Sáng kiến kinh nghiệm Phân dạng và định hướng phương pháp giải lớp các bài toán liên quan đến tỉ số thể tích của các khối đa diện

. Tính tỷ số thể tích .
.
A MNP
A BCD
V
V
 theo ; ;x y z . 
Lời giải: 
Ta có 0 0AM xAB AC AD 
    
. 
 0 0AN AB y AC AD 
    
 0 0AP AB AC zAD 
    
 1 2 3;0;0 ; 0; ;0 ; 0;0;a x a y a z 
   
, suy ra 1 2 3.k a a a 
   
= xyz . 
Vậy tỷ số .
.
A MNP
A BCD
V
xyz
V
 Trường hợp các điẻm ; ;M N Pnằm trên các cạnh ; ;AB AC AD thì 
.
.
A MNP
A BCD
V
xyz
V
 chính là tính chất 5. 
Bài toán 34. Cho tứ diện ABCD . Gọi Q là điểm thỏa mãn hệ thức: 
2 3 0QB QC QD 
   
. Gọi các điểm ; ;M N P thỏa mãn các hệ thức véc tơ: 
; 2 ; 2AM AB AC AN AC AD AP AD AB 
         
. Tính tỷ số thể tích 
.
.
Q MNP
A MNP
V
V
. 
40 
Định hướng. 
 Dùng bổ đề 1. Từ các hệ thức véc tơ bài toán cho ta biểu diễn véc tơ AQ
 
theo , ,AN AM AP
   
Lời giải. 
Theo giả thiết 2 3 0QB QC QD 
   
 2 3 0AB AQ AC AQ AD AQ 
      
, biết đổi tương đương ta được 
1 2 3
6 6 6
AQ AB AC AD 
    1 1 1
6 3 2
AB AC AD 
   
(*) 
Mặt khác: Từ hệ 3 đẳng thức vec tơ ;AM AB AC 
   
2 ;AN AC AD 
   
và đẳng 
thức 2AP AD AB 
   
, ta rút ra được 
1 2 1
3 3 3
AD AN AM AP 
    
 (1) 
2 1 1
3 3 6
AC AN AM AP 
    
 (2) 
2 4 1
3 3 6
AB AN AM AP 
    
 (3) 
Thế các kết quả , ,AD AC AB
   
 ở (1),(2),(3) vào đẳng thức (*) và rút gọn ta được 
1 1 1
6 3 2
AQ AB AC AD 
    
5 2 7
18 9 36
AN AM AP 
   
. 
Vì 
5 2 7 1
0
18 9 36 4
 nên AQ cắt MNP . Gọi I AQ MNP  , theo Bổ đề 1 
suy ra 
5 2 7 1
18 9 26 4
AQ AI AI
   
