Sáng kiến kinh nghiệm Một số kinh nghiệm về dạy học giải phương trình tích - Nguyễn Thị Thoan

 + =ë û
( ) ( ) ( )( )2 2 3 3 0 2 3 2 1 0x x x x x x xé ùÛ + + + = Û + + =ë û
2 0 0
3 0 3
2 1 0 1
2
x x
x x
x x
ì
ï= =ì
ïïÛ + = Û = -í í
ï ï+ =î ï = -
î
10; 3;
2
ì ü- -í ý
î þ
2 9 20 0x x+ + =
2 29 20 0 4 5 20 0x x x x x+ + = Û + + + =
( ) ( ) ( ) ( )2 4 5 20 0 4 5 4 0x x x x x xÛ + + + = Û + + + =
( )( ) 4 0 44 5 0
5 0 5
x x
x x
x x
+ = = -ì ì
Û + + = Û Ûí í+ = = -î î
{ }4; 5- -
2 6 0x x+ - =
2 26 0 3 2 6 0x x x x x+ - = Û + - - =
( ) ( ) ( ) ( )2 3 2 6 0 3 2 3 0x x x x x xÛ + - + = Û + - + =
( )( ) 3 0 33 2 0
2 0 2
x x
x x
x x
+ = = -ì ì
Û + - = Û Ûí í- = =î î
{ }3;2-
11 
Ví dụ 7: Giải phương trình : 
Đối với phương trình này có nhiều cách giải khác nhau sau đây là một số cách giải 
Cách 1: Tách hạng tử -3x = -2x - x 
 Ta có : 
Vậy nghiệm của phương trình là : S = 
 Cách 2 : Tách hạng tử 2 = - 4 + 6 
 Ta có : 
Vậy nghiệm của phương trình là : S = 
Cách 3 : Biến đổi ; 
 Ta có : 
2 3 2 0x x- + =
2 23 2 0 2 2 0x x x x x- + = Û - - + =
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 0 1 2 1 0x x x x x xÛ - - - = Û - - - =
( )( ) 1 0 11 2 0
2 0 2
x x
x x
x x
- = =ì ì
Û - - = Û Ûí í- = =î î
{ }1;2
2 23 2 0 3 4 6 0x x x x- + = Û - - + =
( ) ( ) ( )( ) ( )2 4 3 6 0 2 2 3 2 0x x x x xÛ - - - = Û + - - - =
( ) ( ) ( )( )2 2 3 0 2 1 0x x x xé ùÛ - + - = Û - - =ë û
2 0 2
1 0 1
x x
x x
- = =ì ì
Û Ûí í- = =î î
{ }1;2
33 2. .
2
x x- = 9 12
4 4
= -
2 2 3 9 13 2 0 2 0
2 4 4
x x x x- + = Û - + - =
2 2
2 23 9 1 3 3 12 0 2 . 0
2 4 4 2 2 2
x x x x
é ùæ ö æ ö æ öÛ - + - = Û - + - =ê úç ÷ ç ÷ ç ÷
è ø è ø è øê úë û
2 23 1 3 1 3 10 0
2 4 2 2 2 2
x x xé ù é ùæ ö æ ö æ ö æ öÛ - - = Û - + - + =ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ê ú ê úè ø è ø è ø è øë û ë û
( )( )3 1 3 1 0 1 2 0
2 2 2 2
x x x xæ öæ öÛ - + - - = Û - - =ç ÷ç ÷
è øè ø
1 0 1
2 0 2
x x
x x
- = =ì ì
Û Ûí í- = =î î
12 
Vậy nghiệm của phương trình là : S = 
DẠNG 3: BIẾN ĐỔI PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO ĐƯA VỀ DẠNG PHƯƠNG 
TRÌNH TÍCH 
Ví dụ 1: Giải phương trình 
 Đây là phương trình bậc 4 ẩn x . để giải dạng phương trình này ta cần 
đặt biến phụ sau khi tìm được giá trị của biến phụ ta lắp giá trị đó vào biểu thức 
liên quan ban đầu để tìm nghiệm , Ở đây ta đặt ta có cách giải sau 
Giải: 
Ta có : 
 Vì ta đặt 
 Vậy nghiệm của phương trình là : S = 
Ví dụ 2: Giải phương trình : 
Để giải phương trình này giáo viên cần hướng dẫn học sinh đặt ẩn phụ là: Đặt 
