Sáng kiến kinh nghiệm Phân tích 3 bài toán tiền đề về cực trị không gian giúp học sinh phát triển năng lực giải quyết vấn đề toán học

 SB SC SA SB SC SA SB SC
 . 
Dầu bằng xảy ra khi và chỉ khi: MAC MAB MBC
MA MB MC S S S
SA SB SC
 . 
Điều này chỉ xảy ra khi M là trọng tâm tam giác ABC . 
Bài 3. Cho tứ diện ABCD . Gọi G là trọng tâm tam giác BCD và M là điểm nằm bên 
trong tam giác BCD . Đường thẳng qua M và song song với GA lần lượt cắt các mặt 
phẳng , ,ABC ACD ADB tại , ,P Q R . 
a) Khi M di động trong tam giác BCD , tính MP MQ MR
GA
b) Xác định vị trí của M để . .MP MQ MR đạt giá trị lớn nhất? 
C'
B'
A'
E
S
B
C
A
M
42 
R
P
Q
I
J
K
G
A
B
C
D
M
Định hướng: 
- Có đẳng thức nào liên hệ , ,MP MQ MR 
- Tìm mối liên hệ . .MA MB MCP
SA SB SC
 và đẳng thức đưa ra 
Lời giải. 
a) TH1. GM cắt CD. Trong mặt phẳng BCD 
 gọi , ,I MG BC J MG CD K MG BD    . Qua M kẻ Mx GA∥ . 
Trong :AIJ Mx AI P (đây chính là giao điểm của Mx với ABC ) 
Tương tự ,Mx AK R Mx AJ Q  .Ta có: 
3MBC MBC
GBC BCD
IM S S
IG S S
 . 
Theo định lý Thalet ta có: IM MP
IG GA
 . Do đó: 
3 MBC
BCD
MP S
GA S
 . 
Chứng minh tương tự ta có: 
3 3, 3MCD MBD
BCD BCD
MQ S MR S MP MQ MR
GA S GA S GA
 . 
TH2. MG song song với một cạnh của tam giác BCD. Giả sử MG song song với BC 
 Gọi I, j lần lượt lần lượt là giao điểm của MG với các đường thẳng CD, DB.Qua A kẻ 
đường thẳng d song song với BC. 
Trong (AMG) kẻ Mx song song với AG Cắt các đường thẳng d, AI, AJ lần lượt tại 
P,Q,R. 
b) APMG là hình bình hành nên MP=AG. 
G là trung điểm IJ, mà 2 2, 2
IJ IJ
MQ MI MI MR MJ MJ MQ MR
AG IG AG JG AG AG
3 3MP MQ MR MP MQ MR AG
AG
 . 
43 
F
E
A
B
C
D
M
A1
B1
b) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có : 
3
3. .
3
MP MQ MRMP MQ MR GA 
. 
Vậy giá trị lớn nhất của . .MP MQ MR bằng 3GA . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 
MP MQ MR . Điều này xảy ra khi M là trọng tâm tam giác BCD. 
Bài 4. ( Đề học sinh giỏi tỉnh Nghệ An năm 2021-2022) Cho tứ diện ABCD và điểm 
M nằm trong tứ diện. Qua M dựng các mặt phẳng / / , / / ,BCD ACD  
 / / ABD và / / .ABC Biết cắt A B tại ,E  cắt BC tại ,F  cắt 
CD tại ,P  cắt AD tại .Q Chứng minh 4 3.EA FB PC QD
EB FC PD QA
Định hướng 
Nếu gọi   1 1,A AM BCD B AM ACD   , 
   1 1,C AM ABD D AM ABC   
Thì đẳng thức hay bất đẳng thức 1 1 1 1
, , ,MA MB MC MD
MA MB MC MD nào liên hệ hay không? 
- Mối liên hệ giữa 
EA
EB và 1
MA
MA 
- Kết hợp với bđt đại số 
Lời giải.
Gọi 
   1 1,A AM BCD B AM ACD   , 
   1 1,C AM ABD D AM ABC   
+) Trong mặt phẳng 1ABA kẻ đường thẳng qua 
M song song với 1A B cắt AB tại 
1
.EA MAE
EB MA
+) Tương tự ta cũng có: 
44 
1
,FB MB
FC MB
1
,PC MC
PD MC
1
.QD MD
QA MD
Khi đó: EA FB PC QD
EB FC PD QA
1 1 1 1
MA MB MC MD
MA MB MC MD
Đặt ,ABCDV V ,MBCD aV V ,MACD bV V ,MABD cV V .MABC dV V 
Khi đó 
1
1
; . ;
; . ;
BCD
B D
a
C
d M BCD S d M BCDV MA
V d A BCD S d A BCD AA
1 1 1
1 1 1
1 1 a
a a
MA AA MA AA V V V
MA MA MA V V
33 b c db c d
a aV
V
V
V VV V V (1) 
Tương tự ta có: 
3 3 3
1 1 1
3 3 3
; ; .a a b d a b c
b c d
c dV V V V V VM V V V
V V
B MC MD
MB MC M VD
(2) 
Từ (1), (2) suy ra 
1 1 1 1
. 8. 1..MA MB MC MD
MA MB MC MD
Khi đó 4
1 1 1 1 1 1 1 1
4 4 3. . .MA MB MC MD MA MB MC MD
MA MB MC MD MA MB MC MD
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 
1 1 1 1
3MA MB MC MD
MA MB MC MD
 hay M là trọng tâm 
tứ diện. 
Bài 5. ( Đề học sinh giỏi tỉnh Nghệ An năm 2011) Cho tứ diện ABCD có AB = CD, 
AC = BD, AD = BC. Chứng minh rằng khoảng cách từ trọng tâm của tứ diện ABCD 
đến các mặt phẳng (ABC), (BCD), (CDA), (DAB) bằng nhau. 
45 
M1
A1
N
O
B
C
A
M
Định hướng. 
- Gọi I, G lần lượt là trọng tâm tứ diện ABCD 
và tam giác BCD, thì tỉ số IG
AG
bằng bao nhiêu ? 
- Dựa vào mối liên hệ giữa thể tích và khoảng cách 
 để đưa ra kết quả 
Gọi I, G lần lượt là trọng tâm tứ diện ABCD 
và tam giác BCD. 
Ta có 
1 1 1
4 4 4
IBCD
IBCD ABCD
ABCD
IG V V V
AG V
 . 
Tương tự ta có 
1
4IABC IACD IABD ABCD
V V V V . 
Suy ra IABC IACD IABD IBCDV V V V (1). ABC = DCB S ABC = S DCB (2) 
Tương tự ta có d(I, (ABC)) = d(I, (ABD)) = d(I, (ACD)) (4) 
Từ (3) và (4) suy ra điều phải chứng minh 
Bài 6. Cho tứ diện có các cạnh đôi một vuông góc. là một điểm 
bất kì thuộc miền trong tam giác . 
a) Tìm giá trị nhỏ nhất của . 
b) Gọi là trực tâm tam giác và lần lượt là góc gữa đường thẳng 
với các đường thẳng . Tìm giá trị lớn nhất của cot .cot .cotA   
c) Tìm GTNN của 
2 2 2
cos cos cos cos cos cos
cos cos cos
S     
 
