Sáng kiến kinh nghiệm Một số kĩ thuật sử dụng bất đẳng thức Cauchy

.
a b c
p a p b p c
Bài 6. Cho  ABC  chứng minh rằng  tan tan tan 3 3    .A B C  
III.5. Kĩ thuật sử dụng cặp nghịch đảo 
 III.5.1. Cơ sở lí thuyết 
1) Trong kỹ thuật ghép cặp nghịch đảo ta sử dụng bất đẳng thức sau: 
     Với  n N  và 
1 2
, , ..., 0,
n
x x x  ta có  21 2
1 2
1 1 1
... ... .
n
n
x x x n
x x x
 Hệ quả 
2
1 2 1 2
1 1 1
... ;
...
n n
n
x x x x x x
 với  n N  và 
1 2
, , ..., 0.
n
x x x  
2
1 2 1 2
1 1 1 1 1
... ;
...
n n
n x x x x x x
 với n N  và 
1 2
, , ..., 0.
n
x x x  
2) Các kết quả thường sử dụng 
1 1
4,a b
a b
 với  , 0.a b  
1 1 4
,
a b a b
 với  , 0.a b  
1 1 1 1
,
4 a b a b
 với  , 0.a b  
1 1 1
9,a b c
a b c
 với  , , 0.a b c  
1 1 1 9
,
a b c a b c
 với  , , 0.a b c  
1 1 1 1 1
,
9 a b c a b c
 với  , , 0.a b c  
25 
III.5.2. Các ví dụ 
Ví dụ 5.1. Cho ba số thực dương  a, b, c.  Chứng minh rằng 
2 2 2 9
.
b c c a a b a b c
Lời giải 
Ta có 
2 2 2 1 1 1
2
b c c a a b b c c a a b
9 9
2. .
b c c a a b a b c
Vậy 
2 2 2 9
.
b c c a a b a b c
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi  .a b c  
Ví dụ 5.2. (Bất đẳng thức Nesbit) Cho ba số thực dương  a, b, c.  Chứng minh 
rằng   
3
2
a b c
b c c a a b
. 
Lời giải 
  Ta có  1 1 1 3
a b c a b c
b c c a a b b c c a a b
3
1 1 1
3
1 1 1 1
3
2
9 3
3 .
2 2
a b c b c a c a b
b c c a a b
a b c
b c c a a b
b c c a a b
b c c a a b
Vậy 
3
2
a b c
b c c a a b
, đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi  .a b c  
26 
Ví dụ 5.3. Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn  1a b c . Chứng  minh 
rằng 
2 2 2
1 1 1
9.
2 2 2a bc b ca c ab
Lời giải 
  Ta có  
 2 2 2 2 2 2
1 1 1 9
2 2 2 2 2 2a bc b ca c ab a bc b ca c ab
2
9
9.
a b c
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 
1
.
3
a b c  
Vậy 
2 2 2
1 1 1
9.
2 2 2a bc b ca c ab
Ví dụ 5.4. (Đại học khối A 2005) Cho 
1 1 1
, , 0; 4.x y z
x y z
  CMR 
1 1 1
1.
2 2 2x y z x y z x y z
Lời giải 
  Với hai số thực dương  ,a b  ta có 
1 1 1 1
,
4a b a b
 dấu đẳng thức xảy 
ra khi và chỉ khi  .a b  
Áp dụng với  , , 0x y z  ta được 
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
(1)
2 4 2 4 2 4 8 2 2x y z x y z x x y x y z
Tương tự ta có 
1 1 1 1 1
(2)
2 8 2 2x y z x y z
27 
1 1 1 1 1
(3)
2 8 2 2x y z x y z
Cộng từng vế (1), (2), (3) và sử dụng 
1 1 1
4
x y z
  suy ra 
1 1 1 1 1 1 1 1
4 1.
2 2 2 4 4x y z x y z x y z x y z
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 
4
.
3
a b c  
Vậy 
1 1 1
1.
