Sáng kiến kinh nghiệm Phát hiện và tìm giải pháp trong bài toán nguyên hàm và tích phân liên quan đến xác định hàm ẩn

ước 2. Tìm giải pháp
- Qua đó ta đề xuất giải pháp lấy nguyên hàm hai vế đối với đẳng thức.
Bước 3. Trình bày giải pháp
Ta có .
Do nên . Suy ra .
Vậy (do ). 
Bước 4. Nghiên cứu sâu giải pháp
- Với giải pháp trên nếu ta thay đẳng thức bởi đẳng thức với hàm số tính được nguyên hàm thì ta có bài toán tổng quát hơn, cụ thể: 
- Bài toán: Cho hàm số xác định và có đạo hàm trên khoảng và hàm số xác định trên khoảng thỏa mãn và . Xác định hàm .
Ví dụ 2
Cho hàm số thỏa mãn và với mọiTính giá trị của 

Bước 1. Phân tích và phát hiện vấn đề
Hàm số cho ta sự tương ứng mỗi giá trị của thuộc tập xác định có duy nhất một giá trị của hàm số . Do đó vấn đề đặt ra ở đây là nếu xác định được hàm thì công việc còn lại là dễ dàng.
Bước 2. Tìm giải pháp
- Nhận thấy nguyên hàm là tìm được.
- Qua đó ta đề xuất giải pháp lấy nguyên hàm hai vế đối với đẳng thức
Bước 3. Trình bày giải pháp
Ta có .
Do nên . Suy ra .
Vậy 
Bước 4. Nghiên cứu sâu giải pháp
- Với giải pháp trên ta thấy, nếu hai vế của đẳng thức lấy nguyên hàm không tính được nguyên hàm hoặc tính nguyên hàm gặp nhiều khó khăn thì giải pháp trên là không thực hiện được. Do đó ta đề xuất hướng mỡ rộng bài toán như sau: 
Thay bởi hàm số tính được nguyên hàm; thay bởi .
- Bài toán: Cho hai hàm số và xác định trên tập thỏa mãn , và . Xác định hàm .
* Chú ý: Từ giải pháp của hai bài toán trên ta đi đến bài toán tổng quát hơn như sau: Cho hai hàm số có nguyên hàm trên tập ; hàm sốthỏa mãn và với mọi Tìm hàm số .
Ví dụ 3
Cho hàm số xác định và có đạo hàm đến cấp hai liên tục trên khoảng thỏa mãn và Tính giá trị của 

Bước 1. Phân tích và phát hiện vấn đề
- Ta thấy từ công thức tính đạo hàm ta suy ra 
- Do đó để tìm được hàm thì ta phải tìm được hàm .
Bước 2. Tìm giải pháp
- Nhận thấy nguyên hàm là tìm được.
- Qua đó ta đề xuất giải pháp lấy nguyên hàm hai vế đối với đẳng thức ta tìm được hàm và bài toán trở về bài toán tương tự ví dụ 1.
Bước 3. Trình bày giải pháp
Ta có
Suy ra 
Theo giả thiết ta có . Suy ra 
Vậy 
Bước 4. Nghiên cứu sâu giải pháp
- Nếu ta thay bởi hàm số xác định trên và tính được nguyên hàm thì ta có bài toán mới.
Ví dụ 4
Cho hàm số xác định và có đạo hàm đến cấp hai liên tục trên thỏa mãn và Tính giá trị của 

Bước 1. Phân tích và phát hiện vấn đề
- Ta thấy từ công thức tính đạo hàm ta suy ra 
- Do đó để tìm được hàm thì ta phải tìm được hàm .
Bước 2. Tìm giải pháp
- Nhận thấy nguyên hàm là tìm được.
- Qua đó ta đề xuất giải pháp lấy nguyên hàm hai vế đối với đẳng thức ta tìm được hàm và bài toán trở về bài toán tổng quát của ví dụ 1.
Bước 3. Trình bày giải pháp
Ta có 
Suy ra 
Theo giả thiết ta có . 
Suy ra 
Vậy 
Bước 4. Nghiên cứu sâu giải pháp
- Nếu ta thay bởi hàm số xác định trên và tính được nguyên hàm thì ta có bài toán mới.
- Từ đẳng thứcnếu ta thay hàm bằng hàm thì ta được bài toán mới.
Chú ý: Từ các hướng mở của ví dụ 3 và ví dụ 4, ta có bài toán tổng quát sau:
Cho hàm số xác định và có đạo hàm đến cấp hai liên tục trên khoảng thỏa mãn ( trong đó là hàm số tính được nguyên hàm trên ) và Xác định hàm . 
Ví dụ 5
Cho hàm số đồng biến và có đạo hàm đến cấp hai trên đoạn thỏa mãn và Tính giá trị của 

