Sáng kiến kinh nghiệm Nâng cao năng lực tự học và phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh lớp 12 thông qua dạy học chủ đề “cực trị của hàm số”

àm trên và có bảng xét dấu của 
 y f x như sau 
Hỏi hàm số 2 2g x f x x có bao nhiêu điểm cực tiểu ? 
 A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. 
Hướng dẫn giải 
 Điều làm HS gặp khó khăn ở bài toán này là từ bảng xét dấu của '( )y f x , 
tìm nghiệm của phương trình '( )g x và xét dấu '( )g x . Ta hướng dẫn HS thực hiện 
như sau 
Ta có 22 2 2 ;g x x f x x 
Bảng biến thiên 
2 2
1 1 1
AB AC
3
1
9
m 
3
1
9
m 
2
theo BBT '
2 2
2
1
2 2 0 2 2
0
2 0 2 1 nghiem kep
2 3
1
1 2 nghiem kep
.
1
3
f x
x
x x x
g x
f x x x x
x x
x
x
x
x
  
36 
Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án, ta chọn A. 
Chú ý: Dấu của g x được xác định như sau: Ví dụ xét trên khoảng 3; 
 3; 2 2 0.x x 1 
 theo BBT '2 23; 2 3 2 0.f xx x x f x x  2 
Từ 1 và 2 , suy ra 22 2 2 0g x x f x x trên khoảng 3; nên 
 g x mang dấu Nhận thấy các nghiệm 1x và 3x là các nghiệm bội lẻ 
nên g x qua nghiệm đổi dấu. 
Ví dụ 2. (Câu 46 đề MH 2021) Cho f x là hàm số bậc bốn thỏa mãn 0 0.f 
Hàm số 'f x có bảng biến thiên như sau: 
Hàm số 3 3g x f x x có bao nhiêu điểm cực trị? 
 A. 3. B. 5. C. 4. D. 2. 
Hướng dẫn giải 
 Ở ví dụ này, mức độ khó khăn đã được nâng lên, hàm số vừa chứa dấu giá trị 
tuyệt đối, trong dấu giá trị tuyệt đối lại là hàm hợp. Để giảm bớt sự khó khăn, ta 
cần hướng dẫn HS đặt ẩn phụ. 
 Xét hàm số 3 3h x f x x ta có 2 3' 3 ' 3.h x x f x 
Cho 
Đặt 23 23 3t x x t x t ta có 
Xét hàm số ta có 
 2 3 2 3 3 21' 0 3 ' 3 0 ' 1 0 ' .h x x f x x f x f x x 
 2
3
1' * .f t
t
 23
1k t
t
37 
BBT: 
t 0 
 'k t 
 k t 
 0 0 
Khi đó ta có đồ thị hàm số: 
Dựa vào đồ thị ta thấy 
 3 3* 0 .t a x a x a 
 Hàm số 3 3h x f x x có 1 điểm cực trị. 
BBT: 
x 0 3 a 
 'h x 0 
 h x 
 3h a 
Dựa vào BBT ta thấy 3 0 0 0.h a h f Do đó phương trình 0h x có 
2 nghiệm phân biệt. 
Vậy hàm số g x h x có tất cả 3 điểm cực trị. Chọn A 
2 5 
3 3
53
2 2 1' . . .
3 3
k t t k t t
t
38 
Ví dụ 3. Cho hàm số y f x có đạo hàm 2 21 2 5f x x x x mx với 
mọi .x Có bao nhiêu số nguyên 10m để hàm số g x f x có 5 điểm 
cực trị ? 
 A. 6. B. 7. C. 8. D. 9. 
Hướng dẫn giải 
 Do tính chất đối xứng qua trục Oy của đồ thị hàm số f x nên yêu cầu bài 
toán f x có 2 điểm cực trị dương. * 
Xét 
2
2 2
0 0
0 1 0 1 .
2 5 0 2 5 0 1
x x
f x x x
x mx x mx
Do đó * 1 có hai nghiệm dương phân biệt 
 10 9; 8; 7; 6; 5; 4; 3 .mm m  Chọn B. 
Ví dụ 4. Cho hàm số y f x có đồ thị như hình 
bên. Hàm số 2( ) ( 3 )g x f x x có bao nhiêu 
điểm cực đại ? 
A. 3. B. 4. C. 5 D. 6. 
Hướng dẫn giải. 
