Sáng kiến kinh nghiệm Một số phương pháp vẽ thêm yếu tố phụ trong giải toán hình học lớp 7 - Nguyễn Thị Thu Hằng

oạn thẳng thứ ba đó. 
 Đường phụ cần vẽ thêm là đường thẳng qua B và song song với AC cắt DE ở F, BF chính là đoạn thẳng thứ ba.
Chứng minh
GT
DABC; AB < AC; MB=MC= 12BC
AH là tia phân giác của góc BAC
DE ^ AH ;
KL
BD = CE

Vẽ đường thẳng qua B và song song với AC, gọi F là giao điểm của đường thẳng này với đường thẳng DE.
Ta có: BF // CE ⇒ MBF=MCE ( so le trong)
Xét D MBF và D MCE có: 
MBF=MCE ; MB = MC ( gt); BMF=CME ( đối đỉnh)
Þ D MBF = D MCE (g . c . g) Þ BF = CE ( 2 cạnh tương ứng) (1) 
Mặt khác ta có D ADE có AH ^ DE và AH cũng là tia phân giác của DAE ( gt)
Do đó: D ADE cân tại A Þ BDF=AED 
Mà BF // CE Þ BFD=AED ( đồng vị). Do đó : BDF=BFD 
D BDF cân tại B Þ BF = BD (2) 
Từ (1) và (2) suy ra: BD = CE	
Nhận xét Cách vẽ đường phụ trong bài toán này nhằm tạo ra đoạn thẳng thứ ba cùng bằng hai đoạn thẳng cần chứng minh. Đây là cách rất hay sử dụng trong nhiều bài toán. Cách giải này cũng được áp dụng để giải một số bài toán rất hay trong chương trình THCS.
2.5. Phương pháp 5: Phương pháp tam giác đều.
 Đây là một phương pháp rất đặt biệt, nội dung của nó là tạo thêm được vào trong hình vẽ các cạnh bằng nhau, các góc bằng nhau giúp cho việc giải toán được thuận lợi. Để tạo thêm được vào trong hình vẽ các cạnh bằng nhau, các góc bằng nhau ta có thể vẽ tam giác cân, và đặc biệt là tam giác đều.
 Chúng ta thường sử dụng phương pháp tam giác đều khi hình vẽ đã có một tam giác cân với một góc có số đo cho trước
 Đối với các bài tập về tính số đo góc, trước tiên ta cần chú ý đến những tam giác chứa góc có s ố đo xác định như :
Tam giác cân có m ột góc xác định.
Tam giác đều.
Tam giác vuông cân.
Tam giác vuô ng có m ột góc nhọn đã biết hay cạnh góc vuông b ằng nửa cạnh huyền...
 Sau đó ta nghĩ đến việc tính số đo của góc cần tìm thông qua mối liên hệ với các góc của một trong các hình chứa góc có số đo hoàn toàn xác định nêu trên (Thường là đi với mối liên hệ bằng nhau của một tam giác rồi rút ra góc tương ứng của chúng bằng nhau).
 Bài toán1 : Cho tam giác ABC cân tại A có A=200 .Trên cạnh AB lấy điểm D sao cho AD = BC. Chứng minh DCA=12A 
Phân tích bài toán D ABC cân tại A, A=200; AD = BC ( D Î AB).
 Yêu cầu chứng minh DCA=12A 
Hướng suy nghĩ Bài cho tam giác ABC cân tại A có, A=200 suy ra góc ở đáy là .Ta thấy là số đo mỗi góc của tam giác đều. Vậy ta vẽ tam giác đều BMC.
A
B
C
D
M
Chứng minh
GT
DABC; AB = AC; A=200
AD = BC (D ÎAB)
KL
DCA=12A 
DABC có AB = AC; A=200 ( gt)
Suy ra: 
Vẽ tam giác đều BCM ( M và A cùng thuộc nửa mặt phẳng bờ BC).
Ta được: AD = BC = CM.
D MAB = D MAC ( c . c . c) Þ MAB=MAC=200:2= 100
 ABM=ACM=800-600= 200 
Xét DCAD và DACM có:
 AD = CM ( chứng minh trên) 
CAD=ACM(=200) 
 AC là cạnh chung
Suy ra : DCAD = DACM ( c . g . c )
 Þ DCA=MAC= 100
Vậy DCA=12A 
Nhận xét: Đề bài cho tam giác cân ABC có góc ở đỉnh là ,suy ra góc ở đáy là .
