Sáng kiến kinh nghiệm Nâng cao năng lực giải toán cho học sinh lớp 6

21 + 12 = 117
Giải
Từ sơ đồ, ta thấy 6 lần số chia bằng 150 - 12 -12 = 126
Số chia bằng 126 : 6 = 21
Số bị chia bằng 21.5 + 12 = 117.
Vậy số chia cần tìm là 21 và số bị chia là 117.
Qua bài toán nhằm làm tăng khả năng phân tích bài toán cho HS, việc lựa chọn phương pháp phân tích không phải vấn đề dễ do đó đòi hỏi GV và HS cần phải rèn luyện thường xuyên. Vì vậy trong quá trình phân tích bài toán GV cần lựa chọn phương pháp phân tích phù hợp và làm cho HS dễ hiểu.
Ví dụ 2 ( Bài tập 206 b Ôn tập Toán 6 tr 107 )
Một người mang bán một sọt Cam. Sau khi bán số Cam và 1 quả thì số Cam còn lại là 50 quả. Tính số Cam mang bán.
 Phân tích bài toán ( Vẽ sơ đồ đoạn thẳng )
GV: Dựa vào sơ đồ thì số sọt Cam được chia làm mấy phần ?
HS: Sọt Cam được chia làm 5 phần bằng nhau.
GV: Sau khi bán hết số Cam trong sọt thì số Cam trong sọt còn lại bao nhiêu quả và chiếm bao nhiêu phần Cam trong sọt ?
HS: Số Cam trong sọt còn lại 51 quả chiếm số Cam trong sọt.
GV: Để biết số Cam mang bán là bao nhiêu ta làm như thế nào ?
HS: Số Cam mang bán là 
Giải
 số cam người đó có là 50 + 1 = 51 ( quả )
Vậy số cam mang đi bán là 51 : = 85 (quả)
Ví dụ 3 ( Ví dụ 80 Toán bồi dưỡng HS lớp 6 tr 71 )
Người ta điều tra trong lớp học có 40 HS thì có 30 HS Toán, 25 HS thích Văn, 2 HS không thích cả Toán và Văn. Hỏi có bao nhiêu HS thích cả hai môn Văn và Toán ?
Phân tích bài toán
GV: Dựa vào sơ đồ, hãy cho biết số HS thích cả Văn và Toán chính là phần nào của sơ đồ ?
HS: Chính là x.
GV: Trong tổng số HS thích Văn có HS thích Toán hay không ? Vậy số HS chỉ thích Văn là bao nhiêu ?
HS: Trong tổng số HS môn Văn cũng có HS thích môn Toán. Số HS thích môn Văn là : 25 – x.
GV: Tổng số HS của cả lớp là bao nhiêu ?
HS: Có 40 HS.
GV: Để tìm số HS thích cả hai môn Văn và Toán ta làm như thế nào ? 
HS: 30 + ( 25 – x ) + 2 = 40 
Giải
Gọi x là số HS thích cả môn Văn và Toán.
Số HS thích Văn mà không thích Toán là 25-x.
Theo đề bài ta có :
Vậy số HS thích cả hai môn Văn và Toán là 17 HS.
Việc giải bài toán có rất nhiều phương pháp đặt biệt là việc phân tích bài toán. Do đó trong quá trình dạy học thì GV cần lựa chọn phương pháp phân tích sau cho học sinh dễ hiểu. Đối với bài toán này thì lựa chọn phương pháp phân tích bằng phương pháp trực quan sẽ mạng lại hiệu quả rất cao, thông thường các dạng bài toán như thế này thì công việc phân tích bài toán được thể hiện ở những hình ảnh trực quan và giúp cho HS dễ hiểu hơn vì các mối quan hệ giữa các đại lượng được thể hiện một cách cụ thể. Tuy nhiên tùy vào đối tượng của HS mà GV có thể đặt
thêm nhiều câu hỏi gợi ý để giúp cho các em hiểu rõ. Từ đó giúp cho các em giải các bài toán một cách dễ dàng hơn.
 V/ Bồi dưỡng năng lực giải toán bằng nhiều cách và biết lựa chọn phương án tối ưu
 1. Cơ sở xác định biện pháp
Giải toán là một quá trình thúc đẩy tư duy phát triển. Việc đào sâu, tìm tòi nhiều lời giải cho một bài toán chẳng những góp phần phát triển tư duy của HS mà còn góp phần hình thành nhân cách cho HS. Giúp các em không dừng lại ở một lời giải mà phải hướng tới nhiều lời giải và chọn ra một lời giải đẹp, hoàn mĩ hơn trong lúc giải toán nói riêng cũng như trong việc rèn luyện nhân cách sống của các em.
