Sáng kiến kinh nghiệm Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số

3
sin( ) | cos( ) |
2 3 2 3
x
 . 
 Nếu 3 sin6 2
x
 Nếu 3
2
sin( )
2 6 3
x
 . 
Bằng quy nạp ta chứng minh được: 
) i Nếu 
6 2
 thì: 
sin khi 2 1
sin( ) khi 2
3
n
n k
x
n k
) ii Nếu 
2 6
 thì: 
2
sin( ) khi 2 1
3 1
sin( ) khi 2
3
n
n k
x k
n k
  
. 
1) Dãy gồm toàn số dương 
sin 0 0
2 0
sin 0 3
3
6 3
Vậy 1
3
0
2
x là điều kiện cần phải tìm. 
2) Dựa vào kết quả trên ta có: 
 Nếu 1
1
sin sin
3 6 2
x
. Khi đó từ (1) ta có được 
1 2 ... ... ( )n nx x x x là dãy tuần hoàn. 
 Nếu 
1
1
1
1
2
1
2
x
x
thì dãy số có dạng 1 2 1 2, , , ,....x x x x 
 Nếu 1
1
1
2
x thì dãy số có dạng 1 2 3 2 3, , , , ....x x x x x 
49 
Ví dụ 4.11: Tính tổng 1 3 5 .. 2 1nS n , với n là số tự nhiên 1n . 
Giải: 
Ta có: 1 1S và 1 2 1n nS S n . Áp dụng nhận xét (1), ta đặt : 
( )n nS x n an b , thay vào (1), ta được: 
1 ( ) ( 1) ( 1) 2 1n nx x n an b n a n b n 
1 2 2 1n nx x an b a n ta chọn 1; 0a b 
2
1 1... 0n n nx x x S n . 
Ví dụ 4.12: Tính tổng 2 2 2 21 2 3 ...nS n với n là số tự nhiên 1n . 
Giải: Ta có 1 1S và 
2
1n nS S n (2). Sử dụng nhận xét 1, ta đặt 
2( )n nS x n an bn c . Thay vào (2) ta được: 
2 2 2
1 ( ) ( 1) ( 1) ( 1)n nx x n an bn c n a n b n c n 
2 2
1 3 (3 2 )n nx x an a b n a b c n 
Ta chọn 
1
33 1
1
, , : 3 2 0
2
0 1
6
a
a
a b c a b b
a b c
c
. 
2
1 1
(2 1)( 1)1 1 1
... 0
3 2 6 6n n n
n n n
x x x S n n n
. 
Ví dụ 4.13: Tính tổng 1.2.3 2.3.4 ... ( 1)( 2)nS n n n 1n . 
Giải: Ta có: 1 6S và 1 ( 1)( 2)n nS S n n n 2n . 
50 
Do 4 4 3 3
1 1
( 1)( 2) ( 1) ( 1)
4 2
n n n n n n n 
 2 2
1 1
( 1) ( 1)
4 2
n n n n 
. 
Đặt 4 3 2
1 1 1 1
( ) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)
4 2 4 2
f n n n n n 
1 1( ) ( 1) ... (1) 0n nS f n S f n S f 
( 1)( 1)( 3)
( )
4n
n n n n
S f n
 . 
Ví dụ 4.14: Trong mp cho n đường thẳng, trong đó không có ba đường nào đồng quy 
và đôi một không cắt nhau. Hỏi n đường thẳng trên chia mặt phẳng thành bao nhiêu 
miền ? 
Giải: Gọi na là số miền do n đường thẳng trên tạo thành. Ta có: 1 2a . 
Ta xét đường thẳng thứ 1n (ta gọi là d ), khi đó d cắt n đường thẳng đã cho tại n 
điểm và bị n đường thẳng chia thành 1n phần đồng thời mỗi phần thuộc một miền 
của na . Mặt khác với mỗi đoạn nằm trong miền của na sẽ chia miền đó thành 2 miền, 
nên số miền có thêm là 1n . Do vậy, ta có: 1 1n na a n 
Từ đây ta có: 
( 1)
1
2n
n n
a
 . 
Chú ý : Với giả thiết ở trong ví dụ trên nếu thay yêu cầu tính số miên bằng tính số đa 
giác tạo thành thì ta tìm được: 
( 2)( 1)
2n
n n
a
 . 
Ví dụ 4.15: Trong không gian cho n mặt phẳng, trong đó ba mặt phẳng nào cũng cắt 
nhau và không có bốn mặt phẳng nào cùng đi qua qua một điểm. Hỏi n mặt phẳng 
trên chia không gian thành bao nhiêu miền ? 
51 
Giải: 
Gọi nb là số miền do n mặt phẳng trên tạo thành 
Xét mặt phẳng thứ 1n (ta gọi là ( )P ). Khi đó ( )P chia n mặt phẳng ban đầu theo 
n 
giao tuyến và n giao tuyến này sẽ chia ( )P thành 
( 1)
1
2
n n 
 miền, mỗi miền này 
nằm trong một miền của nb và chia miền đó làm hai phần. 
Vậy 
2
1
2
2n n
