Sáng kiến kinh nghiệm Một số phương pháp nhằm rèn kỹ năng giải toán chia hết cho học sinh lớp 6

nh trong suốt quá trình thực nghiệm: Các giải pháp nhằm phát huy các điểm mạnh, khắc phục các điểm yếu đã nêu ở phần đánh giá; phải đảm bảo tính mới, tính sáng tạo, tính hiệu quả; tuyệt đối không được sao chép các giải pháp của đồng nghiệp).
	2.1. Giải pháp 1: Cơ sở lý thuyết
	Nhằm cung cấp cho các em chuẩn kiến thức về tính chất chia hết và các dấu hiệu chia hết.
	2.1.1. Tính chất chia hết của một tổng, một hiệu, một tích
	- Nếu và thì a + b , a – b , 
	- Nếu thì 
	- Nếu và thì đặc biệt thì 
	2.1.2. SKG toán 6 giới thiệu dấu hiệu chia hết cho 2, 3, 5, 9 ở đây giáo viên cần bổ sung thêm dấu hiệu chia hết cho 4, 6, 8, 25 và 125
	Mục đích đưa thêm các dấu hiệu là để khi vận dụng vào bài tập học sinh không bị lúng túng ngay cả khi lên các lớp trên (7, 8, 9)
Chia hết cho
Dấu hiệu
2
Số có chữ số tận cùng là chữ số chẵn
3
Số có tổng các chữ số chia hết cho 3
4(hoặc 25)
Số chia hết cho 4(hoặc 25) khi hai chữ số tận cùng lập thành một số chia hết cho 4(hoặc 25)
5
Số có chữ số tận cùng là 0 hoặc 5
6
Là số đồng thời chia hết cho 2 và 3
8(hoặc 125)
Số chia hết cho 8(hoặc 125) khi ba chữ số tận cùng lập thành một số chia hết cho 8(hoặc 125)
9
Số có tổng các chữ số chia hết cho 9
10
Số có chữ số tận cùng là 0
11
Số chia hết cho 11 khi hiệu giữa tổng các chữ số của nó đứng ở vị trí lẻ và tổng các chữ số đứng ở vị trí chẵn(kể từ trái sang phải) chia hết cho 11
	2.1.3. Nguyên lý Đirichlê
	Ngay từ khi bước vào lớp 6, giáo viên cũng có thể giới thiệu sơ lược về nguyên tắc Đirichlê có nội dung được phát biểu dưới dạng một bài toán:
“Nếu nhốt n con thỏ vào m lồng (m> n) thì ít nhất có một lồng nhốt không ít hơn hai con thỏ”.
	2.1.4. Phương pháp chứng minh quy nạp    
	Muốn khẳng định An đúng với mọi n= 1,2,3, ta chứng minh như sau:
	- Khẳng định A1 đúng
	- Giả sử Ak đúng với mọi k>=1 ta cũng suy ra khẳng định Ak+1 đúng.
	- Kết luận An  đúng với mọi n=1,2,3
	Thực ra, khi dạy bài tập áp dụng phương pháp này, giáo viên không cần phải nói cầu kỳ, trừu tượng khó hiểu, mà chỉ cần đi xét từng trường hợp cho học sinh dễ hiểu chứ không nhất thiết phải dùng từ ta áp dụng phương pháp chứng minh quy nạp.
	2.1.5. Phương pháp chứng minh phản chứng
	Muốn chứng minh khẳng định P đúng có 3 bước:
	- Giả sử P sai
	- Nhờ các tính chất đã biết, từ giả sử sai suy ra điều vô lí
	- Vậy điều giả sử là sai, chứng tỏ P đúng.
	2.1.6. Để chứng minh a chia hết cho b ta biểu diễn b = m.n
          Nếu (m,n) = 1 thì tìm cách chứng minh a chia hết cho m, a chia hết cho n khi đó a chia hết cho m.n hay a chia hết cho b
          Nếu (m,n)  1 thì ta biểu diễn a = a1.a2  rồi chứng minh a1 chia hết cho m, a2 chia hết cho n hoặc ngược lại. khi đó a1.a2 chia hết cho m.n hay a chia hết cho b
	2.2. Giải pháp 2: Các phương pháp giải toán chia hết
	Phần nội dung này tôi sẽ đưa ra các dạng toán từ cơ bản nhất đến mở  rộng hơn, Có như thế chúng ta mới có thể rèn và hình thàng kỹ năng giải toán chia hết cho các em một cách có nền tảng.
