Sáng kiến kinh nghiệm Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức

ứng minh là đỳng.
 Giả sử phải chứng minh A > B (1), ta biến đổi tương đương A > B Û A > B Û A Û B Û  Û C > D. Nếu bất đẳng thức cuối đỳng thỡ bất đẳng thức đầu tiờn (1) là đỳng.
Chỳ ý: Nếu chưa chứng tỏ được bất đẳng thức cuối đỳng thỡ chưa thể kết luận bất đẳng thức đầu tiờn là đỳng. 
	 - Vớ dụ :
VD 3. 1 : Cho a, b > 0 và a + b =1 . Chứng minh rằng : 
 	(1)
Hướng dẫn: 
	Dựng phộp biến đổi tương đương:
 (1) 3(a + 1 + b + 1) 4(a + 1) (b + 1) 
 ú 9 4(ab + a + b + 1) (vỡ a + b = 1) 
 	ú 9 4ab + 8 
ú 1 4ab 
ú (a + b)2 4ab
ú (a - b) 0 
 	Bất đẳng thức cuối đỳng . Suy ra bất đẳng thức (1) đỳng.
 Dấu “ = “ xảy ra ú a = b = .
VD 3.2 : 
Chứng minh bất đẳng thức: với a > 0; b > 0
 Hướng dẫn: 
	Dựng phộp biến đổi tương đương : Với a > 0; b > 0 => a + b > 0
 ú .
 ú a2 - ab + b2 
 ú 4a2 - 4ab + 4b2 a2 + 2ab + b2 
 ú 3(a2 - 2ab + b2) 0
 ú (a - b) 0 
 Bất đẳng thức cuối cựng đỳng, suy ra : 
 Dấu “ = “ xảy ra ú a = b
VD 3.3:
 Cho 2 số a, b thoả món a + b = 1 . CMR a3 + b3 + ab 
Hướng dẫn: 
 Ta cú : a3 + b3 + ab a3 + b3 + ab - 0
 (a + b)(a2 - ab + b2) + ab - 0 vỡ a + b = 1
 a2 + b2 - 0 . 
 2a2 + 2b2 - 1 0
 2a2 + 2(a -1)2 - 1 0 ( vỡ b = a -1 )
 4a2 - 4a + 1 0
 (2a - 1)2 0
 Bất đẳng thức cuối cựng đỳng . Vậy a3 + b3 + ab 
 Dấu '' = '' xảy ra khi a = b = 
VD 3.4 : 
Với a > 0, b > 0 . Chứng minh bất đẳng thức :
 Hướng dẫn: 
 Dựng phộp biến đổi tương đương :
 ú ( 0
 ú 
 ú 
 ú 
 ú 
 Bất đẳng thức cuối đỳng với a, b > 0, suy ra : 
 Dấu “ = “ xảy ra ú a = b
 Bài tập tự luyện:
Bài 1: Cho hai số x và y mà x + y = 1 CMR : x2 + y2 . 
Bài 2: Cho hai số a, b thỏa món ab 1, CMR: 
Bài 3: Cho a>b>0 CMR: > (*)
 Hướng dẫn:	
Để chứng minh bất đẳng thức (*) , ta chứng minh bất đẳng thức tổng quỏt sau: 
Nếu a > b > 0 và m, n là hai số tự nhiờn mà m > n thỡ (1)
 Thật vậy ta dựng phộp biến đổi tương đương để chứng minh 
 (1) 
 1-
 (2)
Bất đẳng thức (2) luụn đỳng vỡ a > b > 0 nờn và m > n 
ị bất đẳng thức (1) luụn đỳng 
ị bất đẳng thức phải chứng minh luụn đỳng > 
* Nhận xột: Cú thể biến đổi tương đương trực tiếp trờn bất đẳng thức cần chứng minh.	
4. Phương phỏp 4: Dựng một số hằng bất đẳng thức thụng dụng.
	- Phương phỏp: Dựng một số hằng bất đẳng thức thụng dụng như: Cụsi, Bunhiacụpxki, bất đẳng thức chứa dấu giỏ trị tuyệt đối để biến đổi và chứng minh bài toỏn. 