 Theo tính chất 1, ta suy ra
.
.
3
4
Q MNP
A MNP
V QI
V AI
41 
CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM TỰ ÔN LUYỆN 
Câu 1: Cho khối chóp .S ABCD đáy ABCD là hình vuông cạnh a ;
 SA a S Dv A Cà AB  . Gọi ', 'B D lần lượt là trung điểm ,SB SD . Mặt phẳng 
 ' 'AB D cắt SC tại 'C . Đặt . ' ' '
.
S AB C D
S ABCD
V
k
V
 , giá trị của k bằng 
 A. 
1
.
12
 B. 
1
.
3
 C. 
1
.
4
 D. 
1
.
6
Câu 2: Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành; ,M N lần 
lượt là trung điểm của SA và SB . Gọi 1 2,V V lần lượt là thể tích của các khối 
chóp .S MNCD và . .S ABCD Tỷ số 1
2
V
V
 bằng 
A. 
3
.
8
 B. 
2
.
3
 C. 
1
.
8
 D. 
3
.
4
Câu 3: Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, M là trung 
điểm của cạnh SC . Mặt phẳng P chứa AM và song song với BD lần lượt cắt 
các cạnh bên SB và SD tại N và Q . Tỷ số .
.
S ANMO
S ABCD
V
V
 bằng 
A. 
1
.
3
 B. 
1
.
6
 C. 
2
.
5
 D. 
1
.
4
Câu 4: Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Điểm I 
nằm trên cạnh SC sao cho 2IS IC . Mặt phẳng P chứa AI cắt các cạnh SB 
và SD lần lượt tại M và N . Gọi 'V và V lần lượt là thể tích của khối chóp 
.S AMIN và .S ABCD . Giá trị nhỏ nhất của tỷ số 
'V
V
 bằng 
A. 
4
.
5
 B. 
5
.
54
 C. 
8
.
15
 D. 
5
.
24
Câu 5: Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, điểm M 
thuộc cạnh SA, điểm N thuộc cạnh SD sao cho 
1 2
,
2 3
SM SN
SA SD
 . Mặt phẳng 
 thay đổi luôn chứa MN , cắt các cạnh SB và SC lần lượt tại Q và .P Biết 
thể tích của khối chóp .S ABCD bằng V , khi đó giá trị lớn nhất của thể tích 
khối chóp .S MNPQ bằng 
42 
A. .
4
V
 B. 
2
.
5
V
 C. 
3
.
8
V
 D. .
3
V
Câu 6: Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Điểm I 
nằm trên cạnh SC sao cho 2IS IC . Mặt phẳng P chứa cạnh AI cắt các 
cạnh SB và SD lần lượt tại M và N . Gọi 'V và V lần lượt là thể tích của khối 
chóp .S AMIN và .S ABCD . Giá trị nhỏ nhất của tỷ số 
'V
V
 bằng. 
A. 
4
.
5
 B. 
5
.
54
 C. 
8
.
15
 D. 
5
.
24
Câu 7: Cho khối chóp .S ABC có G là trọng tâm tam giác SBC . Đường thẳng 
d đi qua G , cắt các cạnh ,SB SC lần lượt tại M và .N Gọi 1,V V lần lượt là thể 
tích của các khối chóp .S AMN và .S ABC . Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ 
nhất của tỷ số 1
V
V
 bằng 
A. 
17
.
18
 B. 
21
.
22
 C. 
37
.
33
 D. 
10
.
9
Câu 8: Cho khối chóp .S ABCD đáy ABCD là hình vuông cạnh a .
 SA a S Dv A Cà AB  . Gọi ', 'B D lần lượt là trung điểm ,SB SD . Mặt phẳng 
 ' 'AB D cắt SC tại 'C . Đặt . ' ' '
.
S AB C D
S ABCD
V
k
V
 , giá trị của k bằng. 
A. 
1
.
12
 B. 
1
.
3
 C. 
1
.
4
 D. 
1
.
6
Câu 9: Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. ,M N lần 
lượt là trung điểm của SA và SB . Gọi 1 2,V V lần lượt là thể tích của các khối 
chóp .S MNCD và . .S ABCD Ttỷ số 1
2
V
V
 bằng. 
A. 
3
.
8
 B. 
2
.
3
 C. 
1
.
8
 D. 
3
.
4
Câu 10: Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, gọi M là 
trung điểm của cạnh SC . Mặt phẳng P chứa AM và song song với BD lần 
lượt cắt các cạnh bên SB và SD tại N và Q . Tỷ số .
.
S ANMO
S ABCD
V
V
 bằng. 
43 
A. 
1
.
3
 B. 
1
.
6
 C. 
2
.
5
 D. 
1
.
4
 Câu 11: Cho chóp .S ABC . Trên các cạnh , ,SA SB SC lần lượt lấy các điểm 
, ,A B C . Gọi G là trọng tâm tam giác ABC và SG cắt A B C tại G . Khi đó 
' ' '
SA SB SC
SA SB SC
 bằng 
A. 
3
.
'
SG
SG
 B. 
'
.
SG
