Sáng kiến kinh nghiệm Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức đại số trong chương trình toán học THCS

ra 
CHƯƠNG II. NHỮNG SAI LẦM HỌC SINH THƯỜNG MẮC PHẢI
KHI CHỨNG MINH CÁC BẤT ĐẲNG THỨC ĐẠI SỐ
 1. Khi sử dụng tích chất của bất dẳng thức cần tránh những sai lầm sau:
+ Trừ từng vế hai bất đẳng thức cùng chiều.
a > b	 
c > d ⇒ a - c > b - d 
+ Khử mẫu mà chưa biết dấu của chúng.
+ Bình phương hai vế của bất đẳng thức mà chưa biết hai vế không âm.
a > b ⇒ a2 > b2
+ Lấy nghịch đảo hai vế và đổi chiều bất đẳng thức mà chưa biết hai vế cùng dấu.
. Chẳng hạn ta có 4 > - 5 nhưng không thể suy ra (Điều này vô lý)
Ví dụ: Chứng minh rằng, nếu x ≥ y > 1 thì (1)
Lời giải sau là sai:
Với x ≥ y > 1 ta có: x ≥ y và . 
Trừ từng vế ta có: 
Suy ra: 
Sai lầm ở đây là học sinh đã trừ từng vế 2 bất đẳng thức cùng chiều.
Chú ý, ta chỉ có:
 a ≥ b	
 c ≤ d 	⇒ a - c ≥ b - d
Lời giải đúng là: 
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với: 
 (2)
x ≥ y ⇒ 
Do đó (2) luôn đúng. Vậy bất đẳng thức (1) đúng (đpcm)
2. Khi sử dụng các bất đẳng thức đặc biệt cần chú ý đến điều kiện để có các bất đẳng thức đó.
Ví dụ: Chứng minh với mọi x ta có:
x( 4 - x) ≤ 4
Lời giải sau là sai:
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số x và 4 - x ta có 
⇒ x(4 - x) 4
Sai lầm ở đây là cách giải đó không để ý đến điều kiện của 2 số a, b trong bất đẳng thức côsi: 
 là a, b ≥ 0
Ở đây x và 4 – x chỉ không âm khi x ∈ [0; 4]
Lời giải đúng là:
(hiển nhiên đúng với mọi x)
3. Trong khi sử dụng các phương pháp chứng minh bất đẳng thức cần phân biệt các dấu “⇔” và dấu “⇒”.
Ví dụ:
Chứng minh bất đẳng thức:
 (1) với a > 0, b > 0
Giải:
⇔ 4(a3 + b3) ≥ (a + b)3
⇔ 4(a + b)(a2 - ab + b2) ≥ (a + b)(a + b)2
⇔ 4a2 - 4ab + 4b2 ≥ a2 + 2ab + b2 (vì a + b > 0)
⇔ 3a2 - 6ab + 3b2 ≥ 0
⇔ 3(a - b)2 ≥ 0 (2)
Bất đẳng thức (2) đúng và các phép biến đổi trên đều tương đương nên bất đẳng thức (1) đúng.
Sẽ mắc sai lầm trong lời giải nếu ta thay các dấu “⇔” bởi dấu “⇒”. Vì nếu (1) ⇒ (2) mà bất đẳng thức (2) đúng thì chưa thể kết luận được bất đẳng thức (1) đúng hay không?
Chú ý:
Bất đẳng thức (1) được gọi là tương đương với bất đẳng thức (2) nếu 
(1) ⇒ (2) và (2) ⇒ (1)
CHƯƠNG III : ỨNG DỤNG CỦA BẤT ĐẲNG THỨC
1. Dùng bất đẳng thức để tìm cực trị .
	- Kiến thức : Nếu f(x) m thì f(x) có giá trị nhỏ nhất là m .
	 Nếu f(x) M thì f(x) có giá trị lớn nhất là M .