	2.2.1.  Phương pháp 1: Vận dụng các dấu hiệu chia hết cho 2; 3; 5; 9; 11;
	Bài toán 1: Điền vào * để số 
a) Chia hết cho 2;
b) Chia hết cho 5;
c) Chia hết cho cả 2 và 5.
	Hướng dẫn:
	Đây là dạng toán hết sức cơ bản, khi gặp dạng toán này thì đương nhiên giáo viên phải cho học sinh tái hiện lại dấu hiệu chia hết cho 2, cho 5 và số như thế nào chia hết cho cả 2 và 5.
a) 
b) 
c) và 5 
	Bài toán 2: Điền vào * để
a) 
b) 
	Hướng dẫn:
Tương tự như bài toán 1 học sinh có thể vận dụng trực tiếp dấu hiệu chia hết cho 3 và cho 9 để làm 
a) 
b) 
	Bài toán 3: Tìm chữ số a, b sao cho chia hết cho đồng thời 2; 3; 5; 9
	Hướng dẫn:
	Đầu tiên phải đề cập đến chia hết cho 2 và 5 vì nó liên quan đến chữ số tận cùng.
	Sau đó, khi đã có chữ số tận cùng, ta xét tổng các chữ số vì nó liên quan đến chia hết cho 9. Ở đây ta không cần quan tâm đến chia hết cho 3, vì số chia hết cho 9 thì đương nhiên chia hết cho 3.
	Vì:	
	 a 0; 9 
	 a = 9 
	(Vì a là chữ số hàng nghìn nên số 0 không có nghĩa)
	Vậy a = 9; b = 0 thì chia hết cho đồng thời 2; 3; 5; 9.
	Bài toán 4: Tìm chữ số a, b sao cho và a – b = 4
	Hướng dẫn:
	Lập luận	
	Mà điều kiện a – b = 4 nên ta loại a + b = 3. Từ a – b = 4 và a + b = 12 ta tìm được a = 8; b = 4.
	Bài toán 5: Cho số 
a) Tìm a để 
b) Trong các số vừa tìm được của a có giá trị nào làm cho số không ?
	Hướng dẫn
a) Tính tổng các chữ số của ta được 
	 do đó 
b) Với a = 0 thì số 76023 ta có: 
	(7 + 0 + 3) – (6 + 2 ) = 2 11
Tương tự với a = 9 ta có: 
	(7 + 9 + 3) – ( 6 + 2) = 11 11
	Vậy a = 9 thì 
	Bài toán 6: Tìm a, b sao cho chia hết 3 và 4
	Hướng dẫn 
	Lập luận chia hết cho 4 trước ta được a = 2 và a = 6
+ Thay a = 2 vào ta được .
	Xét tiếp dấu hiệu chia hết cho 3 bằng cách tính tổng các chữ số.
+ Lập luận tương tự với a = 6 ta được 
	Bài toán 7: Thay các chữ số x, y bằng chữ số thích hợp để cho 
a) Số chia hết cho 5, cho 25, cho 125
b) Số chia hết cho 2, cho 4, cho 8
	Hướng dẫn:
a) GV hướng dẫn học sinh lập luận đơn giản bằng các dấu hiệu đã biết.
b) vì chữ số tận cùng là số chẵn
	 Hoặc 
	Bài toán 8: Tìm các chữ số a và b sao cho chia hết cho 5 và 8.
	Hướng dẫn:
	Để tìm được a và b ta phải thấy được hai dấu hiệu cơ bản đó là số đó chia hết cho 5 và 8.
	Vì chia hết cho 5 nên b=0 hoặc b=5 và chia hết cho 8 nên suy ra b = 0
	Mặt khác, chia hết cho 8 nên chia hết cho 4 khi chia hết cho 4 suy ra a {0; 2; 4; 6; 8}.
	Ta có chia hết cho 8 khi chia hết cho 8 nên a = 2 hoặc a = 6.
	Vậy nếu a = 2 thì b = 0 và nếu a = 6 thì b = 0 nên số cần tìm là 1920 và 1960.
	Bài toán 9: Chữ số a là bao nhiêu để chia hết cho cả 3 và 8.
	Hướng dẫn:
Vì 8 8 100a + 96 8 suy ra 100a8 
Vậy a là số chẵna Î{ 2, 4, 6, 8} 	(1).
Vì 3 (a + a + a + a + a + 9 + 6 ) 3 5a + 15 3 
Mà 153 5a3
mà (5, 3) = 1	
Suy ra a 3 vậy a Î{ 3; 6; 9}	(2). 
Từ (1) và (2 ) suy ra a = 6
	KL: Vậy số phải tìm là 6666696.