Bước 1. Phân tích và phát hiện vấn đề
- Từ công thức tính đạo hàm ta đặt ra ý tưởng chia hai vế của đẳng thức cho thì ta có 
- Do đó để tìm được hàm thì ta phải xác định được hàm 
Bước 2. Tìm giải pháp
- Nhận thấy nguyên hàm là tìm được.
- Qua đó ta đề xuất giải pháp lấy nguyên hàm hai vế đối với đẳng thức. ta tìm được hàm . Bài toán đưa về dạng toán của ví dụ 2.
Bước 3. Trình bày giải pháp
Ta có hàm số đồng biến trên đoạn và 
suy ra . Do đó 
Suy ra 
Theo giả thiết ta có 
Suy ra .
Vậy 
Bước 4. Nghiên cứu sâu giải pháp
Nếu ta thay bởi hàm số xác định trên và tính được nguyên hàm thì ta có bài toán tổng quát sau:
Cho hàm số đồng biến và có đạo hàm đến cấp hai liên tục trên đoạn thỏa mãn và Xác định hàm
Ví dụ 6
Cho hàm số xác định dương và có đạo hàm đến cấp hai liên tục trên đoạn thỏa mãn và Tính giá trị của 

Bước 1. Phân tích và phát hiện vấn đề
- Từ việc tổng quát ví dụ 3 ta dự đoán hàm . Do đó ta chia hai vế của đẳng thức cho . 
Thật vậy ch.
- Do đó để tìm được hàm thì ta phải xác định được hàm 
Bước 2. Tìm giải pháp
- Nhận thấy nguyên hàm là tìm được.
- Qua đó ta đề xuất giải pháp lấy nguyên hàm hai vế đối với đẳng thức ta tìm được hàm . 
Bước 3. Trình bày giải pháp
Ta có . Do đó
Suy ra 
Theo giả thiết ta có . Suy ra 
Vậy 
Bước 4. Nghiên cứu sâu giải pháp
Từ hướng phân tích của giải pháp trên, ta có thể thay bằng một hàm số hợp xác định trên và tính được nguyên hàm thì ta có bài toán mới.
Chú ý: 
- Từ các hướng mở của ví dụ 5 và ví dụ 6, ta đề suất bài toán tổng quát sau: 
Cho hàm số đồng biến và có đạo hàm đến cấp hai liên tục trên đoạn và hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn thỏa mãn và Xác định hàm
2. Xác định hàm ẩn với cận tích phân thay đổi 
Ví dụ 1
Cho hàm số liên tục trên thỏa mãn 
Tính 

Bước 1. Phân tích và phát hiện vấn đề
- Để tính được thì ta phải xác định được hàm .
- Đây là biểu thức tích phân với cận thay đổi và đương nhiên là ta cũng không tìm được nguyên hàm của hàm để đưa vế trái của đẳng thức trên qua biến . Do đó ta phải tìm một giải pháp khác đủ mạnh chứ không phải là đi tính tích phân .
Bước 2. Tìm giải pháp
- Từ tính chất ta có 
- Qua đó ta đề xuất giải pháp lấy đạo hàm hai vế của đẳng thức.
Bước 3. Trình bày giải pháp
Lấy đạo hàm hai vế của đẳng thức ta có 
 .
Vậy. 
Bước 4. Nghiên cứu sâu giải pháp
- Với giải pháp trên ta thấy, nếu ta thay biểu thức bởi một biểu thức thì ta có bài toán mới.
- Bài toán: Cho hai hàm số và liên tục trên thỏa mãn . Xác định hàm .
Ví dụ 2
Cho hàm số dương và có đạo hàm liên tục trên thỏa mãn. Tính . 
Bước 1. Phân tích và phát hiện vấn đề
- Nếu chúng ta thay vào đẳng thức trên thì vấn đề đặt ra ở đây là tích phân chưa tính được do chưa xác định được hàm .
- Do vậy cần phải xác định được hàm trước khi thay vào.
Bước 2. Tìm giải pháp
- Từ tính chất ta có 
- Qua đó ta đề xuất giải pháp lấy đạo hàm hai vế của đẳng thức theo biến .
Bước 3. Trình bày giải pháp
Lấy đạo hàm hai vế theo biến của đẳng thức ta có 
 .
Mặt khác 2 
Suy ra.
Vậy. 
Bước 4. Nghiên cứu sâu giải pháp
- Với giải pháp trên ta thấy, nếu ta thay các hệ số của và sao cho sau khi đạo hàm hai vế ta được phương trình đẳng cấp bậc hai đối với và có nghiệm thì ta được bài toán tổng quát hơn.
- Bài toán: Cho hàm số dương và có đạo hàm liên tục trên thỏa mãn, với và. Tính.
 Ví dụ 3
Cho hàm số xác định không âm và có đạo hàm liên tục trên . Đặt . Biết . Tìm giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn .
 