- Nhắc lại: 
* Bất đẳng thức Cụsi: 
- Dạng khụng chứa dấu căn:
 a + b 2ab Û (a + b) 4ab Û ( ) ab 
 Dấu đẳng thức xảy ra khi : a = b 
- Dạng chứa dấu căn:
 Với 2 số khụng õm a, b ta cú: 
 Dấu đẳng thức xảy ra khi : a = b 
 	- Mở rộng: với a, b, c khụng õm thỡ abc
 	 Dấu đẳng thức xảy ra khi : a = b =c.
* Bất đẳng thức Bunhiacụpxki : 
 Với mọi số a; b; x; y ta cú : ( ax + by )2 (a2 + b2)(x2 + y2)
 Dấu đẳng thức xảy ra 
* Bất đẳng thức giỏ trị tuyệt đối : 
 +) 
 Dấu đẳng thức xảy ra khi: ab 0
 	- Cỏc vớ dụ :
VD 4.1 : Giả sử a, b, c là cỏc số dương , chứng minh rằng:
 Hướng dẫn: 
 Áp dụng BĐT Cụsi cho hai số dương a và b+c, ta cú : 
 a + (b + c) ú . Dấu “ = “ xảy ra ú a = b+c
 Tương tự ta thu được :
 Dấu “ = “ xảy ra ú b = c+a
 Dấu “ = “ xảy ra ú c = a+b
Dấu “ = “ của ba bất đẳng thức trờn khụng thể đồng thời xảy ra, vỡ khi đú nếu cú 
a = b+c; b = c+a; c = a+b thỡ suy ra a+b+c = 0 ( trỏi với giả thiết a, b, c đều là số dương ).
Cộng từng vế của ba bất đẳng thức trờn ta được: 
VD 4.2:
 Cho x, y là 2 số thực thoả món : 
 x2 + y2 = (1)
 	Chứng minh rằng: 3x + 4y 5
Hướng dẫn: 
Điều kiện: ; 
Bỡnh phương hai vế của (1) và ỏp dụng bất đẳng thức Bunhiacụpxki ta cú : 
 (x2 + y2)2 = ()2 (x2 + y2)(1 - y2 + 1 - x2) 
 x2 + y2 1	(2)
 Ta lại cú : (3x + 4y)2 (32 + 42)(x2 + y2) 
 Kết hợp với (2) suy ra : (3x + 4y)2 25
 => 3x + 4y 5 
 Đẳng thức xảy ra ú ú 
 VD 4. 3: 
Cho a, b, c 0 ; a + b + c = 1 . Chứng minh rằng :
	 a, 
	 b, 
Hướng dẫn: 	
 a, Áp dụng bất dẳng thức Bunhiacụpxki ta cú :
 => vỡ a+b+c = 1
 => .
 Dấu '' = '' xảy ra khi : a = b = c = 
 b, Áp dụng bất đẳng thức Cụsi cho hai số dương a+1 và 1, ta cú: 
 	(a+1)+1 2 ú 
 Tương tự : ; 
 Cộng từng vế của 3 bất đẳng thức trờn ta được :
 Dấu đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 0 trỏi với giả thiết : a + b + c = 1 
 Vậy : 
VD 4.4 
 Cho x, y > 0 . Chứng minh rằng : 
Hướng dẫn: 
 Áp dụng bất đẳng thức Cụsi cho từng bộ hai số dương x và y; và ta cú:
 => (x + y) 4 
 => 
Dấu “ = “ xảy ra ú x = y
VD 4.5
 Cho a, b ,c > 0. Chứng minh rằng + + 3
Hướng dẫn: 
Áp dụng bất đẳng thức Cụsi cho bộ ba số dương ; và ta được:
 suy ra + + 3
Dấu “ = “ xảy ra ú a = b = c
5. Phương phỏp 5: Chứng minh phản chứng .
- Phương phỏp: Giả sử phải chứng minh bất đẳng thức nào đú đỳng, ta giả sử bất dẳng thức đú sai, rồi vận dụng cỏc kiến thức đó biết và giả thiết của đề bài
để suy ra điều vụ lý .
