Sáng kiến kinh nghiệm Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử

m tra ta thấy 3 là nghiệm của f(x). Do đó, ta tách các hạng tử như sau :
 = (x – 3)(4x2 – x + 6)
Hệ quả 4. Nếu f(x) = (là các số nguyên) có nghiệm hữu tỉ x = , trong đó p, q Î Z và (p , q)=1, thì p là ước a0, q là ước dương của an .
Chứng minh
Ta thấy f(x) có nghiệm x = nên nó có một nhân tử là (qx – p). Vì các hệ số của f(x) đều nguyên nên f(x) có dạng: f(x) = (qx – p)
Đồng nhất hai vế ta được qbn–1 = an , –pb0 = ao. Từ đó suy ra p là ước của a0, còn q là ước dương của an (đpcm).
Ví dụ 10. Phân tích đa thức f(x) = 3x3 - 7x2 + 17x - 5 thành nhân tử.
Hướng dẫn
	Các ước của –5 là ± 1, ± 5. Thử trực tiếp ta thấy các số này không là nghiệm của f(x). Như vậy f(x) không có nghiệm nghuyên. Xét các số , ta thấy là nghiệm của đa thức, do đó đa thức có một nhân tử là 3x – 1. Ta phân tích như sau :
	f(x) = (3x3 – x2) – (6x2 – 2x) + (15x – 5) = (3x – 1)(x2 – 2x + 5). 
Đối với đa thức nhiều biến
Ví dụ 11. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
2x2 - 5xy + 2y2 ;
x2(y - z) + y2(z - x) + z2(x - y).
Hướng dẫn
Phân tích đa thức này tương tự như phân tích đa thức f(x) = ax2 + bx + c.
Ta tách hạng tử thứ 2 :
 2x2 - 5xy + 2y2 = (2x2 - 4xy) - (xy - 2y2) 
 = 2x(x - 2y) - y(x - 2y)
 = (x - 2y)(2x - y)
Nhận xét z - x = -(y - z) - (x - y). Vì vậy ta tách hạng tử thứ hai của đa thức :
 x2(y - z) + y2(z - x) + z2(x - y)
= x2(y - z) - y2(y - z) - y2(x - y) + z2(x - y) 
= (y - z)(x2 - y2) - (x - y)(y2 - z2) 
= (y - z)(x - y)(x + y) - (x - y)(y - z)(y + z)
= (x - y)(y - z)(x - z)
Chú ý : 
1) Ở câu b) ta có thể tách y - z = - (x - y) - (z - x) hoặc 
 z - x= - (y - z) - (x - y)
2) Đa thức ở câu b) là một trong những đa thức có dạng đa thức đặc biệt. Khi ta thay x = y (y = z hoặc z = x) vào đa thức thì giá trị của đa thức bằng 0. Vì vậy, ngoài cách phân tích bằng cách tách như trên, ta còn cách phân tích bằng cách xét giá trị riêng (Xem phần IV).
III. PHƯƠNG PHÁP THÊM VÀ BỚT CÙNG MỘT HẠNG TỬ
Thêm và bớt cùng một hạng tử làm xuất hiện hiệu hai bình phương
	Ví dụ 12. Phân tích đa thức x4 + x2 + 1 thành nhân tử
Lời giải
Cách 1 : x4 + x2 + 1 = (x4 + 2x2 + 1) – x2 = (x2 + 1)2 – x2 
 = (x2 – x + 1)(x2 + x + 1).
	Cách 2 : x4 + x2 + 1 = (x4 – x3 + x2) + (x3 + 1) 
 = x2(x2 – x + 1) + (x + 1)(x2 – x + 1)
 = (x2 – x + 1)(x2 + x + 1).
Cách 3 : x4 + x2 + 1 = (x4 + x3 + x2) – (x3 – 1) 
= x2(x2 + x + 1) + (x – 1)(x2 + x + 1)
 = (x2 – x + 1)(x2 + x + 1).