SG
 C. 
2
.
'
SG
SG
 D. 
3 '
.
SG
SG
Câu 12: Cho khối lăng trụ .ABC A B C . Gọi ,M N lần lượt là trung điểm của 
hai cạnh AA và BB . Mặt phẳng CMN chia khối lăng trụ đã cho thành hai 
phần. Đặt 1V là thể tích của khối chóp '. ' 'C MNB A và 2V là thể tích của khối đa 
diện . 'ABC MNC . Tỷ số 1
2
V
V
 bằng 
A. 
2
.
3
 B. 2. C. 
1
.
2
 D. 
3
.
2
Câu 13:Cho khối lăng trụ .ABC A B C có thể tích bằng V . Các điểm , ,M N P 
lần lượt thuộc các cạnh , ,AA BB CC sao cho 
1 2
,
' 2 ' ' 3
AM BN CP
AA BB CC
 . Thể 
tích của khối đa diện .ABC MNP bằng 
A. 
2
.
3
V B. 
9
.
16
V C. 
20
.
27
V D. 
11
.
18
V 
Câu 14:Cho khối lăng trụ đều .ABC A B C . Gọi I là trung điểm của 'AA . Mặt 
phẳng 'IB C chia khối lăng trụ thành hai phần: phần chứa đỉnh ,A B có thể tích 
bằng 1V và phần còn lại có thể tích bằng 2V . Tỉ số 
1
2
V
V
 bằng 
A. 1. B. 
2
.
3
 C. 
1
.
3
 D. 
1
.
2
Câu 15 :Cho hình hộp .ABCD A B C D . Trên các cạnh , ,AA BB CC lần lượt 
lấy ba điểm , ,M N P sao cho 
' 1 ' 2 ' 1
; ;
' 3 ' 3 ' 2
A M B M C P
AA BB CC
 . Biết mặt phẳng 
 MNP cắt cạnh 'DD tạiQ . Tỉ số 
'
'
D Q
DD
 bằng 
44 
A. 
1
.
6
 B. 
1
.
3
 C. 
5
.
6
 D. 
2
.
3
Câu 16: Cho hình hộp chữ nhật .ABCD A B C D . Trên các cạnh , ,AA BB CC 
lần lượt lấy ba điểm , ,X Y Z sao cho 2 , , 3AX A X BY B Y CZ C Z . Mặt 
phẳng XYZ cắt cạnh 'DD tại điểmT . Tỉ số thể tích của khối .XYZT ABCD và 
khối .XYZT A B C D bằng 
A. 
7
.
24
 B. 
7
.
17
 C. 
17
.
7
 D. 
17
.
24
Câu 17: Cho hình lập phương .ABCD A B C D có cạnh bằng a . Mặt phẳng 
 cắt các cạnh , ,AA BB CC và DD lần lượt tại , , ,M N P Q . Biết 
1 2
,
3 5
AM a CP a . Thể tích của khối đa diện .ABCD MNPQ bằng 
A. 3
11
30
a . B. 
3
3
a
. C. 
32
3
a
. D. 3
11
15
a 
Câu 17: Cho khối lập phương .ABCD A B C D . Mặt phẳng đi qua A cắt 
các cạnh , ,BB CC DD lần lượt tại , ,M N P sao cho phần thể tích của khối đa 
diện chứa đỉnh B bằng một nửa thể tích của khối đa diện còn lại. Tỉ số 
CN
CC 
bằng 
A. 
3
.
4
 B. 
1
.
2
 C. 
2
.
3
 D. 
3
.
2
Câu 18: Cho khối lăng trụ .ABC A B C có thể tích bằng V . Các điểm , ,M N P 
lần lượt thuộc các cạnh , ,AA BB CC sao cho 
1 2
,
' 2 ' ' 3
AM BN CP
AA BB CC
 . Thể 
tích của khối đa diện .ABC MNP bằng. 
A. 
2
.
3
V B. 
9
.
16
V C. 
20
.
27
V D. 
11
.
18
V 
BẢNG ĐÁP ÁN 
1.D 2.A 3.A 4.C 5.D 6.C 7.A 8.D 9.A 10.A 
11.A 12.C 13.D 14.A. 16.B 17.A 17.C 18.D 
45 
PHẦN III: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 
1. MỤC ĐÍCH THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 
 Tiến hành thực nghiệm sư phạm tại trường phổ thông nhằm giải quyết các 
vấn đề sau : 
Đánh giá hiệu quả của việc sử dụng phương pháp đổi mới hoạt động khởi 
động bài học trong chương II phần hình học không gian lớp 12 thông qua đó mà 
phát triển tư duy cho HS ở trường THPT. 
Đối chiếu kết quả của lớp thực nghiệm với kết quả của lớp đối chứng để 
đánh giá khả năng áp dụng biện pháp đã đề xuất vào quá trình dạy học chủ tỉ lệ 
thể tích khối đa diện 
2. NỘI DUNG THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 
 Dùng hệ thống bài tập trắc nghiệm hình học để đánh giá mức độ tiếp thu 
của HS và từ đó phát triển năng lực giải quyết vấn đề, tư duy, năng lực suy nghĩ 
logic, sáng tạo. 
3. PHƯƠNG PHÁP THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 
 Tôi chọn tiến hành thực nghiệm sư phạm tại 2 lớp 12A2 và 12A3 năm học 