 Ta thường hay áp dụng các bất đẳng thức thông dụng như : Côsi , Bunhiacôpxki , bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối .
 Kiểm tra trường hợp xảy ra dấu đẳng thức để tìm cực trị .
 Tìm cực trị của một biểu thức có dạng là đa thức , ta hay sử dụng phương pháp biến đổi tương đương, đổi biến số , một số bất đẳng thức ...
 Tìm cực trị của một biểu thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối , ta vận dụng các bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối 
 Chú ý : 
 Xảy ra dấu '' = '' khi AB 0 
 Dấu ''= '' xảy ra khi A = 0 
Bài 1 : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : B = a3 + b3 + ab ; Cho biết a và b thoả mãn : a + b = 1 .
Giải: B = (a + b)(a2 - ab + b2) + ab 
 = a2 - ab + b2 + ab = a2 + b2 
 Ta có : 2(a2 + b2) (a + b)2 = 1 ⇒ a2 + b2 
 Vậy min B = khi a = b = 
Bài 2: a, Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : 
 A = (x2 + x)(x2 + x - 4) 
 b, Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
 B = - x2 - y2 + xy + 2x +2y 
 Giải: a, A = (x2 + x)(x2 + x - 4) . Đặt : t = x2 + x - 2 
 ⇒ A = (t - 2)(t + 2) = t2 - 4 - 4 
 Dấu bằng xảy ra khi : t = 0 ⇔ x2 + x - 2 = 0 
 ⇔ (x - 2)(x + 2) = 0 
⇔ x = -2 ; x = 1 .
 ⇒ min A = - 4 khi x = -2 ; x = 1 ;
 b, Tương tự 
 Bài 3 : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
 a, C = 
 b, D = 
 c, E = 
Giải : a, Áp dụng BĐT : 
 Dấu '' = ''xảy ra khi AB 0 .
 ⇒ C = 
 Dấu '' = '' xảy ra khi (2x - 3)(1 - 2x) 0 ⇔ 
 Vậy minC = 2 khi 
 b, Tương tự : minD = 9 khi : -3 x 2
 c, minE = 4 khi : 2 x 3
2. Dùng bất đẳng thức để giải phương trình
 a. Kiến thức : Nhờ vào các tính chất của bất đẳng thức , các phương pháp chứng minh bất đẳng thức , ta biến đổi hai vế ( VT , VP ) của phương trình sau đó suy luận để chỉ ra nghiệm của phương trình .
 	 Nếu VT = VP tại một hoặc một số giá trị nào đó của ẩn (thoả mãn TXĐ) 
 ⇒ phương trình có nghiệm .
 Nếu VT > VP hoặc VT < VP tại mọi giá trị của ẩn .
 ⇒ phương trình vô nghiệm .
 b. Các ví dụ : 
Bài 1: a, Tìm giá trị lớn nhất của L = + 
 b. Giải phương trình : + - x2 + 4x - 6 = 0 (*)
 Giải : a. Tóm tắt : ( + )2 2(2x - 3 + 5 - 2x) = 4
 ⇔ + 2
 ⇒ MaxL = 2 khi x = 2 .
 b. TXĐ : 
 (*)⇔ + = x2 - 4x + 6 
 VP = (x - 2)2 + 2 2 , dấu '' = '' xảy ra khi x = 2 .
 ⇒ với x = 2 ( thoả mãn TXĐ ) thì VT = VP = 2 .
 ⇒ phương trình (*) có nghiệm x = 2 .
 Bài 2 : Giải phương trình : + = x2 - 6x + 13 
 Giải : TXĐ : -2 x 6.
 VP = (x - 3)2 + 4 4 . Dấu '' = '' xảy ra khi x = 3 .
 VT2 = (.1 + .1)2 (6 - x + x + 2)(1 + 1) = 16
 ⇒VT 4 , dấu '' = '' xảy ra khi = ⬄ x = 2 .