Bước 1. Phân tích và phát hiện vấn đề
- Ta thấy hàm số phụ thuộc vào hàm nên để tìm giá trị lớn nhất của hàm thì ta phải đi xác định hàm hoặc đi tìm các đặc tính của nó.
- Do hàm có mặt cả hai giả thiết của bài toán nên tính chất đặc trưng của nó được kết hợp cả hai giả thiết nêu trên.
Bước 2. Tìm giải pháp
- Từ tính chất , ta có 
- Kết hợp với giả thiết ta đi tìm các thuộc tính của .
Bước 3. Trình bày giải pháp
Ta có và suy ra .
Lấy đạo hàm hai vế theo biến của đẳng thức , ta có.
Mặt khác 
Vậy giá trị lớn nhất của trên đoạn bằng . 
Bước 4. Nghiên cứu sâu giải pháp
- Với giải pháp trên ta thấy bị triệt tiêu, do đó nếu ta thay ddosbawngf một biểu thức nào đó sao cho việc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất là thực hiện được thì ta có bài toán mới.
- Nếu chúng ta thay đổi cận tích phân và các hệ số trong đẳng thức thì có lớp các bài toán của dạng này. 
Ví dụ 4
Cho hàm số có giá trị không âm và có đạo hàm liên tục trên đoạn thỏa mãn. Biết giá trị lớn nhất của tích phân có dạng với . Tính .

