Sáng kiến kinh nghiệm Một số kỹ thuật giải nhanh các bài toán tích phân hàm ẩn

e f x e f x
e
 . 
 Vậy 
1 1
0 0
4 4
d 2 d 2
x
f x x x
e e
 . 
Nhận xét: - Các bài toán sau cũng đã xuất hiện dạng của Bài toán 5, nên ta làm 
tương tự ví dụ 18. 
Ví dụ 19: Cho hàm số f x liên tục trên đoạn  1;1 thỏa mãn ,f x f x x 
 1;1x và 0 1f . Tính 
1
1
df x x
 . 
Bài giải: Ta có:  , 1;1f x f x x x  . 
 x x xe f x e f x xe 
 x xe f x xe 
 dx x x xe f x xe x xe e C . 
Do 0 1f nên 0C . 
Khi đó: 1x x xe f x xe e f x x . 
Vậy 
1 1
1 1
d 1 d 2f x x x x
 . 
41 
Ví dụ 20: Cho hàm số f x liên tục trên đoạn  0;1 thỏa mãn 23 xf x f x e 
,  0;1x và 0 4f . Tính 
ln 2
0
df x x . 
Bài giải: Ta có:  23 , 0;1xf x f x e x  
 33x x xe f x e f x e 
 33x xe f x e 
 3 33 dx x xe f x e x e C . 
Do 0 4f nên 3C . 
Khi đó: 3 2
3
3x x x
x
e f x e f x e
e
 . 
Vậy 
ln 2 ln 2
2
0 0
3
d d 3x
x
f x x e x
e
Nhận xét: Khi học sinh đã nắm chắc được dạng cơ bản của Bài toán 5 thì các em 
có thể linh hoạt để áp dụng vào các bài toán mở rộng hơn, chẳng hạn như các ví 
dụ sau đây: 
Ví dụ 21: Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên và thỏa mãn
 xf x f x e , x . Biết 0 0f , tính 2f . 
A. 
2
2
e
. B. 23e . C. 2e . D. 22e . 
Bài giải: Từ giả thiết ta có 
 2
2
1 1
x x
x x x
x x
f x e e f x f x
e f x f x e e
e e
. 
 Lấy tích phân 2 vế trên đoạn [0;2]: 
22 2
2 0
00 0
( ) ( ) (2) (0)
( ) ' 2 2 2
x x
f x f x f f
dx dx
e e e e
 Do 0 0f nên 22 2f e . 
42 
Ví dụ 22: Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên [0;1] , thỏa mãn 
1
0
3
f 
và 2[ ( )] , [0;1]f x f x f x x  . Tính 
ln 2
0
( )f x dx . 
A. ln 2 . B. 
4
ln
3
. C. ln12 . D. 
3
ln
4
. 
Bài giải: Sử dụng Bài toán 4, chia cả 2 vế cho 2[ ( )]f x ta có: 
 2 2
( ) '( )
[ ( )] 1
[ ( )]
f x f x
f x f x f x
f x
 Sử dụng kỹ thuật biến đổi của Bài toán 5, nhân cả 2 vế với xe : 
2
( ) '( )
( ) '
[ ( )] ( ) ( )
x x x x
x x x xe f x e f x e ee e e dx e C
f x f x f x
 Lại có: 
1
0 2 ( )
3 2
x
x
e
f C f x
e
 Khi đó 
ln 2 ln 2
ln 2
0
0 0
4
( ) ln(2 ) ln
2 3
x
x
x
e
f x dx dx e
e
2.2.6. Bài toán 6: 
Bài toán tích phân liên quan đến đẳng thức: '( ). ( ) ( ). ( ) 0f x u x h x f x , 
(Biết trước các hàm số ( ), ( )u x h x và ( ) 0f x ) 
Kỹ thuật biến đổi: Xuất phát từ công thức đạo hàm: với 
'
( ) ( ) '
2
u
u u x u
u
- Chia cả 2 vế cho ( )f x ta có: 
'( ) ( ) ( )
( ( )) '
2 ( ) 2 ( )2 ( )
f x h x h x
f x
u x u xf x
- Lấy nguyên hàm hoặc tích phân 2 vế: 
( )
( )
2 ( )
h x
f x dx
u x
Ví dụ áp dụng: 
Ví dụ 23: Cho hàm số f x đồng biến và có đạo hàm liên tục trên đoạn  0;1 
thỏa mãn '( ) 2 ( ), [0;1]f x f x x  và (0) 1f . Tính tích phân 
1
0
( )f x dx . 