n n
b b
 . 
Từ đó, ta có: 
2( 1)( 6)
6n
n n n
b
 . 
Ví dụ 4.16: Trong một cuộc thi đấu thể thao có m huy chương, được phát trong n 
ngày thi đấu. Ngày thứ nhất, người ta phất một huy chương và 
1
7
 số huy chương còn 
lại. Ngày thứ hai, người ta phát hai huy chương và 
1
7
 số huy chương còn lại. Những 
ngày còn lại được tiếp tục và tương tự như vậy. Ngày sau cùng còn lại n huy chương 
để phát . Hỏi có tất cả bao nhiêu huy chương và đã phát trong bao nhiêu ngày? (IMO 
1967). 
Giải: Gọi ka là số huy chương còn lại trước ngày thứ k 1a m , khi đó ta có: 
1
1
6 6 6
( 36) 6 42
7 7 7
k
k k k
k
a a a m k
1
6
( 36) 6 42
7
n
na n m n
1
7
36 7( 6)
6
n
m n
52 
Vì 6,7 1 và 16 6n n nên ta có 6 0 6 36n n m . 
Vậy có 36 huy chương được phát và phát trong 6 ngày. 
Ví dụ 4.17: Có bao nhiêu xâu nhị phân độ dài n trong đó không có hai bit 1 đứng 
cạnh nhau? 
Giải: Gọi nc là số xâu nhị phân độ dài n thỏa mãn điều kiện đầu bài. Ta có 1 2c ; 
2 3c . 
Xét xâu nhị phân độ dài n thỏa mãn điều kiện đầu bài có dạng 1 2 2 1......n n na a a a a . 
Có hai trường hợp 
 1na . Khi đó 1 0na và 2 2 1......na a a có thể chọn là một xâu bất kỳ độ dài 
2n thỏa điều kiện. Có 2nc xâu như vậy, suy ra trường hợp này có 2nc xâu. 
 0na . Khi đó 1 2 1......na a a có thể chọn là một xâu bất kỳ độ dài 1n thỏa điều 
kiện. Có 1nc xâu như vậy, suy ra trường hợp này có 1nc xâu. 
Vậy tổng cộng xây dựng được 1 2 n nc c xâu, hay 1 2n n nc c c . 
1 1
5 2 1 5 2 5 1 5
2 25 5
n n
nc
. 
Ví dụ 4.18: Cho số nguyên dương n . Tìm tất cả các tập con A của tập 
 1,2,3,...,2X n sao cho không tồn tại hai phần tử ,x y A thỏa mãn: 
2 1x y n (Thụy Sỹ 2006). 
Giải: 
Để giải bài toán này ta sẽ đi đếm số tập con A của X thỏa mãn luôn tôn tại hai phần 
tử ,x y A sao cho 2 1x y n (ta gọi tập A có tính chất T ). 
Gọi na là số tập con A của tập 1,2,...,2n có tính chất T 
53 
Khi đó các tập con 1,2,...,2 ,2 1,2 2A n n n xảy ra hai trường hợp. 
TH1: Trong tập A chứa hai phần tử 1 và 2 2n , trong trường hợp này số tập A có 
tính chất T chình bằng số tập con của tập gồm 2n phần tử 2,3,4,...,2 ,2 1n n và 
số tập con của tập này bằng 22 n . 
TH2: Trong tập A không chứa đầy đủ hai phần tử 1 và 2 2n . Khi đó A phải chứa 
một tập 'A là tập con của tập 2,3,4,...,2 ,2 1n n sao cho có hai phần tử 
', ' ' :x y A 
' ' 2 3x y n . Ta thấy số tập con 'A như trên chính bằng số tập con của tập 
{1,2,...,2 }n có tính chất T (Vì ta trừ các phần tử của 2,3,4,...,2 ,2 1n n đi một 
đơn vị ta được tập {1,2,...,2 }n và ', ' ' :x y A ' ' 2 1x y n ) 
Hơn nữa với mỗi tập 'A ta có được ba tập A (bằng cách ta chọn A là 'A hoặc 
{1} 'A hoặc {2 2} 'n A  ) 
Do vậy: 21 3 2 4 3
n n n
n n na a a 
Vậy số tập con thỏa mãn yêu cầu bài toán là: 4 3n nna . 
Bài tập áp dụng 
Bài 1: Tìm CTTQ của các dãy số sau 
1) 1 2 1 11; 0, 2 1, 2n n nu u u u u n n 
2) 1 2 1 10; 0, 2 3.2 , 2
n
n n nu u u u u n 
3) 1 2 1 10; 0, 2 3 2 , 2
n
n n nu u u u u n n 
4) 1 2 3 1 2 30, 1, 3, 7 11. 5. , 4n n n nu u u u u u u n 
54 
5) 
1
3 2
1 1 1
3
6
24 12 6 15 6 2n n n n
u
u u u u n
  