 nên ta có cách giải sau 
 Giải: 
Ta có : 
 ( tách 5a = 4a + a ) 
 (nhóm và đặt NTC ) 
{ }1;2
4 213 36 0x x- + =
2x a=
4 2 213 36 0 13 36 0x x a a- + = Û - + =
( ) ( )2 24 9 36 0 4 9 36 0a a a a a aÛ - - + = Û - - - =
( ) ( ) ( )( )4 9 4 0 4 9 0a a a a aÛ - - - = Û - = =
1
2
44 0
9 0 9
aa
a a
=- = ìì
Û Ûí í- = =î î
2
2
2
4 2
39
x x
x a
xx
ì = = ±ìï= Þ Ûí í = ±=ï îî
{ }2; 3± ±
4 22 5 2 0x x+ + =
2x a=
4 2 22 5 2 0 2 5 2 0x x a a+ + = Û + + =
( ) ( )2 22 4 2 0 2 4 2 0a a a a a aÛ + + + = Û + + + =
( ) ( ) ( )( )2 2 2 0 2 2 1 0a a a a aÛ + + + = Û + + =
22 0
12 1 0
2
aa
a a
= -ì+ =ì ïÛ Ûí í+ = = -î ïî
13 
 Vì đặt 
 Điều này không thể xẩy ra vì với mọi giá trị của x vậy phương trình 
 đã cho vô nghiệm. Tập hợp nghiệm của phương trình là : S = 
Ví dụ 3 : Giải phương trình : 
Ta biến đổi vế trái bằng cách đặt ẩn phụ để đưa về dạng tích 
 Giải: 
Ta có : 
 Vì đặt Trường hợp này cũng không thể xẩy ra 
 Vì với mọi giá trị của x. 
Vậy phương trình vô nghiệm. Tập hợp nghiệm của phương trình là : S = 
Ví dụ 4: Giải phương trình : 
 Đặt Ta có cách giải sau 
 Vì đặt 
 Hoặc (Loại) 
 Vậy nghiệm của phương trình là : S = 
Ví dụ 5 : Giải phương trình : 
 Đặt nên ta có cách giải sau 
2
2
2
2
1
2
x
x a
x
ì -
ï= Þ í
= -ïî
2 0x ³
f
4 29 6 1 0x x+ + =
2x a=
4 2 29 6 1 0 9 6 1 0x x a a+ + = Û + + =
( ) ( )2 223 2.3 1 0 3 1 0a a aÛ + + = Û + =
Û
13 1 0
3
a a+ = Û = -
2 2 1
3
x a x= Þ = -
2 0x ³
f
4 22 7 4 0x x+ - =
2x a=
4 2 22 7 4 0 2 7 4 0x x a a- - = Û - - =
( ) ( )2 22 8 4 0 2 8 4 0a a a a a aÛ - + - = Û - + - =
( ) ( ) ( )( )2 4 4 0 4 2 1 0a a a a aÛ - + - = Û - + =
44 0
12 1 0
2
aa
a a
=ì- =ì ïÛ Ûí í+ = = -î ïî
2x a= 2 4 2x xÞ = Þ = ±
2 1
2
x = -
{ }2±
4 22 20 18 0x x- + =
2x a=
4 2 22 20 18 0 2 20 18 0x x a x- + = Û - + =
14 
Vì đặt 
 Và : 
Vậy nghiệm của phương trình là : S = 
DẠNG 4: BIẾN ĐỔI CÁC PHƯƠNG TRÌNH CÓ CHỨA ẨN Ở MẪU VỀ DẠNG 
PHƯƠNG TRÌNH TÍCH 
Đây là dạng phương trình mà khi giải ta cần phải tìm điều kiện xác định của 
phương trình . Điều kiện xác định của phương trình là tìm giá trị của ẩn để mẫu 
thức khác không . Sau đây là một số ví dụ về dạng phương trình này 
 Ví dụ 1: Giải phương trình : ( I ) 
 Điều kiện xác định của phương trình là : 
 Giải: 
Ta có 
 ( I ) 
 Vì điều kiện xác định của phương trình là : và 
 Nên với x = 0 loại . Do đó nghiệm của phương trình là : S = 
Ví dụ 2: Giải phương trình : ( II ) ĐKXĐ: 
 Giải: 
( ) ( )2 22 10 9 0 2 9 9 0a a a a aÛ - + = Û - - + =
( ) ( ) ( ) ( )22 9 9 0 2 9 9 0a a a a a aé ù é ùÛ - - - = Û - - - =ë ûë û