Điều vụ lý cú thể là trỏi với giả thiết hoặc là những điều trỏi ngược nhau hoặc là trỏi với cỏc điều đó được chứng minh là đỳng. Từ đú suy ra bất đẳng thức cần chứng minh là đỳng .
	Một số hỡnh thức chứng minh phản chứng:
	 + Phủ định rồi suy ra điều trỏi với giả thiết .
	 + Phủ định rồi suy ra trỏi với điều đỳng .
	 + Phủ định rồi suy ra hai điều trỏi ngược nhau .
	- Cỏc vớ dụ : 
VD 5. 1: 
Cho 0 ;	 3b(1 - c) > 2;	12c(1 - a) > 1
Hướng dẫn: 
	Giả sử cả ba bất đẳng thức trờn đều đỳng . Nhõn từng vế ta cú: 
 	36abc (1 - a)(1- b)(1 - c) > 
 	 (1)
Áp dụng bất đẳng thức Cụsi cho từng cặp số dương a và 1- a; b và 1- b; c và 1- c ta cú :
 => a(1 - a) 
 Tương tự : b(1 - b) 
 	 c(1 - c) 
 Nhõn từng vế cỏc bất đẳng thức được
 (2)
 Ta thấy (1) và (2) mõu thuẫn nhau suy ra điều giả sử là sai.
 Điều này chứng tỏ ớt nhất một trong ba bất đẳng thức cho trong đầu bài là sai .
VD 5.2 : 
 Chứng minh rằng khụng cú 3 số dương a, b, c nào thoả món cả ba bất đẳng thức
 ; ; 
 Hướng dẫn: 
 Giả sử tồn tại 3 số dương a, b, c thoả món cả 3 bất đẳng thức : 
 ; ; 
	Cộng theo từng vế của 3 bất đẳng thức trờn ta được : 
 ú (1)
 Vỡ a, b, c > 0 nờn ỏp dụng bất đẳng thức Cụsi ta cú: 
 ; ; 
 => Điều này mõu thuẫn với (1)
Vậy khụng tồn tại 3 số dương a, b, c thoả món cả 3 bất đẳng thức núi trờn . 
VD 5.3 :
 	Cho a3 + b3 = 2 . Chứng minh rằng: a + b 2 .
Hướng dẫn: 
 Giả sử : a + b > 2 => (a + b )3 > 8 
 => a3 + b3 + 3ab(a + b) > 8 
 => 2 + 3ab(a + b) > 8 ( Vỡ : a3 + b3 = 2 ) 
 => ab(a + b) > 2 
 => ab(a + b) > a3 + b3 ( Vỡ a3 + b3 = 2 ) 
 Chia cả hai vế cho số dương a+b ta được : 
 ab > a2 - ab + b2 => (a - b)2 < 0 Điều này là vụ lý 
	 Vậy điều giả sử là sai, do đú a + b 2 
Bài tập tự luyện:
 Bài 1 : Chứng minh rằng khụng cú 3 số dương a, b, c nào thoả món cả ba bất đẳng thức
 ; ; 
Bài 2 : Chứng minh rằng khụng cú 3 số a, b, c nào thoả món cả ba bất đẳng thức sau :
 >  ;	 	 >  ; 	 > 
Hướng dẫn : Giả sử tồn tại 3 số a, b, c thoả món cả 3 bất đẳng thức 
 => (a - b) > c => (a-b-c)(a-b+c) > 0
 Tương tự : (b-c-a)(b-c+a) > 0
 (c-a-b)(c-a+b) > 0 
Nhõn từng vế của cỏc bất đẳng thức sẽ dẫn đến mõu thuẫn
6. Phương phỏp 6. Phương phỏp xột cỏc khoảng giỏ trị của biến.
	- Phương phỏp: Chia cỏc giỏ trị của biến thành nhiều khoảng thớch hợp và chứng minh ở trường hợp nào bất đẳng thức cũng được thỏa món. Vậy bất đẳng thức đỳng với mọi giỏ trị của biến.