A. 
8
3
. B. 
7
3
. C. 
1
3
. D. 7 . 
43 
Phân tích: - Đây là bài toán cơ bản của dạng Bài toán 6 nên học sinh có thể áp 
dụng ngay 
Bài giải: Từ giả thiết ta có: 
'( )
'( ) 2 ( ) 1 ( )
2 ( )
f x
f x f x f x dx x C
f x
 Lại có: 2(0) 1 1 ( ) ( 1)f C f x x 
 Sử dụng máy tính Casio tính tích phân 
1 1
2
0 0
7
( ) 1
3
f x dx x dx 
Ví dụ 24: Cho hàm số f x đồng biến và có đạo hàm liên tục trên đoạn  0;1 
thỏa mãn 2 2[ '( )] 16 ( ) 0, [0;1]f x x f x x  và (0) 1f . Tính tích phân 
1
0
( )f x dx 
A. 
28
15
. B. 
8
15
. C. 
2
3
 . D. 
4
3
. 
Phân tích: Bài toán chưa có dạng của Bài toán 6, tuy nhiên nếu ta chia hai vế 
cho f x rồi sau đó khai căn bậc 2 hai vế thì sẽ xuất hiện dạng Bài toán 6. 
Bài giải: Vì hàm số f x đồng biến và có đạo hàm liên tục trên đoạn  0;1 và 
(0) 1f nên ( ) 0, [0;1]f x x  và  ' 0, 0;1f x x  . 
 Từ giả thiết ta có: 
2 2[ ( )] 16 ( ) 0f x x f x 2
[ ( )]
4
4 ( )
f x
x
f x
( )
2
2 ( )
f x
x
f x
 2( ) d 2 d ( )f x x x x f x x C 
 Lại có: 
1
2 2 2 2
0
28
(0) 1 1 ( ) ( 1) ( 1)
15
f C f x x I x dx 
Nhận xét: Khi học sinh được trang bị kỹ thuật giải một cách có hệ thống thì học 
sinh sẽ vận dụng linh hoạt và nhanh nhẹn hơn trước các bài toán khác. 
Ví dụ 25: Cho hàm số f x có đạo hàm và đồng biến trên đoạn  1;4 , thỏa mãn 
2
2x xf x f x với mọi  1;4x . Biết 
3
1
2
f , tính 
4
1
I f x dx . 
44 
Bài giải: Do f x đồng biến trên  1;4 nên 
3 1
1
2 2
f x f , ngoài ra 
  0, 1;4f x x  . Khi đó ta có biến đổi sau: 
2
2
2 1
f x
x xf x f x x
f x
d d
2 1
f x
x x x
f x
322 1
3
f x x C 
 Mà 
3 4
1
2 3
f C 
2
3
3 3
2 4
1
2 8 73 3
2 9 9 18
x
f x x x
 . 
 Vậy 
44
4 2
1 1
1 16 7 1186
18 45 18 45
I f x dx x x x x
 . 
