Sáng kiến kinh nghiệm Một số kinh nghiệm khi sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn

. 0.mt a x b t a x b a ma x b mb   
2
2 2 2 2 3 1 3 14 a x b m a x b a ma x b mb   
21 
2 2 2
2 2 2 3 1 2 3 1
2 2 23 1
2 2 2 2 2
2 2
 2 4 4 4
 4 2 4
m a x b a m a ma x b m b mb
a a
m m a x b m a x b b
a a
    
   
 2 3 13 1 2
2 2
 4 4 .
a a
m b mb m m b
a a

 2 23 31 12 2 2 2 3 1 2
2 2 2 2
4 2 4 4 4 .
a aa a
m m a x b m a x b m b mb m m b
a a a a
   
2' 2 23 31 1
1 3 1 2
2 2 2 2
2 4 4 4
a aa a
m m m m b mb m m b
a a a a
    
2 2 2 2 23 3 21 1 2
3 1
2 2 2 2
2 4 4 4 4
a a ba a b
m m m b m b m
a a a a
    
2
3 23 1 3 1 2 1 31 2 1 1
2 2
2 2 2 2 2
2 22
2 2 2 2 23 3 3 2 3 2 31 2 1
1 32
2 2 2 2 2 2
 4 4 4 2
4 4
 .
a b a a b a ba b a b
m m m
a a a a a
a b a b a b aa b a
b m b
a a a a a a

    
Nếu phương trình '
1 0 có nghiệm 0m thì ta có lời giải sau 
Đặt 1 1t a x b 
 2 2 2 2 2 3 3 1 1. 0mt a x b t a x b a x b m a x b   
2 2
2 2 2 2 3 1 3 1 2 24 = .a x b m a x b a ma x b mb p a x b q   
Suy ra 
 2 2 2 2 2 2 2 2
1 1
2 2
a x b p a x b q a x b p a x b q
t a x b
m m
   
 1 1 2 22 (*)m a x b p a x b q . 
Giải các phương trình (*) bằng cách bình phương hai vế (hai lần) được các 
phương trình bậc 2. 
22 
Nhận xét: 
1) Trong thực tế dạy học dạng phương trình này học sinh cũng thường tìm m 
bằng cách tính về dạng đa thức 2Ax Bx C rồi nhẩm m sao cho 0A 
hoặc , A C là các số chính phương rồi thay vào kiểm tra biểu thức có là một 
số hoặc một biểu thức bình phương không. 
2) Dạng toán này cũng có thể giải bằng cách bình phương đưa về phương trình 
bậc 4 và áp dụng cách giải phương trình TQ1. 
Sau đây bài viết xin đưa ra một số ví dụ minh họa và gợi ý về cách chọn ( )x và 
( ), ( )A x B x cho một số dạng phương trình khác. 
Ví dụ 10: Giải phương trình 3 23 10 3 1 2 5 12 2x x x x x (10). 
Phân tích: 
Đặt 3 1t x 
Ta có ( ) 3 10B x x cần tìm ( )A x tuy nhiên trong trường hợp này nếu chọn 
 ( ) 0A x m m thì sẽ không tồn tại m. 
Nên ta chọn ( ) 0A x mx n m . Khi đó 
 2 3 210 . 3 10 . 2 5 12 2 3 1 0mx n t x t x x x mx n x 
2 3 2
2 3 2
. 3 10 . 2 5 3 12 3 2 0
. 3 10 . 2 5 3 12 3 2 0.
mx n t x t x m x m n x n
mx n t x t x m x m n x n
2 3 23 10 4 2 5 3 12 3 2x mx n x m x m n x n 
4 2 3 2 2
2
4 3 2
 8 12 20 8 9 48 4 24 20
 60 8 48 12 100 4 2
 .
mx m m n x m m mn n x
m n n x n n
Ax Bx Cx Dx E
23 
Theo lí thuyết ta phải giải hệ sau tìm m. 
2 2
2 28 4 0
AD B E
A D B B AC
(*) . 
Tuy nhiên dạng phương trình này có hệ (*) khá phức tạp và mất thời gian. 
Nên học sinh thường nhẩm m sao cho A, C là các số chính phương và 
2 2AD B E rồi thay vào kiểm tra . 
 Trong trường hợp ta chọn được 
2
4
m
n
 và có lời giải. 
Lời giải: 
Điều kiện: 
1
3
x . 
Đặt 3 1t x . 
Thay vào ta được (8) 2 3 22 3 8 4 9 4 2 3 1 0x t x t x x x x x 
 2 3 22 3 8 4 6 0x t x t x x x . 
 Ta có 2 3 2' 3 8 4 2 4 6x x x x x 
2
4 3 2 24 4 15 8 16 2 4x x x x x x . 
Suy ra 
2 2
2 2
3 8 2 4 2 2 12
3
2 2 2 2
3 8 2 4 2 2
2 2 2
x x x x x
t x
x x
x x x x x
t
x x
. 
*Với 
2 9 419 10 0 9 41
3 3 1 3 2
23
3
x x x
t x x x x
x
x
. 
*Với 
2 22 2 2 2
3 1
2 2
x x x x
t x
x x
. 
24 
 vì 
2 2 2 1
0,
2 3
x x
VP x
x
  