Lời giải. 
a) Gọi N AM BC  , kẻ 1MM OA thì ta có: 
1
1
( )
( )
OA OBC
MM OBC
MM OA
  
 
kẻ 1 1,MA OA A OA . Khi đó: 
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1AM AA MA AA MO OA 
2
1 1 1 1( ).( 0 )OM AA OA AA A 
2 2 2
1 1( 2 ) 20 . OM OA OA OA OM OA AOA 
Suy ra: 
2 2
1
2 2
21 (1).
0
AM OM OA
OA OA A
Tương tự gọi 1 1,B C là các điểm tương tự như thì ta có: 
OABC , ,OA OB OC M
ABC
2 2 2
2 2 2 
MA MB MCT
OA OB OC
H ABC , ,   OH
, ,OA OB OC
1A
I
G
A
B
C
D
46 
2 2
1
2 2
21 (2)MB OM OB
OB OB OB
2 2
1
2 2
21 (3)MC OM OC
OC OC OC
Từ (1),(2),(3) ta có 2 1 1 12 2 2
1 1 1. 2. 3OA OB OCT OM
OA OB OC OA OB OC
Gọi H là trực tâm của tam giác ABC thì ta đã biết kết quả quen thuộc 
2 2 2 2
1 1 1 1
OA OB OC OH
 nên 
2
1 1 1
2 2 3
OM OA OB OCT
OH OA OB OC
Mặt khác 1 MBC
ABC
OA NM S
OA NA S
Tương tự 1 1;MAC MAB
ABC ABC
OB S OC S
OB S OC S
 nên 1 1 1 1OA OB OC
OA OB OC
Do đó 
2
2 1 2
OMT
OH
 do .OM OH Vậy m in 2T khi M H 
Cách 2. Đặt , , .OA a OB b OC c 
   
. Do , , ,A B C M đồng phẳng nên tồn tại , ,x y z 
sao cho . . . ( 1)OM xOA y OB z OC x y z 
    