 Với ví dụ này, chúng ta cần đặt câu hỏi để HS hiểu và tìm được nghiệm của 
 'f x từ đồ thị hàm số y f x (chính là hoành độ các điểm cực trị) 
Ta có 22 3 . 3 ;g x x f x x 
Bảng biến thiên 
2 5 0
2 0 5
5 0
m
S m m
P
 theo do thi 2
2
2
3
3
2
22 3 0 3 170 3 2 .
3 0 2
3 0 0
3
f x
x
x
x
g x x x x
f x x
x x x
x
  
39 
Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án, ta chọn A. 
Chú ý: Dấu của g x được xác định như sau: 
Ví dụ chọn 
 2 3 5 0.x 1 
 theo do thi 2 3 4 4 0f xx x f  ( vì f đang tăng). 2 
Từ 1 và 2 , suy ra 22 3 3 0g x x f x x trên khoảng 
Ví dụ 5. Cho hàm số bậc bốn y f x có đồ thị hàm số như hình vẽ bên dưới 
Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số ( )g x f x m có 5 điểm cực trị. 
 A. 2 2.m B. 2.m C. 2.m D. 
2
.
2
m
m
Hướng dẫn giải. 
Vì hàm f x đã cho có 3 điểm cực trị nên f x m cũng luôn có 3 điểm cực 
trị. 
Do đó yêu cầu bài toán số giao điểm của đồ thị f x m với trục hoành là 2. 
Để số giao điểm của đồ thị f x m với trục hoành là 2, ta cần tịnh tiến đồ thị 
 f x xuống dưới ít nhất 2 đơn vị (bằng 2 đơn vị vẫn được vì khi đó điểm cực trị 
trùng với điểm chung của đồ thị với trục hoành nên ta chỉ tính một lần) 
2 2.m m Chọn C. 
3 174 ;
2
x
3 17 ; .
2
40 
Ví dụ 6. Cho hàm số y f x liên tục trên và có bảng biến thiên như hình vẽ 
sau 
Hỏi số điểm cực trị của hàm số g x f x nhiều nhất là bao nhiêu ? 
A. 5. B. 7. C. 11. D. 13. 
Hướng dẫn giải. 
Ta có đồ thị hàm số y f x có điểm cực tiểu nằm bên phải trục tung nên đồ thị 
hàm số cắt trục hoành tại tối đa 2 điểm có hoành độ dương. Khi đó 
 Đồ thị hàm số f x cắt trục hoành tối đa 4 điểm. 
 Hàm số f x có 3 điểm cực trị. 
Suy ra hàm số g x f x sẽ có tối đa 7 điểm cực trị. Chọn B. 
Nhận thấy các nghiệm của phương trình 0g x là các nghiệm bội lẻ nên g x 
qua nghiệm đổi dấu. 
IV. HIỆU QUẢ CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 
1. Kết quả từ thực tiễn 
 Ban đầu học sinh gặp rất nhiều khó khăn khi học chủ đề cực trị của hàm số, 
bởi vì đây là một chủ đề khó. Học sinh không định hình được trong chủ đề có 
những dạng bài tập nào, những phương pháp giải nào và phải bắt đầu học từ đâu, 
lập kế hoạch và thực hiện kế hoạch như thế nào? Sau khi giáo viên hướng dẫn cụ 
thể cách lập kế hoạch và từng bước thực hiện kế hoạch học tập một cách bài bản, 
chi tiết, đi từ đơn giản đến phức tạp, từ dễ đến khó, thì học sinh đã rất hứng thú học 
tập môn Toán, đồng thời năng lực tự học và tư duy sáng tạo cũng được nâng cao 
lên rất nhiều. Thời gian các em tự học ở nhà cũng nhiều hơn. Và đặc biệt là hiệu 
quả học tập nâng lên rõ rệt được thể hiện ở kết quả khảo sát thực nghiệm 
2. Kết quả từ thực nghiệm sư phạm 
a) Mục đích của thực nghiệm sư phạm: 
41 
Thực nghiệm sư phạm nhằm đánh giá giả thuyết khoa học của đề tài “Nâng 
cao năng lực tự học và phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh lớp 12 thông 
qua dạy học chủ đề Cực trị của hàm số” nhằm tích cực hoá hoạt động của học 
sinh, nâng cao năng lực tự học và phát triển tư duy sáng tạo cho HS từ đó nâng cao 
chất lượng dạy học THPT. Cụ thể để trả lời các câu hỏi sau: 
+) Đề tài có giúp được học sinh có kĩ năng tự học tốt hơn hay không? 
+) Đề tài có tạo được hứng thú cho học sinh trong quá trình học và tự học hay 
không? 
+) Đề tài có góp phần phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh không? 