Bước 1. Phân tích và phát hiện vấn đề
- Để tìm được giá trị lớn nhất của thì ta phải tìm được miền giá trị của hàm trên đoạn 
- Do nên ta cần đánh giá vế phải của bất đẳng thức nhỏ hơn hoặc bằng biểu thức chứa biến nào?
Bước 2. Tìm giải pháp
- Để đơn giản ta đặt 
- Từ tính chất , ta có 
- Kết hợp với giả thiết ta tìm được mối liên hệ của với.
- Qua đó ta lấy tích phân hai vế cận từ đến của liên hệ đó.
Bước 3. Trình bày giải pháp
Đặt , ta có.
 Theo giả thiết .
Suy ra 
.
Do đó .
Vậy .
Bước 4. Nghiên cứu sâu giải pháp
- Với giải pháp trên ta thấy nếu chúng ta thay đổi chiều của bất đẳng thức thì ta sẽ được bài toán tìm giá trị nhỏ nhất.
- Nếu chúng ta thay đổi cận tích phân và các hệ số trong bất đẳng thức thì có lớp các bài toán của dạng này. 
 Nhận xét: Qua các ví dụ trên ta thấy được tầm quan trọng của các tính chất về nguyên hàm, tích phân và đạo hàm được nêu trên. Việc định hướng và áp dụng nó cần có một số kỷ thuật phân tích khéo léo và tinh tế, một khi đã phân tích đúng hướng thì việc lựa chọn công cụ ( tính chất) để giải quyết là đơn giản.
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
Câu 1:	Cho hàm số xác định trên thỏa mãn và . Giá trị của biểu thức bằng
A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 2:	Cho hàm số xác định trênthỏa mãn và . Giá trị của biểu thức bằng
A. 	B. 	
C. 	D. 
Câu 3:	Cho hàm số xác định dương và có đạo hàm liên tục trên thỏa mãn và . Tính .
A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 4:	Cho hàm số xác định và có đạo hàm liên tục trên thỏa mãn và . Khi đó phương trình có bao nhiêu nghiệm ?
A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 5:	Cho hàm số liên tục, không âm trên đoạn, thỏa mãn và. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm trên đoạn .
A. 	B. 
C. 	 D. 
Câu 6:	Cho hàm số xác định và có đạo hàm liên tục trên thỏa mãn . Biết và .Tìm các giá trị của tham số để phương trìnhcó hai nghiệm phân biệt.
A. 	B. 	
C. 	D. 
Câu 7:	Cho hàm số xác định và có đạo hàm liên tục trên , . Biết , và với và tối giản. Mệnh đề nào sau đây đúng ?
A. 	B. 	
C. 	D. 
Câu 8:	Cho hàm số xác định dương và có đạo hàm liên tục trên thỏa mãn
 và . Tính .
A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 9:	Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên thỏa mãn và . Tính 
A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 10:	Cho hàm số đồng biến, có đạo hàm đến cấp hai trên đoạn và thỏa mãn . Biết . Khi đó bằng
A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 11:	Cho hàm số thỏa mãn điều kiện: với mọi . Tính .
A. 	B. 	
C. 	D. 
Câu 12:	Cho . Tìm 
A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 13:	Cho . Tính .
A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 14:	Cho . Tính 
A. 	B. 	
C. 	D. 
Câu 15:	Cho . Tính .
A. 	B. 
C. 	D. 
Câu 16:	Cho hàm số liên tục trên thỏa mãn . Tìm .
A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 17:	Cho hàm số liên tục trên thỏa mãn .Tính 
A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 18:	Cho hàm số thỏa mãn . Mệnh đề nào sau đây đúng ?
A. 	B. 
C. 	D. 
Câu 19:	Cho hàm số liên tục trên thỏa mãn . Mệnh đề nào sau đây đúng ?
A. 	B. 
C. 	 D. 
Câu 20:	Cho hàm số dương và có đạo hàm liên tục trên thỏa mãn . Mệnh đề nào sau đây đúng ?
A. 	B. 
C. 	D. 
Câu 21:	Cho hàm số thỏa mãn . Tính .
A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 22:	Cho hàm số xác định không âm và có đạo hàm liên tục trên . Đặt . Biết . Tích phân có giá trị lớn nhất bằng
A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 23:	Cho hàm số xác định không âm và có đạo hàm liên tục trên . Đặt . Biết . Tích phân có giá trị lớn nhất bằng
A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 24:	Cho hàm số xác định không âm và có đạo hàm liên tục trên . Đặt . Biết . Tích phân có giá trị lớn nhất bằng
A. 	B. 	C. 	D. 
BẢNG ĐÁP ÁN
1.C
2.B
3.D
4.A
5.A
6.C
7.D
8.D
9.B
10.C
11.A
12.B
13.C
14.A
15.D
16.B
17.A
18.A
19.B
20.D
21.D
22.B
23.B
24.B







BÀI TẬP KHẢO SÁT THỰC NGHIỆM
Thời gian: 45 phút
Câu 1:	Cho hàm số xác định dương và có đạo hàm liên tục trên sao cho và . Tính .
A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 2:	Cho hàm số xác định dương và có đạo hàm liên tục trên sao cho và . Tính .
A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 3:	Cho hàm số xác định dương và có đạo hàm cấp hai liên tục trên sao cho và. Tính .
A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 4:	Cho . Mệnh đề nào sau đúng ?
A. 	B. 
C. 	D. 
Câu 5:	Cho . Tính .
A. 	B. 	C. 	D. 
BẢNG ĐÁP ÁN
1.B
2.A
3.D
4.B
5.C