( )( ) 9 0 92 9 1 0
1 0 1
a a
a a
a a
- = =ì ì
Û - - = Û Ûí í- = =î î
2 2 9 3x a x x= Þ = Þ = ±
2 1 1x x= Þ = ±
{ }1; 3± ±
( )
2 1 2
2 2
x
x x x x
+
- =
- -
0 0
2 0 2
x x
x x
¹ ¹ì ì
Ûí í- ¹ ¹î î
Û ( )
( ) ( )
( ) ( )
2 22 1 2 2
2 2 2 2
x x xx
x x x x x x x x
+ - -+
- = Û =
- - - -
( ) ( ) 22 2 2 2 2 2x x x x x xÛ + - - = Û + - + =
( )2 00 1 0
1 0
x
x x x x
x
=ì
Û + = Û + = Û í + =î
0
1
x
x
=ì
Û í = -î
0x ¹ 2x ¹
{ }1-
( )
2
2 112 3
2 2 4
xx
x x x
--
- =
+ - -
2x ¹ ±
15 
Ta có : 
 (II) 
 Quy đồng mẫu hai vế 
 (Nhân hai vế với để 
khử mẫu) 
 Khai triển chuyển vế thu gọn ta được 
 ( tách -9x = - 4x – 5x ) 
 Vì x = 4 ; x = 5 Thoả mãn điều kiện xác định của phương trình 
 Vậy nghiệm của phương trình là : S = 
Ví dụ 3 : Giải phương trình : (III) ĐKXĐ : 
 Giải: 
Ta có : 
 (III) 
 ( nhân hai vế với x – 2 và khử mẫu ) 
 (Loại vì x = 2 không thỏa mãn ĐKXĐ của phương trình 
 Vậy tập hợp nghiệm của phương trình là : S = 
Ví dụ 4 : Giải phương trình : ( IV ) ĐKXĐ : 
Û
( )
2
2 112 3
2 2 4
xx
x x x
--
- =
+ - -
( ) ( )
( )( )
( )
( )( )
22 3 2 2 11
2 2 2 2
x x x
x x x x
- - + -
Û =
+ - + -
( ) ( ) ( )22 3 2 2 11x x xÛ - - + = - ( )( )2 2x x+ -
2 29 20 0 4 5 20 0x x x x xÛ - + = Û - - + =
( ) ( ) ( ) ( )2 4 5 20 0 4 5 4 0x x x x x xÛ - - - = Û - - - =
( )( ) 4 0 44 5 0
5 0 5
x x
x x
x x
- = =ì ì
Û - - = Û Ûí í- = =î î
{ }4;5
3 2 1
2 2
x x
x x
-
= -
- -
2x ¹
Û
( )2 1 23 2 1 3
2 2 2 2
x x xx x
x x x x
- - --
= - Û =
- - - -
23 2 1 2x x xÛ = - - +
( )22 4 4 0 2 0x x xÛ - + = Û - =
2 0 2x xÛ - = Û =
f
2
2
1 1x x
x x
+ = + 0x ¹
16 
 ( IV ) 
 Vì 
 nên 
 Thỏa mãn điều kiện của bài toán 
 Vậy nghiệm của phương trình là : S = 
DẠNG 5: MỘT SỐ VÍ DỤ VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH KHÁC 
Tùy theo mỗi dạng phương trình mà ta có thể có những cách biến đổi khác nhau 
Để đưa phương trình đã cho về dạng phương trình tích . Sau đây là một dạng 
phương trình đặc trưng 
Ví dụ I: Giải phương trình : 
Đây là một phương trình nếu áp dụng cách giải thông thường thì chúng ta 
sẽ gặp rất nhiều khó khăn. Do đó để giải được phương trình này ta sử dụng 
phương pháp sau: 
Để biến đổi đưa phương trình đã cho về dạng phương trình tích đơn giản hơn 
ta cộng thêm 2 vào hai vế của phương trình và biến đổi phương trình như sau 
3 4
3 4
2 2
1 1x x x x x x
x x
+ +
Û = Û + = +
( ) ( )3 4 3 41 0 1x x x x x xÛ - - + = Û - - -
( ) ( ) ( )3 31 1 0 (1 ) 1 0x x x x xÛ - - - = Û - - =
( )( )( ) ( ) ( )22 21 1 1 0 1 1 0x x x x x x xÛ - - + + = Û - + + =