Ví dụ 13. Phân tích đa thức x4 + 16 thành nhân tử
Lời giải
Cách 1 : x4 + 4 = (x4 + 4x2 + 4) – 4x2 
= (x2 + 2)2 – (2x)2 
= (x2 – 2x + 2)(x2 + 2x + 2)
Cách 2 : x4 + 4 = (x4 + 2x3 + 2x2) – (2x3 + 4x2 + 4x) + (2x2 + 4x + 4)
 = (x2 – 2x + 2)(x2 + 2x + 2)
Thêm và bớt cùng một hạng tử làm xuất hiện nhân tử chung
	Ví dụ 14. Phân tích đa thức x5 + x - 1 thành nhân tử 
Lời giải
	Cách 1. 
x5 + x - 1 = x5 - x4 + x3 + x4 - x3 + x2 - x2 + x - 1
 = x3(x2 - x + 1) - x2(x2 - x + 1) - (x2 - x + 1)
 = (x2 - x + 1)(x3 - x2 - 1).
Cách 2. Thêm và bớt x2 :
x5 + x - 1 = x5 + x2 - x2 + x - 1 
 = x2(x3 + 1) - (x2 - x + 1)
 = (x2 - x + 1)[x2(x + 1) - 1] 
 = (x2 - x + 1)(x3 - x2 - 1).
Ví dụ 15. Phân tích đa thức x7 + x + 1 thành nhân tử 
Lời giải
x7 + x2 + 1 = x7 – x + x2 + x + 1 = x(x6 – 1) + (x2 + x + 1)
	 = x(x3 – 1)(x3 + 1) + (x2+ x + 1) 
 = x(x3 + 1)(x - 1)(x2 + x + 1) + ( x2 + x + 1)
	 = (x2 + x + 1)(x5 - x4 – x2 - x + 1)
Lưu ý : Các đa thức dạng x3m + 1 + x3n + 2 + 1 như x7 + x2 + 1, x4 + x5 + 1 đều chứa nhân tử là x2 + x + 1.
IV. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN
Đặt ẩn phụ để đưa về dạng tam thức bậc hai rồi sử dụng các phương pháp cơ bản.
Ví dụ 16. Phân tích đa thức sau thành nhân tử :
x(x + 4)(x + 6)(x + 10) + 128
Lời giải
x(x + 4)(x + 6)(x + 10) + 128 = (x2 + 10x)(x2 + 10x + 24) + 128
Đặt x2 + 10x + 12 = y, đa thức đã cho có dạng :
	(y - 12)(y + 12) + 128 = y2 - 16 = (y + 4)(y - 4) 
 = (x2 + 10x + 16)(x2 + 10x + 8)
 = (x + 2)(x + 8)(x2 + 10x + 8)
	Nhận xét: Nhờ phương pháp đổi biến ta đã đưa đa thức bậc 4 đối với x thành đa thức bậc 2 đối với y.
	Ví dụ 17. Phân tích đa thức sau thành nhân tử :
A = x4 + 6x3 + 7x2 - 6x + 1.
Lời giải
	 A = x4 + 6x3 - 2x2 + 9x2 - 6x + 1 
 = x4 + (6x3 -2x2) + (9x2 - 6x + 1)
= x4 + 2x2(3x - 1) + (3x - 1)2 
= (x2 + 3x - 1)2.
IV. PHƯƠNG PHÁP HỆ SỐ BẤT ĐỊNH
	Ví dụ 18. Phân tích đa thức sau thành nhân tử :
x4 - 6x3 + 12x2 - 14x - 3
Lời giải
	Thử với x= ±1; ±3 không là nghiệm của đa thức, đa thức không có nghiệm nguyên cũng không có nghiệm hữu tỷ. Như vậy đa thức trên phân tích được thành nhân tử thì phải cú dạng (x2 + ax + b)(x2 + cx + d) = x4 +(a + c)x3 + (ac+b+d)x2 + (ad+bc)x + bd
 = x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + 3.