. Suy ra phương trình vô nghiệm. 
Vậy nghiệm của phương trình (8) là 
9 41
2
x
 . 
Nhận xét: Với phương trình dạng 3 21 1 2 2 0a x b a x b ax bx cx d a . 
 Đặt 2 2t a x b đưa phương trình về dạng. 
 2 3 21 1 2 2. . 0mx n t a x b t ax bx cx d mx n a x b . 
(Vì trường hợp này nếu chọn ( )A x m thi giải được m=0 không thỏa mãn) 
Áp dụng giải để thi THPT Quốc gia 2015. 
Ví dụ 11: Giải phương trình 
2
2
2 8
1 2 2
2 3
x x
x x
x x
 (11). 
Lời giải: 
Điều kiện: 2x 
 2 2
2
2 4 1 2
11 4 1
*2 3 2 2
2 3 2 2
x
x x x x
x x
x x x
x x x
. 
Giải (*). Ta có với 
2
4 1
2 1 0 ; 0
2 3 2 2
x x
x
x x x
. Pt (2) vô nghiêm. 
Xét với 1x , ta có 22 4 2 2 4 1 2 3 x x x x x x 
 3 24 2 5 0.x x x x x 
Đặt 2t x (Áp dụng nhận xét trên ta tìm được ( ) 1A x x ). 
 2 3 2* 1 . 4 . 5 1 2 0 x t x t x x x x x 
 2 31 . 4 . 2 3 0.x t x t x x do 1 0 1x x  
25 
22 3 24 4 1 2 3 2 2x x x x x x . 
Suy ra 2
1
3
1
t x
x x
t
x
. 
*Với 
2 23 3
2
1 1
x x x x
t x
x x
. Phương trình vô nghiệm 
2 3
ì 0, 1
1
x x
v x
x
  
