Sáng kiến kinh nghiệm Một số sai lầm của học sinh trong dạy học môn Toán nhìn từ phương diện hoạt động

3x2-2x+1, t≥0 (!)
Phương trình (1) trở thành t2+9t-9m=0 (2) 
Phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi phương trình (2) có nghiệm t≥0
(!): Sai lầm của học sinh trong bài toán này là điều kiện t≥0 ở trên chưa phải là điều kiện đủ với t, điều kiện của t phải là t≥1 vì x2-2x+1 ≥0 
Khi đặt ẩn phụ, mặc dù có đặt điều kiện, nhưng điều kiện quá hẹp hoặc quá rộng không sát, đặt ẩn phụ t = để đưa phương trình về ẩn t, tuy nhiên học sinh chỉ đưa ra một điều kiện cần đối với t, chứ không phải là điều kiện cần và đủ.
(!): Ngoài sai lầm do đặt điều kiện ẩn phụ không chính xác thì trong khi giải phương trình, bất phương trình bằng phương pháp đặt ẩn số phụ, học sinh thường gặp sai lầm trong phát biểu chuyển đổi yêu cầu bài toán từ ẩn ban đầu sang ẩn phụ. Một sai lầm phổ biến đó là học sinh thường mang yêu cầu bài toán đối với ẩn ban đầu sang áp dụng cho ẩn phụ. Chẳng hạn:
Ví dụ 3: Giải bất phương trình x2-5≤2x-4
 (?): Bài này với học sinh kém thì họ bình phương hai vế một cách không ngần ngại. Có những học sinh khá hơn lập luận rằng: Bất phương trình tương đương với 
 x2-5≥0 x2-5≤(2x-4)2⟺x≥3x≤73 .
(!): Sở dĩ học sinh lập luận như trên bởi vì họ nghĩ, với bất phương trình dạng f(x)≤g(x), điều kiện của x là f(x) ≥ 0. Do vế trái không âm, mà vế phải không nhỏ hơn vế trái nên vế phải cũng không âm. Vì vậy hai vế đều không âm, ta có quyền bình phương hai vế để được bất phương trình tương đương . Với lập luận như thế, họ đã tìm được x≥3 hoặc x≤73. Thực ra, x≤73 không thể thỏa mãn bất phương trình ban đầu bởi với x≤73 tồn tại giá trị sao cho 2x – 7 < 0.
Nguyên nhân sai lầm “vế trái ≥ 0, vế trái ≤ vế phải ⟹ vế phải ≥ 0” điều này chỉ đúng đối với những x là nghiệm của bất phương trình, do đó là tương đương với hệ trên tập nghiệm của bất phương trình chứ không phải là tương đương trên tập xác định. 
Ví dụ 4: Giải bất phương trình (x2-x)2x2-7x+6≥0 
(?): Bất phương trình ⟺2x2-7x+6≥0 x2-x≥0 ⟺x≥2x≤32x≥1x≤0⟺x≥2x≤0
Phép biến đổi đã bỏ sót nghiệm x = 1.
(!): Bất phương trình ⟺x2-x)2x2-7x+6=0 x2-x)2x2-7x+6>0 
Một số sai lầm khi học sinh chuyển đổi từ biến này sang biến khác mà không tìm miền giá trị của biến mới.
Ví dụ 5: Tìm cực trị của hàm số y=cosx+12cos2x
(?): Đặt t=cosx, t∈-1;1⟹y=t2+t-12⟹y'=2t+1
Xét y'=0⟺2t+1=0⟺t=-12⟺cosx=-12⟺x=±2π3+2kπ
(!): Nguyên nhân sai lầm: do tìm điểm cực trị theo x nên khi đổi biến số và lấy đạo hàm thì cần sử dụng công thức đạo hàm cho hàm hợp: y'x=y't.t'(x).
Ví dụ 6: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y=fx=sinx-12sinx+3 
(?): Một số học sinh giải như sau: 
đặt t=sinx; hàm số viết lại gt=t-12t+3, g't=5(2t+3)2>0; ∀t≠-32
Bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên không tồn tại giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số.
(!): Sai lầm: Học sinh đã chuyển về bài toán không tương đương cho rằng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của f(x) trùng với giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của g(t), nên sau khi đổi biến đã không tìm miền xác định của g(t).