	Đồng nhất các hệ số ta được :
	Xét bd= 3 với b, d Î Z, b Î {± 1, ± 3}. Với b = 3 thì d = 1, hệ điều kiện trên trở thành
 Þ 2c = -14 - (-6) = -8. Do đó c = -4, a = -2.
Vậy x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + 3 	= (x2 - 2x + 3)(x2 - 4x + 1).
IV. PHƯƠNG PHÁP XÉT GIÁ TRỊ RIÊNG
 Trong phương pháp này, trước hết ta xác định dạng các nhân tử chứa biến của đa thức, rồi gán cho các biến các giá trị cụ thể để xác định các nhân tử còn lại.
	Ví dụ 19. Phân tích đa thức sau thành nhân tử :
P = x2(y – z) + y2(z – x) + z(x – y).
Lời giải
 Thay x bởi y thì P = y2(y – z) + y2( z – y) = 0. Như vậy P chứa thừa số (x – y).
	Ta thấy nếu thay x bởi y, thay y bởi z, thay z bởi x thì p không đổi (đa thức P có thể hoán vị vòng quanh). Do đó nếu P đã chứa thừa số (x – y) thì cũng chứa thừa số (y – z), (z – x). Vậy P có dạng k(x – y)(y – z)(z – x).
	Ta thấy k phải là hằng số vì P có bậc 3 đối với tập hợp các biến x, y, z, còn tích (x – y)(y – z)(z – x) cũng có bậc 3 đối với tập hợp các biến x, y, z.
	Vì đẳng thức x2(y – z) + y2(z – x) + z2(x – y) = k(x – y)(y – z)(z – x) đúng với mọi x, y, z nên ta gán cho các biến x ,y, z các giá trị riêng, chẳng hạn x = 2, y = 1, z = 0 ta được:
4.1 + 1.(–2) + 0 = k.1.1.(–2) suy ra k =1
	Vậy P = –(x – y)(y – z)(z – x) = (x – y)(y – z)(x – z)
V. PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ MỘT SỐ ĐA THỨC ĐẶC BIỆT
Đưa về đa thức : a3 + b3 + c3 - 3abc
	Ví dụ 20. Phân tích đa thức sau thành nhân tử :
a3 + b3 + c3 - 3abc.
(x - y)3 + (y - z)3 + (z - x)3.
Lời giải
a3 + b3 + c3 - 3abc = (a + b)3 - 3a2b - 3ab2 + c3 - 3abc
= [(a + b)3 + c3] - 3ab(a + b + c)
= (a + b + c)[(a + b)2 - (a + b)c + c2] - 3ab(a + b + c)
= (a + b + c)(a2 + b2 + c2 - ab - bc -ca)
Đặt x - y = a, y - z = b, z - x = c thì a + b + c. 
Theo câu a) ta có :
a3 + b3 + c3 - 3abc = 0 Þ a3 + b3 + c3 = 3abc.
	Vậy (x - y)3 + (y - z)3 + (z - x)3 = 3(x - y)(y - z)(z - x)
Đưa về đa thức : (a + b + c)3 - a3 - b3 - c3
	Ví dụ 21. Phân tích đa thức sau thành nhân tử :
(a + b + c)3 - a3 - b3 - c3.
8(x + y + z)3 - (x + y)3 - (y + z)3 - (z + x)3.
Lời giải
(a + b + c)3 - a3 - b3 - c3 = [(a + b) + c]3 - a3 - b3 - c3
= (a + b)3 + c3 + 3c(a + b)(a + b + c) - a3 - b3 - c3
= (a + b)3 + 3c(a + b)(a + b + c) - (a + b)(a2 - ab + b2)
= (a + b)[(a + b)2 + 3c(a + b + c) - (a2 - ab + b2)]
= 3(a + b)(ab + bc + ca + c2) = 3(a + b)[b(a + c) + c(a + c)]
= 3(a + b)(b + c)(c + a).
Đặt x + y = a, y + z = b, z + x = c thì a + b + c = 2(a + b + c). 