. 
*Với 
2
1 3 13
1 2 1 .
23 1 0
x
t x x x x
x x
Đối chiếu điều kiện, ta được nghiệm của phương trình là 
3 13
2;
2
x x
 . 
Ví dụ 12: Giải phương trình 2 32 4 3 4x x x x (12). 
Phân tích: 
Ta có 2 212 3 4 2 4 0x x x x . 
Nếu đặt 2 4t x ta được 2 2 212 3 . 2 4 4 0mt x t x x m x 
 2 23 . 1 2 4 4 0mt x t m x x m . 
Tìm m theo phương pháp trên ta được m=1 từ đó ta có lời giải. 
Lời giải: 
Điều kiện: 0x . 
Ta có 2 212 3 4 2 4 0x x x x . 
Đặt 2 4t x ta được 212 3 . 2 0t x t x . 
2
3 4.2x x x . 
26 
Suy ra 
3
2 .
2
3
.
2
x x
t x
x x
t x
*Với 2 24 2 4 4 2x x x x x . 
*Với 2 24 4x x x x . Phương trình vô nghiệm. 
Kết hợp điều kiện ta có nghiệm của phương trình là 2x . 
Kết luận về giải pháp 
Từ việc phân tích và nhận xét của từng ví dụ minh họa trên bài viết đã đưa ra 
nhận xét và cách giải quyết vấn đề nêu ra của đề tài. 
 Chọn biểu thức ( )x nào để đặt ẩn phụ? 
 Chọn các hệ số ( ), ( ), ( )A x B x C x của phương trình bậc hai với ẩn mới như thế 
nào để được biệt số của phương trình bậc hai đó là một số hoặc là một biểu thức 
bình phương? 
Do việc tìm các hệ số ( ), ( ), ( )A x B x C x dễ hay khó là phụ thuộc vào việc chọn 
( )x phù hợp hay không phù hợp. Mặt khác cũng do tính phức và tạp đa dạng của 
mỗi phương trình nên không thể có được một công thức chung cho mọi dạng 
phương trình. Tuy nhiên bài viết cũng xin nêu ra định hướng chung như sau. 
+ Chọn ( )x : Có thể chọn ( )x là một biểu thức tùy ý trong phương trình. 
Biểu thức đó có thể chứa ẩn x hoặc không chứa ẩn x, sao cho thỏa mãn điều kiện là 
sau khi chọn ( )x ta xác định ngay được ít nhất một trong các hệ số ( )A x hoặc 
( )B x . 
+ Chọn các hệ số ( ), ( ), ( )A x B x C x : Vì nếu biết hai hệ số ( ), ( )A x B x thì từ 
phương trình đã cho chúng ta có ngay hệ số ( )C x nên ta chỉ đề cập đến việc tìm các 
hệ số ( ), ( )A x B x . Sau khi chọn ( )x ta đã biết ít nhất một trong các hệ số ( )A x hoặc 
( )B x . Giả sử đã biết ( )B x lúc đó ta tìm ( )A x dựa vào các tính chất nêu trong phần 
cơ sở lí luận, với ( )A x m hoặc ( )A x mx n và thậm chí ( )A x là một biểu thức chứa 
x. Tuy nhiên dạng của ( )A x càng phức tạp thì kết quả của những phương trình có 
được sau khi sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ này càng phức tạp, nên ta thường 
chọn ( )A x có dạng đơn giãn là ( )A x m hoặc ( )A x mx n . 
Ở đây cũng xin lưu ý tùy theo từng bài toán cụ thể thì việc tìm ( )A x dự vào 
kinh nghiệm thực tế như nhận xét trong các ví dụ trên nhanh hơn. 
27 
Bài tập ứng dụng 
1. Giải phương trình 27 1 1 2 5x x x . 
 HD: Đặt 1t x , ta được phương trình 2 23 7 1 2 3 2 0t x t x x . 
2. Giải phương trình 219 1 5 6 37 13x x x x . 
 HD: Đặt 5t x , ta được phương trình 2 211 19 1 6 48 42 0t x t x x . 
3. Giải phương trình 28 4 3 2 1x x x . 
 HD: Nếu đặt 2 1t x , ta được 2 2
1 9
3 8 0
2 2
t t x . 
4. Giải phương trình 2 7 10 2 2x x x . 
 HD: Nếu đặt 2t x , ta được 2 22 6 8 0t t x x . 
5. Giải phương trình 23 2 6 2 4 4 10 3x x x x . 
 HD: Nếu đặt 2t x , ta được 2 3 4 2 . 6 2 4 8 0.t x t x x 
6. Giải phương trình 5 3 2 1 3 3 19 2 1 4 18 0x x x x x . 
 HD: Nếu đặt 3t x , ta được 22 5 2 1 3 . 19 2 1 6 23 0t x t x x . 
7. Giải phương trình 2 5 2 1 5 1 4 4 2 1 9 0x x x x x x x . 
 HD: Nếu đặt 2 1t x , ta được 23 4 5 2 . 5 1 4 15 3 0t x x t x x x . 
8. Giải phương trình 2 3 29 3 1 3 9 13 15x x x x x x . 
 HD: Đặt 2 3 1t x x , đươc 23 9 10 15 0xt x t x . 
Lưu ý: Các bài tập 1,2,3,4,5,6 có thể giải bằng cách cho học sinh lũy thừa 
hai vế đưa về giải phương trình bậc 4.(theo phương pháp đã nêu ở bài toàn 
