyên đề hướng dẫn làm sáng kiến kinh nghiệm giới thiệu những sáng kiến kinh nghiệm hay để giáo viên có dịp trao đổi bàn bạc và học tập ở đồng nghiệp.
 Đây là sáng kiến của bản thân tôi viết, không sao chép nội dung của người khác mong hội đồng khoa học góp ý kiến bổ sung cho đề tài được tốt hơn.
 Xin chân thành cảm ơn !
Ân Thi, ngày /02/2019
Người viết
ĐINH TRƯỜNG THOẠI
- Tài liệu tham khảo
1. Nâng cao và phát triển toán 8.	
2. Nâng cao và các chuyên đề đại số 8.
 3. Bài tập nâng cao và các chuyên đề toán 8.
 4. Bồi dưỡng toán 8.
 5. Các chuyên đề bồi dưỡng HSG toán 8.
- Mục lục

Trang
Phần A. Mở đầu.

I. Đặt vấn đề
1. Thực trạng nghiên cứu.
2. Ý nghĩa và tác dụng.
3. Phạm vi nghiên cứu.
2
2
2
3
II. Phương pháp tiến hành.
1. Cơ sở lí luận và cơ sở thực tiễn.
a. Cơ sở lí luận
b. Cơ sở thực tiễn
2. Biện pháp tiến hành và thời gian nghiên cứu.
3
3
3
3
4
Phần B. Nội dung

I. Mục tiêu.
4
II. Giải pháp thực hiện
1. Nội dung giải pháp
2. Khả năng áp dụng
3. Hiệu quả
4. Kết quả 
4
4
15
16
16
Phần C. Kết luận

I. Kết luận chung
17
II. Điều kiện, kinh nghiệm áp dụng
18
III. Triển vọng phát triển
18
IV. Đề xuất kiến nghị.
18

- Danh mục các cụm từ viết tắt
+ THCS: trung học cơ sở	
+ SL: Số lượng