Lời giải đúng: 
Ta có: gt=t-12t+3;t∈[-1;1]
 g't=5(2t+3)2>0; ∀t≠-32
g1=0;g-1=2
Qua một số ví dụ và phân tích sai lầm ở trên chúng ta nhận thấy học sinh chưa nắm rõ bản chất của định nghĩa dẫn đến không nắm vững kiến thức cơ bản liên quan đến giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số. 
7. Sai lầm liên quan đến chủ nghĩa hình thức
Theo nhà toán học A. Ia. Khinsin, chủ nghĩa hình thức trong nhận thức của học sinh thường bắt nguồn từ chỗ: “Trong ý thức học sinh có sự phá vỡ nào đó mối quan hệ tương hỗ, đúng đắn giữa nội dung bên trong của sự kiện toán học và cách diễn đạt bên ngoài của sự kiện ấy”. 
Ví dụ 1: Tìm m để phương trình mx2-2m-1x+3m-2=0 có hai nghiệm phân biệt x1 và x2 thỏa mãn x1+2x2=1 
 (?): Học sinh cho rằng x2 là nghiệm lớn còn x1 là nghiệm nhỏ nên sau khi tìm được điều kiện có nghiệm đã tìm từng nghiệm rồi thay vào hệ thức cho trong bài toán, với suy nghĩ như vậy làm mất vai trò bình đẳng giữa hai nghiệm, thực chất hai nghiệm có vai trò như nhau, x1, x2 chỉ là kí hiệu hình thức, hơn nữa nếu các nghiệm có chứa căn bậc hai thay vào được phương trình vô tỷ, rất dễ học sinh giải sai khi phương trình phức tạp.
(!): Phương trình có hai nghiệm phân biệt ⟺m≠0 2-62<m<2+62 (*)
Theo Định lí Viét và giả thiết thì x1, x2 thỏa mãn x1+x2=2(m-1)mx1x2=2(m-2)m x1+2x2=1 
 Giải hệ và so sánh với (*) tìm được m cần tìm là m = 3 hoặc m=23
 Ví dụ 2: Giải bất phương trình 
 3x2-4+(x2-4)3x-2≥1 
(?): Học sinh bị hình thức của bài toán che khuất nên sau một thời gian biến đổi không tìm ra hướng giải quyết.
(!): Chỉ cần chú ý một chút ta có: 
Nếu x≥2⟹3x2-4≥30=1 và (x2-4)3x-2≥0 luôn đúng
Nếu x<2⟹3x2-4<30=1 và (x2-4)3x-2<0 mẫu thuẫn với giả thiết
Vậy nghiệm của bất phương trình là x≥2.
Ví dụ 3: Học sinh bị ảnh hưởng bởi hình thức nên cho rằng –x là số âm và tương tự như vậy có dấu trừ đằng trước là nhỏ hơn 0, nên học sinh không chấp nhận khi viết -m-5 vì cho rằng biểu thức dưới căn bậc hai là âm.
 Ví dụ 4: Giải và biện luận phương trình
x3-a+4x2+3a-2x+a2+2a=0
(!): Học sinh khó khăn không giải được dạng toán này vì phương trình bậc ba tổng quát đối với họ là không có thuật giải. Khi được giáo viên gợi ý xem phương trình trên là phương trình bậc hai đối với ẩn a và tạm xem x là tham số thì học sinh vẫn phân vân với kiểu trao đổi vai trò của ẩn và tham số cho nhau. Nhưng thực ra nếu đưa phương trình về ẩn a ta được phương trình:
 a2-x2+3x+2a+x3+4x2-2x=0⟺a=x a=x2-4x-2
 Khi đó bài toán được giải dễ dàng hơn, chỉ cần giải và biện luận a=x a=x2-4x-2. Cách giải trên có được chính là nhờ cách nhìn linh hoạt, không hình thức, nhìn rõ đúng bản chất từng vai trò của mỗi kí hiệu trong phương trình. 
 Cũng chính sai lầm như vậy nên học sinh có thể giải được hệ phương trình 3 ẩn x, y, z nhưng không giải được hệ có dạng như thế với các ẩn a, b, c, chẳng hạn: Giải hệ phương trình ẩn x, y, z x2+y2=bx+xy-azy2+z2=ay+bz-cxz2+x2=cz+ax-by, học sinh không biết đổi vai trò giữa ẩn và tham số để giải. 