 2. Nội dung của biện pháp
HS tìm ra nhiều cách giải cho một bài toán là một vấn đề rất khó. Kể cả đối với HS giỏi. Chính vì vậy, trong quá trình giảng dạy GV rèn luyện cho HS tìm ra nhiều lời giải là một vấn đề rất cần được quan tâm. Qua đó giúp HS tìm ra cách giải hay và ngắn gọn. Từ đó rèn cho HS tính kiên trì, sáng tạo trong học tập và dần hoàn thiện phương pháp giải toán cho bản thân.
 3. Yều cầu của biện pháp
Trong quá trình giải toán cũng như bồi dưỡng HS giỏi, mỗi GV luôn không ngừng tìm tòi nghiên cứu những những phương pháp dạy tối ưu nhất. Từ đó giúp HS lĩnh hội các phương pháp giải toán hay, phát huy được tính sáng tạo của mình. Tìm ra được nhiều cách giải hay và hợp lí.
 4. Một số ví dụ minh họa
	Ví dụ 1 ( Bài 121 SGK Toán 6 tập 2 tr 52 )
Đoạn đường sắt Hà Nội - Hải Phòng dài 102 km. Một xe lửa xuất phát từ Hà Nội đi được quãng đường. Hỏi xe lửa còn cách Hải Phòng bao nhiêu kilômét ?
Cách 1 
	Đoạn đường xe lửa đã đi (km)
	Đoạn đường xe lửa còn cách Hải Phòng 102 – 61,2 = 40,8 (km)
Cách 2
	Phần đoạn đường xe lửa chưa đi là: 1- (quãng đường)
	Đoạn đường xe lửa còn cách Hải Phòng (km).
Ở ví dụ này, sau khi xác định dạng toán, tìm hiểu được nội dung dạng toán. GV cần cho HS thấy được cả hai cách giải đã nêu ở trên đều đi đến kết quả. Nhưng cách 1 dễ thực hiện hơn cách 2, cách 1 ít sai sót hơn cách 2 do không thực hiện phép trừ về phân số. Chính vì vậy, cách 1 là cách tối ưu. Khi dạy, GV nên hướng dẫn HS làm theo cách 1.
	Ví dụ 2 So sánh hai phân số
	a) và 	b) và 
Giải
	a) và 	
Cách 1
 Quy đồng cùng mẫu, so sánh các tử với nhau.
 	. Ta có -3 < 1, khi đó: 
Cách 2
 	Sử dụng phân số trung gian.
 (Phân số có tử và mẫu là hai số nguyên khác dấu thì nhỏ hơn 0) (1)
 (Phân số có tử và mẫu là hai số nguyên cùng dấu thì lớn hơn 0) (2)
Từ (1) và (2) suy ra: 
Cách 3
Sử dụng tính chất a.d > b.c thì với các mẫu b, d đều dương
Ta có (-3).4 < 4.1 suy ra 
Ở đây cách 1 và cách 2 là phương án tối ưu để giải câu a này. Vì ta chỉ cần qua một phép biến đổi đơn giản đã đi đến kết quả. Cách 3 ta phải tính toán phức tạp hơn. Khi hướng dẫn HS giải một bài tập thì GV nên hướng dẫn tất cả các cách giải để từ đó cho HS lựa chọn phương án nào là hợp lí và dễ hiểu nhất.
b) và 
Cách 1
 Sử dụng phần bù đơn vị
	Ta có (1)	
	 (2) Mà (3)
	Từ (1), (2), (3) suy ra < 
Cách 2
Đưa về cùng mẫu, so sánh tử.
	Tìm mẫu chung của 2 mẫu BCNN(17, 27) = 17.27 = 459
	 (1) ; (2) 
Mà 405 < 425 nên (3)
Từ (1), (2), (3) suy ra < 
Cách 3
Đưa về cùng tử, so sánh mẫu.
	Tìm tử chung của 2 tử BCNN(15,25) = 3.52 = 75
	 (1) ; (2) 
 Mà 85 > 81 nên (3)
Từ (1), (2), (3) suy ra < 
Cách 4
Sử dụng tính chất a.d < b.c thì với các mẫu b, d đều dương
	15.27 < 17.25 ( Vì 405 < 425) suy ra < 
Ở ví dụ b này ta thấy ưu điểm hơn hẳn là cách 1 và cách 4 so với cách 2 và cách 3. Đối với cách 3 và cách 4 ta cần huy động nhiều kiến thức, thực hiện nhiều bước tính dễ dẫn đến sai sót còn cách 1và cách 4 thì ngược lại.
	Ví dụ 3 ( Bài 77 SGK Toán 6 tập 2 tr 35) 
Tính giá trị các biểu thức sau:
	 với 
	 với 
Giải
	 với 
Cách 1
Thực hiện theo thứ tự thực hiện các phép tính.
	Thay vào biểu thức . Ta được:
Cách 2