. 
Ta có ( 1). . .AM OM OA x a y b z c 
   
 bình phương vô hướng ta được: 
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2( 1) ( 1) .
MA y b z cAM x a y b z c x
OA a a
Tương tự 
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2
2 2 2 2 2 2( 1) ; ( 1) .
MB x a z c MC x a z cy z
OB b b OC b b
Vì vậy 
2
2 2 2 2 2 2
2 2 2
1 1 1 1 1 1( ) 1 . . 1 2T a x b y c z ax by cz
a b c a b c
Vậy m in 2T . 
b) Dễ thấy , , .AOH BOH COH   . 
Ta có 
2 2 2
2 2 2 2
1 1 1 1 1OH OH OH
OA OB OC OH OA OB OC
2 2 2cos cos cos 1   
Lại có 
2
2 2
2 2 2
1 1 cot1 tan cos (*)
cos 1 tan 1 cot
xx x
x x x
Áp dụng CT (*) cho x nhận các giá trị , ,   và kết hợp với (1) thu được 
2 2 2
2 2 2
cot cot cot 1
1 cot 1 cot 1 cot
  
  
Đặt 2 2 2cot , cot , cot .( , , 0)x y z x y z   thì bài toán trở thành 
47 
A
H
Cho , , 0x y z thỏa mãn 1
1 1 1
x y z
x y z
. Chứng minh 1.
8
xyz 
Ta có 1 1 21 1 1 1 1 1 1 1
x y z x y z yz
x y z x y z y z
. 
1 2 2
1 1 1
yz
x y z
. 
Tương tự ta có : 
1 12 3 và 2 (4) 
1 1 1 1 1 1
xz xy
y x z z x y
Nhân theo từng vế các BĐT (2)(3)(4) ta được 1
8
xyz (đ.p.c.m) 
c) Tương tự như câu b) ta có min 6 3S . 
Bài tập. 
Bài tập 1. Cho tứ diện ABCD và M là một điểm nằm trong tam giác BCD. Các đường 
thẳng qua M song song với AB, AC, AD lần lượt cắt mặt (ACD), ADB), (ABC) tại B1, 
C1, D1. Chứng minh rằng 
1 1 1
1 1 1 3 2AB AC AD
MB MC MD
 . 
Bài tập 2. Cho tứ diện ABCD. Tìm M trong không gian sao cho 
2 2 2 2MA MB MC MD đạt giá trị nhỏ nhất. 
Hướng dẫn. 
Gọi G là trọng tâm của tứ diện ta có: 
2 2 2 22 2 2 2MA MB MC MD MA MB MC MD 
    
 2 2 2 2MG GA MG GB MG GC MG GD         
2 2 2 2 24 2 ( )MG MG GA GB GC GD GA GB GC GD 
     
2 2 2 2 2 2 2 2 24MG GA GB GC GD GA GB GC GD 
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi M G . 
Vậy: 2 2 2 2MA MB MC MD đạt giá trị nhỏ nhất khi M là trọng tâm của tứ diện. 
Bài tập 3. Cho tứ diện ABCD có , ,DA DB DC đôi một vuông góc. Gọi , ,   lần 
lượt là góc giữa các đường thẳng , ,DA DB DC với mặt phẳng ABC . 
Tìm Giá trị nhỏ nhất của 2 2 22 cot 2 cot 2 cotM   . 
 Hướng dẫn. 
. 
48 
Gọi H là hình chiếu của D trên ABC 
Khi đó H là trực tâm của tam giác ABC. 
Và , ,DA ABC DA AH DAH 
Đặt , ,DA a DB b DC c 
Gọi I AH BC  thì DI là đường cao của tam giác DBC 
nên 
2 2
DB DC bcDI
BC b c
 