	Bài toán 10: Tìm chữ số a để 11
	Hướng dẫn: 
	Tổng các chữ số hàng lẻ là 2 + a .Tổng các chữ số hàng chữ là 2a.
	* Nếu 2a ³ a + 2 a ³ 2 thì 2a – (a + 2) = a - 2 £ 9 – 2 = 7
Mà (a - 2) 11 nên a - 2 = 0 a = 2 
	* Nếu 2a £ a + 2 a < 2 thì (a + 2) - 2a = 2 - a mà 2 hoặc là 1 không chia hết cho 11.Vậy a=2
	Bài toán 11: Tìm x để chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 9.
	Hướng dẫn: 
	Vì nên 
	Từ đó ta được x = 24; x = 30
	2.2.2.  Phương pháp 2: Dùng tính chất chia hết của một tổng, một hiệu, môt tích để chứng minh chia hết đối với biểu thức số.
	Bài toán 12: Tổng (hiệu) sau có chia hết cho 9 không?
a) 1251 + 5316
b) 5436 - 1234
c) 1.2.3.4.5.6 + 27
	Hướng dẫn: 
Đối với bài toán này học sinh tương đối làm được chỉ cần dựa vào dấu hiệu chia hết cho 9 để lập luận
	Bài toán 13: Cho: M = 7.9.11.13 + 2.3.4.7
	 N = 16 354 + 675 41
	Hướng dẫn:
Chứng tỏ rằng: M chia hết cho 3
 N chia hết cho 5
Ta có: 7.9.11.13 3( vì )
 2.3.4.7 3 (vì 3 3)
Suy ra: 7.9.11.13 + 2.3.4.7 3
Vậy M chia hết cho 3.
Ta có giá trị của tổng 16 354 + 67 541 có chữ sô tận cùng là 5 nên tổng chia hết cho 5
Vậy N chia hết cho 5.
	Bài toán 14: Cho A= 2.4.6.8.10 + 40. Chứng tỏ rằng: 
a) A chia hết cho 8
b) A chia hết cho 5
	Hướng dẫn
a) Dựa vào tính chất chia hết của một tổng ta lập luận
2.4.6.8.10 ( vì tích có chứa thừa số 8)
	Vậy A chia hết cho 8
b) Tương tự ( vì 10 chia hết cho 5)
	Vậy A chia hết cho 5
	2.2.3.  Phương pháp 3: Dùng phương pháp chứng minh quy nạp để chứng minh tổng, tích các số liên tự nhiên liên tiếp chia hết cho một số
	Đây là dạng toán ta áp dụng phương pháp chứng minh quy nạp. Tuy nhiên, khi dạy lớp 6 ta không cần phải nói khó hiểu mà chỉ dạy cho các em xét các trường hợp bẳng mệnh đề: “ Nếuthì ”. Mặt khác nếu ngay lớp 6 các em được làm dạng bài tập này thì rất thuận tiện để các em làm dạng toán chia hết ở các lớp trên. Nếu không, các em sẽ cảm thấy kiến thức chia hết rất lạ, rất xa vời khi lên lớp 7, 8, 9 gặp bài toán mà  sử dụng kiến thức đáng lí ra phải được chứng minh ở lớp 6.
	Bài toán 15: Chứng tỏ rằng tích hai số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 2.
	Hướng dẫn:
	Gv cần gợi mở rằng: Ở đây ta chứng minh bài toán trên đúng với mọi cặp giá trị liên tiếp trong N, chứ không phải chỉ cần chỉ ra một hoặc hai cặp giá trị là đủ mà phải đi chứng minh đúng dưới dạng tổng quát.
Gọi hai số tự nhiên liên tiếp là: a, a+1
Nếu a 2 thì bài toán đã được giải
Nếu a 2 thì a chia 2 dư 1
	Ta có: a = 2k + 1.
 	 a + 1 = 2k + 1 + 1 = 2k + 2 2
	Vậy trong hai số tự nhiên liên tiếp bao giờ cũng có một số chia hết cho 2.Cho nên tích hai số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 2
	Bài toán 16: Chứng minh tích ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 3.
	Hướng dẫn:
Gọi ba số tự nhiên liên tiếp là a, a+1, a+2 
Nếu a 3 thì bài toán đã được giải
Nếu a = 3k + 1(nghĩa là a chia 3 dư 1) thì lúc đó 
Ta có a + 2 = 3k + 1 + 2 = 3k + 3 3
Nếu a = 3k + 2 (nghĩa là a chia 3 dư 2) thì lúc đó
 Ta có a + 1 = 3k + 2 + 1
 = 3k + 3 3
	Vậy trong ba số tự nhiên liên tiếp bao giờ cũng có một số chia hết cho 3.