 Đa thức đã cho có dạng : (a + b + c)3 - a3 - b3 - c3
	Theo kết quả câu a) ta có : (a + b + c)3 - a3 - b3 - c3 = 3(a + b)(b + c)(c + a)
 Hay 8(x + y + z)3 - (x + y)3 - (y + z)3 - (z + x)3 
 = 3(x + 2y + z)(y + 2z + x)(z + 2x + y)
BÀI TẬP
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :
(ab - 1)2 + (a + b)2 ;	b) x3 + 2x2 + 2x + 1;	
c) x3 - 4x2 + 12x - 27 ;
x4 + 2x3 + 2x2 + 2x + 1 ;	e) x4 - 2x3 + 2x - 1.	
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :
x2 - 2x - 4y2 - 4y ;	b) x4 + 2x3 - 4x - 4 ;
x2(1 - x2) - 4 - 4x2 ;	d) (1 + 2x)(1 - 2x) - x(x + 2)(x - 2) ;
x2 + y2 - x2y2 + xy - x - y.
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :
a(b2 + c2 + bc) + b(c2 + a2 + ca) + c(a2 + b2 + ab) ;
(a + b + c)(ab + bc + ca) - abc ;
c(a + 2b)3 - b(2a + b)3.
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :
xy(x + y) - yz(y + z) + xz(x - z) ;
x(y2 + z2) + y(z2 + x2) + z(x2 + y2) + 2abc ;
(x + y)(x2 - y2) + (y + z)(y2 - z2) + (z + x)(z2 - x2) ;
x3(y - z) + y3(z - x) + z3(x - y) ;
x3(z - y2) + y3(x - z2) + z3(y - z2) + xyz(xyz - 1).
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :
a(b + c)2(b - c) + b(c + a)2(c - a) + c(a + b)2(a - b)
a(b - c)3 + b(c - a)3 + c(a - b)2 ;
a2b2(a - b) + b2c2(b - c) + c2a2(c - a) ;
a(b2 + c2) + b(c2 + a2) + c(a2 + b2) - 2abc - a3 - b3 - c3 ;
a4(b - c) + b4(c - a) + c4(a - b).
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :
(a + b + c)3 - (a + b - c)3 - (b + c - a)3 - (c + a - b)3 ;
abc - (ab + bc + ca) + a + b + c - 1.
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử (từ bài 7 đến bài 16) :
a) 6x2 – 11x + 3 ;	b) 2x2 + 3x – 27 ;	 c)49x2 + 28x – 5 ;	d) 2x2 – 5xy – 3y2.
a) x3 – 2x + 3 ;	 b) x3 + 7x – 6 ;	 c)x3 – 5x + 8x – 4 ; d) x3 – 9x2 + 6x + 16 ;	 e)x3 + 9x2 + 6x – 16 ;	 g) x3 – x2 + x – 2 ;
 h) x3 + 6x2 – x – 30 ;	i) x3 – 7x – 6 (giải bằng nhiều cách).	
a) 27x3 + 27x +18x + 4 ;	
 b) 2x3 + x2 +5x + 3 ;	
 c) (x2 – 3)2 + 16.
 a) (x2 + x)2 - 2(x2 + x) - 15 ; 	 
 b) x2 + 2xy + y2 - x - y - 12 ;
 c) (x2 + x + 1)(x2 + x + 2) - 12 ; 	
 a) (x + a)(x + 2a)(x + 3a)(x + 4a) + a4 ; 
 b) (x2 + y2 + z2)(x + y + z)2 + (xy + yz + zx)2 ;
 c) 2(x4 + y4 + z4) - (x2 + y2 + z2)2-2(x2 + y2 + z2)(x + y + z)2 +(x+ y + z)4.
