Sáng kiến kinh nghiệm Nâng cao năng lực mô hình hóa toán học cho học sinh THPT qua các bài toán ứng dụng GTLN, GTNN của hàm số trong thực tế

 quan phương án tối ưu trong sản suất: 
Bài 1. Một người nông dân có 15.000.000 đồng muốn làm một cái hàng rào 
hình chữ E dọc theo một con sông (như hình vẽ) để làm một khu đất có hai phần 
chữ nhật để trồng rau. Đối với mặt hàng rào song song với bờ sông thì chi phí 
nguyên vật liệu là 60.000 đồng một mét, còn đối với ba mặt hàng rào song song 
nhau thì chi phí nguyên vật liệu là 50.000 đồng một mét. Tìm diện tích lớn nhất 
của đất rào thu được (kể cả bờ rào). 
A. 23125m . B. 250m . C. 21250m . D. 26250m . 
Pl-3 
Lời giải 
Gọi x là chiều dài 1 mặt hàng rào hình chữ E ( trong ba mặt song song, 0x ). 
Gọi y là chiều dài mặt hàng rào hình chữ E song song với bờ sông ( 0y ). 
Số tiền phải làm là:
500 5
.3.50000 .60000 15.000.000
2
x
x y y
 . 
Diện tích đất: 2
500 5 5
( ) . . 250 ;( 0).
2 2
x
S x x y x x x x
Ta có: '( ) 250 5S x x ; '( ) 0 250 5 50.S x x x 
Bảng biến thiên: 
Vậy: 
2
0;
max 6250 ( )S m
 khi 50.x Chọn D. 
Bài 2. (Mã 102 2018) Ông A dự định sử dụng hết 26,7m kính để làm một bể cá 
bằng kính có dạng hình hộp chữ nhật không nắp, chiều dài gấp đôi chiều rộng 
(các mối ghép có kích thước không đáng kể). Bể cá có dung tích lớn nhất bằng 
bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm). 
A. 31, 23m B. 32, 48m C. 31,57m D. 31,11m 
Lời giải 
Gọi x là chiều rộng, ta có chiều dài là 2 ( 0).x x 
Do diện tích đáy và các mặt bên là 26,7m nên có chiều cao 
26,7 2
6
x
h
x
 , 
ta có 0h nên 
6,7
0
2
x . 
Thể tích bể cá là 
36,7 2
3
x x
V x
 và 
26,7 6
0
3
x
V x
6,7
6
x 
Bảng biến thiên 
-∞
500
S'
S
0
x
+
+ ∞
0
6250
Pl-4 
Bể cá có dung tích lớn nhất bằng 31,57m . chọn C 
Bài 3. Thầy Thuận có 5 000 000 đồng làm một cái hàng rào với lưới B40 khổ 
1m5 hình chữ E để rào quanh 2 khu đất bên cạnh nhà. Bờ song song với tường 
nhà có giá vật liệu 83 040 đồng/m, còn ba bờ tường rào song song với nhau thì 
giá vật liệu là 51 900 đồng/m. Tìm diện tích đất lớn nhất khi được rào lại? (Hình 
vẽ minh họa) 
A. 2483, 4 m . B. 216,056m . C. 2231,23m . D. 2534,09m . 
Lời giải 
Ta đặt độ dài các tường rào như hình vẽ: 
Thầy Thuận phải trả 5 000 000 đồng để mua vật liệu, có mối liên hệ như sau: 
3 .51900 2 .83040 5000000x y 155700 166080 5000000x y 
500000 15570 15625 15
16608 519 16
x
y y x
 . 
Diện tích đất vườn được tính bằng công thức: 
 2
15625 15 31250 15
.2 2
519 16 519 8
f x x y x x x x
. 
Xét hàm số f x có 
31250 15
519 4
f x x , 
25000
0
1557
f x x . 
Pl-5 
Ta có bảng biến thiên: 
Vậy diện tích lớn nhất của mảnh vườn là: 2483,4m . 