	Cho nên tích ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 3
	Bài toán 17: Chứng minh rằng tổng ba số tự nhiên liên tiếp là một số chia hết cho 3 nhưng tổng của bốn số tự nhiên liên tiếp thì không chia hết cho 4.
	Hướng dẫn:
Gọi ba số tự nhiên liên tiếp n, n+1, n+2
Tống của chúng là: n + n+1 + n+2 = 3n +3 3
Vậy tổng ba số tự nhiên liên tiếp là một số chia hết cho 3
Tương tự tổng của bốn số tự nhiên liên tiếp là: 4n + 6 4(vì 64)
Vậy tổng của bốn số tự nhiên liên tiếp không chia hết cho 4
	Bài toán 18: Chứng minh rằng tích hai số chẵn liên tiếp chia hết cho 8.
	Hướng dẫn:
Gọi hai số chẵn liên tiếp là 2n, 2n+2 (nN)
Tích 2n.(2n+2) = 2.n.2.(n+1)
 = 4.n.(n+1)
Ta có n.(n+1) là tích hai số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 2 (theo bài toán 15)
Vì thế 4.n.(n+1) 8
Vậy tích hai số chẵn liên tiếp chia hết cho 8
	Bài toán 19: Chứng minh rằng tích ba số chẵn liên tiếp chia hết cho 48.
	Hướng dẫn:
Gọi ba số chẵn liên tiếp là 2n, 2n +2, 2n +4 (nN)
Tích 2n.(2n+2).(2n+4) = 2.n.2(n+1).2(n+2)
 = 8.n.(n+1).(n+2)
Ta có n.(n+1) là tích hai số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 2( theo bài toán 16)
Ta có: n.(n+1).(n+2) là tích ba số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 3 (theo bài toán 17)
Mà (2,3) = 1 nên n.(n+1).(n+2) chia hết cho 6
Vì thế 8.n.(n+1).(n+2) 48 
Vậy tích ba số chẵn liên tiếp chia hết cho 48
	2.2.4.  Phương pháp 4: Dạng toán vận dụng nguyên lí Đirichlê
	Đối với dạng toán vận dụng nguyên lí Đirichlê giáo viên không đi sâu mà chỉ giới thiêu cho học sinh biết và bài tập áp dụng dạng suy luận dễ hiểu.
	Bài toán 20: Một lớp có 40 học sinh. Chứng minh rằng có ít nhất 4 học sinh có tháng sinh giống nhau.
	Hướng dẫn
Một năm có 12 tháng, ta phân chia 40 học sinh vào 12 tháng nếu mỗi tháng không có quá 3 học sinh được sinh ra trong tháng đó thì số học sinh không quá   3.12 = 36 học sinh
Mà lớp có 40 học sinh như vậy còn thừa 4 học sinh. Vậy tồn tại 1 tháng có ít nhất 4 học sinh trùng tháng sinh
	Bài toán 21: Cho ba số lẻ, chứng minh rằng tồn tại hai số có tổng hoặc hiệu chia hết cho 8.
	Hướng dẫn:
Ta có:   Một số lẻ chia cho 8 thì số dư chỉ có thể là một trong bốn số sau:1; 3; 5; 7. Ta chia 4 số dư này ( 4 con thỏ) thành 2 nhóm (2 lồng)
                                   Nhóm 1: dư 1 hoặc dư 7
                                   Nhóm 2: dư 3 hoặc dư 5
Có 3 số lẻ (3 thỏ) mà chỉ có hai nhóm số dư nên tồn tại hai số thuộc cùng một nhóm
- Nếu 2 số dư bằng nhau thì hiệu của chúng chia hết cho 8
- Nếu 2 số dư khác nhau thì tổng của chúng chia hết cho 8
	Bài tập tương tự:
	Cho ba số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh rằng tồn tại hai số có tổng hoặc hiệu chia hết cho 12
	Hướng dẫn: 
	Một số nguyên tố lớn hơn 3 chia cho 12 thì số dư chỉ có thể là 1 trong 4 số 1; 5; 7; 11.
Chia làm hai nhóm:
                                   Nhóm 1: dư 1 hoặc dư 11
                                   Nhóm 2: dư 5 hoặc dư 7
Giải tiếp như bài toán 18
	2.2.5. Phương pháp 5: Dùng phương pháp chứng minh phản chứng, tìm điều kiện để một biểu thức chia hết cho một số, chia hết cho một biểu thức
	Bài toán 22: Chứng minh rằng Nếu a m, b m, a+b+c m thì c m.