( )2 2 21 1 3 1 1 31 2 . 2. .2 4 4 2 4 4x x x x x x
æ ö+ + = + + + = + + +ç ÷
è ø
21 3 0
2 4
xæ ö= + + >ç ÷
è ø
( ) ( ) ( )2 221 1 0 1 0 1 0 1x x x x x x- + + = Û - = Û - = Û =
{ }1
2 11
2001 2002 2003
x x x- -
- = -
2 1 2 11 1 1 1
2001 2002 2003 2001 2002 2003
x x x x x x- - - - -æ ö æ ö- = - Û + = + + +ç ÷ ç ÷
è ø è ø
2003 2003 2003 2003 2003 2003 0
2001 2002 2003 2001 2002 2003
x x x x x x- - - - - -
Û = + Û - - =
17 
 Vì : 
Vậy nghiệm của phương trình là : S = 
Ví dụ 2 : Giải phương trình : 
 Cộng thêm 3 vào hai vế của phương trình ta được 
 Vì : 
Vậy nghiệm của phương trình là : S = 
Ví dụ 3: Giải phương trình : 
Đối với phương trình này ta chuyển hạng tử -5 sang vế trái và tách thành 5 hạng 
tử, mỗi hạng tử là 1 đơn vị nên ta có cách giải sau: 
( ) 1 1 12003 0 2003 0 2003
2001 2003 2003
x x xæ öÛ - - - = Û - = Û =ç ÷
è ø
1 1 1 0
2001 2002 2003
- - ¹
{ }2003
1 2 3 4 5 6
94 93 92 91 90 89
x x x x x x+ + + + + +
+ + = + +
1 2 3 4 5 61 1 1 1 1 1
94 93 92 91 90 89
x x x x x x+ + + + + +æ ö æ ö æ ö æ ö æ ö æ ö+ + + + + = + + + + +ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷
è ø è ø è ø è ø è ø è ø
95 95 95 95 95 95
94 93 92 91 90 89
x x x x x x+ + + + + +
Û + + = + +
95 95 95 95 95 95 0
94 93 92 91 90 89
x x x x x x+ + + + + +
Û + + - - - =
( ) 1 1 1 1 1 195 0
94 93 92 91 90 89
x æ öÛ + + + - - - =ç ÷
è ø
95 0 95x xÛ + = Û = -
1 1 1 1 1 1 0
94 93 92 91 90 89
+ + - - - ¹
{ }95-
59 57 55 53 51 5
41 43 45 47 49
x x x x x- - - - -
+ + + + = -
59 57 55 53 51 5
41 43 45 47 49
x x x x x- - - - -
+ + + + = -
59 57 55 53 511 1 1 1 1 0
41 43 45 47 49
x x x x x- - - - -æ ö æ ö æ ö æ ö æ öÛ + + + + + + + + + =ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷
è ø è ø è ø è ø è ø
100 100 100 100 100 0
41 43 45 47 49
x x x x x- - - - -
Û + + + + =
18 
 Vì : 
 Vậy nghiệm của phương trình là : S = 
Ví dụ 4 : Giải phương trình : 
Để giải phương trình này giáo viên cần hướng dẫn cho học sinh cộng thêm 3 vào 
hai vế của phương trình và tách thành từng nhóm như sau: 
 Vì : 
 Vậy nghiệm của phương trình là : S = 
Ví dụ 5: Giải phương trình : 
 Đối với phương trình này giáo viên hướng dẫn cho học sinh trừ hai vế đi 3 đơn 
vị và tách ra từng phần và ta có cách giải sau 
( ) 1 1 1 1 1100 0
41 43 45 47 49
x æ öÛ - + + + + =ç ÷
è ø
100 0 100x xÛ - = Û =
1 1 1 1 1 0
41 43 45 47 49
+ + + + ¹
{ }100
1 2 3 4 5 6
59 58 57 56 55 54
x x x x x x+ + + + + +
+ + = + +
1 2 3 4 5 6
59 58 57 56 55 54
x x x x x x+ + + + + +
+ + = + +