	- Cỏc vớ dụ :
VD 6.1 :
 	Cho M = x - x + x - x + 1. Chứng minh rằng M > 0 với mọi x.
Hướng dẫn: 
* Xột trường hợp x 1, ta cú
 	M = x (x - 1) + x(x - 1) + 1 
 Vỡ x 1 nờn x 1 => x - 1 0 và x - 1 0, cũn x > 0 do đú M > 0.
* Xột trường hợp x < 1, ta cú
 	M = x + x (1 - x) + (1 - x)
 Vỡ x x và 1 > x => 1 - x > 0 và 1 - x, cũn x > 0 ; x > 0 
 Do đú M > 0.
* Vậy M > 0 với mọi x.
VD 6.2 : 
 	Cho A = x - x + x - x + 1. Chứng minh rằng A > 0 với mọi x.
Hướng dẫn: 
 * Xột trường hợp x 1, ta cú A = x (x - 1) + x(x - 1) + 1 > 0
 * Xột trường hợp x 0 
 Vậy A > 0 với mọi x. 
Bài tập tự luyện:
Bài 1. Chứng minh rằng:
A = 31x - 6x + 17 > 0 mọi x 
 	B = x - x + x - x + 1 > 0 mọi x 
* Chỳ ý: Ngoài phương phỏp trờn ta cú thể chứng minh bất đẳng thức bằng cỏch đưa biểu thức về dạng tổng của cỏc bỡnh phương với một số dương.
 VD: B = x - x + x - x + 1 => 2B = 2x - 2x - 2x - 2x + 2
 	 = (x - x) + (x - 1) + x + 1 > 0 
7. Phương phỏp 7 : Đổi biến số
	- Phương phỏp: Thực hiện phương phỏp đổi biến số nhằm đưa bài toỏn đó cho về dạng đơn giản hơn, gọn hơn hoặc dạng những bài toỏn đó biết cỏch giải ... 
- Cỏc vớ dụ : 
VD 7. 1 :
 Chứng minh rằng : Nếu a, b, c > 0 thỡ : 
 Hướng dẫn: 
 Đặt : b + c = x , c + a = y , a + b = z 
 => a + b + c = 
 và a = , b = , c = 
 Khi đú : 
 VT = = 
 = 
Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi x = y = z
VD 7.2 :
 Cho a, b, c > 0; a + b + c 1 . Chứng minh rằng : 
Hướng dẫn: 
	Đặt : a2 + 2bc = x ; b2 + 2ca = y ; c2 + 2ab = z 
Khi đú : x + y + z = a2 + 2bc + b2 + 2ca + c2 + 2ab = (a + b + c)2 1
Bài toỏn trở thành: Cho x, y, z > 0; x + y + z 1 .
	Chứng minh rằng : 
Ta chứng minh được : (x + y + z)( với x ; y ; z > 0 (VD 4.4)
	 Mà x + y + z 1 nờn suy ra => điều cần chứng minh.
8. Phương phỏp 8: Phương phỏp quy nạp toỏn học .
 	- Phương phỏp: Để chứng minh một bất đẳng thức đỳng với n ³ 1 (n ³ n ) bằng phương phỏp quy nạp toỏn học, ta tiến hành : 
	+ Kiểm tra bất đẳng thức đỳng với n = 1 (n = n0)
	+ Giả sử bất đẳng thức đỳng với n = k > 1 (k > n0)
	+ Chứng minh bất đẳng thức đỳng với n = k + 1 
	+ Kết luận bất đẳng thức đỳng với mọi n ³ 1 (n ³ n0) 
	- Cỏc vớ dụ : 
VD 8.1 : 
 Chứng minh rằng với mọi số nguyờn dương n 3 thỡ 
 2n > 2n + 1 (*)
 Hướng dẫn: 
 + Với n = 3 , ta cú : 2n = 23 = 8; 2n + 1 = 2.3 + 1 = 7 ; 8 > 7 . 
Vậy đẳng thức (*) đỳng với n = 3 .