. 
6) 
1
1
1
3
3
2 3
 2
1 ( 3 2)
n
n
n
u
u
u n
u
  
. 
Bài 2: Cho dãy số nb xác định bởi : 1 2
1 2
2.
3
1, 2
n n nb b b n N n
b b
Chứng minh rằng 
5
,
2
n
nb n N
  
Bài 3: Cho dãy số nu thoả mãn như sau : 0 1
1 2
,
1, 9
10. , 2
n
n n n
u Z N
u u
u u u n N n
  
  
Chứng minh : , 1k N k . 
2 2
1 11) 10 . 8k k k ku u u u 
12) 5. 4k ku u và 
23. 1 2ku 
Bài 4: Cho dãy số nx xác định như sau: 
0 1
1 2
1; 0
2 2 2n n n
x x
x x x n
  
. 
Xác định số tự nhiên n sao cho : 1 22685n nx x . 
Bài 5: Cho dãy ( )nx được xác định bởi 
0 1
1 1
1; 5
6 1n n n
x x
x x x n
  
. 
Tìm lim 2n nx x (TH&TT T7/253). 
55 
Bài 6: Xét dãy 1
1
( ) :
2n
a a và 
1
1 2
2 2
1
1 (1 )
 1
2
n
n
a
a n
  
. 
Chứng minh rằng: 1 2 2005... 1,03a a a (TH&TT T10/335). 
Bài 7: Cho dãy 20 1( ) : 2; 4 15 60 1n n n na a a a a n  . Hãy xác định CTTQ 
của na và chứng minh rằng số 2
1
( 8)
5 n
a có thể biểu diễn thành tổng bình phương 
của ba số nguyên liên tiếp với 1n (TH&TT T6/262). 
Bài 8: Cho dãy số ( )p n được xác định như sau: (1) 1;p 
( ) (1) 2 (2) ... ( 1) ( 1)p n p p n p n 2n . Xác định ( )p n (TH&TT 
T7/244). 
56 
V. THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 
5.1. Mục đích thực nghiệm 
 Thực nghiệm sư phạm được tiến hành nhằm mục đích kiểm nghiệm tính khả thi 
của đề tài và hiệu quả của các biện pháp rèn luyện cho học sinh kĩ năng giải quyết các 
dạng toán tìm số hạng tổng quát của dãy số và áp dụng tìm số hạng tổng quát vào giải 
các bài toán liên quan về dãy số; kiểm nghiệm tính đúng đắn của giả thuyết khoa học. 
5.2. Tổ chức và nội dung thực nghiệm 
5.2.1. Tổ chức thực nghiệm 
 Thực nghiệm sư phạm được tiến hành tại trường THPT Cửa Lò, Thị Xã Cửa Lò- 
Nghệ An 
- Lớp thực nghiệm 11A1.1 
- Lớp đối chứng 11A1.2 
Hai lớp có mặt bằng kiến thức tương đồng nhau 
5.2.2. Nội dung thực nghiệm 
 Thực nghiệm được tiến hành sau khi học trong chương dãy số, cấp số cộng, cấp số 
nhân. Sau khi dạy thực nghiệm, chúng tôi cho học sinh làm bài kiểm tra dạng tự luận. 
Sau đây là nội dung đề kiểm tra 
Đề kiểm tra (thời gian 60 phút) 
Câu 1: Cho dãy số ( )nu xác định như sau: 
1
1
5
3 2n n
u
u u n
Tìm công thức số hạng tổng quát 
Câu 2: Cho dãy số ( )nu xác định như sau: 
1
1
5
( 1)
3
n
n
u
n u
u
n
với 1n 
Tìm công thức số hạng tổng quát 
57 
Câu 3: Cho dãy 
  