+) Đề tài có góp phần nâng cao kết quả học tập (thông qua việc làm các bài kiểm 
tra) hay không? 
b) Đối tượng và thời gian thực nghiệm sư phạm: 
* Đối tượng: Học sinh lớp 12 trường THPT Bắc Yên Thành 
* Thời gian thực nghiệm: Từ tháng 9 năm 2021 đến tháng 12 năm 2021. 
c) Kết quả của thực nghiệm sư phạm: 
*Mô tả quá trình dạy thực nghiệm: 
- Ở lớp thực nghiệm, không khí học tập sôi nổi hẳn lên, các em tích cực trao 
đổi, tranh luận, phát biểu ý kiến xây dựng. Các em có kế hoạch học tập rõ ràng cho 
chủ đề và rất hứng thú để thực hiện kế hoạch. 
- Ở lớp đối chứng không khí học tập trầm hơn, các em còn bối rối khi được 
hỏi về kế hoạch học tập cho chủ đề và khả năng tự học để thực hiện kế hoạch còn 
nhiều hạn chế. 
- Nhìn chung, khi ứng dụng đề tài vào quá trình dạy học, giáo viên dễ dàng 
thực hiện. Về phía học sinh, đa số đều có khả năng thích ứng tốt, học tập sôi nổi 
đầy hứng thú 
- Đề tài được triển khai ở học sinh lớp 12 từ trung bình đến khá giỏi. Trong 
giảng dạy, các bài tập vận dụng của đề tài được sắp xếp từ dễ đến khó theo trình tự 
nội dung. Nên đề tài dể dàng áp dụng cho nhiều đối tượng học sinh lớp 12. 
 *Sau khi tiến hành dạy thực nghiệm và khảo sát đã thu được các kết quả 
như sau 
42 
Bảng 1: Điều tra thời gian học ở nhà trên 1 ngày sau khi thực hiện sáng kiến 
Trường Lớp Sĩ số 
Trên 3 
giờ/ngày 
Từ 1 đến 3 
giờ Dưới 1 giờ 
SL Tỷ lệ SL Tỷ lệ SL Tỷ lệ 
THPT 
Bắc Yên 
Thành 
12A3(lớp thực 
nghiệm) 41 32 78% 9 22% 0 0% 
12A4(lớp đối 
chứng) 42 20 47,6% 16 38,1% 5 14,3% 
Bảng 2: Điều tra độ hứng thú của học sinh trong thời gian tự học sau khi thực 
hiện sáng kiến 
Trường Lớp Sĩ số 
Hứng thú cao Bình thường Không hứng thú 
SL Tỷ lệ SL Tỷ lệ SL Tỷ lệ 
THPT 
Bắc Yên 
Thành 
12A3(lớp thực 
nghiệm) 41 40 97,6% 1 2,4% 0 0% 
12A4(lớp đối 
chứng) 42 22 52,4% 5 
11,9
% 15 35,7% 
Bảng 3: Điều tra tỉ lệ học sinh ở các mức độ: Giỏi, khá, trung bình, yếu sau 
khi làm bài tập khảo sát 
Trường Lớp Sỹ số 
Giỏi(Từ 8-
10 điểm) 
Khá (Từ 6,5 
đến dưới 8 
điểm) 
Trung bình 
(Từ 5 đến 
dưới 6,5 
điểm) 
Yếu 
(Dưới 5 
điểm) 
SL Tỷ lệ SL Tỷ lệ SL Tỷ lệ SL Tỷ lệ 
THPT 
Bắc Yên 
Thành 
12A3 
(lớp thực 
nghiệm) 
41 22 53,7% 10 24,4% 9 21,9% 0 0% 
12A4 
(lớp đối 
chứng) 
42 4 9,5% 13 31% 15 35,7% 10 
14,3
% 
43 
 Qua các số liệu thống kê ở một số lớp ta thấy học sinh học tập hứng thú hơn 
hẳn. Thời gian tự học ở nhà cũng được tăng lên. Tỉ lệ học sinh đạt mức khá – giỏi 
ở lớp thực nghiệm cao hơn hẳn so với lớp đối chứng. Điều này cho thấy sau khi 
được giáo viên hướng dẫn và rèn luyện các kỹ năng tự học thông qua dạy học chủ 
đề cực trị của hàm số thì học sinh học tập hiệu quả hơn. Tư duy và khả năng sáng 
tạo được phát triển tốt hơn, các kĩ năng tự học được nâng cao, qua đó vừa phát huy 
được kĩ năng tự học vừa phát huy được tính tích cực và sáng tạo của học sinh, từ 
đó góp phần nâng cao chất lượng dạy học cũng như phát triển được năng lực tự 
học cho học sinh. 