8. Những sai lầm liên quan đến suy luận
 Suy luận là một trong những hình thức của tư duy. Suy luận là một quá trình suy nghĩ để rút ra một mệnh đề mới từ một hoặc nhiều mệnh đề đã cho. Một suy luận thường có cấu trúc logic , trong đó A là tiền đề, B là kết luận. Cấu trúc logic phản ánh cách thức rút ra kết luận tức là cách lập luận. Học sinh thiếu kiến thức về logic, sử dụng mệnh đề sai hoặc ngộ nhận là mệnh đề đúng, đánh tráo luận đề sẽ mắc sai lầm trong suy luận. Sai lầm trong suy luận khi giải Toán có các kiểu sai lầm sau:
8. 1. Sai lầm về luận cứ 
Sai lầm thuộc loại này là do trực giác: dựa vào các mệnh đề sai do ngộ nhận, hoặc mệnh đề chưa được chứng minh là đúng, hoặc dựa vào mệnh đề tương đương với mệnh đề cần chứng minh. 
 Ví dụ 1: Tìm m để f(x) = 
(?): Để f(x) ≥ 0 .
 (!): Kết quả trên tuy đúng nhưng là đúng một cách ngẫu nhiên. Về nguyên tắc ta phải xét riêng trường hợp hệ số bậc 2 bằng 0. Chỉ khi nó khác 0 ta mới được dùng mệnh đề trên. 
Ví dụ 2: Giải hệ bất phương trình: x2-3x-2≥0x≥1 (1)
(?) Sai lầm thường gặp:
⟺(x-1)(x-2)≥0x≥1 ⟺x-2≥0x≥1 ⟺x≥2x≥1⟺x≥2.
(!): Với x=1 thì (1) nghiệm đúng, nên x=1 là nghiệm của (1).
Cách giải trên đã làm mất nghiệm của hệ phương trình.
Lời giải đúng: 
(1) ⟺x-1x-2=0x-1x-2>0x≥1 ⟺x-1x-2=0x≥1 x-1x-2>0 x≥1 ⟺x=1x≥2
Ví dụ 3: Tìm a để tập nghiệm sin2x=2a2-a 1và cos2x=3-4a (2) trùng nhau.
(?): Ta có: 2⟺1-2sin2x=3-4a⟺sin2x=2a-1
Do đó, yêu cầu bài toán ⟺2a2-a=2a-1⟺a=1a=12.
(!): Học sinh đã không xét đến tính chất của hàm số y=sin2x là có tập giá trị [0; 1]
(!): Yêu cầu bài toán ⟺2a2-a=2a-10≤2a-1≤1 .
Ví dụ 4: Tính giới hạn I=limx→02-4-x2x
Một số học sinh thực hiện: 
I=limx→02-4-x2x=limx→0(2-4-x2)(2-4-x2)x(2-4-x2)=limx→04-(4-x2)x(2-4-x2) 
 =limx→0xx(2-4-x2)=limx→01(2-4-x2)=12
(!): Cách giải trên đã sai lầm khi coi x2=x. Bài toán này phải xét giới hạn trái và giới hạn phải tại x = 0. Ta tính được limx→02-4-x2x=12; limx→02-4-x2x=-12. 
Do đó, giới hạn không tồn tại.
8. 2. Sai lầm về luận chứng
Sai lầm này chủ yếu sai lầm về suy luận không logic
Ví dụ 1: Giải phương trình x2-5x+6-2x2+x+6=0 (*)
Sai lầm thường gặp: (*) ⇔x2-5x+6=0⇔x=2x=3 !
(!): Nguyên nhân sai lầm: với x=2 thì mẫu thức -2x2+x+6=0 nên x=2 là nghiệm ngoại lai.
Ví dụ 2: Giải phương trình: xx2+1=x-2x2-2x-1(1)
(?): 1⟺1x+1-xx2+1=1x+1-x-2x2-2x-1⟺1-xx+1x2+1=1-x(x+1)(x2-2x-1)
⟺1-x=0 x2+1=x2-2x-1x+1≠0 ⟺x=1 x=-1x≠-1⟺x=1 
(!): Phép biến đổi từ xx2+1=x-2x2-2x-1 thành 1x+1-xx2+1=1x+1-x-2x2-2x-1 là không tương đương, tuy rằng kết quả vẫn đúng. 
Ví dụ 3: Kinh nghiệm cho thấy trong việc chứng minh bất đẳng thức, học sinh thường mắc sai lầm sau đây: Xuất phát từ bất đẳng thức phải chứng minh, họ thực hiện một loạt phép biến đổi và sau cùng đi tới một bất đẳng thức quen thuộc, chẳng hạn, chứng minh Bất đẳng thức Cauchy với hai số a, b không âm thì a+b2≥ab (1) 
Học sinh lập luận như sau: Bình phương hai vế của bất đẳng thức (1) ta được:
 (a+b2)2≥ab (2) 
Nhân hai vế của (2) với 4 ta được (a + b)2 ≥ 4ab. Chuyển vế phải sang vế trái, ta có: (a + b)2 – 4ab = (a - b)2 ≥ 0. Vì bất đẳng thức (a - b)2 ≥ 0 là đúng nên bất đẳng thức (1) cũng đúng.