 2 2 22
2 2cot 
a b cDA
DI b c
 2 2 2 22
2 2
2 42 cot 2 2 
a b c a a
b c bc bc
 . Vậy 2 42 cot a
bc
Tương tự 2 42 cot b
ac
 (2) và 2 42 cot c
ab
 (3) 
BĐT (1) (2) (3) ta được 2 2 2(2 cot ).(2 cot ).(2 cot ) 64   ( đpcm) 
4. Đánh giá và kết quả thực hiện 
Tài liệu này đã được chúng tôi sử dụng để ôn thi học sinh giỏi tỉnh Nghệ An. 
 Qua các bài kiểm tra nội dung hình học không gian của học sinh đội tuyển bồi 
dưỡng học sinh giỏi khi chưa sử dụng lài liệu để giảng dạy. Chúng tôi thu được kết quả 
sau: 
Số lượng học sinh đạt được điểm khá giỏi chiểm 30% (3/10 học sinh) 
Số lượng học sinh đạt trung bình chiếm 20% (2/10 học sinh) 
Số lượng học sinh đạt dưới trung bình chiếm 50% (5/10 học sinh) 
 Chúng tôi đã thu được kết quả tốt hơn khi áp dụng đề tài vào giảng dạy : 
Số lượng học sinh đạt được điểm khá giỏi chiếm 70% (7/10 học sinh) 
Số lượng học sinh đạt điểm trung bình chiếm 30% (3/10 học sinh) 
Không còn học sinh đạt điểm dưới trung bình 
Nhất là các năm gần đây kết quả thi học sinh giỏi tỉnh của trường THPT Kim Liên rất tốt. Cụ 
thể như sau 
49 
Năm học Số học sinh đạt Học sinh giỏi tỉnh 
2020-2021 1 Giải Ba 
2021-2022 2 Giải Ba 
2022-2023 1 Giải Nhì, 1 Giải Ba 
 Đề tài này đã được các đồng nghiệp của các trường THPT Kim Liên, THPT Nam 
Đàn 1, THPT Thái Lão,.. sử dụng làm tài liệu giảng dạy và đem lại kết quả cao. 
PHẦN III. KẾT LUẬN 
Đề tài giúp học sinh có thể phát triển tư duy sáng tạo thông qua lời giải và phân 
tích những bài toán cực trị. Tạo hứng thú cho học sinh khá giỏi, cách tiếp cận khi gặp 
một bài toán mới. Là một dạng toán mức độ vận dụng và vận dụng cao nên đòi hỏi học 
sinh phải nắm được những tính chất trong hình học cũng như đại số. 
Đề tài cũng đã xây dựng được một dạng bài toán thường gặp trong kì thi học sinh 
giỏi. Qua đó giúp học sinh bình tĩnh hơn, có định hướng tốt hơn khi gặp dạng toán cực 
trị sử dụng đẳng thức có sẵn nói riêng và cực trị hình học không gian nói chung. 
Chuyên đề có thể áp dụng được cho học sinh 11 và 12. Tuy nhiên căn cứ vào 
từng đối tượng để sử dụng và khai thác, tăng giảm độ khó, để phù hợp với học sinh. 
Khi nói đến cực trị thì liên quan đến các đại lượng biến thiên, trong hình học 
không phải là một đại lượng mà có thể là hai hoặc ba nhưng chúng phải có thỏa mãn 
một đẳng thức nào đó. Việc xác định ra đẳng thức không phải dễ và không phải khi nào 
cũng dùng đẳng thức nên đề tài chỉ muốn giải quyết một số bài cực trị. 
Chúng tôi rất mong nhận được các ý kiến đóng góp để đề tài có thể hoàn thiện 
hơn nữa, 
Xin chân thành cảm ơn 
50 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
1. Đào Tam, “Phương pháp dạy học hình học ở trường THPT”, NXB Đại học Sư phạm 
(2004) 
2. Đào Tam, “Giáo trình hình học sơ cấp”, NXB Đại học Sư phạm (2004) 
3. Đỗ Thanh Sơn, “Một số chuyên đề Hình học không gian bồi dưỡng học sinh giỏi 
THPT”, NXB Giáo dục. 
4. Nguyễn Đề, “Các bài toán hình học hay có nhiều cách giải”. NXB Giáo dục 
5. Trần Phương – Nguyễn Đức Tấn, “Những sai lầm trong giải toán Phổ thông”, NXB 
Đại học Quốc Gia Hà Nội (2014) 
6. Phan Huy Khải, “Toán nâng cao hình học”, NXB Hà Nội (2002). 
7. Lê Hoành Phò, “Bồi dưỡng học sinh giỏi toán hình học 12”, NXB Đại học Quốc Gia 
Hà Nội (2012) 
8. Trần Minh Quang, “Phương pháp giải và bài giải 27 chủ đề toán hình học không 
gian”, NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội (2010) 
9. Lê Hồng Đức – Lê Hữu Trí, “Phương pháp giải toán hình học giải tích trong không 
gian”, NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội (2004) 