 ⇒ không có giá trị nào của x để VT = VP ⇒ Phương trình vô nghiệm
 Bài 3 : Giải phương trình : + = 5
 HD : 2 ; 3 ⇒VT 5 .
 Dấu '' = '' xảy ra khi : ⇔ 
⇒ phương trình có nghiệm : x = 2 ; y = 2 .
 3. Dùng bất đẳng thức để giải hệ phương trình: 
 a. Kiến thức : Dùng bất đẳng thức để biến đổi từng phương trình của hệ , suy luận và kết luận nghiệm .
 Lưu ý : Một số tính chất : a. a2 + b2 2ab 
 b. a + c 0 ⇒ a < b 
 c. nếu a > b > 0 .
 b. Các ví dụ : 
 Bài 1 : Giải hệ phương trình : 
 (1) ⇔ x3 = - 1 - 2(y - 1)2 ⬄ x3 - 1 ⇔ x - 1 . (*) 
 (2) ⇔ x2 1 ( vì 1 + y2 2y) ⇔ -1 x 1 (**)
 Từ (*) và (**) => x = -1 . Thay x = -1 vào (2) ta có : y = 1 .
 ⇒ Hệ phương trình có nghiệm duy nhất : x = -1 ; y = 1 .
 - Kiến thức : Biến đổi một phương trình của hệ , sau đó so sánh với phương trình còn lại , lưu ý dùng các bất đẳng thức quen thuộc .
 Bài 2: Giải hệ phương trình 
 (với x, y, z > 0) 
 Giải : Áp dụng: Nếu a, b > 0 thì : 
 (2) ⇔ 
 ⇔ 6
 Mặt khác : vì x, y, z > nên 6 
 6
 Dấu '' = '' xảy ra khi x = y = z , thay vào (1) ta được : 
 x + x2 + x3 = 14 ⇔ (x - 2)(x2 + 3x + 7) = 0 
 ⇔ x - 2 = 0 ⇔ x = 2 .
 Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất : x = y = z = 2 . 
4. Dùng bất đẳng thức để giải phương trình nghiệm nguyên
 Ngoài ra còn có một số những ứng dụng khác của bất đẳng thức, đòi hỏi học sinh phải linh hoạt và sáng tạo trong khi giải, học sinh phải nắm chắc được các kiến thức về bất đẳng thức thì mới vận dụng được . 
 Ví dụ : Dùng bất đẳng thức để giải phương trình nghiệm nguyên .
 Bài 1 : Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình : 
 = 2 
 Giải : Không mất tính tổng quát , ta giả sử x y z , ta có : 
 2 = ⇒ 2z 3 , mà z nguyên dương 
 Vậy z = 1 . Thay z = 1 vào phương trình ta được : 
 Theo giả sử , x y , nên 1 = 
 y nguyên dương nên y = 1 hoặc y = 2 .
 Với y = 1 không thích hợp 
 Với y = 2 ta có: x = 2 .
 Vậy (2 ; 2 ; 1) là một nghiệm của phương trình .
 Hoán vị các số trên , ta được nghiệm của phương trình là : 
 (2 ; 2 ; 1) ; (2 ; 1 ; 2) ; (1 ; 2 ; 2)
CHƯƠNG IV: MỘT SỐ BÀI TẬP TỔNG HỢP VÀ ĐỀ THI
Bài 1. Chứng minh rằng: 2a4 + 1 ≥ 2a3 + a2 với mọi a. 
(Đề thi học sinh giỏi 1979 - 1980)
Bài 2. Chứng minh bất đẳng thức: 
x12 + x22 + x32 + x42 + x52 ≥ x1(x2 + x3 + x4+ x5) 
(Đề thi học sinh giỏi 1985 - 1986)
Bài 3. Cho x ≥ 0, y ≥ 0 và x2 + y2 = 1. Chứng minh rằng:
 (Đề thi vào lớp 10 chuyên ĐHTH 1995 - 1996)
Bài 4. Chứng minh bất đẳng thức:
 |a + b| < |1 + ab| (với | a| < 1 , | b| < 1). 