 + Giả sử (*) đỳng với n = k (k N ; k 4), tức là ta cú 2k > 2k + 1 
 ta phải chứng minh: 2k+1 > 2(k + 1) + 1 
 hay 2k+1 > 2k + 3 (**) 
 + Thật vậy : 2k+1 = 2.2k , mà 2k > 2k + 1 ( theo giả thiết quy nạp ) 
do đú : 2k +1 > 2(2k + 1) = (2k + 3) +(2k - 1) > 2k + 3 (vỡ 2k - 1 > 0 với k N ; k 4 ) 
 Vậy (**) đỳng với mọi k 4 .
 + Kết luận: 2n > 2n + 1 với mọi số nguyờn dương n 3 .
VD 8.2 :.
Chứng minh rằng : 
 ..... (*) (n là số nguyờn dương ) 
 Hướng dẫn: 
 + Với n = 1 , ta cú : VT = VP = . Vậy (*) đỳng với n = 1 .
 + Giả sử (*) đỳng với n = k 2 ta cú : ..... 
 => ..... . .	(1)
 Ta cần chứng minh (*) đỳng với n = k + 1, tức là cần chứng minh:
 ..... 	(2)
Từ (1) và (2), ỏp dụng tớnh chất bắc cầu ta cần chứng minh được
 	(3)
 Dựng phộp biến đổi tương đương, ta cú : 
(3) ú (2k + 1)2(3k + 4) (3k + 1)4(k +1)2 
 ú 12k3 + 28k2 + 19k + 4 12k3 + 28k2 + 20k +4
 ú k 0. Bất đẳng thức này đỳng vỡ k 2 => (3) đỳng 
=> (*) đỳng với mọi k 2 .
 Vậy (*) đỳng với mọi số nguyờn dương n 
Bài tập tự luyện:
 Chứng minh rằng: 2 > n với mọi số tự nhiờn n 5
9. Phương pháp 9: Dựng tớnh chất của tỉ số.
 - Phương phỏp: Dựng cỏc tớnh chất của tỉ lệ thức, của dóy tỉ số bằng nhau một cỏch hợp lớ để suy ra bất đẳng thức cần chứng minh.
Nhắc lại: * Cho a,b,c là các số dương: a, Nếu thì 
 	 b, Nếu thì 
 * Nếu a, b, c, d > 0 và thì 
 - Các ví dụ
VD 9.1: 
 Cho a, b, c, d > 0, chứng minh rằng
Hướng dẫn: 
Với a, b, c, d > 0 theo tính chất của tỉ lệ thức ta có
 	(1)
Mặt khác 	(2)
Từ (1) và (2) => 	(3)
Tương tự ta có 	(4)
 	(5)
 	(6)
Cộng vế với vế của (3), (4), (5),(6) ta có 
VD 9. 2: 
 Cho và b, d > 0. Chứng minh rằng 
Hướng dẫn: 
Từ 
Hay Đó là điều cần chứng minh.
 	10 . Phương pháp 10 : Dùng phương pháp hình học 
* Sử dụng bất đẳng thức tam giác :
Với ba điểm A ,B ,C bất kì ta có : AB + BC AC
Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi B nằm giữa B và C
 Sử dụng diện tích 
- Cỏc vớ dụ:
VD 10.1 :
 Chứng minh rằng với mọi a , b ta đều có :
 + + 5
Hướng dẫn: 
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với :
Trên mặt phẳng toạ độ lấy : A(0 ; -1) ; B(a ; 1) ; C(b ; 2) ; D(3 ; 3)
Ta có : AB = 
 BC = 
 CD = 
Từ bất đẳng thức AB + BC + CD AD ta có : 
A
Dấu " =" xảy ra khi và chỉ khi A,B,C,D thẳng hàng và xếp theo thứ tự đó (đpcm)
VD 10. 2 :
 Cho a , b , c thoả mãn điều kiện a > c > 0 và b > c > 0
Chứng minh rằng : + 
 Hướng dẫn: 
Theo giả thiết a , b, c > và đồng thời a > c , b > c 
C
nên tồn tại tam giác ABC có các cạnh AB = ,
H
 B
 AC = và đường cao AH = 
áp dụng định lí Py ta go cho 
hai tam gíac vuông AHB và AHC ta có : 
BH = 
CH = 
Do đó diện tích ABC là :
S = ( + ) = ( + 
Mặt khác S = sinA 
 (do sinA 1 ) + + 
Từ đó suy ra :( + ) 
Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi ABC vuông tại A tức là khi 
 = + = + (đpcm)
 Bài tập tự luyện:
Bài 1 :Chứng minh bất đẳng thức sau bằng phương pháp hình học :
 . b( a + c ) với các số dương a, b , c
Bài 2 : Chứng minh các bất đẳng thức sau với a, b, c, d > 0
 + ( a + b)( c + d ) trong đó a, b, c, d là những số thực dương 
Ngoài 10 phương phỏp vừa nờu ở trờn cũn một số phương phỏp khỏc cú thể chứng minh bất đẳng thức như: phương phỏp làm trội, phương phỏp dựng tam thức bậc hai ... nhưng trong phạm vi nhỏ của đề tài, tụi khụng nờu ra những phương phỏp đú. 