44 
PHẦN III. KẾT LUẬN 
1. Kết luận 
Nghiên cứu nâng cao năng lực tự học và phát triển tư duy sáng tạo cho học 
sinh khối 12 thông qua dạy học chủ đề cực trị của hàm số đã thực sự có ý nghĩa rất 
to lớn trong quá trình dạy học. Vì vậy, áp dụng sáng kiến này sẽ giúp học sinh yêu 
thích môn học hơn, khuyến khích được tính tích cực, chủ động, sáng tạo của học 
sinh đồng thời rèn luyện và phát triển năng tự học cho học sinh tốt hơn. Từ đó học 
sinh có kỹ năng tự học tốt hơn - là con đường chinh phục tri thức hiệu quả nhất. 
Học sinh học tập chủ động hơn, có năng lực tư duy, suy nghĩ tích cực hơn nên tự 
học, tự tìm tòi kiến thức và đạt được kết quả cao hơn trong quá trình học tập. 
2. Kiến nghị và đề xuất 
a. Đối với giáo viên: 
 Trong quá trình dạy học, nên chủ động đổi mới phương pháp dạy học, cần 
chú trọng nâng cao năng lực tự học và phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh. Dạy 
học sinh biết cách tự học và có khả năng tự học tốt để học sinh có thể chinh phục 
các đỉnh cao tri thức của nhân loại 
b. Đối với học sinh: 
 Cần phải có mục tiêu rõ ràng sau khi học xong cấp 3 và cần chủ động tích 
cực hơn trong học tập, cần cố gắng nhiều hơn để đạt được mục tiêu đề ra, luôn cố 
gắng hoàn thành tốt các nhiệm vụ thầy cô giao. Tích cực nghiên cứu tài liệu, tìm 
tòi học hỏi và luôn nhớ rằng thời gian và khả năng tự học ở nhà vô cùng quan 
trọng trên con đường học tập để đạt kết quả cao trong kỳ thi. 
c. Đối với nhà trường: 
 Nâng cao năng tự học và phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh luôn luôn là 
vấn đề xuyên suốt trong cả quá trình dạy học. Đổi mới phương pháp dạy học phải 
luôn chú trọng rèn luyện kĩ năng tự học cho học sinh. Vì vậy, nhà trường cần tạo 
điều kiện để tổ chuyên môn tổ chức các buổi học tập chuyên đề để nâng cao kiến 
thức chuyên môn, để đổi mới phương pháp dạy học, góp phần nâng cao hiệu quả 
dạy học trong nhà trường. 
 Cần mua thêm tài liệu tham khảo để giáo viên và học sinh được nghiên cứu 
và học tập 
Tạo điều kiện để giáo viên được giao lưu, học hỏi nhiều hơn với các trường 
bạn trên địa bàn để trau dồi chuyên môn. 
Trên đây là nội dung đề tài sáng kiến kinh nghiệm của chúng tôi. Những gì 
chúng tôi trình bày trong đề tài là sự nghiên cứu tìm tòi và vận dụng vào thực tiễn 
trong suốt quá trình dạy học và đã mang lại những hiệu quả rất thiết thực góp phần 
rèn luyện kĩ năng tự học cho học sinh nhằm nâng cao chất lượng dạy học. Đề tài 
45 
này chúng tôi đã áp dụng khi dạy cho học sinh lớp 12, và thực sự đã tạo được niềm 
hứng thú, say mê cho các em trong quá trình học tập, đã rèn luyện cho các em 
những kĩ năng tự học cần thiết, giúp các em biết cách tự học và tự học có hiệu quả. 
Tuy nhiên, đề tài nghiên cứu không thể tránh được những thiếu sót. Chúng tôi rất 
mong nhận được những sự góp ý từ các bạn đồng nghiệp, Hội đồng khoa học các 
cấp và bạn bè chia sẻ, bổ sung để đề tài hoàn thiện hơn. 
Chúng tôi xin chân thành cảm ơn! 
46 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
1. Phan Đức Chính, Vũ Dương Thụy, Đào Tam, Lê Thống Nhất (2001), Các bài 
giảng luyện thi môn toán, Nxb Giáo dục, Hà Nội. 
2. Phan Đức Chính, Phạm Văn Điều, Đỗ Văn Hà, Phạm Văn Hạc, Phạm Văn 
Hùng, Phạm Đăng Long, Nguyễn Văn Mậu, Đỗ Thanh Sơn, Lê Đình Thịnh 
(1997), Một số phương pháp chọn lọc giải các bài toán sơ cấp, Nxb Giáo dục, 
Hà Nội. 