 (Toán bồi dưỡng học sinh lớp 8)
Bài 5. Cho A = a12 + a22 +  + an2, 
B = b12 + b22 +  + bn2, 
C = a1b1 + a2b2 +  + anbn
Chứng minh rằng, với mọi x ta có: Ax2 - 2Cx + B ≥ 0 
 (Toán bồi dưỡng học sinh lớp 8)
Bài 6. Cho các số a ≥ 0, b ≥ 0, c ≥ 0. Chứng minh rằng: 
(Bài toán bất đẳng thức chọn lọc)
Bài 7. Cho a, b, c, d, a3 + b3 + c3 là các số không âm. Chứng minh rằng:
(Bất đẳng thức chọn lọc)
Bài 8. Cho a, b, c, d là các số dương. Chứng minh rằng:
(Đề thi học sinh giỏi cấp thành phố)
Bài 9. Cho a 0, b 0 và n > 1. Chứng minh bất đẳng thức:
 (Bất đẳng thức chọn lọc)
Bài 10. Cho x ≥ y ≥ 0. Chứng minh rằng:
 (Đề thi học sinh giỏi năm 1991)
Bài 11. Chứng minh rằng, với n ≥ 1 ta có: 2n+3 > 2n + 5 
 (Toán bồi dưỡng học sinh lớp 8)
Bài 12. Chứng minh bất đẳng thức:
 với ab > 0 (Toán bồi dưỡng học sinh lớp 8)
Bài 13. Chứng minh rằng với n ∈ N ta có: 
(Đề thi chọn học sinh giỏi năm 1980 - 1981)
Bài 14. Chứng minh bất đẳng thức:
 (với n ∈ N, n ≥ 2)
(Toán ôn thi vào lớp 10)
Bài 15. Giả sử a và b là các số nguyên dương sao cho là 1 số nguyên. Gọi d là ước số của a và b. Chứng minh: 
 (Đề thi vào lớp chuyên ĐHTH 1995 - 1996)
Bài 16. Cho các số a > 0, b > 0, c > 0. Chứng minh bất đẳng thức:
(Thi học sinh giỏi toàn quốc 1979)
Bài 17. Cho a ≥ 0 , b ≥ 0 , c ≥ 0. Chứng minh rằng:
 a4 + b4 + c4 ≥ abc(a + b + c) 
(Đề thi chọn học sinh giỏi toán lớp 9 năm 1994)
Bài 18. Cho x > 0, y > 0 và x + y = 1. Chứng minh: 
(Đề thi tuyển vào lớp 10 chuyên Lý - Hoá ĐHTH 1992)
Bài 19. Chứng minh rằng nếu a, b, c là các số dương thoả mãn:
abc = ab + bc + ca thì: 
(Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 khối THPT chuyên Toán - Tin ĐH Vinh năm 2002)
Bài 20. Cho 3 số dương a, b, c và ab > c thoả mãn: a3 + b3 = c3 + 1.
Chứng minh: a + b > c + 1
 (Đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Nguyễn Trãi tỉnh Hải Dương 2004 - 2005)
Bài 21. Cho a > c, b > c, c > 0. Chứng minh rằng: 
Bài 22. Cho a + b = 3. Chứng minh rằng .
Bài 23. Cho . Chứng minh rằng: 
Bài 24. Cho . 
Chứng minh rằng: 
Bài 25. Cho a, b, c là các số dương.
 Chứng minh rằng: (BĐT Nesbit).
Bài 26. Gọi a, b, c, p lần lượt là các cạnh, nửa chu vi của một tam giác. Chứng minh rằng: 
(Chuyên Lê Quý Đôn - Bình Định 2005 -2006).
Bài 27. Cho x, y, z là 3 số dương thoả mãn .