Sử dụng tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng, đặt a làm thừa số chung và thực hiện tính toán trong ngoặc trước sau đó mới thay giá trị .
Thay vào biểu thức . Ta được: 
Vậy giá trị của biểu thức A tại là 
 với 
Cách 1
Thực hiện theo thứ tự thực hiện các phép tính.
	Thay vào biểu thức . Ta được
Cách 2
	Sử dụng tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng.
	Vậy giá trị của biểu thức đã cho tại bằng 0.
	Ở ví dụ này, ta thấy cách thứ 2 là cách giải tối ưu. Vì cách 2 thực hiện phép tính toán ít, số nhỏ. Cách 1 thì ngược lại. Trong quá trình dạy học, dạng toán này ta rất thường gặp. GV cần cho HS nắm được quy trình giải như sau:
	Bước 1: Rút gọn biểu thức đã cho (tùy theo nội dung bài toán mà ta có các cách rút gọn khác nhau).
	Bước 2: Thế giá trị của biến đã cho vào biểu thức đã được rút gọn.
	Bước 3: Tính giá trị của biểu thức số đã thu được ở bước 2.
	Bước 4: Trả lời: Vậy giá trị của biểu thức..tại .là.
Ví dụ 4 ( Bài 141SGK Toán 6 tập 2 tr 58)
	Tỉ số của hai số a và b bằng . Tìm hai số đó biết rằng a – b = 8.
Giải
Cách 1
	Sử dụng sơ đồ đoạn thẳng.
	Ta có như vậy a : b = 3 : 2. Ta có sơ đồ:
	Theo sơ đồ, ta được a = 8.3 = 24; b = 8.2 = 16.
Cách 2
	Sử dụng định nghĩa hai phân số bằng nhau và các phép biến đổi ttrong tính toán. 
	Ta có Do đó 
	Vì a – b = 8 nên 
Cách 3
	Sử dụng biến số mới
	 nên a = 3k; b = 2k (
	Mà a – b = 8 suy ra 3k – 2k = 8 hay k = 8
	Vậy a = 3k = 3.8 = 24; b = 2k = 2.8 = 16
	Ở ví dụ này, cách 1 ta thấy rất đơn giản dựa vào sơ đồ đoạn thẳng HS sẽ có kết quả ngay. Nhưng không phải bài toán nào ta cũng sử dụng được cách này. Đối với cách 2 và cách 3 ta phải sử dụng nhiều phép biến đổi hơn, tính toán nhiều hơn. Nhưng đối với hai cách này ta có thể giải được mọi dạng toán có lời văn. Hai cách này GV cần hướng dẫn kỹ để HS lĩnh hội tốt về cách giải toán bằng cách lập phương trình và hệ phương trình sau này.
	Tóm lại: Khi giúp HS nắm được đặc điểm của mỗi dạng toán và biết lựa chọn cách giải nào cho phù hợp sẽ giúp các em ham thích học toán và tư duy ngày một càng phát triển. Đây là một nhiệm vụ không thể thiếu trong quá trình giảng dạy của mỗi GV. 
 VI/ Bồi dưỡng năng lực sáng tạo ra bài toán mới 
 1. Cơ sở xác định biện pháp 
	Trong quá trình giải toán HS thường lúng túng và thường không giải được đối với những dạng toán mà HS cho là lạ. Chính vì vậy, khi kiểm tra hoặc các em dự thi HS giỏi thường bị mất điểm đối với các dạng toán này. Vì thế trong quá trình hướng dẫn giải bài tập GV cần giúp HS quy các dạng toán mà các em cho là lạ về các dạng toán mà các em đã biết cách giải.
 2. Nội dung của biện pháp
	HS rèn kĩ năng quy những bài toán lạ về những bài toán quen thuộc đã biết cách giải. Từ đó rèn cho HS tính kiên trì, sáng tạo trong học tập và dần hoàn thiện khả năng giải toán cho bản thân và vận dụng vào việc xử lí các tình huống phức tạp trong cuộc sống.
 3. Yêu cầu của biện pháp
	Trong quá trình dạy toán nói chung và bồi dưỡng HS giỏi nói riêng, mỗi GV phải cố gắng không ngừng tìm tòi, nghiên cứu tìm ra phương pháp giảng dạy mới nhất, hiệu quả nhất. Hướng dẫn HS pháp huy tính chủ động, tích cực, sáng tạo, linh hoạt, huy động thích hợp các kiến thức và khả năng vào các tình huống khác nhau, không dừng lại ở cái đã biết mà phải quy những cái chưa biết về cái đã biết. Giúp các em hiểu được mình, tự làm chủ kiến thức toán học.