 Ta thấy là số đo mỗi góc của tam giác đều. Chính sự liên hệ này gợi ý cho ta vẽ tam giác đều BCM vào trong tam giác ABC.Với giả thiết AD = BC thì vẽ tam giác đều như vậy giúp ta có mối liên hệ bằng nhau giữa AD với các cạnh của tam giác đều, từ đó chứng minh bằng nhau là quá dể dàng.
b) Bài toán 2: Cho tam giác ABC vuông tại A , C=150. Trên tia BA lấy điểm O sao cho BO = 2 AC. Chứng minh rằng tam giác OBC cân .
Phân tích bài toán : Bài cho tam giác ABC vuông tại A , C=150. Trên tia BA lấy điểm O sao cho
 BO = 2 AC. Chứng minh rằng tam giác OBC cân tại O
Hướng suy nghĩ: Ta thấy C=150suy ra A=750-150=600 là số đo của mỗi góc trong tam giác đều. do đó sử dụng phương pháp tam giác đều vào việc giải bài toán.
O
B
H
A
C
M
M
Chứng minh: 
GT
DABC; = 900; = 150
O Î tia BA: BO = 2AC
KL
D OBC cân tại O
Ta có : DABC; = 900; = 150 (gt)
Þ = 750
Vẽ tam giác đều BCM ( M và A cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ BC) 
 Ta có OBM= 150
Gọi H là trung điểm của OB thì ∆HMB = ∆ABC ( c-g-c)
Þ = 900
Þ D MOB cân tại M Þ BMO = 1500
Þ CMO = 3600 – ( 1500 + 600 ) = 1500
DMOB = DMOC ( c – g – c) Þ OB = OC, vậy D OBC cân tại O.
Ngoài cách 1 ra bài toán trên còn có 3 cách khác:
 Cách 2: Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ BC có chứa điểm A vẽ tia Cy, sao cho góc BCy = 750. Gọi O’ là giao điểm của tia Cy và tia BA
 Cách 3: Trên nửa mặt phẳng bờ BO có chứa điểm C, vẽ tam giác OBD đều. Gọi M là trung điểm BD
 Cách 4: Gọi D là giao điểm của đường trung trực đoạn thẳng BC với AB. Suy ra tam giác DBC cân tại D. chứng minh D trùng O
 Nhận xét:
 Trong bài toán trên đã sử dụng phương pháp tam giác đều vào việc giải bài toán vì phát hiện thấy C=150suy ra A=750-150=600 là số đo của mỗi góc trong tam giác đều, điều này gợi ý cho ta vẽ tam giác đều BCM như trêm. Nhờ có các cạnh của tam giác đều bằng nhau, các góc của tam giác đều là 600, ta chứng minh được ∆HMB = ∆ABC ( c- g –c); ∆MOB = ∆MOC ( c –g – c) dẫn đến tam giác OBC cân tại O, đó chính là tác dụng của “ phương pháp tam giác đều”
MỘT SỐ BÀI TẬP LUYỆN TẬP
 Bài 1: Cho ∆ABC vuông tại A (AB < AC). Lấy các điểm M thuộc cạnh AC, H thuộc cạnh BC sao cho MH vuông góc với BC và MH = HB. Chứng minh rằng AH là tia phân giác của góc A.
Bài 2: Tam giác ABC có đường cao AH và trung tuyến AM chia góc A thành ba góc bằng nhau. Chứng minh rằng ∆ABC là tam giác vuông
Bài 3: Cho góc vuông xOy, tia phân giác Oz. từ A thuộc tia Oz kẻ AB ⊥ Ox, AC ⊥ Oy (B ∈ Ox, C ∈ Oy). Lấy điểm M trên AB, nối MO rồi từ M vẽ đường thẳng tạo với MO một góc bằng góc BMO và cắt AC tại N. Tính MON.
Bài 4: Cho △ABC vuông tại A, đường trung tuyến AM. Chứng minh rằng BC = 2AM
Bài 5: Cho △ABC. Vẽ đoạn thẳng AD vuông góc và bằng AB (D và C nằm khác phía đối với AB). Vẽ đoạn thẳng AE vuông góc và bằng AC (E và B nằm khác phía đối với AC). Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng AM ⊥ DE.