Chứng minh rằng: (x + z)4 + (z + y)4 (x + y)4
(Chuyên Phan Bội Châu - Nghệ An 2006 - 2007).
Bài 28: Cho hai số dương x, y thoả mãn điều kiện x + y = 2
Chứng minh x2y2(x2 + y2) ≤ 2 
(Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT năm học 2006 - 2007).
Bài 29: Cho a, b, c dương. 
Chứng minh rằng: 
(Đề thi thử tuyển sinh vào lớp 10 chuyên Nguyễn Huệ năm học 2006 - 2007).
Bài 30: Chứng minh rằng với mọi số thực x ta luôn có: 
(x – 1 )4 + (x – 3)3 + 6(x – 1 )2(x – 3)2 ≥ 8 
(Đề thi vào THPT năm học 2008 - 2009).
Bài 31: a. Cho hai số x, y ≥ 0. Chứng minh bất đẳng thức: (1)
b. Áp dụng bất dẳng thức (1), chứng minh:
Với các số a, b, c dương sao cho : a ≥ c; b ≥ c, ta có: 
(Đề thi vào 10 THPT, tỉnh Hà Tây năm học 2008 – 2009)
Bài 32: 
a) Cho a + b + c = 2011. Tính giá trị biểu thức A = 
b) Chứng minh rằng: 2(x4 + y4) xy3 + x3y + 2x2y2 với mọi x, y. 
(Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 8 huyện Thanh Trì năm học 2010 – 2011)
Bài 33 : Với x > 0, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : 
(Đề thi vào lớp 10 THPT, thành phố Hà Nội năm học 2011 – 2012)
Bài 34 : Với x, y là các số dương thỏa mãn điều kiện x ≥ 2y, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : 
(Đề thi vào lớp 10 THPT, thành phố Hà Nội năm học 2012 – 2013)
Bài 35 : Chứng minh rằng :
 Với 4 số a, b, c, d tùy ý ta có : a2 + b2 + c2 + d2 ≥ ab + ac + ad 
(Đề thi học sinh năng khiếu lớp 8, huyện Thanh Trì, năm học 2013 – 2014).
Bài 36 : Với a, b, c là các số dương thỏa mãn điều kiện a + b + c + ab + bc + ca = 6abc. Chứng minh: 
(Đề thi vào lớp 10 THPT, thành phố Hà Nội năm học 2013 – 2014)
Bài 37 : Với a, b, c là các số dương thỏa mãn điều kiện a + b + c = 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 
(Đề thi vào lớp 10 THPT, thành phố Hà Nội năm học 2014 – 2015)
Bài 38 : Với hai số thực không âm a, b thỏa mãn a2 + b2 = 4. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 
(Đề thi vào lớp 10 THPT, thành phố Hà Nội năm học 2015 – 2016)
Bài 39 : Với các số thực x, y thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = x + y
(Đề thi vào lớp 10 THPT, thành phố Hà Nội năm học 2016 – 2017)
Bài 40 : Cho các số thực a, b, c thay đổi thỏa mãn a ≥ 1, b ≥ 1, c ≥ 1 và ab + bc + ca = 9. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = a2 + b2 +c2
 (Đề thi vào lớp 10 THPT, thành phố Hà Nội năm học 2017 – 2018)
PHẦN 3: KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ
Trên đây là một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức đại số trong chương trình Toán học THCS mà tôi đã tổng hợp, phân loại. Qua các bài tập minh họa về các phương pháp chứng minh bất đẳng thức, cho dù chưa đầy đủ xong phần nào toát lên những phương pháp mà tôi áp dụng cho những năm qua ở các lớp 8; 9.
Sau khi sử dụng đề tài này để bồi dưỡng cho số học sinh khá, giỏi của lớp, tôi nhận thấy các em tự tin hơn khi giải những bài toán về chứng minh bất đẳng thức cũng như áp dụng để giải các bài toán có liên quan.