2 2 2x y z x y z x y z
Ví dụ 5.5.  (THTT Số 417-3/2012)  Cho  , , 0.a b c   Tìm  giá  trị  nhỏ  nhất  của 
biểu thức 
 3 124 3
.
2 3 2 3
b c b ca c
P
a b a c
Lời giải 
  Đặt  2 , 3 , 3 , , 0.x a y b z c x y z  
Khi đó  
 4 42 2
2 1 8 11
y z y zy z x z y z x z
P
x y x z x y x z
1 1 4
2 11x y z
x y x z
. 
Vì  
1 1 4 1 1 4 1 1 16
4 .
2x y x y x y x z x y x z x y z
Suy ra  16 11 5.P   
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 
2
.
3
x y z b c a  
Vậy  Min 5.P  
28 
III.5.3. Bài tập vận dụng 
Bài 1. (THTT Số 420-6/2012) Cho  , , 0x y z  và thỏa mãn 
2
4 .
2012
x y z
xyz
Chứng minh rằng 
2012.
yx z
x yz y zx z xy
Bài 2. Cho ba số thực dương  a, b, c. Chứng minh rằng 
6.
b c c a a b
a b c
Bài 1. Cho ba số thực dương  a, b, c. Chứng minh rằng 
2 2 2
.
2
c a b a b c
a b b c c a
Bài 2. Cho  , , 0a b c  và 
2 2 2
1 1 1
1.
a b c
  Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 
2 2 2 2 2 2
1 1 1
.
5 2 2 5 2 2 5 2 2
P
a ab b b bc c c ca a
Bài 3.  Cho tam giác  ABC  nhọn thỏa mãn điều kiện  
1 1 1 1 1 1
.
cos cos cos sin sin sin
2 2 2
A B CA B C
Chứng minh rằng  ABC  là tam giác đều. 
Bài 4. Cho tam giác  ABC  có  , ,
a b c
h h h  là các đường cao tương ứng kẻ từ A, B, 
C và r  là  bán  kính  đường  tròn  nội  tiếp  tam  giác.  Chứng  minh  rằng 
9 .
a b c
h h h r  
Bài 5. (THTT Số 418-4/2012)  Cho  , 0; 1.x y x y  Tìm giá trị nhỏ nhất của 
biểu thức sau: 
2 2
3 3
1 4 2
.
x y
A
x xy y xy
29 
III.6. Kĩ thuật đổi biến số 
 III.6.1. Các ví dụ 
Ví dụ 6.1. (Đại học khối A-2007). Cho  , , 0, 1.x y z xyz  Tìm giá trị nhỏ nhất 
của biểu thức 
 2 2 2
.
2 2 2
x y z y z x z x y
P
y y z z z z x x x x y y
 Nhận xét: Nhìn vào biểu thức  P  trông rất phức tạp nhưng nổi lên rõ các 
biến đó có liên quan đến  ,x x   ,y y z z . Do vậy để đơn giản hóa ta nên đổi 
biến đưa về bài toán mới. Mặt khác với suy nghĩ đổi biến như vậy thì chúng ta 
cần đánh giá tử số đưa về biến cần đổi và chú ý tới điểm rơi là  1.x y z  
Ta có lời giải như sau:  
Lời giải 
  Áp dụng bất đẳng thức Cauchy và sử dụng  1xyz  ta được 
 2 22 2 .x y z x yz x x  
Tương tự  2 22 ; 2y z x y y z x y z z . 
Do đó 
22 2
.
2 2 2
y yx x z z
P
y y z z z z x x x x y y
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi  1.x y z  
  Đặt  2 , 2 , 2 .a x x y y b y y z z c z z x x  
Suy ra 
4 2 4 2 4 2
, , .
9 9 9
c a b a b c b c a
x x y y z z
Do đó  
2 2
4 6 4.3 3 6 2.
9 9
c a b a b c
P
b c a b c a
(Do áp dụng bất đẳng thức Cauchy có  3, 3
c a b a b c
b c a b c a
 ). 