Trên đây là một số dạng tổng quát của các bài toán tích phân hàm ẩn mà 
chúng tôi tích lũy và xây dựng trong quá trình giảng dạy. Chúng tôi thấy rằng, khi 
đưa ra các bài toán tổng quát để xây dựng cho học sinh kỹ thật biến đổi một cách 
có hệ thống thì học sinh có thể vận dụng tốt, biết nhận dạng và phối hợp giữa các 
bài toán với nhau để giải quyết các bài toán khó hơn, học sinh cũng không còn 
lúng túng trước các bài toán tích phân hàm ẩn. 
Bài tập áp dụng: 
Bài 1. Cho hàm số 0f x với mọi x và thỏa mãn 
1
2
25
f ,
234 ,f x x f x x  . Tìm 1f . 
HD: Biến đổi về dạng: 
23 314 4
( )
f x x f x x
f x
Bài 2. Cho hàm số f x xác định và liên tục trên khoảng (0; ) và thỏa mãn
 2 2 2 1 1x f x x f x xf x , và 1 2f . Tính 
2
1
f x dx . 
45 
HD: Biến đổi về dạng: 
2
'( ) ( ) 1
1 1
( ( ) 1) ( ) 1
xf x f x
xf x xf x
Bài 3. Cho hàm số f x liên tục trên 0; và 
2 1
6
x
x f x f x
x
 . 
Biết 1 5f . Tính f e . 
HD: Biến đổi về dạng: 
2 1
( ( )) ' 6
x
xf x x
x
Bài 4. Cho là hàm số liên tục trên thỏa mãn sinf x f x x với mọi 
x và 0 1f . Tính πe . πf . 
Bài 5. Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên khoảng 0;1 và 0f x , 
 0;1x . Biết rằng 
1
2
f a
, 
3
2
f b
 và 2 4x xf x f x , 
 0;1x . Tính tích phân 
23
2
6
sin .cos 2sin 2
d
sin
x x x
I x
f x
 theo a và b . 
A. 
3
4
a b
I
ab
 . B. 
3
4
a b
ab
 . C. 
3
4
b a
ab
. D. 
3
4
b a
ab
. 
HD: Biến đổi về dạng: 
2 2
2
4
( ) '
( ( )) ( )
x x x
f x f x
Bài 6. Cho hàm số ( )f x có đạo hàm liên tục trên đoạn  1;2 và thỏa mãn 
1
(1)
2
f và 3 2 2( ) ( ) 2 ( ), [1;2].f x xf x x x f x x  Giá trị của tích phân 
2
1
( )dx f x x bằng 
A. 
4
ln
3
. B. 
3
ln
4
 . C. ln3. D. 0. 
HD: Biến đổi về dạng 
1
2 1
( )
x
xf x
. 
Bài 7. Cho hàm f x liên tục trên đoạn  0;1 và 2 1f x f x x x , 
 0;1x ; 0 3f . Tìm f x . 
 f x
46 
HD: Biến đổi về dạng 2( ( )) ' ( 1)x xe f x e x x 
Bài 8. Cho hàm f x liên tục trên đoạn  0;2 và thỏa mãn 
  3 ln 3e , 0;2xf x f x x  , 0 1f . Tìm f x . 
HD: Biến đổi về dạng ( ( )) ' (3 ) ln(3 )x xe f x e e . 
Bài 9. Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên  2;2 , thỏa mãn 
 2 ,xf x f x xe x . Biết rằng 2 2f . Tính giá trị của 2f . 
HD: Biến đổi về dạng ( ( )) ' 2xe f x x 
Bài 10. Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên  0;1 , thoả mãn (0) 0f và
 20203 ,xf x f x x với mọi  0;1x Tính 
1
0
df x x . 
HD: Biến đổi về dạng: 3 2022( ( )) 'x f x x 
Bài 11. Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên khoảng 4 ; và thỏa mãn 
đẳng thức 
 3 22
2
6 9
( 7 12)
9
x x x
f x x x f x
x
với mọi 4 ; x . Giá 
trị 5f của bằng 
A. 5 34 5f . B. 5 2 34 10f . 
C. 5 2 34 10f . D. 5 34 5f . 
HD: Biến đổi về dạng: 
 2 2 2
1 4 4
. . .