1 2
2
1
2
2
( ) : 3
 2n nn
n
u u
u u
u n
u
. Tìm nu ? 
 Việc ra đề như trên hàm chứa những dụng ý sư phạm, tất nhiên đề kiểm tra này 
dành cho học sinh ở hai lớp thực nghiệm và đối chứng (hai lớp này có học sinh học 
lực khá trở lên). Xin được phân tích rõ hơn về điều này và đồng thời đánh giá sơ bộ 
về chất lượng làm bài của học sinh. 
 Đề kiểm tra như trên là không quá khó và cũng không quá dễ so với trình độ 
học sinh. Có thể nói mức độ đề như trên thì sẽ phân hóa được trình độ của học sinh, 
đồng thời cũng đưa ra cho giáo viên sự đánh giá chính xác về mức độ nắm kiến thức 
của học sinh. Cả ba câu trong đề kiểm tra đều không nặng về tính toán, mà chủ yếu là 
kiểm tra khả năng suy luận, vận dụng kiến thức đã được học về cách tìm số hạng tổng 
quát của dãy số. 
Kết quả: 
TT Lớp Số bài Điểm dưới TB Điểm TB Điểm khá Điểm giỏi 
SL % SL % SL % SL % 
 1 11A1.1 38 4 10,5 13 34,2 16 42,1 5 13,1 
 2 11A1.2 40 7 17,5 19 47,5 11 27,5 3 7,5 
Nhận xét: 
-) Ở lớp thực nghiệm: tỉ lệ học sinh học có điểm trung bình và dưới trung bình thấp 
hơn ở lớp đối chứng, tỉ lệ khá và giỏi cao hơn. 
-) Ở lớp đối chứng: Tỉ lệ học sinh có điểm trung bình và dưới trung bình cao hơn ở 
lớp thực nghiệm, tỉ lệ có điểm khá giỏi thấp hơn. 
Điều đó cho thấy học sinh ở lớp thực nghiệm lĩnh hội, tiếp thu và vận dụng kiến thức 
tốt hơn. Khả năng nhìn nhận và giải quyết các bài toán tìm công thức tổng quát của 
dãy số tốt hơn so với lớp đối chứng. 
58 
 C. KẾT LUẬN 
1. Một số kinh nghiệm rút ra 
1.1. Đối với giáo viên 
 Trước một bài toán cơ bản nếu có thể tìm tòi được bản chất, nguồn gốc và đưa 
ra các dạng toán mới luôn có tác dụng lớn đối với học sinh, đặc biệt là học sinh khá 
giỏi. Kinh nghiệm cho thấy học sinh hứng thú tìm hiểu các vấn đề đơn giản từ đó xây 
dựng lên các dạng toán hơn là việc giải quyết các bài toán khó. Vì thế trong quá trình 
giảng dạy giáo viên cần nâng cao tính tích cực, chủ động và sáng tạo của học sinh. 
Cần hướng dẫn cho học sinh cách thức sáng tạo ra các vấn đề mới từ các vấn đề đã 
biết. 
1.2. Đối với học sinh 
 Trong quá trình đổi mới dạy học thì đổi mới phương pháp dạy học là một nội 
dung trọng tâm. Đối với phương pháp dạy học mới học sinh luôn đóng vai trò trung 
tâm, là chủ thể của quá trình nhận thức, là người tự khám phá và chiếm lĩnh tri thức 
cho mình. Vì vậy học sinh cần phải tránh cách học thụ động, máy móc, thiếu tính 
sáng tạo. Đứng trước một bài toán ngoài việc tìm ra lời giải học sinh cần phải đặt ra 
mục tiêu tìm ra tìm ra phương pháp chung để giải dạng toán đó, phân tích tìm tòi và 
đưa ra các dạng bài toán mới nếu có thể. 
2. Những kết luận 
2.1. Tính mới mẻ 
 Đề tài có được những điểm mới mẻ sau: 
 Từ bài toán về CSC –CSN , chúng tôi xây dựng được 12 dạng toán xác định số 
hạng tổng quát, mỗi dạng toán đều nêu ra hướng tư duy, suy nghĩ để dẫn đến 
dạng toán đó. 
 Sau đó sử dụng phép thế lượng giác, phương pháp hàm sinh để xây dựng cách 
xác định số hạng tổng quát của dãy số. 
59 
 Tiếp theo là ứng dụng các bài toán tìm CTTQ của dãy số vào giải một số bài 
toán về dãy số- tổ hợp. 
 §Æc biÖt viÖc viÕt s¸ng kiÕn kinh nghiÖm nµy hoµn toµn ®éc lËp víi c¸c tµi liÖu 
®· cã vµ c¸c bµi to¸n lµ kh«ng sao chÐp tõ c¸c tµi liÖu. 
 Víi dung l-îng 60 trang giÊy A4 t-ng ®-¬ng víi 20 tiÕt häc trªn líp. Kh«ng 