 (a + b + c)3 - 4(a3 + b3 + c3) - 12abc bằng cách đổi biến : đặt a + b = m và a - b = n.
 a) 4x4 - 32x2 + 1 ;	b) x6 + 27 ;
 c) 3(x4 + x+2+ + 1) - (x2 + x + 1)2 ;	d) (2x2 - 4)2 + 9. 
 a) 4x4 + 1 ; 	b) 4x4 + y4 ; 	c) x4 + 324.
 a) x5 + x4 + 1 ;	b) x5 + x + 1 ;	c) x8 + x7 + 1 ;
 d) x5 - x4 - 1 ;	e) x7 + x5 + 1 ;	g) x8 + x4 + 1.
 a) a6 + a4 + a2b2 + b4 - b6 ;	b) x3 + 3xy + y3 - 1.
 Dùng phương pháp hệ số bất định :
4x4 + 4x3 + 5x2 + 2x + 1 ;	b) x4 - 7x3 + 14x2 - 7x + 1 ;
x4 - 8x + 63 ;	d) (x + 1)4 + (x2 + x + 1)2.
 a) x8 + 14x4 + 1 ; 	b) x8 + 98x4 + 1.
 Dùng phương pháp xét giá trị riêng :
M = a(b + c - a)2 + b(c + a - b)2 + c(a + b - c)2+(a + b - c)(b + c - a)(c + a - b).
 Chứng minh rằng trong ba số a, b, c, tồn tại hai số bằng nhau, nếu :
a2(b – c) + b2(c – a) + c2(a – b)
 Chứng minh rằng nếu a3 + b3 + c3 = 3abc và a, b, c là các số dương thì 
 a = b = c.
 Chứng minh rằng nếu a4 + b4 + c4 + d4 = 4abcd và a, b, c, d là các số dương thì a = b = c = d.
 Chứng minh rằng nếu m = a + b + c thì :
(am + bc)(bm + ac)(cm + ab) = (a + b)2(b + c)2(c + a)2.
 Cho a2 + b2 = 1, c2 + d2 = 1, ac + bd = 0. Chứng minh rằng ab + cd = 0.
 Chứng minh rằng nếu x2(y + z) + y2(z + x) + z2(x + y) + 2xyz = 0 thì :
x3 + y3 + z3 = (x + y + z)3.
Trên đây là một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử của môn toán 8. Mỗi phương pháp có những đặc điểm khác nhau và còn có thể chia thành các dạng nhỏ trong mỗi dạng. Tuy nhiên, ở mỗi phương phápg tôi chỉ lấy một ví dụ điển hình để giới thiệu, hướng dẫn cụ thể cách giải, giúp học sinh có kỹ năng làm bài toán.
IV. Hiệu quả khi áp dụng sáng kiến vào thực tiễn
- Tôi đã tự tìm ra các phương pháp và thực hiện nghiên cứu đối với học sinh lớp 8A trong năm học 2012 – 2013 và học sinh lớp 8A, 8B trong năm học 2013- 2014, 2015 -2016, lớp 8A năm học 2016 -2017.
- Kết quả cụ thể khi tôi kiểm tra phần phân tích đa thức thành nhân tử, tôi cũng đã thực hiện khảo sát đối với học sinh lớp 8 qua các năm tôi dạy kết quả đạt được như sau:
Năm học
Lớp

Sĩ số

Giỏi

Khá

T. Bình

Yếu

Kém
2012- 2013
8A
37
11/3= 29,7%
8/37= 21,6%
16/37=
43,3%
2/37=
5,4%
0= 0%
2013- 2014
8A
29
9/29=31%
7/29=24,1%
13/29=
44,9%
0%
0%
8B
30
11/30=
36,7%
8/30=26,6%
10/30=
33,4%
1/30= 3,3%

2015- 2016
8B
20
7/20=35%
5/20=25%
8/20=
40%
0%
0%
8A
21
7/21=
33,3%
6/21=28,6%
7/21=
33,3%
1/21= 4,8%
0%
2016- 2017
8A
28
7/28=25%
10/28=35,7%
11/28=
39,3%
0%
0%

 Qua kết quả khảo sát đó tôi đã cố gắng giảng dạy cho các em, và dần dần tôi đã thấy được sự tiến bộ của học sinh qua việc giải bài tập phân tích đa thức đa thức thành nhân tử qua từng năm tôi giảng dạy. Tôi nhận thấy hầu hết các em đã biết trình bày bài toán dạng này. Phần lớn học sinh đã có hứng thú giải những bài toán phân tích đa thức đa thức thành nhân tử . Các em không còn lúng túng khi làm toán nữa. Tuy vậy bên cạnh những kết quả đạt được thì vẫn còn một số ít học sinh học yếu , lười học, chưa có khả năng tự mình giải được những bài toán bằng cách lập phương trình. Đối với các em yếu, đây là một việc thực sự khó khăn. Một phần cũng là do khả năng học toán của các em còn hạn chế, mặt khác dạng toán này lại rất khó, đòi hỏi sự tư duy nhiều ở các em.	