3 33 9 9
x x x x
f x f x f x
x xx x x
Bài 12. Cho hàm số y f x liên tục trên khoảng 0; . Biết 1 1f và 
( ) ( ) lnf x xf x x ; 0;x giá trị của f e bằng: 
A. 2 . B. e . C. 
1
e
. D. 1. 
HD: Biến đổi về dạng 
2
lnf x x
x x
. 
Bài 13. Cho hàm số ( )y f x liên tục trên khoảng (0; ) . Biết 
1
(1)
2
f và 
22 ( ) ( ) 3xf x f x x x (0; )x , giá trị của (4)f bằng 
47 
A. 14. B. 4. C. 24. D. 16. 
HD: Biến đổi về dạng:
21 3
( ) ( )
22
x x
f x f x
x x
 2
3
( ( ))
2
x f x x . 
Bài 14. Cho hàm số ( )y f x liên tục trên khoảng (1; ) . Biết 3( ) 3f e e và 
3( ( ) 2 ( )) ln ( )xf x f x x x f x (1; )x , giá trị của (2)f thuộc khoảng nào 
dưới đây? 
A. 
25
12;
2
. B. 
27
13;
2
 C. 
23
;12
2
. D. 
29
14;
2
. 
HD: Biến đổi về dạng: 
2 3 2 3 3
( ) ( ) ( )ln ( ) ( )
'ln 1
f x f x f x x f x f x
x dx x dx
x x x x x
Bài 15. Cho hàm số ( )f x đồng biến và có đạo hàm liên tục trên đoạn  1;4 thỏa 
mãn (1) 1f và  2( ( ) ( )) 4 ( ), 1;4xf x f x f x x  . Tính diện tích S của hình 
phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số ( )y f x , trục hoành và hai đường thẳng 
1, 4x x 
A. 4 2ln 2S . B. 4 2ln 2S 
C. 4 ln 2S . D. 4 ln 2S 
HD: Biến đổi về dạng: 
2( ( ) '( )) 1 ( ) '( ) 1 1
( ( )) '
4 ( ) 2 ( )
f x xf x f x xf x
xf x
xf x x xf x x x
2.3. Kết quả nghiên cứu. 
 Chúng tôi chọn lớp 12A1 làm lớp thực nghiệm, 12A2 làm lớp đối chứng. 
Lấy kết quả bài kiểm tra chung của hai lớp làm bài kiểm tra trước tác động. Kết 
quả kiểm tra cho thấy kết quả học tập của hai lớp trước tác động là tương đương 
nhau (Đã phân tích ở mục 1.2). Sau khi tác động, chúng tôi cho học sinh lớp 
12A1 và 12A2 làm bài kiểm tra chung. Bài kiểm tra gồm 4 bài, làm trong 
khoảng thời gian 45 phút. 
2.3.1. Nội dung bài kiểm tra: 
Bài 1. Cho hàm số ( )f x có đạo hàm liên tục trên  và thỏa mãn (2) 2f , 
2
0
( ) 1f x dx . Tính 
4
0
'( )f x dx 
Bài 2. Cho hàm số f x liên tục trên đoạn  1;1 và ( )f x là hàm số chẵn. Biết 
1
1
( 2) '( ) 12x f x dx
 và (1) 9f . Tính tích phân 
1
0
df x x 
48 
Bài 3. Cho hàm số 0f x với mọi x và thỏa mãn 
1
2
25
f ,
234 ,f x x f x x  . Tìm 1f . 
Bài 4. Cho hàm số f x xác định và liên tục trên khoảng (0; ) và thỏa mãn
 2 2 2 1 1x f x x f x xf x , và 1 2f . Tính 
2
1
f x dx . 