IV. THỰC NGHIỆM
1. Mục đích thực nghiệm: Kiểm tra tính khả thi và hiệu quả của đề tài.
2. Nội dung thực nghiệm
 - Triển khai đề tài: “ Phát hiện và tìm giải pháp trong bài toán nguyên hàm và tích phân liên quan đến xác định hàm ẩn”. 
 - Đối tượng áp dụng: Học sinh lớp 12 khá, giỏi môn toán.
 - Thời gian thực hiện: 2 buổi ( 6 tiết).
3. Kết quả thực nghiệm
 Tôi được phân công hỗ trợ giảng dạy lớp khối A, khối B và khối D trong nhiều năm nay, do đó có điều kiện thử nghiệm đề tài này trong nhiều lần.
 Tùy theo mức độ kiến thức của từng lớp khối tôi đưa ra hệ thống ví dụ cũng 
như bài tập phù hợp nên đã tạo ra được hứng thú học tập trong khi các em tiếp 
cận chuyên đề này.
Kết quả thật đáng khích lệ, đại đa số các em theo từng cấp độ kiến thức đã tiếp thu khá tốt và giải quyết tốt các bài tập tương tự, đồng thời các em có năng lực tốt đã tìm ra cho mình những bài toán tổng quát hơn và lớp các bài toán sử dụng các tính chất này. 
Kiểm tra ở lớp 12A2 năm học 2018-2019
TT
Lớp
Tổng số HS
Điểm 
 Điểm
 Điểm
Điểm
1
12A1
39
25 em

10 em

3 em

1 em
Trong khi đó cùng đơn vị kiến thức này, với việc thực hiện các phương pháp dạy học khác đưa đến kết quả như sau:
Kiểm tra ở lớp 12A1 năm học 2017-2018
TT
Lớp
Tổng số HS
Điểm 
 Điểm
 Điểm
Điểm
1
12A2
40
5 em

10 em

15 em

10 em
 Qua phép so sánh trên ta thấy việc áp dụng phương pháp dạy học “Phát hiện và tìm giải pháp” là hiệu quả thế nào? Tuy nhiên để có được hiệu quả này thì người thầy phải đầu tư thời gian và thực sự tâm huyết với nghề.
C. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
I. KẾT LUẬN
Thông qua một số giải pháp xác định hàm ẩn nói trên chúng ta thấy rằng việc giải các bài toán về nguyên hàm, tích phân liên quan đến hàm ẩn không phải là vấn đề quá khó. Xuất phát từ sự phân tích hợp lý và phát hiện vấn đề, bằng cách liên hệ với các công thức, hay các tính chất về nguyên hàm và tích phân đã biết trước, chúng ta sẽ tìm được giải pháp để giải quyết vấn đề. Qua các giải pháp đó chúng ta đã tạo ra được hướng mở cho việc giải quyết một bài toán về xác định hàm ẩn.
Với việc triển khai giảng dạy cho các em học sinh có năng lực giỏi cũng như dạy học lớp khối A, B và khối D qua một số buổi, chủ yếu là hướng dẫn cho các em tự nghiên cứu đề tài đã giúp các em tự tin hơn, không còn lúng túng khi gặp dạng toán này.
II. KIẾN NGHỊ
 Trong bài viết này tôi chỉ mới đưa ra một số giải pháp để xác định hàm ẩn. Trong thời gian tới tôi sẽ tiếp tục nghiên cứu lớp bài toán xác định hàm ẩn dựa vào bảng biến thiên, dựa vào đồ thị, đồng nhất thức. 
 Qua bài viết chúng ta thấy đây là đề tài mở có thể khai thác tiếp, theo nhiều hướng khác nhau. Do đó rất mong các bạn đồng nghiệp cũng như những người yêu thích môn toán tiếp tục khai thác để đề tài càng ngày càng được phát triển theo chiều rộng lẫn chiều sâu.
 Mặc dù đã nghiên cứu khá nhiều tài liệu về nguyên hàm và tích phân để viết đề tài này song vì thời gian và năng lực có phần hạn chế, rất mong được sự đóng góp của các bạn đồng nghiệp để đề tài có ý nghĩa thiết thực hơn trong việc giảng dạy, góp phần nhỏ bé vào việc nâng cao chất lượng giáo dục theo hướng đổi mới hiện nay.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Bộ sách giáo khoa, sách bài tập giải tích lớp 12 cơ bản và nâng cao
2. Học toán online chất lượng cao (Vted online)
3. Đề thi THPT quốc gia qua các năm
4. Đề thi thử THPT quốc gia các trường THPT trên cả nước
5. Qua các diễn đàn toán học ( strong teem toán VD-VDC, nhóm toán VD-VDC,).