Bài 4. Một người xây nhà xưởng hình hộp chữ nhật có diện tích mặt sàn là 
21152m và chiều cao cố định. Người đó xây các bức tường xung quanh và bên 
trong để ngăn nhà xưởng thành ba phòng hình chữ nhật có kích thước như nhau 
(không kể trần nhà). Vậy cần phải xây các phòng theo kích thước nào để tiết 
kiệm chi phí nhất (bỏ qua độ dày các bức tường). 
A. 24m 32m . B. 8m 48m . C. 12m 32m . D. 16m 24m . 
Lời giải 
Chọn D 
Đặt , , x y h lần lượt là chiều dài, chiều rộng và chiều cao mỗi phòng. 
Theo giả thiết, ta có 
384
.3 1152x y y
x
 . 
Để tiết kiệm chi phí nhất khi diện tích toàn phần nhỏ nhất. 
Ta có 
tp
384 576
4 6 3 4 6. 1152 4 1152S xh yh xy xh h h x
x x
. 
Pl-6 
Vì h không đổi nên tpS nhỏ nhất khi 
576
f x x
x
 (với 0 x ) nhỏ 
nhất. Khảo sát 
576
f x x
x
 với 0x , ta được f x nhỏ nhất khi 
24 16x y . Chọn D 
B. Một số bài toán kinh tế liên quan đến lợi nhuận tối ưu . 
Bài 5. Một cửa hàng bán mứt dừa với giá nhập vào là 30 nghìn đồng/1 kg và bán 
ra là 39 nghìn đồng/1 kg, mỗi ngày cửa hàng bán được 60 kg. Chủ cửa hàng 
nhận thấy rằng hôm nào nếu bán với giá giảm 1000 đồng/1 kg thì ngày hôm đó 
khối lượng bán lại tăng thêm 20 kg so với hôm trước. Hỏi chủ cửa hàng phải 
bán 1kg mứt với giá bao nhiêu để có mức lợi nhuận lớn nhất? 
A. 36 nghìn đồng. B. 33 nghìn đồng. C. 38 nghìn đồng. D. 39 nghìn đồng. 
 Lời giải 
Gọi x (nghìn) là số tiền giảm giá trên 1 kg mứt và y (nghìn) là số tiền lợi nhuận 
thu được trong ngày. Ta có: 39 30 60 20y x x 9 60 20x x 
220 120 540x x 
Do y đạt giá trị lớn nhất bằng 720 khi 3x nên giá cần bán để có lợi nhuận cao 
nhất là là 36 nghìn đồng/1 kg. 
Bài 6. Một cơ sở in có 10 máy in, mỗi máy in được 5000 bản trong một giờ. Chi 
phí để vận hành mỗi máy in trong một lần in là 150.000 đồng. Chi phí cho n máy 
in chạy trong một giờ là 60 100n nghìn đồng. Hỏi nếu cần in 120.000 bản thì 
phải sử dụng bao nhiêu máy in để cơ sở in thu được nhiều lãi nhất? 
Lời giải 
+ Gọi số giờ cần in là x thì n máy in được 5000. .n x bản in trong x giờ. 
Ta có 5000. . 120000 24n x nx 
+ Cơ sở in thu được tiền lãi cao nhất khi chi phí là thấp nhất. 
Chi phí của n máy chạy trong x giờ là 60 100x n nghìn đồng. 
Chi phí để vận hành n máy in trong một lần in là 150n nghìn đồng. 
Tổng chi phí là 60 100 150f n x n n 60 100 150xn x n 
2400
1440 150n
n
Pl-7 
+ Xét hàm số 
2400
1440 150f n n
n
2
2400
150f n
n
 , 0 4f n n . 
Bảng biến thiên 
Chi phí là thấp nhất khi 4n . 
Từ bảng biến thiên suy ra: V đạt giá trị lớn nhất bằng 3
32
9
V m
 khi . 