10. Võ Thanh Vân – Lê Hiền Dương – Nguyễn Ngọc Giang, “Chuyên đề ứng dụng 
Vectơ trong giải toán hình học không gian”, NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội (2010) 
51 
11. Đề thi học sinh giỏi tỉnh, thành phố lớp 11 & 12 
12. Internet 
PHỤ LỤC II 
KHẢO SÁT SỰ CẤP THIẾT VÀ TÍNH KHẢ THI CỦA CÁC GIẢI PHÁP ĐỀ 
XUẤT 
1. Mục đích khảo sát 
Xác định mức độ cần thiết và tính khả thi của 4 giải pháp trong đề tài: Phân tích 3 
bài toán tiền đề về cực trị không gian giúp học sinh phát triển năng lực giải quyết 
vấn đề toán học. Xuất phát từ cơ sở đánh giá đó để nghiên cứu phương án điều chỉnh 
nếu cần. 
2. Nội dung và phương pháp khảo sát 
2.1. Nội dung khảo sát 
Khảo sát mức độ cần thiết và tính khả thi của 4 biện pháp sau: 
- Biện pháp 1: Đưa ra bài toán số 1 và định hướng giải các bài toán cực trị trong 
không gian dựa vào bài toán số 1 
- Biện pháp 2: Đưa ra bài toán số 2 và định hướng giải các bài toán cực trị trong 
không gian dựa vào bài toán số 2 
- Biện pháp 3: Đưa ra bài toán số 3 và định hướng giải các bài toán cực trị trong 
không gian dựa vào bài toán số 3 
- Biện pháp 4: Đưa ra một số bài toán cực trị có thể sử dụng ba bài toán trên hoặc 
định hướng cho học sinh dùng đẳng thức hình học không gian để giải quyết 
2.2. Phương pháp khảo sát và thang đánh giá 
52 
Phương pháp được sử dụng để khảo sát là Trao đổi bằng bảng hỏi; với thang đánh 
giá 04 mức (tương ứng với điểm số từ 1 đến 4): 
Không cấp thiết 0 đến <1 Không khả thi 0 đến <1 
Ít cấp thiết 1 đến <2.5 Ít khả thi 1 đến <2.5 
Cấp thiết 2.5 đến <3.5 Khả thi 2 đến <3.5 
Rất cấp thiết >3.5 Rất khả thi >3.5 
Tính điểm trung bình X theo phần mềm Excel 
3. Đối tượng khảo sát 
Tổng hợp các đối tượng khảo sát 
TT Đối tượng Số lượng 
1 Giáo viên giảng dạy bộ môn Toán học trong trường 12 
2 Học sinh khối 12 10 
 4. Kết quả khảo sát về sự cấp thiết và tính khả thi của các giải pháp đã đề xuất 
4.1. Sự cấp thiết của các giải pháp đã đề xuất 
TT Các giải pháp Các thông số 
___ 
X 
Mức 
1 Đưa ra bài toán số 1 và định hướng giải các 
bài toán cực trị trong không gian dựa vào 
bài toán số 1 
3.6 Rất cấp 
thiết 
53 
2 Đưa ra bài toán số 2 và định hướng giải các 
bài toán cực trị trong không gian dựa vào 
bài toán số 2 
3.2 Cấp 
thiết 
3 Đưa ra bài toán số 3 và định hướng giải các 
bài toán cực trị trong không gian dựa vào 
bài toán số 3 
3.4 Cấp 
thiết 
4 Đưa ra một số bài toán cực trị có thể sử 
dụng ba bài toán trên hoặc định hướng cho 
học sinh dùng đẳng thức hình học không 
gian để giải quyết 
3.1 Cấp 
thiết 
Từ số liệu thu được ở bảng trên, có thể thấy: Hầu hết tất cả các biện pháp đều có 
cấp thiết, riêng biện pháp “Đưa ra bài toán số 1 và định hướng giải các bài toán cực trị 
trong không gian dựa vào bài toán số 1” là rất cấp thiết 
4.2. Tính khả thi của các giải pháp đề xuất 
TT Các giải pháp Các thông số 
___ 
X 
Mức 
1 Đưa ra bài toán số 1 và định hướng giải các 
bài toán cực trị trong không gian dựa vào 
bài toán số 1 
3.6 Rất khả 
thi 
2 Đưa ra bài toán số 2 và định hướng giải các 
bài toán cực trị trong không gian dựa vào 
bài toán số 2 
3.2 Khả thi 
3 Đưa ra bài toán số 3 và định hướng giải các 
bài toán cực trị trong không gian dựa vào 
bài toán số 3 
3.5 Rất khả 
thi 
54 
4 Đưa ra một số bài toán cực trị có thể sử 
dụng ba bài toán trên hoặc định hướng cho 
học sinh dùng đẳng thức hình học không 
gian để giải quyết 
3.1 Khả thi 
 Từ số liệu thu được ở bảng trên, có thể thấy: Hầu hết tất cả các biện pháp đều có 
tính khả thi trở lên.