Lập luận như trên của học sinh, về mặt logic, chưa phải là một phép chứng minh. Đó chỉ là một cố gắng để tìm đường lối chứng minh. Nếu ta kí hiệu các mệnh đề kế tiếp ở trên là: A=(a+b2≥ab); B=((a+b2)2≥ab) ; 
 C=((a+b)2≥4ab); D=((a+b)2≥0.
lập luận trên được mô tả như sau: A⟹B⟹C⟹D. Để chứng minh bất đẳng thức (1) cần lập luận theo chiều ngược lại, tức là chứng minh theo dãy kéo theo sau: D⟹C⟹B⟹A. 
Học sinh hay vận dụng các quy tắc suy luận sai nên: khi chứng minh phản chứng không biết phủ định một mệnh đề, nếu biết phủ định thì không phủ định hoàn toàn xét thiếu trường hợp, như lấy “lớn hơn” để mẫu thuẫn với “bằng nhau” là sai lầm bỏ sót, còn nếu lấy “không bằng nhau” hoặc “nhỏ hơn” lại phạm sai lầm “trùng lặp”, có nhiều cụm từ “nhiều nhất”, “ít nhất” gây nhiễu cho học sinh không biết nên phủ định thế nào, nhất là các mệnh đề chứa lượng từ với mọi, tồn tại.
Nhiều khi biết phải dẫn tới mâu thuẫn thì mới kết thúc chứng minh, nhưng học sinh chỉ nghĩ tới mâu thuẫn với giả thiết chứ không nghĩ rằng, có thể mâu thuẫn với một định lí, tiên đề, một kết luận đã chứng minh đúng, hoặc là dẫn đến hai mâu thuẫn lẫn nhau, không biết kết hợp cùng giả thiết dẫn tới mâu thuẫn với một chân lí khác. Trong quá trình chứng minh phản chứng, học sinh xem thường khi kết luận cuối cùng nên dễ sai lầm khi kết luận: lấy kết luận trung gian thay thế cho kết luận cuối cùng hoặc dùng một kết luận bộ phận thay thế cho kết luận toàn bộ.
Nhiều học sinh không hiểu đâu là điều kiện cần, điều kiện đủ. Trong bài sử dụng kí hiệu một cách tùy tiện, đặc biệt là phép toán kéo theo lại là nguyên nhân dẫn tới nhiều sai lầm. Sự thiếu hiểu biết về các quy tắc suy luận nên dẫn tới sai lầm trong lí luận và chứng minh, có học sinh cho rằng: Nếu dãy số tăng và bị chặn trên thì có giới hạn, mà dãy số có giới hạn nên dãy số phải tăng và bị chặn trên. Ngay việc sử dụng từ nối “hoặc”, “và” vẫn là điều khó khăn của rất nhiều học sinh. Chẳng hạn, khi biến đổi phương trình tích A. B = 0, học sinh vẫn viết A = 0 và B = 0. 
 Không nắm vững mối quan hệ giữa phép phủ định và các lượng từ nên học sinh dễ phát biểu sai các mệnh đề và nhiều khi dẫn đến các chứng minh sai, hoặc khó khăn trong chứng minh. Chẳng hạn, để chứng minh phương trình có nghiệm, học sinh nghĩ tới điều kiện để phương trình có nghiệm, ít để ý là cần chỉ ra một nghiệm là đủ. Thậm chí, khi giáo viên chỉ một nghiệm rõ ràng mà học sinh vẫn chưa chịu đó là phép chứng minh (cứ tưởng phép chứng minh phải là một lí luận gì đó thật ghê gớm!), hoặc như chứng minh hàm số không có tiệm cận, thì học sinh không biết làm như thế nào.
IV. HIỆU QUẢ MANG LẠI CỦA ĐỀ TÀI
- Đề tài được thiết kế cho giáo viên nhằm giúp giáo viên có cái nhìn chiều sâu hơn về nhận thức toán học cũng như tư duy logic của học sinh trong quá trình giải toán. Từ đó, giáo viên có thể dự đoán và có biện pháp sửa chữa sai lầm của học sinh trong dạy học các nội dung cụ thể.