 4. Các ví dụ minh họa
	Ví dụ 1 ( Bài 9.3 SBT Toán 6 tập 2 tr 24 ) 
	a) Chứng tỏ rằng với thì 
	b) Áp dụng kết quả câu a để tính nhanh 
	Tìm hiểu nội dung bài toán
	GV gợi ý cho HS bằng hệ thống câu hỏi sau:
	Đối với câu a
GV: Để chứng minh một đẳng thức ta có những phương pháp nào ?
HS: Chứng minh vế trái bằng vế phải, vế phải bằng vế trái, hai vế của đẳng thức bằng biểu thức thứ ba.
GV: Trong trường hợp này ta làm thế nào ? Vì sao ?
HS: Ta chứng minh vế phải bằng vế trái. Vì vế phải phức tạp hơn.
GV: Ta biến đổi vế phải bằng kiến thức nào ?
HS: Vế phải ta có thể coi là phép trừ hai phân số không cùng mẫu. Do đó ta quy đồng mẫu và thực hiện phép trừ hai phân số không cùng mẫu ta sẽ có kết quả.	
Đối với câu b
GV: Để tính giá trị của biểu thức A ta phải làm gì ?
HS: Áp dụng kết quả của câu a ta phân tích.
 và sau đó thực hiện phép toán cộng các phân số sẽ có kết quả.
	Trình bài lời giải
a) 
b) 
Sáng tạo bài toán mới
Cùng với nội dung tính tổng ta có các bài toán sau:
	Bài toán 1 ( Bài 9.4 SBT Toán 6 tập 2 tr 24) 
Tính nhanh 
	HS quy lạ về quen như sau: 
	Chính vì vậy bài toán 1 đã biết cách giải: 
	Bài toán 2 ( Bài 9.5 SBT Toán 6 tập 2 tr 24 )
 Tính nhanh 
	Học sinh quy lạ về quen
	Biến mẫu thành tích của hai số cách đều nhau.
Tích của các mẫu là hai số cách đều hai đơn vị. Nên ta nhân tử cho 2 và chia mẫu cho 2 đối với mỗi phân số trong tổng. Chính vì vậy bài toán 2 đã biết cách giải.
	Bài toán 3 ( Bài 9.7 SBT Toán 6 tập 2 tr 24 )
Chứng tỏ rằng: 
	HS quy lạ về quen như sau:
	HS dựa vào biểu thức trung gian để so sánh.
	Biểu thức trung gian của D với 1 là: . Chính vì vậy bài toán 3 đã biết cách giải.
	Như vậy, từ một đẳng thức đã được chứng minh, sau đó được áp dụng vào một bài toán cụ thể về tính tổng. Ta có thể giúp HS giải được các bài toán khác cùng loại với bài toán ban đầu nhưng khi chưa phân tích, tìm hiểu HS cứ tưởng đó là những bài toán hoàn toàn khác nhau.
	Tóm lại: Trong quá trình dạy toán nói chung, trong hướng dẫn HS giải bài tập nói riêng. Giúp HS lĩnh hội kiến thức và vận dụng kiến thức một cách linh hoạt là một vấn đề vô cùng quan trọng. Đặc biệt là việc giúp HS biết quy những bài toán lạ về các bài toán quen thuộc về các bài toán đã biết cách giải. Người GV làm được điều này thì sẽ nâng cao được năng lực giải toán của HS và giúp các em giành các thứ hạng cao trong các cuộc thi toán học. Góp phần đưa nền toán học của Viêt Nam ngày càng phát triển.
KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC:
Qua quá trình thực hiện nêu trên đối với học sinh lớp 6A5 đã cho thấy kết quả rõ nét. 
1.Các con bớt lúng túng trước những bài toán(trong các bài kiểm tra, bài thi các em tỏ ra vận dụng tốt).
2.Biết chọn lựa phương pháp giải phù hợp với bài toán sao cho ngắn gọn dễ hiểu nhất. 
3.Khắc phục các lỗi khi phát biểu cũng như trình bày lời giải các bài toán 
4. Khả năng tư duy toán học nâng lên rõ rệt. Khả năng tư duy lôgic các vấn đề trong đời sống hàng ngày cũng được cải thiện.
5. Hứng thú môn học được ghi nhận rõ nét. Các em tỏ ra mong chờ giờ học toán hơn trước đây. 
 Kết quả khảo sát bài kiểm tra ở lớp 6A5
 Số học sinh trong lớp: 41 học sinh