1 2 3 4 5 61 1 1 1 1 1
59 58 57 56 55 54
x x x x x x+ + + + + +æ ö æ ö æ ö æ ö æ ö æ öÛ + + + + + = + + + + +ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷
è ø è ø è ø è ø è ø è ø
60 60 60 60 60 60
59 58 57 56 55 54
x x x x x x+ + + + + +
Û + + = + +
60 60 60 60 60 60 0
59 58 57 56 55 54
x x x x x x+ + + + + +
Û + + - - - =
( ) 1 1 1 1 1 160 0
59 58 57 56 55 54
x æ öÛ + + + - - - =ç ÷
è ø
60 0 60x xÛ + = Û = -
1 1 1 1 1 1 0
59 58 57 56 55 54
+ + - - - ¹
{ }60-
5 15 25 1990 1980 1970
1990 1980 1970 5 15 25
x x x x x x- - - - - -
+ + = + +
19 
 Giải : 
 Vì : 
 Vậy nghiệm của phương trình là : S = 
 4. Hiệu quả của sáng kiến đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng 
nghiệp và nhà trường. 
 - Đề tài này giúp giáo viên nắm rõ các phương pháp giải các phương trình đưa 
được về dạng “ Phương trình tích “ . Đồng thời vận dụng các phương pháp đó để 
giải các bài toán hay và khó hơn .Giải phương trình sử dụng phương pháp tách 
hạng tử rồi phân tích đa thức đưa về dạng tích 
 - Trước hết giáo viên phải làm cho học sinh thấy rõ “ Giải phương trình 
tích là gì ? Và những dạng bài tập nào thì vận dụng được nó và vận dụng như thế 
nào? 
(Phân tích vế trái thành một tích ( thừa số ) là biến đổi vế trái thành một tích của 
các đa thức ; đơn thức khác của ẩn và vế phải bằng 0) 
 - Học sinh đã nắm được kiến thức một cách có hệ thống ; các em đã nắm 
được các dạng bài tập và phương pháp giải các bài tập đó . Học sinh thấy rõ “ 
Giải phương trình tích là gì ? Và những dạng bài tập nào thì vận dụng được nó 
và vận dụng như thế nào . Học sinh biết phân tích vế trái thành một tích ( thừa 
số ) là biến đổi vế trái thành một tích của các đa thức ; đơn thức khác của ẩn và 
vế phải bằng 0 
5 15 25 1990 1980 1970
1990 1980 1970 5 15 25
x x x x x x- - - - - -
+ + = + +
5 15 5 1990 1980 19701 1 1 1 1 1
1990 1980 1970 5 15 25
x x x x x x- - - - - -æ ö æ ö æ ö æ ö æ ö æ öÛ - + - + - = - + - + -ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷
è ø è ø è ø è ø è ø è ø
1995 1995 1995 1995 1995 1995
1990 1980 1970 5 15 25
x x x x x x- - - - - -
Û + + = + +
1995 1995 1995 1995 1995 1995 0
1990 1980 1970 5 15 25
x x x x x x- - - - - -
Û + + - - - =
( ) 1 1 1 1 1 11995 0
1990 1980 1970 5 15 25
x æ öÛ - + + - - - =ç ÷
è ø
1995 0 1995x xÛ - = Û =
1 1 1 1 1 1 0
1990 1980 1970 5 15 25
+ + - - - ¹
{ }1995
20 
 - Kết quả trước và sau khi áp dụng sáng kiến: 
+ Khi chưa thực hiện dạy về phương pháp giải phương trình tích 