2021 - 2022 vì 2 lớp này tương đương nhau về các mặt: 
+ Chất lượng học tập bộ môn Toán học khá như nhau. 
+ Cùng 1 giáo viên từng giảng dạy, riêng lớp 12A2 tôi đã theo dạy 2 năm (lớp 
10 và lớp 11 hiên tại) 
Cụ thể tình hình 2 lớp chọn trước khi thực nghiệm sư phạm là như sau: 
a. Đặc điểm về học lực học kỳ 1 
 12A2 12A3 
Khá - Giỏi 32 (80%) 24 (67,6%) 
Trung bình 6 (14,3%) 9 (24,3%) 
Yếu 2 (5,7%) 2 (8,1%) 
b. Đặc điểm về chất lượng môn Toán học kỳ 1 
 12A2 12A3 
Khá - Giỏi 26 (65,7%) 20 (56,7%) 
Trung bình 10 (25,7%) 12 (35,1%) 
Yếu 4 (8,6%) 3 (8,8%) 
46 
Tôi tiến hành thực nghiệm sư phạm theo phương pháp đối chứng: 
- Lớp 12A2, phân loại và định hướng phương pháp giải các bài toán liên 
quan đến tỉ số thể tíchh; lớp 12A3, tôi sẽ giảng dạy thông thường. 
Ban đầu tôi sẽ kiểm tra trước thực nghiệm để xem xét học lực của hai lớp 
để kiểm tra hai lớp có tương đương nhau hay không. 
Sau đó tiến hành giảng dạy và kiểm tra các bài theo hướng chú trọng rèn 
luyện tư duy tương tự hóa và sáng tạo, và dạy theo phương pháp thông thường 
đối với lớp đối chứng. 
4. KẾT QUẢ THỰC NGHIỆM 
4.1. XỬ LÝ SỐ LIỆU TRƯỚC THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 
Sau khi tiến hành kiểm tra trước thực nghiệm sư phạm, kết quả kiểm tra 
được xem là yếu tố hàng đầu để khẳng định lớp thực nghiệm và đối chứng là 
tương đương nhau giữa các lớp được chọn. Kết quả bài kiểm tra của các lớp 
trình bày trong bảng số liệu sau: 
Bảng 1: Bảng phân phối của bài kiểm tra trước khi thực nghiệm 
Lớp 
Tổng 
số 
Số học sinh đạt điểm 
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
Đối chứng 
(12A3) 
35 0 0 0 2 3 7 8 10 2 2 1 
Thực nghiệm 
(12A2) 
40 0 0 2 2 3 5 11 13 3 1 1 
Bảng 2: Điểm trung bình của bài kiểm tra trước thực nghiệm 
Lớp Điểm Trung Bình 
Đối chứng (12A3) 6,14 
Thực nghiệm (12A2) 6,17 
 Sử dụng các phương pháp kiểm định sự khác nhau giữa hai trung bình 
cộng (kiểm định – student) để xác định giả thuyết sự khác biệt về điểm kiểm tra 
của học sinh 2 lớp là không có nghĩa. Nghĩa là sự khác nhau giữa trung bình 
cộng của 2 lớp học sinh là không có ý nghĩa về mặt thống kê, nói cách khác 2 
lớp học sinh được chọn để tiến hành thực nghiệm là tương đương nhau về mặt 
học tập. 
47 
4.2. XỦ LÝ SỐ LIỆU SAU THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 
a. Kết quả: 
Trên cơ sở kiểm tra lần một mà tôi lập bảng phân phối kết quả như sau: 
Bảng 3: Bảng phân phối sau khi thực nghiệm 
Điểm số Xi 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
TN 
12A2 
Số 
HS 
0 0 0 0 1 7 7 9 10 3 3 
Số 
% 
HS 
0 0 0 0 2,5 17,5 17,5 22,5 25 7,5 7,5 
ĐC 
12A3 
Số 
HS 
0 0 0 2 1 4 6 8 10 2 2 
Số 
% 
HS 
0 0 0 
5,
7 
2,9 11,4 17,1 22,9 28,6 5,7 5,7 
Bảng 4: Điểm trung bình của bài kiểm tra sau thực nghiệm 
Lớp Điểm Trung Bình 
Đối chứng (12A3) 6,37 
Thực nghiệm (12A2) 7,03 
Nguyên tắc phân loại: 
 + Khá – Giỏi: Từ 7 điểm trở lên. 
 + Trung bình: Từ 5 tới 6 điểm. 
 + Yếu kém: Dưới 5 điểm. 
48 
Qua đó ta có bảng phân phối chất lượng học sinh như sau: 
Bảng 4: Bảng phân phối chất lượng học sinh. 
 Xếp loại 
 Lớp 
Khá – Giỏi Trung bình Yếu 
Đối chứng (12A3) 22 10 3 
Thực nghiệm (12A2) 25 14 1 
b. Đồ thị phân phối số liệu 
Để có hình ảnh trực quan về số liệu tôi biểu diễn bảng phân phối số liệu 