Bài 6: Trên cạnh BC của △ABC lấy các điểm E và F sao cho BE = CF. Qua E và F, vẽ các đường thẳng song song với BA, chúng cắt cạnh AC theo thứ tự ở G và H. 
Chứng minh rằng EG + FH = AB.
Bài 7: Cho △ABC có AB < AC. Gọi M là trung điểm của BC. Từ M kẻ đường vuông góc với tia phân giác của góc A, cắt tia này tại N, cắt tia AB tại E và cắt tia AC tại F. 
Chứng minh rằng AE = AF ;
Bài 8: giác Cho △ABC vuông cân tại A, D là điểm nằm trong tam giác ABC sao cho tam giác DAC cân có góc D = 1500. Tính số đo góc ADB
Bài 9: Cho tam giác ABC vuông tại A, AH là đường cao. Cho biết BH – HC = AC. 
Chứng minh rằng ABC = 300
Bài 10: : Cho tam giác ABC vuông tại A, BD là đường phân giác. Đường thẳng vuông góc với AC tại C cắt BD tại E. chứng minh rằng chu vi tam giác ABD nhỏ hơn chu vi tam giác CDE
D. Hiệu quả áp dụng
Trong quá trình dạy học hình học, tôi đã áp dụng đề tại này không chỉ đề dạy và bồi dưỡng cho học sinh khá giỏi mà còn linh hoạt dạy cho học sinh đại trà. Đặc biệt là đối với học sinh lớp 7, bắt đầu làm quen với chứng minh hình học. Tuy lúc đầu các em còn ngại học hình và nói chung rất sợ các bài toán chứng minh. Hầu như học sinh chỉ có ý thức làm bài tìm một lời giải và dừng lại không suy nghĩ thêm sau khi có kết quả của bài toán, thỏa mãn với chính mình. Các em chưa thấy được tác dụng mạnh của việc nhìn bài toán dưới nhiều góc độ, nhiều khía cạnh khác, rèn cho mình được thói quen suy nghĩ tích cực, phát triển tư duy sáng tạo, tính kiên trì, độc lập (những đức tính tốt và cần thiết của người học toán). Song, qua một thời gian kiên trì, linh hoạt áp dụng đề tài và dạy học sinh theo ý tưởng trên, đến nay, hầu hết các em đã tham gia, hưởng ứng một cách tích cực, chủ động, vận dụng kiến thức khá thành thạo khi làm một số dạng bài có liên quan từ dễ đến khó. Quan trọng hơn, các em không còn cảm thấy hình học đáng ngại, đáng sợ nữa. Do đó, trong học toán nói chung và hình học nói riêng các em đã nhiệt tình, chủ động, tích cực hơn, có nhiều phát hiện thể hiện sự tìm tòi, sáng tạo bước đầu rất tích cực.
Thực tế, tôi đã sử dụng vào giảng dạy cho khối 7 tại trường THCS nơi tôi công tác trong năm học 2017-2018 vừa qua thì kết quả cho thấy học sinh đều có ý thức thi đua nhau học tập, rất hào hứng phát biểu cách suy nghĩ, tìm tòi, phát hiện của mình về cách giải khác, bài toán mới, . Và tôi thấy tinh thần học tập của các em sôi nổi, phấn khởi hơn, khả năng tự nghiên cứu toán học của các em được phát huy một cách tích cực; kết quả học tập môn toán, nhất là hình học có nhiều tiến bộ. Các em không những nắm vững kiến thức trong SGK, các em còn có cố gắng trong việc tìm hiểu giải các bài toán nâng cao, các bài toán khó, bước đầu có thói quen tốt: biết chịu khó, tích cực tìm tòi khai thác, phát triển các bài toán cho trước.