 Khảo sát 20 em kết quả đạt được như sau 
Lớp 
GIỎI KHÁ TB YẾU KÉM 
SL TL SL TL SL TL SL TL SL TL 
8A8 2 10% 1 5% 12 60% 5 25% 2 10% 
+ Kết quả sau khi đã thực hiện giảng dạy các phương pháp gải phương trình tích 
là 
LỚP 
GIỎI KHÁ TB YẾU KÉM 
SL TL SL TL SL TL SL TL SL TL 
8A8 8 40% 10 50% 2 10% 0 0% 0 0% 
21 
III. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 
1. Kết luận: 
 - Việc áp dụng các phương pháp biến đổi phương trình để đưa về dạng 
phương trình tích rất có hiệu quả. Làm cho học sinh thay đổi được tính tư duy; 
sự nhận thức nhanh hơn; nhìn nhận một vấn đề sâu rộng hơn; chắc chắn hơn. 
Học sinh đã biết phân tích biến đổi nhìn nhận bài toán bằng nhiều khía cạnh 
khác nhau. Kết quả khảo sát cao hơn nhiều so với khi chưa áp dụng phương 
pháp này 
 - Trong quá trình thực hiện bản thân tôi không thể tránh khỏi những khiếm 
khuyết thiếu sót. Nên bản thân tôi rất mong được sự đóng góp ý kiến quý báu từ 
quý thầy cô giáo nói chung và quý thầy cô giáo bộ môn toán nói riêng. Nhất là 
các đồng chí trong tổ chuyên môn để bản thân tôi đúc rút được nhiều kinh 
nghiệm hơn trong quá trình dạy học nói chung và trong việc dạy học bộ môn 
toán nói riêng trong đó có việc dạy học giải phương trình tích. Tôi xin chân 
thành cảm ơn. 
2. Kiến nghị 
 - Đối với giáo viên bộ môn: Cần tạo cho học sinh có nhiều quỹ thời gian 
hơn nữa để các em được tham dự các chuyên đề rút ra từ những kinh nghiệm 
như trên. 
 - Đối với BGH nhà trường: Nhà trường cần tạo mọi điều kiện thuận lợi 
nhất về kinh phí để thực hiện các chuyên đề có tính chất liên quan. 
 Tôi xin cam kết nội dung trên là do tôi nghiên cứu và thực hiện 
 Thanh Xuân, ngày 15 tháng 4 năm 2022 
 Người thực hiện 
 Nguyễn Thị Thoan 
22 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
TT TÊN SÁCH TÁC GIẢ NHÀ XUẤT BẢN 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
Sách giáo khoa đại số 8 tập 
II 
Sách hướng dẫn giáo viên 
đại số tập II 
Sách bài tập đại số 8 tập II 
Ôn tập đại số 8 
Các bài toán hay đại số 8 
Các bài toán chọn lọc 
(Bồi dưỡng học sinh khá; 
giỏi) 
405 Bài tập đại số 8 
Phan Đức Chính 
Tôn Thân 
Nguyễn Huy Đoan 
Lê Văn Hồng 
Vũ Hữu Bình 
Lê Đình Phi 
Nguyễn Ngọc Đạm 
Nguyễn Quang 
Hanh 
Ngô Long Hậu 
Nguyễn Đức Tấn 
Phan Hoàng Ngân 
Nguyễn Anh Hoàng 
Nguyễn Đức Hòa 
Nhà xuất bản giáo dục 
Nhà xuất bản giáo dục 
Nhà xuất bản giáo dục 
Nhà xuất bản giáo dục 
Đại học quốc gia Hà 
Nội 
Nhà xuất bản đại học 
sư phạm Hà Nội 
Nhà xuất bản đại học 
quốc gia Thành phố 
 Hồ Chí Minh