- Đối tượng để áp dụng là học sinh đại trà, có khả năng học toán từ trung bình trở lên.
- Kết quả đạt được: Sau khi bản thân nghiên cứu đề tài, đồng thời triển khai đề tài vận dụng vào dạy toán thì các em học sinh hạn chế tối đa tình trạng giải sai, “sai lầm nối tiếp sai lầm”, tăng cường tính tích cực và độc lập cho học sinh trong tư duy cũng như quá trình vận dụng kiến thức vào thực tiễn.
C. KẾT LUẬN
I. NHỮNG BÀI HỌC KINH NGHIỆM
Để đề tài mang lại hiệu quả cao hơn thì cần phải bổ sung những mảng kiến thức liên kết sâu sát hơn với thực tiễn, mang tính “lối mòn”, phân dạng bài toán cụ thể, chi tiết hơn nữa và đối với mỗi dạng cần nêu kinh nghiệm giải. Bên cạnh đó, phải nêu được lời giải đúng chi tiết.
II. Ý NGHĨA CỦA ĐỀ TÀI
Các sai lầm của học sinh khi giải Toán còn tương đối phổ biến. Những sai lầm này được nhìn nhận từ góc độ các hoạt động toán học, đồng thời phân tích những nguyên nhân chủ yếu dẫn đến các khó khăn, và sai lầm đó;
Từ đó giúp học sinh hình thành được phương pháp và kỹ năng giải toán góp phần phòng tránh và sửa chữa các sai lầm của học sinh khi giải Toán, đồng thời góp phần quan trọng vào việc nâng cao hiệu quả dạy học môn Toán ở trường Trung học phổ thông.
III. KHẢ NĂNG ỨNG DỤNG VÀ TRIỂN KHAI
Đề tài dùng để rèn luyện các kỹ năng giải toán cho học sinh ở cấp THPT để các em đạt điểm tối đa khi tham gia kỳ thi THPT Quốc gia
Hướng phát triển của đề tài: Bổ sung thêm các bài toán khó, đa dạng, mang tính ứng dụng và gắn liền với thực tiễn hơn đồng thời đề xuất một số biện pháp sư phạm nhằm góp phần hạn chế sai lầm của học sinh trong dạy học Toán.
IV. NHỮNG KIẾN NGHỊ, ĐỀ XUẤT
 Đề tài này tôi viết với tinh thần trách nhiệm cao, mong muốn phần nào giúp thầy cô dạy Toán, các em học sinh THPT có tài liệu tham khảo và học tập, cũng hi vọng các thầy giáo, cô giáo và các em tìm thấy nhiều bổ ích, lí thú ở đề tài. Tuy nhiên đề tài chắc chắn sẽ không thoát khỏi thiếu sót. Tôi rất mong nhận được sự động viên, đóng góp chân thành của quý thầy cô và các em để đề tài được phong phú hơn, hoàn thiện hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Trần Văn Hạo (Tổng Chủ biên) – Vũ Tuấn (Chủ biên), Doãn Minh Cường – Đỗ Mạnh Hùng – Nguyễn Tiến Tài (2012), Đại số 10, NXB Giáo dục.
2. Trần Văn Hạo (Tổng Chủ biên) – Vũ Tuấn (Chủ biên), Doãn Minh Cường – Đào Ngọc Nam – Lê Văn Tiến – Vũ Viết Yên (2013), giải tích 11, NXB Giáo dục.
3. Trần Văn Hạo (Tổng Chủ biên) – Vũ Tuấn (Chủ biên), Lê Thị Thiên Hương – Nguyễn Tiến Tài – Cấn Văn Tuất (2013), giải tích 12, NXB Giáo dục.
4. Nguyễn Thi Mỹ Hằng – Phạm Xuân Chung – Trương Thị Dung (2016), Rèn luyện các thao tác tư duy cho học sinh trong dạy học môn Toán ở trường THPT, NXB Đại học Sư phạm.
5. Nguyễn Bá Kim (2002), Phương pháp dạy học môn Toán, NXB Đại học sư phạm.
6. Lê thống Nhất (1996), Rèn luyện năng lực giải Toán cho học sinh phổ thông trung học thông qua việc phân tích và sửa chữa sai lầm của học sinh khi giải Toán, Luận án Phó tiến sĩ khoa học Sư phạm – Tâm lí, Trường Đại học sư phạm Vinh, Vinh.
7. Các tài liệu trên mạng Internet.
____________________________________