nhÊt thiÕt gi¶ng d¹y triÖt ®Ó theo néi dung ®Ò tµi nµy , mµ ta cã thÓ chän läc 
nh÷ng vÊn ®Ò cÇn thiÕt ,®Æc biÖt lµ t- t-ëng vµ lèi suy nghÜ trong s¸ng kiÕn 
kinh nghiÖm nµy ®Ó gi¶ng d¹y cho häc sinh 
 Qua thùc tÕ gi¶ng d¹y ë líp 11A1.1 t«i ®· tr×nh bµy trong 20 tiÕt víi kho¶ng 
8/10 néi dung s¸ng kiÕn kinh nghiÖm nµy vµ ®· b-íc ®Çu t¹o ®-îc sù høng thó 
cho häc sinh. 
 S¸ng kiÕn nµy míi chØ lµ mét vÝ dô nhá vÒ t- t-ëng khai th¸c h×nh thµnh c¸c 
d¹ng to¸n ®Ó ¸p dông t×m sè h¹ng tæng qu¸t cña d·y sè. T«i hi väng r»ng nã sÏ 
gióp c¸c thÇy c« gi¸o mét phÇn nµo ®ã trong c«ng t¸c gi¶ng d¹y. 
2.2. Tính khoa học 
 Nội dung của đề tài được trình bày khoa học, các lập luận chính xác. Hệ thống 
lý thuyết đúng đắn, có sức thuyết phục. 
2.3. Tính hiệu quả 
 Đề tài được áp dụng trong quá trình dạy học của giáo viên và học sinh đặc biệt 
là đối với học sinh lớp 11 và học sinh ôn luyện thi học sinh giỏi, có trên 60% học sinh 
giải quyết được các đề thi sau khi tiếp cận đề tài này. 
 Đề tài có thể làm tài liệu tham khảo cho học sinh và giáo viên. Nó đáp ứng một 
phần việc đổi mới phương pháp giảng dạy toán ở trường THPT hiện nay. Đặc biệt đề 
tài phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo của người học. 
3. Những đề xuất 
 Đề tài này có thể mở rộng theo hướng: “Từ dạng bài toán tìm công thức, tìm số 
hạng tổng quát ta sẽ sáng tạo lớp các bài toán mới về dãy số và vận dụng lớp các bài 
60 
toán tìm số hạng tổng quát của dãy số để giải một số bài toán liên quan đến dãy số ở 
mức độ khó hơn”. 
 Cửa Lò, ngày 15 tháng 4 năm 2022 
 Người thực hiện: 
 Nguyễn Xuân Hòa 
61 
MỤC LỤC 
A. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI .............................................................................1 
B. NỘI DUNG ................................................................................................3 
I. SỬ DỤNG CSC – CSN ĐỂ XÂY DỰNG CÁCH TÌM CTTQ CỦA MỘT 
SỐ DẠNG DÃY SỐ CÓ CÔNG THỨC TRUY HỒI ĐẶC BIỆT....................3 
II. SỬ DỤNG PHÉP THẾ LƯỢNG GIÁC ĐỂ XÁC ĐỊNH CTTQ CỦA 
DÃY SỐ ......................................................................................................27 
III. XÁC ĐỊNH CTTQ BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SINH..................33 
IV. ỨNG DỤNG BÀI TOÁN TÌM CTTQ CỦA DÃY SỐ VÀO GIẢI MỘT 
SỐ BÀI TOÁN VỀ DÃY SỐ - TỔ HỢP .........................................................38 
V. THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM .................................................................54 
C. KẾT LUẬN .....56 
TÀI LIỆU THAM KHẢO ..60 
62 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
 [1] Đại Số và Giải Tích lớp 11 Nâng Cao 
 [2] Các bài thi Olympic Toán THPT Việt Nam, Tủ sách TH&TT – NXB GD 2007 
 [3] Một số bài toán chọn lọc về dãy số , Nguyễn Văn Mậu, NXBGD – 2003 
 [4] Các phương pháp đếm nâng cao, Trần Nam Dũng 
 [5] Tạp chí Toán Học Và Tuổi Trẻ 
 [6] Các diễn đàn Toán học như: maths.vn ; diendantoanhoc.net ; mathscop.org  
 [7] Tuyển tập các chuyên đề thi Olympic 30 – 4 Khối 11 
 [8] Phép quy nạp trong hình học, Yaglom – L.I.Golovina – IM (Khổng Xuân Hiển 
dịch xuất bản năm 1987) 
 [9] Phương pháp xác định số hạng tổng quát - Nguyễn Tất Thu