 iii- kết quả thực hiện có so sánh đối chứng
Sau khi ỏp dụng đề tài sỏng kiến kinh nghiệm trờn vào giảng dạy tụi thấy học sinh đó cú những tiến bộ tớch cực, cỏc em đều cú hứng thỳ và say mờ học toỏn hơn. Cỏc em đó xỏc định được loại toỏn và cỏch giải, nhiều em học sinh đó vận dụng được tương đối tốt cỏc phương phỏp để giải bài tập về bất đẳng thức. Kết thỳc đề tài, qua kiểm tra đối chứng tụi thấy cỏc em đó biết giải cỏc bài toỏn về chứng minh bất đẳng thức cú hiệu quả cao hơn trước khi thực hiện đề tài
Cụ thờ̉ tụi cho đề khảo sỏt chất lượng 40 em học sinh lớp 9B 
Kết quả thu được sau khi thực hiện đề tài như sau :
Số học sinh
kiểm tra
Điờ̉m từ 0 đờ́n 2
Điờ̉m 3
Điờ̉m 4 
Điờ̉m 5
Điờ̉m từ 6 đờ́n 10
40
2
3
4
12
20

Đối chiếu với kết quả trước khi thực hiện đề tài
Số học sinh
kiểm tra 
Điểm từ 0 đến 2
Điểm 3
Điểm 4
Điểm 5
Điểm từ 6 
đến 10
40
8
9
12
6
5

C. KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ
Trờn đõy là toàn bộ quỏ trỡnh nghiờn cứu và thực hiện đề tài của tụi. Tụi nhận thấy rằng khi giảng dạy đề tài này cho học sinh, mỗi thầy cụ phải nghiờn cứu kỹ để vận dụng phự hợp với đối tượng học sinh của mỡnh. Với cỏc vớ dụ từ dễ đến khú trong mỗi phương phỏp, tụi muốn cung cấp cho cỏc em một số phương phỏp chứng minh bất đẳng thức, giỳp cỏc em biết cỏch giải và cú ký năng chứng minh bất đẳng thức. Tuy đó rất cố gắng trong cụng việc nghiờn cứu, mặc dự đề tài đó được ỏp dụng cú hiệu quả cao song đề tài này cũng khụng thể trỏnh khỏi thiếu sút. Tụi rất mong nhận được sự tham gia, đúng gúp ý kiến của cỏc thầy cụ và của đồng nghiệp để đề tài của tụi được hoàn thiện hơn, được ỏp dụng rộng rói và cú hiệu quả hơn.
	Tụi xin chõn thành cảm ơn sự đúng gúp ý kiến của cỏc quớ vị!
 Tụi xin cam đoan đề tài này do tụi nghiờn cứu và thực hiện , tụi khụng sao chộp của bất cứ cỏ nhõn hay tổ chức nào, nếu sai tụi hoàn toàn chịu trỏch nhiệm.
 Ba Vỡ, ngày 15 thỏng 05 năm 2020
 Tỏc giả
 Trần Thị kim Hoa