 Cụ thể: Các năm trước khi chưa thực hiện phương pháp mới thì kết quả chất lượng môn toán khối 7 của HS chưa cao, tỉ lệ HS yếu hình từ 15% - 20% và HS không thích học hình học .Nhưng ở năm áp dụng đề tài này thì kết quả được cải thiện đáng kể như sau
Giỏi
Khá
TB
Yếu
Kém
Năm học 2017- 2018
20%
47%
25 %
8 %


KẾT LUẬN
I. Ý nghĩa của đề tài: Việc nhìn nhận và chứng minh được một bài toán hình học góp phần rất quan trọng trong việc nâng cao năng lực tư duy cho học sinh khi học môn Toán- nhất là việc bồi dưỡng học sinh giỏi. Qua quá trình giảng dạy và nghiên cứu, bản thân tôi nhận thấy:
Các giáo viên giảng dạy toán đều đánh giá cao tầm quan trọng của việc chứng minh một bài toán hình học mà bằng lập luận, phân tích  HS đã giải được. Mở rộng, phát triển thêm các bài toán khác (đơn giản hoặc phức tạp hơn) nhằm phát triển tư duy sáng tạo, linh hoạt, độc lập, tích cực suy nghĩ cho cả người dạy và người học.
Trong quá trình giảng dạy và học tập toán,việc khai thác, tìm hiểu sâu các cách giải khác nhau, kẻ thêm nhiều đường phụ. Nó không chỉ giúp chúng ta nắm bắt kĩ kiến thức của một dạng toán mà nó còn nâng cao tính khái quát, đặc biệt hóa, tổng quát hóa một bài toán, từ đó phát triển tư duy, nâng cao tính sáng tạo, linh hoạt cho các em học sinh, giúp cho học sinh nắm chắc, hiểu sâu rộng kiến thức hơn một cách logic, khoa học, tạo hứng thú khoa học yêu thích bộ môn toán hơn.
Sau một thời gian kiên trì, nghiêm túc và nỗ lực thực hiện với sự giúp đỡ của đồng nghiệp, tôi đã hoàn thành sáng kiến với đề tài “một số phương pháp vẽ thêm yếu tố phụ trong giải toán hình học lớp 7”. Tôi mong muốn được học hỏi, trao đổi thêm cùng tất cả đồng nghiệp và bạn đọc quan tâm vần đề này. Đồng thời, tôi cũng hi vọng đề tài này sẽ đóng góp một phần nhỏ trong việc bổ sung hiểu biết, góp phần làm tài liệu tham khảo cho công tác giảng dạy toán cũng như học toán, từ đó nâng cao được chất lượng dạy và học môn toán trong nhà trường.
II. Khả năng áp dụng
Với đối tượng học sinh trung bình trở xuống khả năng lĩnh hội kiến thức, tư duy, nhận thức chậm nên sự chuyển tải kiến thức rất khó khăn, nhất là dạng toán chứng minh hình học, sử dụng yếu tố phụ. Do vậy cần có thời gian và phải vận dụng linh hoạt, thường xuyên, kiên trì và cần có nhiều tài liệu tham khảo liên quan.
Muốn dạy học sinh biết cách “vẽ thêm yếu tố phụ trong chứng minh hình học”, bản thân GV phải thường xuyên thực hiện điều đó, liên tục tìm tòi, nghiên cứu, học hỏi kinh nghiệm qua đồng nghiệp, sách, báo và đặc biệt là qua các trang Web có liên quan ; GV cần có sự chủ động, có kế hoạch trong từng ngày, từng giờ lên lớp.
III. Bài học kinh nghiệm
Để chất lượng học tập của học sinh ngày càng nâng cao người giáo viên cần nắm vững kiến thức bài dạy, kiến thức chương trình, phải tốn thời gian suy nghĩ tạo ra những tình huống dẫn dắt học sinh để các em học tập bằng cách tự học là chính. Trong quá trình giảng dạy thực hành kiểm nghiệm giáo viên phải biết tích lũy rút ra nhiều điều bổ ích cho mình. Bên cạnh đó cần phải thường xuyên kiểm tra nắm bắt thông tin qua việc học tập kinh nghiệm của đồng nghiệp, tham gia nghiêm túc việc tự học, tự bồi dưỡng và nghiên cứu các chuyên đề để bổ sung một cách hợp lý chắc chắn việc nâng cao chất lượng học sinh qua các bộ môn nói chung và môn Toán nói riêng là một việc làm có thể.
Giáo viên phải nắm vững kiến thức, phương pháp có liên quan đến các yếu tố trung gian nhiều hơn.
Trong các phương pháp, các dạng bài tập phải rèn luyện cho học sinh tính cẩn thận, tư duy sáng tạo, kỹ năng phân tích và áp dụng.
Thường xuyên dự giờ đồng nghiệp để rút kinh nghiệm cho mình.
Thường xuyên cập nhật thông tin nhất là Thư viện đề thi và đề kiểm tra trên Web.