Do thời gian có hạn, trình độ học sinh trong lớp không đồng đều nên tôi chỉ tiến hành dạy và khảo sát với 10 học sinh khá giỏi của lớp. Kết quả thu được cả 10 em đều đạt trên trung bình (100%) trong đó có 9 em đạt điểm 7 trở lên. (Năm học 2011 – 2012 chỉ có 2 em đạt điểm 7 trở lên, năm học 2012 – 2013 có 4 em đạt điểm 7 trở lên, năm học 2013 - 2014 có 5 em đạt điểm 7 trở lên, năm học 2014- 2015 có 7 em đạt điểm 7 trở lên, năm 2015 – 2016 có 8 em đạt điểm 7 trở lên, năm 2016 – 2017 có 9 em đạt điểm 7 trở lên, trong đó có 3 em đạt điểm 10)
Trong những năm học trước tôi đã nghiên cứu đề tài này và thấy sau khi áp dụng vào thực tế, kết quả thu được là khả quan. Đồng thời đề tài này của tôi cũng đã được đồng nghiệp đánh giá cao (đã nhiều năm đạt giải B và C cấp thành phố). Vì vậy năm học này (2017 – 2018) tôi tiếp tục nghiên cứu đề tài này để nghiên cứu được sâu hơn, kĩ hơn từ đó trao đổi với bạn bè đồng nghiệp nhằm tháo gỡ phần nào khó khăn cho bạn bè đồng nghiệp khi dạy cho học sinh về mảng kiến thức này. Và tôi nghĩ, tôi sẽ tiếp tục nghiên cứu đề tài này trong những năm tiếp theo để đề tài ngày càng được hoàn thiện hơn sao cho thu được kết quả cao hơn trong những năm học tới.
Cuối cùng, tôi rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của đồng nghiệp!
Tôi xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày 20 tháng 04 năm 2018

Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết, không sao chép nội dung của người khác. 
Người viết
Nguyễn Thị Phương
TÀI LIỆU THAM KHẢO
Sách giáo khoa và sách toán phát triển các lớp 6, 7, 8, 9 - NXB Giáo Dục.
Các dạng toán ôn thi vào lớp 10 - NXB Giáo dục - Vũ Hữu Bình.
Một số vấn đề phát triển đai số 9 - NXB Giáo dục - Vũ Hữu Bình.
Toán bồi dưỡng học sinh lớp 8 - NXB Giáo dục - Vũ Hữu Bình.
 Toán bồi dưỡng học sinh lớp 8 - NXB Giáo dục - Vũ Hữu Bình.
Sai lầm phổ biến khi giải toán - NXB Giáo dục - Nguyễn Vĩnh Cận, Lê Thống Nhất, Phan Thanh Quang.
Các đề thi tuyển sinh môn toán vào lớp 10 và những chủ đề thường gặp - NXB ĐHSP - Nguyễn Quý Dy, Nguyễn Văn Nho.
Các bài toán chọn lọc bất đẳng thức - NXB Giáo dục - Nguyễn Đề, Vũ Hoàng Lâm.
500 bài toán chọn lọc về bất đẳng thức tập 1, 2 - NXB Hà Nội - Phan Huy Khải.
 Tuyển tập 180 bài toán bất đẳng thức - NXB Giáo dục - Võ Đại Mau.
 263 bài toán bất đẳng thức chọn lọc - NXB Giáo dục - Nguyễn Vũ Thanh.
 Phương pháp giải 100 bài toán chọn lọcvề chuyên đề chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất - NXB Giáo dục - Phan Văn Phùng.
 23 chuyên đề giải 100 bài toán sơ cấp - NXB Giáo dục - Nguyễn Văn Vĩnh.
Ôn tập thi vào lớp 10 môn Toán.
 Tạp chí Toán học và tuổi trẻ và một vài tài liệu khác.
MỤC LỤC