Kết quả đó là một sự bất ngờ đối với bản thân tôi. Tôi không dám chắc chắn rằng những biện pháp mà tôi đã đưa ra là tối ưu nhất, hiệt quả nhất, nhưng kết quả mà học sinh đạt được qua quá trình tôi giảng dạy thật sự là niềm vui, niềm hứng thú đối với tôi trong công tác. Năm học 2018-2019 tôi được phân công giảng dạy môn Toán 8, tôi sẽ tiếp tục áp dụng sáng kiến vào giảng dạy cho học sinh phần phân tích đa thức đa thức thành nhân tử.
C. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ:
1. Kết luận
- Từ thực tế nghiên cứu giảng dạy, tôi nhận thấy việc giảng dạy giải bài toán phân tích đa thức đa thức thành nhân tử có ý nghĩa thực tế rất cao. Nó rèn luyện cho học sinh tư duy logic, khả năng sáng tạo, khả năng diễn đạt chính xác nhiều quan hệ toán học,  Do đó khi giải dạng toán này ở lớp 8, giáo viên vần lưu ý học sinh đọc kỹ đề bài, nắm được các mối quan hệ đã biết và chưa biết giữa phần tử để sử dụng phương pháp phu hợp.
- Phân tích đa thức thành nhân tử là một dạng toán áp dụng rất nhiều trong chương trình toán phổ thông, nhưng lại là dạng toán khó đối với học sinh. Học sinh dễ rơi vào trạng thái không biết làm và dần chán học với bọ môn toán. Vì vậy mà người giáo viên cần phải khéo léo chọn nội dung, dạng bài vừa sức đối với từng đối tượng học sinh.
2. Kiến nghị
- Lĩnh vực áp dụng sáng kiến kinh nghiệm của tôi là ngành giáo dục. Cụ thế là áp dụng vào giảng dạy học sinh lớp 8 ở bậc trung học cơ sở.
- Sáng kiến của tôi đã được áp dụng vào giảng dạy học sinh khối lớp 8 đối với môn Toán 8 phần phân tích đa thức đa thức thành nhân tử ở trường THCS Mộc Nam. Tôi rất mong được đồng nghiệp trong ngành giáo dục tham gia góp ý để sáng kiến của tôi được mở rộng trong ngành giáo dục
Trên đây là một số kinh nghiệm của bản thân tôi trong việc giảng dạy phân tích đa thức đa thức thành nhân tử ở chương trình toán lớp 8. Cùng với sự giúp đỡ tận tình của BGH nhà trường, của tổ chuyên môn, của các đồng nghiệp và học sinh tôi đã hoàn thành đề tài “ Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử”. Tuy tôi đã có nhiều cố gắng nhưng chắc chắn rằng vẫn còn nhiều thiếu sót. Tôi xin trân trọng tất cả những ý kiến phê bình, đóng góp của cấp trên và đồng nghiệp để đề tài của tôi ngày càng hoàn thiện hơn và áp dụng rộng rãi trong ngành. Tôi xin chân thành cảm ơn! 
Mộc Nam, ngày 2 tháng 10 năm 2018
Xác nhận của cơ quan

Người viết
Bùi Thị Thu Hà