IV. Đề xuất kiến nghị: 
Để đạt được kết quả cao trong quá trình giảng dạy tôi rất mong các cấp lãnh đạo tạo điều kiện tốt hơn về cơ sở vật chất, đồ dùng dạy học và tổ chức các cuộc thảo luận chuyên môn để mỗi giáo viên có thêm nhiều kinh nghiệm để tổ chức giờ học tốt hơn.
Việc khai thác, phát triển từ bài toán quen thuộc đã biết, giúp cho học sinh định hướng tìm ra lời giải một bài toán hình học là một vấn đề rất quan trọng và không thể thiếu được trong công tác dạy học toán nói chung và dạy hình học nói riêng. Phong trào thi viết sáng kiến trong các trường học là một phong trào có tác dụng tốt, rất có ý nghĩa, đặc biệt là trong xu thế thời đại đang rất cần sự sáng tạo, chủ động, tích cực trên mọi lĩnh vực công tác hiện nay. Vì vậy, tôi mạnh dạn và mong muốn Phòng giáo dục đào tạo và cấp trên duy trì phong trào này, khích lệ động viên các tập thể, cá nhân có những sáng kiến hữu hiệu, tích cực; có hình thức phổ biến, trao đổi về các sáng kiến hay tới đông đảo giáo viên.
Tuy đã cố gắng nhưng do kinh nghiệm của bản thân còn nhiều hạn chế nên nội dung đề tài này chắc chắn không tránh khỏi sai sót. Rất mong được sự trao đổi, đóng góp ý kiến của các thầy, cô giáo để đề tài được hoàn thiện hơn.
Trên đây là những ý kiến của bản thân tôi trong quá trình công tác. Vì thời gian ngắn nên bài viết còn nhiều thiếu sót. Rất mong được sự góp ý, rút kinh nghiệm của quý thầy cô giáo, quý bạn đọc để sáng kiến của tôi được hoàn thiện hơn và đi vào thực tiễn. Tôi xin trân thành cảm ơn!
TÀI LIỆU THAM KHẢO
SGK Toán 7 – NXBGD
SBT Toán 7 – NXBGD
Phương pháp dạy học môn Toán 7 – NXBGD (dùng cho hệ CĐSP)
Nâng cao và phát triển Toán 7 – NXBGD
Vẽ thêm yếu tố phụ để giải một số bài toán hình học 7 – Nguyễn Đức Tấn – NXBGD
 Toán nâng cao và các chuyên đề Hình học 7. Nhà xuất bản giáo dục.
MỤC LỤC
STT
Tên mục
Trang
1
ĐẶT VẤN ĐỀ
1
2
NỘI DUNG ĐỀ TÀI

3
Cơ sở lý luận
1
4
Cơ sở thực tiễn
2
5
Giải quyết vấn đề
2
6
Giải pháp thực hiện
2
7
Nội dung cụ thể

8
1. Phương pháp 1: Trên một tia cho trước, đặt một đoạn thẳng bằng đoạn thẳng cho trước.
3-5
9
2.Phương pháp 2 : Vẽ trung điểm của một đoạn thẳng, vẽ tia phân giác của một góc.
5-7
10
3. Phương pháp 3: Nối hai điểm có sẵn trong hình hoặc vẽ thêm giao điểm của hai đường thẳng
7 - 10
11
4.Phương pháp 4: Từ một điểm cho trước, vẽ một đường thẳng song song hay vuông góc với một đường thẳng cho trước
10 - 14
12
5. Phương pháp 5: Phương pháp tam giác đều.
14-16
13
Một số bài tập luyện tập
16
14
D.. Hiệu quả áp dụng
17
15
KẾT LUẬN
18
16
I. Ý nghĩa của đề tài
18
17
II. Khả năng áp dụng
18
18
III. Bài học kinh nghiệm
18
19
IV. Đề xuất kiến nghị
18 - 19

NHẬN XÉT CỦA HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN
TRƯỜNG THCS TRẦN QUỐC TOẢN
 Bình Tân, ngày ..tháng.năm 2019
 TM HỘI ĐỒNG
 CHỦ TỊCH
NHẬN XÉT CỦA HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẬN BÌNH TÂN
 Bình Tân, ngày ..tháng.năm 
 TM HỘI ĐỒNG
 CHỦ TỊCH