(TQ1) 
28 
CHƯƠNG III: KHẢO SÁT SỰ CẤP THIẾT VÀ TÍNH KHẢ THI 
 CỦA CÁC GIẢI PHÁP ĐỀ XUẤT 
1. Mục đích khảo sát 
Thông qua khảo sát để biết được: 
- Tính cấp thiết và tính khả thi của các giải pháp. 
- Thái độ học tập của HS khi tác động các giải pháp. 
- Những năng lực, phẩm chất, năng lực và kĩ năng mềm mà HS đạt được. 
2. Nội dung và phương pháp khảo sát 
2.1. Nội dung khảo sát 
Nội dung khảo sát tập trung vào 2 vấn đề chính sau: 
1) Các giải pháp được đề xuất có thực sự cấp thiết đối với vấn đề nghiên 
cứu hiện nay không 
2) Các giải pháp được đề xuất có khả thi đối với vấn đề nghiên cứu hiện tại 
không ? 
 3) Cảm nhận của GV, HS về quá trình thực hiện của sáng kiến. 
2.2. Phương pháp khảo sát và thang điểm đánh giá 
Phương pháp được sử dụng để khảo sát là Trao đổi bằng bảng hỏi, với 
thang điểm đánh giá 04 mức (tương đương điểm số từ 1 đến 4). Cụ thể: 
- Đánh giá mức độ cấp thiết đối với vấn đề nghiên cứu: 
TT Mức độ Thang điểm đánh giá 
1 Không cấp thiết 1 
2 Ít cấp thiết 2 
3 Cấp thiết 3 
4 Rất cấp thiết 4 
- Đánh giá mức độ khả thi đối với vấn đề nghiên cứu: 
TT Mức độ Thang điểm đánh giá 
1 Không khả thi 1 
2 Ít khả thi 2 
3 Khả thi 3 
4 Rất khả thi 4 
- Tính điểm trung bình X theo phần mềm Excel. 
29 
3. Đối tượng khảo sát 
Tổng hợp các đối tượng khảo sát 
TT Đối tượng Số lượng 
1 Giáo viên 15 
2 Học sinh 120 
3 
  135 
4. Kết quả khảo sát về sự cấp thiết và tính khả thi của các giải pháp đã đề 
xuất 
4.1. Sự cấp thiết của các giải pháp đã đề xuất 
Đánh giá sự cấp thiết của các giải pháp đã đề xuất 
TT Các giải pháp Các thông số 
X Mức 
1 Làm tăng tính hiệu quả của 
“Phương pháp đặt ẩn phụ không 
hoàn toàn “ 
3,15 
Cấp thiết 
2 Giúp cho giáo viên và học sinh 
vận dụng phương pháp này dễ 
dàng hơn trong giải bài toán 
phương trình. 
3,28 
Cấp thiết 
3 Vận dụng phương pháp này 
trong bài toán phương trình đa 
thức. 
3,62 Rất cấp thiết 
4 Vận dụng phương pháp này 
trong bài toán phương trình 
chứa ẩn dưới dấu căn thức. 
3,78 
Rất cấp thiết 
5 Kinh nghiệm về việc chọn các 
biểu thức làm ẩn phụ và các hệ số 
khi sử dụng “Phương pháp đặt ẩn 
phụ không hoàn toàn “ 
3,34 
Cấp thiết 
6 Giải quyết được một số dạng 
phương trình mà các phương 
pháp khác gặp khó khăn. 
3,05 
Cấp thiết 
30 
4.2. Tính khả thi của các giải pháp đề xuất 
Đánh giá tính khả thi của các giải pháp đề xuất 
TT Các giải pháp Các thông số 
X Mức 
1 Làm tăng tính hiệu quả của 
“Phương pháp đặt ẩn phụ không 
hoàn toàn “ 
3,32 
Khả thi 
2 Giúp cho giáo viên và học sinh 
vận dụng phương pháp này dễ 
dàng hơn trong giải bài toán 
phương trình. 
3,38 
Khả thi 
3 Vận dụng phương pháp này 
trong bài toán phương trình đa 
thức. 
3,81 Rất khả thi 
4 Vận dụng phương pháp này 
trong bài toán phương trình 
chứa ẩn dưới dấu căn thức. 
3,87 
Rất khả thi 
5 Kinh nghiệm về việc chọn các 
biểu thức làm ẩn phụ và các hệ số 
khi sử dụng “Phương pháp đặt ẩn 
phụ không hoàn toàn “ 
3,44 
 Khả thi 
6 Giải quyết được một số dạng 
phương trình mà các phương 
pháp khác gặp khó khăn. 
3,02 
Khả thi 
Số liệu khảo sát tính cấp thiết và khả thi của đề tài được thực hiện qua 
đường link: 
Từ số liệu ở bảng trên có thể rút ra những nhận xét: Bài viết đã cố tình đưa 
ra những phương trình có nghiệm lẽ và có hệ số trước dấu căn nhằm làm cho các 
phương pháp khác gặp khó khăn từ đó thể hiện sự nổi bật về tác dụng của phương 
pháp này. 
Sau khi áp dung dạy thử nghiệm chủ đề này cho các đối tượng học sinh khá, 
giỏi, học sinh ôn thi đại học, học sinh giỏi tôi thấy học sinh rất hứng thú, đặc biệt 