2.3.2. Kết quả thu được: 
Lớp Sĩ số Làm được 
 Bài 1 
Làm được 
Bài 2 
Làm được 
Bài 3 
Làm được 
Bài 4 
Làm được 
cả 4 bài 
Không 
làm được 
bài nào 
12A1 35 35 32 35 28 28 0 
12A2 44 27 7 33 1 1 0 
 Kết quả bài làm của học sinh ở hai lớp, chúng tôi nhận thấy: 
 - Tất cả học sinh ở lớp 12A1 đã sử dụng các kỹ thuật mà đề tài đưa ra để giải 
quyết các các bài toán trong đề kiểm tra. Ở bài 1 và bài 2, các em sử dụng kỹ thuật 
chọn hàm; bài 3 sử dụng Bài toán 1 (mục 2.2.1), bài 4 sử dụng Bài toán 4 (mục 
2.2.4). 
- Học sinh ở lớp 12A2 vẫn giải quyết theo cách cũ, ở bài 1 sử dụng kết hợp 
phương pháp đổi biến số và tích phân từng phần, ở bài 2 sử dụng tính chất của 
hàm số chẵn và các phương pháp tính tích phân. Bài 3 và bài 4 thì các em biết là 
theo cách của đề tài. 
 Qua đó, chúng tôi thấy rằng: điểm của nhóm thực nghiệm cao hơn nhóm đối 
chứng, chứng tỏ mức độ ảnh hưởng của tác động là lớn; điểm của lớp thực nghiệm 
cao hơn lớp đối chứng không phải ngẫu nhiên mà do tác động mà có. Tác động 
đã có ý nghĩa lớn đối với tất cả các đối tượng học sinh: yếu, trung bình, khá. Số 
học sinh yếu giảm nhiều, số học sinh khá tăng đáng kể. 
49 
PHẦN III. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 
3.1. Đóng góp của đề tài 
3.1.1.Tính mới: 
Đề tài đã được nghiên cứu, thực nghiệm thành công và đúc rút từ kinh 
nghiệm có tính thực tiễn cao. Đề tài đã đưa ra một số kỹ thuật giải nhanh các 
bài toán tích phân hàm ẩn thông qua các dạng bài toán thường gặp đã được tổng 
quát hóa hoặc đặc biệt hóa với kỹ thuật giải rõ ràng nhanh gọn phù hợp với các 
yêu cầu và hình thức đánh giá kiểm tra. Các kỹ năng áp dụng được thể hiện qua 
các ví dụ minh họa và bài tập tự luyện từ cơ bản đến nâng cao. Giúp giáo viên, 
học sinh có một tài liệu học tập hoàn chỉnh, đầy đủ, phân chia các dạng toán khoa 
học với định hướng cụ thể để giải quyết tốt một số các bài toán Tích phân hàm ẩn. 
Kết quả đạt được làm nhiều học sinh rất hứng thú khi sử dụng các kỹ thuật đó. 
Bởi các kỹ thuật này không chỉ nhanh gọn, hiệu quả mà nó còn có tính tổng 
hợp rất cao. 
3.1.2.Tính khoa học: 
Đề tài được trình bày bài bản, cẩn thận. Các phương pháp nghiên cứu được 
vận dụng phù hợp và phát huy hiệu quả của nội dung đề tài. Ngôn ngữ trong sáng, 
tường minh; cấu trúc gọn, rõ, chặt chẽ, dẫn chứng khách quan, xác thực. 
3.1.3.Tính hiệu quả: 
Đề tài đã được thực nghiệm tại trường THPT Nguyễn Đức Mậu trong các 
năm học 2019 – 2020, 2020 – 2021 và 2021 – 2022 đã đem lại những hiệu quả 
thiết thực cho việc đổi mới phương pháp dạy học theo hướng phát triển năng lực 
cho học sinh THPT 
Đề tài giúp cho học sinh giải quyết các bài toán tích phân hàm ẩn một cách 
ngắn gọn, nhẹ nhàng; đặc biệt tác dụng với các bài toán trắc nghiệm. 