Bài 7. Ở 1 cơ sở nuôi cá thương phẩm, với mỗi 2m mặt nước người ta thả 6 
con, sau 1 vụ mỗi con thu được 4 kg cá. Người ta tính được nếu mỗi 2m mặt 
nước cứ thả thêm lên 1 con cá thì lượng cá thu được sau 1 vụ gảm đi 0, 4 kg mỗi 
con. Để sản lượng cá đạt được lớn nhất thì số con cá phải thả ở mỗi 2m mặt 
nước là A. 10 . B. 7 . C. 8 . D. 9 . 
 Lời giải 
Gọi n là số cá phải thả thêm trên mỗi 2m mặt nước để sản lượng cá thu được 
là lớn nhất *n mỗi con cá đem lại sản lượng là: 4 0,4n kg 
 sản lượng cá thu được trên mỗi 
2m mặt nước là: 
 26 4 0,4 0,4 1,6 24n n n n f n 
 Hàm số f n đạt GTLN tại 2
2
b
n
a
 . Suy ra để sản lượng cá đạt được 
lớn nhất thì số con cá phải thả ở mỗi 2m mặt nước là 6 2 8 (con) 
Bài 8 Một cửa hàng chuyên kinh doanh xe máy điện với chi phí mua vào là 23 
triệu đồng và bán ra với giá 27 triệu đồng mỗi chiếc. Với giá bán này thì số 
4
3
x 
Pl-8 
lượng xe mà khách hàng sẽ mua trong 1 năm là 600 chiếc. Nhằm mục tiêu đẩy 
mạnh hơn nữa số lượng tiêu thụ dòng xe này, chủ cửa hàng giảm giá bán và ước 
tính rằng theo tỉ lệ nếu cứ giảm 100 nghìn đồng mỗi chiếc thì số lượng xe bán ra 
trong một năm sẽ tăng 20 chiếc. Vậy cửa hàng phải bán với giá mới là bao nhiêu 
để sau khi giảm giá, lợi nhuận thu được sẽ là cao nhất? 
A. 26,3 triệu đồng. B. 26,5 triệu đồng. C. 25,0 triệu đồng. D. 24,5 triệu đồng. 
Lời giải 
Gọi số lượng xe bán ra mỗi năm của cửa hàng là x (chiếc) 
Giá xe tương ứng bán ra là 
600
27 0,1
20
x 
 (triệu đồng) 
Lợi nhuận mỗi xe là 
600 1400
27 0,1 23
20 200
x x 
 (triệu đồng) 
Lợi nhuận tương ứng thu được 
2
490000 7001400
. 2450
200 200
xx
P x
(triệu đồng) 
Vậy lợi nhuận lớn nhất là 2450 triệu đồng, đạt được khi cửa hàng bán với giá 
26,5 triệu đồng mỗi chiếc và tương ứng bán được 700 chiếc mỗi năm. 
MỨC ĐỘ 4. 
Bài 1. Một người nông dân có 3 tấm lưới thép B40, mỗi tấm dài 12 m và muốn 
rào một mảnh vườn dọc bờ sông có dạng hình thang cân ABCD như hình vẽ (bờ 
sông là đường thẳng DC không phải rào, mỗi tấm là một cạnh của hình thang). 
Hỏi ông ta có thể rào được mảnh vườn có diện tích lớn nhất là bao nhiêu 2m ? 
A. 100 3 . B. 106 3 . C. 108 3 . D. 120 3 . 
Lời giải 
CD
BA
Pl-9 
Kẻ đường cao BH , gọi số đo 2 góc ở đáy CD của hình thang là , 0 ;90x x  
. 
Diện tích mảnh vườn là: 
 2
1 1 1
.sin 2. 2 .cos 2sin sin 2
2 2 2
S BH AB CD BC x AB BC x AB x x 
Xét hàm số 2sin sin 2f x x x với 0 00 ;90x có 2cos 2cos2f x x x . 