Bài kiểm tra
Giỏi
Khá
Trung bình
Dưới trung bình
Chưa áp dụng đề
tài 
Số 1
(Tỉ lệ %)

5
12,19
10
24,39
11
26,81
5
12,1

Đã áp dụng đề tài

Số 2
(Tỉ lệ %)

12
29,28
17
41,46
10
24,39
2
4,87
Số 3
(Tỉ lệ %)

17
41,46
14
34,15
10
24,39
0
0
Số 4
(Tỉ lệ %)

20
48,78
14
34,15
7
17,07
0
0

PHẦN III : KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
1.Kết luận
 Sau khi áp dụng đề tài này vào trong giảng dạy tôi đã nhận thấy rằng hiệu quả của đề tài mang lại : Học sinh tăng khả phân tích, khả năng tính toán, khả năng tư duy, khả năng lập luận một cách chính xác và logic, khả năng sáng tạo, hứng thú và say mê học toán hơn.
 Công việc tìm tòi xây dựng hệ thống câu hỏi bồi dưỡng năng lực giải toán cho em giáo viên cần phải chịu khó nghiên cứu làm thường xuyên và làm lâu dài mới làm tăng khả năng giải toán cho các em.Qua đó cũng góp phần thúc đẩy nâng cao chất lượng giảng cũng như chất lương giáo dục ngày một đi lên. Từ đó tìm ra những học sinh năng khiếu trong nhà trường để có điều kiện bồi dưỡng cho các em và giúp các em phát huy hết khả năng giải toán của mình.
Với kinh nghiệm ít ỏi trong công tác chuyên môn và sự nhiệt tình vì chất lượng học tập của học sinh thân yêu, tôi đã viết ra những cách làm, hướng suy nghĩ của bản thân và không thể tránh khỏi thiếu sót. Vì thế tôi rất mong cũng có nhiều đồng nghiệp và các cấp chuyên môn quan tâm đến vấn đề này đồng thời góp ý bổ sung để tôi có hướng đi tốt hơn trong "sự nghiệp trồng người".
 2. Khuyến nghị
- Trong quá trình áp dụng các biện pháp cần chú ý nâng dần mức độ khó cho phù hợp với quá trình phát triển tư duy của học sinh.
- Ngoài phương pháp dạy phù hợp, người thầy phải dạy học sinh phương pháp học toán: học trên lớp một cách tích cực và chủ động.
- Đây là một vấn đề đòi hỏi sự tích luỹ lâu dài và bền bỉ do đó cần đến sự trau dồi thường xuyên của cả thầy và trò, tuyệt đối không thể nóng vội.
 Hà Nội, ngày 14 tháng 4 năm 2015
Tài liệu tham khảo:
- PP giải toán 6 tập 2
- Ôn tập toán 6
- Em học giỏi toán
- Rèn luyện kĩ năng giải bài tập toán 6- tập 2
- Đề kiểm tra toán 6
- Toán bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 6.
- Đổi mới PP dạy học trong trường THCS.