Đề tài có thể áp dụng cho nhiều đối tượng học sinh, kể cả học sinh trung 
bình, trung bình khá vẫn có thể giải quyết tốt các bài toán tích phân hàm ẩn trong 
đề thi THPT quốc gia. Đồng thời giúp cho các em học sinh có thêm một số kỹ 
thuật để giải các bài toán tích phân hàm ẩn trong kỳ thi học sinh giỏi cấp tỉnh, kỳ 
thi THPT Quốc gia, các bài thi đánh giá năng lực và bài thi tư duy của các trường 
Đại học. 
3.2. Kiến nghị 
3.2.1. Với giáo viên 
50 
Từ một bài toán cụ thể, giáo viên cần đưa ra dấu hiệu bản chất của bài toán; 
Phân tích những khó khăn thường gặp khi giải bài toán. Từ đó nêu ra cách khắc 
phục khó khăn của bài toán và đề xuất nhiều cách giải khác nhau, từ đó giúp học 
sinh tìm lời giải tối ưu nhất cho từng bài toán, từng dạng toán. Đồng thời, từ bài 
toán ban đầu, có thể định hướng để phát triển thêm các bài toán khác giúp học 
sinh có thể dựa vào bài toán phát triển để giải quyết bài toán khác nhanh gọn và 
hiệu quả. 
Trong quá trình giảng dạy, giáo viên cần khuyến khích, nâng cao tính tích 
cực, chủ động, không “gò ép” học sinh thụ động tiếp thu kiến thức mà giáo viên 
áp đặt lên. 
3.2.2. Với học sinh 
Học sinh phải là người chủ động, tránh cách học thụ động, máy móc, thiếu 
sáng tạo. Đứng trước một bài toán, ngoài việc tìm lời giải, học sinh cần phải rèn 
luyện kĩ năng nhận dạng, phân tích để tìm các lời giải khác nhau và đưa ra được 
các bài toán tương tự, tổng quát hơn. 
3.2.3. Với các cấp quản lý 
Tăng cường hơn nữa các tiết học có tính chất phát triển tư duy năng lực, phát 
huy khả năng tự học, tự sáng tạo của học sinh, làm cơ sở quan trọng cho việc 
nghiên cứu các bài học riêng rẽ. Với những dạng toán khó hay bài dạy khó, có thể 
đặt ở trước các đơn vị bài học cụ thể để cả giáo viên và học sinh tiện cho việc 
nghiên cứu và áp dụng vào thực tiễn cụ thể. 
Trên đây là những kinh nghiệm nhỏ mà chúng tôi đúng rút được trong quá 
trình giảng dạy. Thiết nghĩ, việc tìm ra phương pháp dạy học phù hợp với từng 
đơn vị bài học, trong từng giai đoạn thực tiễn không phải là công việc của riêng 
ai. Do thời gian nghiên cứu còn ít nên không thể tránh khỏi những thiếu sót và 
hạn chế. Rất mong được sự đóng góp chân thành đồng nghiệp và Hội đồng chuyên 
môn để đề tài của chúng tôi được hoàn thiện hơn. 
Chúng tôi xin trân trọng cảm ơn! 
 Các tác giả 
Phan Thị Ngọc Tú - Hồ Đức Vượng 
51 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
1. Giải tích 12 - Nhà xuất bản giáo dục năm 2008. 
2. Bài tập Giải tích 12 - Nhà xuất bản giáo dục năm 2008. 
3. Chuyên đề Kỹ thuật chọn hàm trong các bài toán Tích phân- Dương Đình 
Tuấn. 
4. Tạp chí Toán học và tuổi trẻ. 
5. Tuyển tập đề thi Học sinh giỏi các năm. 
6. Đề thi thử THPT quốc gia các trường THPT trên cả nước. 
7. Các Website về toán học hiện có,