3. Hoàng Chúng (1978), Phương pháp dạy học toán, Nxb Giáo dục, Hà Nội. 
4. Sách Bồi dưỡng chuyên đề Hàm số của nhóm tác giả Cự môn. 
5. Nguyễn Bá Kim, Vũ Dương Thụy (1992), Phương pháp dạy học môn toán. Nxb 
Giáo dục, Hà Nội. 
6. Polya G (1997), Giải bài toán như thế nào? Nxb Giáo dục, Hà Nội. 
7. Đào Tam (2000), “Bồi dưỡng học sinh giỏi ở trường phổ thông, năng lực huy 
động kiến thức trong giải bài toán", Nghiên cứu giáo dục. 
8. Nguyễn Cảnh Toàn (1997), Phương pháp luận duy vật biện chứng với việc học, 
dạy, nghiên cứu toán học, Nxb Đại học quốc gia, Hà Nội. 
9. Ban tổ chức kỳ thi Olympic 30-4, Tuyển tập đề thi Olympic 30-4 môn Toán 
10. Một số tạp chí Giáo dục và báo Toán học tuổi trẻ. 
11. Một số đề thi chọn học sinh giỏi các tỉnh các năm. 
12. Một số đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi, đề thi TN THPT, thi thử TN THPT 
của các trường THPT trong cả nước. 
47 
PHỤ LỤC 
Câu hỏi 1: Thời gian tự học ở nhà của em là bao nhiêu giờ trên một ngày? 
Trên 3 giờ Từ 1 đến 3 giờ Dưới 1 giờ 
Câu hỏi 2: Em có cảm thấy hứng thú trong thời gian tự học ở nhà hay không? 
Hứng thú cao Bình thường Không hứng thú 
Câu hỏi 3: Bài kiểm tra khảo sát: 
Câu 1.Cho hàm số ( )y f x . Hàm số '( )y f x có đồ thị như hình vẽ: 
Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng? 
A. Đồ thị hàm số ( )y f x cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt. 
B. Đồ thị hàm số ( )y f x có hai điểm cực trị. 
C. Đồ thị hàm số ( )y f x có ba điểm cực trị. 
D. Đồ thị hàm số ( )y f x có một điểm có một điểm cực trị. 
Câu 2. Hàm số 4 24 1y x x có bao nhiêu điểm cực trị? 
 A. 1. B. 2. C. 3. D. 5. 
Câu 3. Tìm điểm cực đại 0x của hàm số 
3 3 1.y x x 
 A. 0 1.x B. 0 0.x C. 0 1.x D. 0 3.x 
48 
Câu 4: Đồ thị của hàm số 4 3 23 4 6 12 1y x x x x đạt cực tiểu tại 
 1 1;M x y . Tính tổng 1 1x y 
A. 5 . B. 11 . C. 7 . D. 6 . 
Câu 5. Số giá trị nguyên của tham số m để hàm số 4 2 23y mx m x m 
không có điểm cực đại là 
 A. 0. B. 1. C. 3. D. 4. 
Câu 6.Tìm giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số 3 3 1y x mx có hai 
điểm cực trị ,A B sao cho tam giác OAB vuông tại ,O với O là gốc tọa độ. 
 A. 1.m B. 0.m C. 1 .
2
m D. 1.m 
Câu 7. Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên và 0 0,f đồng thời 
đồ thị hàm số y f x như hình vẽ bên dưới 
Số điểm cực trị của hàm số 2g x f x là 
 A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. 
Câu 8: Cho hàm số y f x có đạo hàm 
 32 52 21 3 4 3f x x x m m x với mọi .x Có bao nhiêu số 
nguyên m để hàm số g x f x có 3 điểm cực trị ? 
 A. 3. B. 4. C. 5. D. 6. 
Câu 9. Cho hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) có đồ thị như hình vẽ 
bên. Hàm số 𝑔(𝑥) = 𝑓[𝑓(𝑥)] có bao nhiêu điểm 
cực trị ? 
49 
 A. 3. B. 4. 
 C. 5. D. 6. 
Câu 10. Cho hàm bậc ba y f x có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Tất cả các giá 
trị thực của tham số m để hàm số g x f x m có 3 điểm cực trị là 
 A. 1m hoặc 3.m B. 3m hoặc 1.m 
 C. 1m hoặc 3.m D. 1 3.m