là tính đa dạng trong cách lựa chọn ẩn phụ. Bài giảng đã kích thích được tính tò 
mò, sáng tạo của các em học sinh. 
31 
Tuy nhiên như ở phần nêu vấn đề tác giả đã nhận định trong toán học rất khó 
có thể tìm ra một phương pháp mà giải được hết các dạng toán, dù có hiệu quả như 
thế nào cũng sẽ có những hạn chế của nó. Phương pháp này cũng không ngoại lệ 
nó cũng gặp khó khăn với những bài toán mà việc tìm hệ số cho các biệt số delta 
là đa thức bậc lớn hơn hoặc bằng 4. 
32 
PHẦN III - KẾT LUẬN 
Ý nghĩa của đề tài 
- Đối với bộ môn toán: 
Bài viết đã giải quyết hai vấn đề quan trọng trong phương pháp đặt ẩn phụ 
không hoàn toàn là: 
+ Chọn biểu thức nào để đặt ẩn phụ? 
+ Chọn hệ số của phương trình bậc hai với ẩn mới như thế nào để được biệt 
số của phương trình đó là một số hoặc là một biểu thức bình phương? 
Từ đó làm tăng tính hiệu quả của phương pháp mà không phải phụ thuộc 
vào sự may mắn nữa, đồng thời cũng thể hiện tính đa dạng trong cách sử dụng, 
điều này thể hiện qua tính đa dạng ở cách đặt ẩn phụ. 
Bài viết cũng đưa ra cách giải cho một số dạng toán tổng quát và gợi ý cách 
đặt và chọn hệ số cho một số dạng phương trình khó hơn như ở ví dụ 10,11. 
- Đối với học sinh: 
Qua thực tế giảng dạy chủ đề này cho các đối tượng học sinh khá, giỏi, học 
sinh ôn thi đại học, học sinh giỏi tôi thấy học sinh rất hứng thú thông qua các cách 
chọn ẩn phụ từ đó khích lệ sự đam mê, sáng tạo, tìm tòi cách giải cho những dạng 
toán khác của mỗi học sinh. Hiệu quả của phương pháp giúp các em tự tin hơn và 
giải được một số dạng toán mà các phương pháp trước đây còn bị hạn chế, đặc biệt 
các dạng toán có thể quy về phương trình bậc bốn. 
- Đối với giáo viên 
Sử dụng có hiệu quả hơn đối với phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn. 
Giáo viên cũng có thể sử dụng phương pháp này để sáng tạo ra các đề thi, các bài 
toán thú vị. 
Đã tạo được sự hứng thú, đánh giá cao của các đồng nghiệp khi trình bày đề 
tài này trước tổ và cũng đã được nhiều giáo viên tích cực áp dụng. 
Đề xuất và kiến nghị 
 Vì đề tài chủ yếu tập trung vào nhưng dạng phương trình tương đối khó mà 
các đề thi tuyển sinh, đề thi học sinh giỏi thường đề cập đến nên đề tài phù hợp và 
có hiệu quả hơn với các đối tượng học sinh khá, giỏi. 
 Với các bài toán thực tế ở các đề thi khi tìm hệ số của phương trình bậc 2 
theo ẩn mới nên yêu cầu học sinh nhẩm theo kinh nhệm thực tế được nêu trong các 
ví dụ minh họa sẽ giúp học giải nhanh hơn. 
Đề tài cũng mong muốn các thầy cô, bạn bè đồng nghiệp tiếp tục phát triển 
áp dụng cho các dạng phương trình khác nữa, đồng thời mở rộng áp dụng cho việc 
giải các bài toán về bất phương trình, hệ phương trình. 
33 
Quá trình thực hiện chắc chắn bài viết sẽ không tránh khỏi những thiếu sót 
nhất định. Tác giả rất mong nhận được sự quan tâm, góp ý, bổ sung từ quý thầy cô 
và bạn bè đồng nghiệp, để đề tài được hoàn thiện hơn, nhằm nâng cao năng lực 
giảng dạy toán cho học sinh. 
Xin chân thành cảm ơn! 
34 
PHẦN IV - TÀI LIỆU THAM KHẢO 
[1] Bộ sách giáo khoa và bài tập. Đại số 10 (Ban cơ bản 2006. Nhà xuất bản 
Giáo dục. 
[2] Bộ sách giáo khoa và bài tập. Đại số 10 (Ban nâng cao) 2006. Nhà xuất bản 
Giáo dục. 
[3]. Ngô Sĩ Tùng. Đa thức – Phân thức đại số. Nhà xuất bản Giáo Dục 
[4]. Các tạp chí báo toán học và tuổi trẻ .Nxb GD 
[5]. Các đề thi tuyển sinh đại học, cao đẳng . 
[6]. Tuyển tập đề thi Olypic 30 tháng 4. Nhà xuất bản Giáo Dục. 
 [7]. Các đề thi tuyển sinh vào lớp 10 các trường chuyên. 
 [8]. Các đề thi học sinh giỏi cấp trường, cấp tỉnh .