trên bằng đồ thị sau (còn gọi là đường lũy tích): 
Nguyên tắc xác định đường: 
+ Cột biểu diễn % số HS đạt điểm Xi. 
+ Hàng biểu diễn số điểm Xi. 
+ Nếu đường lũy tích ứng với đơn vị nào càng ở bên phải thì đơn vị đó có 
chất lượng tốt hơn. 
Đồ thị phân bố điểm kiểm tra
0
5
10
15
20
25
30
35
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Điểm số
%
 t
ỉ 
lệ
 h
ọ
c
 s
in
h
12A3
12A2
49 
4.3. HIỆU QUẢ CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM VỚI HỌC SINH, 
ĐỒNG NGHIỆP, BẢN THÂN, NHÀ TRƯỜNG 
Từ những số liệu thực nghiệm thu được của lần kiểm tra. Qua xử lý bằng 
toán học thống kê ta có những nhận xét sau: 
+ Giá trị trung bình X thực nghiệm lớn hơn X đối chứng. Cho thấy kết 
quả của lớp thực nghiệm 12A2 cao hơn của lớp đối chứng 12A3. 
+ Đường lũy tích của lớp 12A2 chủ yếu nằm phía bên phải lớp 12A3. Cho 
ta thấy chất lượng lớp thực nghiệm cao hơn lớp đối chứng. Đặc biệt là những 
đoạn điểm từ 8 trở lên. 
Trong quá trình giảng dạy, tôi nhận thấy rằng: sau khi đưa ra hệ thống bài 
tập trên, học sinh đã biết vận dụng phương pháp linh hoạt vào các bài toán khác 
nhau, từ đơn giản đến phức tạp. Học sinh không còn tâm lý e ngại khi gặp các 
bài toán này nữa. Mặt khác, hiệu quả áp dụng tương đối cao, bài giải trở nên 
sáng sủa, ngắn gọn. Hầu hết các em vận dụng tốt và giải quyết nhanh được các 
câu hỏi trắc ngiệm loại này. 
Một hiệu quả nữa mà tôi nhận thấy là những học sinh của mình sau khi 
đọc tài liệu này đã nhìn các bài toán tỉ số thể tích với con mắt “ bớt sợ” hơn. 
Những em khá, ham tìm tòi cũng đã manh nha nghiên cứu những bài toán hình 
học khác để thử áp dụng cho các bài toán liên quan đến tỉ số thể tích khác. 
Tuy vậy vẫn còn một bộ phận học sinh do những kiến thức còn hạn chế 
nên vẫn chưa thấy được điểm mạnh của phương pháp, và vận dụng vẫn chưa 
linh hoạt ở các dạng. 
50 
PHẦN IV: KẾT LUẬN 
1. KẾT LUẬN 
Trong sáng kiến này tôi đã hệ thống được các tính chất thường dùng trong các 
bài toán liên quan đến tỷ số thể tích, nêu được hai bổ đề và vận dụng các bổ để 
đó tính tỷ số thể tích của các khối đa diện, Xây dựng phương pháp sử dụng bổ 
đề 2. 
Trong quá trình dạy học luôn chú trọng hình thành các năng lực toán cho học 
sinh, coi trọng tính lôgic của khoa học toán học chú ý đến cách tiếp cận dựa trên 
vốn kinh nghiệm và trải nghiệm của học sinh. 
 Đã hệ thống hóa, phân dạng, định hướng, nêu được các thuật giải cho các 
dạng toán; bài tập được khái quát hóa theo tiến trình nhận thức của học sinh. 
 Đề tài có thể được xây dựng và phát triển thành hệ thống cá bài toán về tỷ số 
thể tích của các khối đa diện, là tài liêu tham khảo cho giáo viên và học sinh. 
Đã tổ chức thực nghiệm sư phạm để minh họa tính khả thi và hiệu quả của 
những biện pháp sư phạm được đề xuất. 
2. ĐỀ XUẤT VÀ KIẾN NGHỊ 
Trong quá trình dạy học giáo viên cần chú trọng xây dụng bài giảng thành 
hệ thống những bài tập có phương pháp giải và quy trình giải toán; xây dựng bài 
tập từ dễ đến khó; xây dựng bài tập theo hướng tổng quát hóa, khái quát hóa; 
chú trọng hơn việc sáng tạo các phương pháp giải toán. 
Phát triển và nhân rộng những đề tài có ứng dụng thực tiễn cao, đồng thời 
viết thành những bộ sách tham khảo cho giáo viên và học sinh. 
 Cửa lò, ngày 1/4/2022 
Tác giả 
Nguyễn Hữu Phú