Ta có: 2
1
cos
0 2cos 2cos2 0 2cos cos 1 0 2
cos 1
x
f x x x x x
x
Do 0 00 ;90x nên ta nhận 01cos 60
2
x x . Ta có bảng biến thiên: 
Từ bảng biến thiên ta thấy:
0 00 ;90
3 3
max
2
f x đạt được tại 060x . 
 2max 108 3S m khi góc ở đáy CD của hình thang bằng 600 
 060C D . Chọn C 
Bài 2. Cho nửa đường tròn đường kính 2AB và hai điểm C , D thay đổi trên 
nửa đường tròn đó sao cho ABCD là hình thang. Diện tích lớn nhất của hình 
thang ABCD bằng 
A. 
1
2
. B. 
3 3
4
. C. 1 . D. 
3 3
2
. 
Lời giải 
Pl-10 
Gọi H là hình chiếu vuông góc của D lên AB , I là trung điểm của đoạn CD 
và O là trung điểm của AB . Đặt DH x , 0 1x . Ta có
2 2 22 2 2 2 1DC DI OH OD DH x . 
Diện tích của hình thang ABCD là 
 21 1
2
AB CD DH
S f x x x
 . 
Ta có 
2 2
2
1 1 2
1
x x
f x
x
. 2 20 1 1 2 0f x x x (*) 
Đặt 21t x , (điều kiện 0t ) khi đó phương trình (*) trở thành 
2
1
2 1 0 1
2
t
t t
t
. Với 1t loại. 
1
2
t ta có 
2 11
2
x . 
2 3 3
4 2
x x 
Bảng biến thiên 
Vậy diện tích lớn nhất của hình thang ABCD bằng 
3 3
4
. Chọn B. 
Bài 3. Một người đàn ông muốn chèo thuyền ở vị trí A tới điểm B về phía hạ 
lưu bờ đối diện, càng nhanh càng tốt, trên một bờ sông thẳng rộng 3 km (như 
hình vẽ). Anh có thể chèo thuyền của mình trực tiếp qua sông để đến C và sau 
đó chạy đến B , hay có thể chèo trực tiếp đến B , hoặc anh ta có thể chèo thuyền 
đến một điểm D giữa C và B và sau đó chạy đến B . Biết anh ấy có thể chèo 
thuyền 6 km/ h , chạy 8 km/ h và quãng đường 8 kmBC . Biết tốc độ của dòng 
nước là không đáng kể so với tốc độ chèo thuyền của người đàn ông. Tính 
khoảng thời gian ngắn nhất (đơn vị: giờ) để người đàn ông đến B . 
Pl-11 
A. 
3
2
. B. 
9
7
. C. 
73
6
. D. 
7
1
8
 . 
Lời giải 
 Cách 1: Anh chèo thuyền của mình trực tiếp qua sông để đến C và sau đó 
chạy đến B . Thời gian chèo thuyền trên quãng đường AC : 
3
0,5
6
 (giờ) 
Thời gian chạy trên quãng đường CB : 
8
1
8
 (giờ). Tổng thời gian di chuyển từ 
A đến B là 1,5 (giờ). 
 Cách 2: chèo trực tiếp trên quãng đường 2 23 8 73AB mất 
h73 1 26
6
 . 
 Cách 3: 
Gọi kmx là độ dài quãng đường BD ; 8 kmx là độ dài quãng đường CD
. 
Thời gian chèo thuyền trên quãng đường 2 9AD x là: 
2 9
6
x 
 (giờ) 
Thời gian chạy trên quãng đường DB là: 
8
8
x 
 (giờ) 
Pl-12 
Tổng thời gian di chuyển từ A đến B là 
2 9 8
6 8
x x
f x
Xét hàm số 
2 9 8
6 8
x x
f x
 trên khoảng 0; 8 
Ta có 
2
1
86 9
x
f x
x
; 2
9
0 3 9 4
7
f x x x x 
Bảng biến thiên 
Dựa vào BBT ta thấy thời gian ngắn nhất để di chuyển từ A đến B là 
h71 1 20
8
 . Vậy khoảng thời gian ngắn nhất để người đàn ông đến B là 
h71 1 20
8
 . Chọn D. 