	Hướng dẫn:
Ta sử dụng phương pháp chứng minh phản chứng
Giả sử c m
Ta có nên a + b + c m (tính chất 2 sgk toán 6 tr 35).
Điều này trái với đề bài 
Vậy điều giả sử sai.Suy ra 
Đối với bài này, khi dạy giáo viên không nhất thiết khắc sâu phần chứng minh. Yêu cầu học sinh chỉ cần vận dụng kiến thức đã được chứng minh vào bài tập cụ thể nào đó là được.
	Bài toán 23:  Tìm n N để:
a) n + 4 n
b) 3n + 7 n
c) 27 - 5n n
Hướng dẫn 
a) 	 4 n ( theo bài toán 20)
Vậy n 
b) 	 7 n
Vậy n 
c) 	 27 n
Vậy n nhưng 5n < 27 
 hay n < 6 
Vậy n 
3. Kết quả: 
Với mỗi dạng bài tập và phương pháp mỗi dạng bài như trên, học sinh đã tự tìm ra kiến thức một cách độc lập tích cực. 
- Sau khi học xong phần “Dấu hiệu chia hết” học sinh nắm được các dấu hiệu chia hết cho 2, cho 3, cho 5, cho 9 và hiểu được cơ sở lý luận của các dấu hiệu đó dựa trên tính chất chia hết của một tổng.
- Học sinh biết vận dụng các dấu hiệu đó để nhận ra một số, một tổng, một hiệu có chia hết hay không chia hết cho 2, cho 3, cho 5, cho 9.
- Rèn luyện cho học sinh tính chính xác khi phát biểu và vận dụng các dấu hiệu chia hết vào làm bài tập.
- Rèn luyện cho học sinh tính ham học hỏi, tư duy khoa học, yêu thích môn toán học, tạo cảm giác hứng thú trong học tập.
	Sau khi áp dụng sáng kiến cho lớp 6A3, 6A4, tôi tiến hành khảo sát qua bài kiểm tra và thu được kết quả như sau:
Lớp
Giỏi
Khá
Trung bình
Yếu
Kém
SL
TL%
SL
TL%
SL
TL%
SL
TL%
SL
TL%
6A3










6A4











	III. KẾT LUẬN:
	1. Kết luận:
Việc nghiên cứu thực trạng, áp dụng rèn các kỹ năng giải bài toán chia hết cho học sinh lớp 6 Trường THCS Nguyễn Trãi, góp phần tạo cho bản thân cá nhân tôi tự tin hơn trong công tác giảng dạy của mình. Đặc biệt kích thích tinh thần ham học của học sinh và sự quan tâm, đầu tư của phụ huynh và nhà trường. Từ đó tạo được “đòn bẩy” trong việc nâng cao chất lượng giáo dục của nhà trường trong năm học 2018 - 2019 và những năm học tiếp theo.
Sáng kiến “Một số biện pháp nhằm rèn kỹ năng giải toán chia hết cho học sinh lớp 6” có thể ứng dụng và triển khai tới các thành viên trong tổ vào những năm học tiếp theo. Qua thời gian tổ chức thự hiện, chịu khó trong tiết làm có sửa bổ sung sau mỗi tiết dạy, bản thân tôi tự nhận xét, rút kinh nghiệm về cách tiến hành. Nhìn chung học sinh tiến bộ trong học tập có phần hăng say và sôi nổi. 
	2. Kiến nghị: 
a. Đối với Phòng Giáo dục và Đào tạo
- Mở các chuyên đề về kỹ năng giải toán trong trường THCS.
b. Đối với ban lãnh đạo nhà trường
- Quan tâm hơn nữa đến việc nâng cao chất lượng giáo dục toàn diện.
	Trên đây là một số ý kiến đóng góp của tôi về việc “Một số biện pháp nhằm rèn kỹ năng giải toán chia hết cho học sinh lớp 6”. Với kinh nghiệm còn non trẻ, rất mong được sự góp ý của các thầy cô giáo, của các anh chị đồng nghiệp để nghiên cứu nhỏ này được hoàn thiện hơn và có thể góp phần vào đổi mới phương pháp dạy học ở trường phổ thông hiện nay.
Thủ trưởng đơn vị xác nhận, đề nghị
(ký, đóng dấu)
Người viết
(ký, ghi rõ họ và tên)

Hội đồng sáng kiến cấp Thành phố