Pl-13 
PHỤ LỤC II 
PHỤ LỤC II.1: Các nhóm sưu tầm các hình ảnh mô hình hình tròn xoay đã học 
qua các đồ dùng. 
Pl-14 
PHỤ LỤC II.2: 
Bài toán: Bạn Hoa cần làm một chiếc mũ bằng vải với kích thước như hình vẽ. 
Tính tổng diện tích vải cần có để làm nên chiếc mũ đó (không tính viền, mép, 
phần thừa). 
A. 2(14 229 296) cm . B. 
2570 cm . C. 
2506 cm . D. 
2(14 229 360) cm . 
Lời giải 
+ Diện tích của phần vành mũ: 2 2 2
1 18 8 260 (cm ).S 
+ Diện tích xung quanh của hình nón cụt:
 2 2 22 6 8 15 2 14 229 (cm ).S 
+ Diện tích của đáy mũ: 
2 2
3 6 36 (cm ).S 
+ Tổng diện tích vải cần có để làm chiếc cái mũ đó (không tính viền, mép, phần 
thừa) là: 
2
1 2 3 (14 229 296) (cm ).S S S S 
Đáp án A. 
PHỤ LỤC II.3: 
- Các tổ chuẩn bị các nguyên liệu: giấy, vải, bìa các tông...keo, kéo. 
- Hãy tạo ra CHIẾC MŨ từ các nguyên liệu đã chuẩn bị. 
- Yêu cầu: Các nhóm trình bày ý tưởng nhóm mình và giới thiệu sản 
phẩm đã hoàn thành. 
Pl-15 
PHỤ LỤC II.4: MỘT SỐ SẢN PHẨM Ở HOẠT ĐỘNG 4. 
TỔ 1- LỚP 12D2-LVT 
LSFDSDLLLLLVT 
TỔ 1- LỚP 12D2-LVT 
LVTK43 
Pl-16 
LỚP 12 D2- K43-LVT 
TỔ 4- 12 T2-K43-LVT 
Pl-17 
TỔ 4- 12 T2-K43-LVT 
LỚP 12 T2-K43-LVT 
Pl-18 
PHỤ LỤC III. Một số sản phẩm tiết 10-Hình học 12: Chủ đề STEM: Chủ đề 
KHỐI ĐA DIỆN ở trường THPT Lê Viết Thuật. 
ĐỒ DÙNG DẠY HỌC 
LỚP 12 T2-K43-LVT 
 TỔ 4- 12 t2 
Pl-19 
NGÔI NHÀ CỦA EM 
LỚP 12 d2-K43-LVT 
Pl-20 
Pl-21 
 PHỤ LỤC IV- Đề kiểm tra (Thời gian 45 phút) 
I. Trắc nghiệm khách quan (5 điểm ) 
Câu 1. Một vật chuyển động theo quy luật 3 2
1
3
3
s t t với t (giây) là khoảng 
thời gian tính từ khi vật bắt đầu chuyển động và s (mét) là quãng đường vật di 
chuyển được trong khoảng thời gian đó. Hỏi trong khoảng thời gian 10 giây kể 
từ khi bắt đầu chuyển động, vận tốc lớn nhất của vật đạt được bằng bao nhiêu? 
A. 24 (m/s) B. 27 (m/s) C.18 (m/s) D. 9 (m/s) 
Câu 2: Có một cốc thủy tinh hình trụ, bán kính trong lòng đáy 
cốc là 4cm , chiều cao cốc là 12cm. Bạn An rót nước vào cốc 
mức nước bằng 
1
3
 cốc. Tính lượng nước trong cốc? 
A. 324 cm B. 364 cm C. 348 cm D. 360 cm 
Câu 3 : Để làm một chiếc bể cá hình hộp chữ nhật có chiều cao là 60 ,cm thể 
tích là 396.000cm . Tính kích thước đáy bể để tổng diện tích xung quanh nhỏ 
nhất? A. 40cm B. 64cm C. 48cm D. 24cm 
Câu 4. Khi sản xuất hộp sữa hình trụ, các nhà thiết kế luôn đặt mục tiêu sao cho 
chi phí nguyên liệu làm vỏ lon là thấp nhất. Để thể tích khối trụ đó bằng 32 dm 
và chi phí thấp nhất thì bán kính đáy của hình trụ bằng 
 A. 
3
1
 dm
3 
. B. 
1
 dm
. C. 
3
1
 dm
.D. 
3
1
 dm
2 
. 
 Câu 5. Một cửa hàng kinh doanh rau tươi ước tính doanh thu bởi hàm số 
2( ) 20 10.000f x x x tiền lãi thu được là ( ) 10 5.000g x x với x (nghìn 
đồng) là giá bán cho mỗi kg rau tươi. Biết doanh thu bằng tổng tiền lãi và tiền 
vốn. Giá bán sao cho cửa hàng phải bỏ vốn ra ít nhất là 
 A. 15x . B. 30x . C. 10x . D. 20x . 
II. Tự luận (5 điểm ) 
 Một công ty muốn thiết kế một loại thùng đựng hàng đa năng bằng tôn có 
dạng hình hộp chữ nhật có đáy là hình vuông sao cho thể tích của thùng là là 
3343 dm và diện tích toàn phần đạt giá trị nhỏ nhất. 
a. Độ dài cạnh đáy của khối hộp muốn thiết kế là bao nhiêu dm? 
 b. Tính chi phí tối thiểu để làm loại hộp đó biết giá tôn thị trường để làm đáy 
là 100.000đ/m2, giá tôn làm thành là 50.000đ/m2. 
Pl-22 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
1. Bộ Sách Giáo Khoa ban cơ bản hiện hành -Nhà Xuất Bản Giáo Dục- năm 2008 
2. Bộ Giáo dục và Đào tạo (2018), Chương trình giáo dục phổ thông (chương trình 
tổng thể). Chương trình môn Toán, thông tư 32. 
3. Các đề thi TNPTQG, đề thi TN, các đề thi thử TN các trường và đề thi Đánh giá 
năng lực của các trường. Các đề tham khảo của nhóm STRONG TEAM TOÁN 
VD-VDC. 
4. Tạp chí khoa học trường ĐHSP Thành Phố HCM tập 16- số 12 năm 2019 bài 
của tác giả Lê Thị Hoài Châu. 
5. Nguyễn Danh Nam (2016), Phương pháp mô hình hóa trong dạy học môn Toán 
ở trường phổ thông, Nhà xuất bản Đại học Thái Nguyên. 
6. Nguyễn Danh Nam ( 2016), Năng lực mô hình hóa của giáo viên toán phổ 
thông, Tạp chí Giáo dục, số 380, kì 2 tháng 4 năm 2016, tr 43 - 49. 
7. Lê Thị Hoài Châu (2015), Mô hình hóa trong dạy học toán ở trường phổ thông. 
Đề tài Khoa học và Công nghệ cấp trường, Trường Đại học Sư phạm TP. HCM. 
8. Nguyễn Thị Thu Thảo (2020). Phát triển năng lực mô hình hóa cho học sinh 
THPT của Đại Học Quốc Gia Hà Nôi. 
9. Lê Võ Bình (2007), Dạy học hình học các lớp cuối cấp trung học cơ sở theo 
định hướng bước đầu tiếp cận phương pháp khám phá, Luận án tiến sỹ giáo dục 
học, Đại học Vinh. 
10. Tài liệu bồi dưỡng thường xuyên giáo viên THPT chu kỳ 3 (2004-2007) môn 
Toán, Viện nghiên cứu Sư phạm.