Vậy  Min 2 1.P x y z  
30 
Ví dụ 6.2. Cho ba số thực  , , 0.a b c  Chứng minh rằng 
3
.
2
a b c
b c c a a b
 Nhận xét: Bài toán chứa ba biến  , ,a b c  có vai trò như nhau và mẫu số 
phức tạp hơn tử số do đó ta có thể coi mẫu số là các biến mới. 
Lời giải 
  Đặt  
b c x
c a y
a b z
 suy ra  , , .
2 2 2
y z x z x y x y z
a b c
Khi đó bất đẳng thức trở thành  
1
.
2 2 2 2
y z x z x y x y z
x y z
Ta có 
1 1 1 3
2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 3 3
                                                . . . .
2 2 2 2 2
y z x z x y x y z y x z x z y
x y z x y x z y z
y x z x z y
x y x z y z
Vậy 
3
,
2
a b c
b c c a a b
 đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi  .a b c  
Ví dụ 6.3. Chứng minh với ba số thực  , , 0, 1a b c abc  ta có   
 3 3 3
1 1 1 3
.
2a b c b c a c a b
Hướng dẫn 
  Bất đẳng thức trên là hệ quả của bất đẳng thức 
2 2 2
; , , 0, 1
2
a b c a b c
a b c abc
b c c a a b
  
 qua một phép biến đổi. 
Do đó để giải được nhanh gọn bài toán trên ta có thể thực hiện phép đổi biến để 
đưa về bất đẳng thức nguồn ban đầu. 
Đặt 
1 1 1
, , 1x y z xyz
a b c
 . 
31 
Bài toán trở thành chứng minh bất đẳng thức  
2 2 2 3
; , , 0, 1.
2
x y z
x y z xyz
y z z x x y
  
Điểm rơi ở bài này là  1x y z , khi đó 
2 2 2 1
.
2
x y z
y z z x x y
Từ đó ta được 
2
4
x y z
x
y z
2
4
y z x
y
z x
2
4
z x y
z
x y
. 
Cộng vế theo vế suy ra 
2 2 2 3
.
2 2
x y z x y z
y z z x x y
Dấu bằng xảy ra  1.x y z  
Ví dụ 6.4. Cho 
2
, , 0; 4 .
2014
a b c
a b c abc
 Chứng minh rằng 
2014.
a b c
a bc b ca c ab
 Nhận xét: Nhận  thấy  bất  đẳng  thức  chứa biến  trong  căn  khá  phức  tạp 
nhưng có thể biểu diễn theo  , , .a b c  Từ đó để đơn giản hóa bài toán ta coi 
, ,a b c  là các biến. 
Lời giải 
  Đặt  , , , , 0.x a y b z c x y z  
Giả thiết thành  
22 2 2 2 2 2 2 2 2 24.2014 2.2014 .x y z x y z x y z xyz  
Bất đẳng thức thành 
2 2 2
2014.
x y z
x yz y zx z xy
32 
Ta có  
2 2
2 2 2 2
1 1 1 1 1 1
. . 1
4 4 4
yz x x yz x
x yz x yz x yz x yz xyz
Tương tự ta có  
2
2
1
. 2
4
y zx y
y zx xyz
 và  
2
2
1
. 3
4
z xy z
z xy xyz
Từ (1), (2) và (3) ta được  
 2 2 2
2 2 2 4
x y z xy yz zxx y z
x yz y zx z xy xyz
 2 2 2 2.2014
2014.
2 2
x y z xyz
xyz xyz
Vậy  2014.
a b c
a bc b ca c ab
Đẳng thức xảy ra 
2
3
.
4048
a b c
Ví dụ 6.5. Cho  , , , .ABC AB c BC a CA b  Chứng minh rằng 
3.
a b c
b c a c a b a b c
Lời giải 
  Đặt 
0
0
0
b c a x
c a b y
a b c z
  suy ra  , ,
2 2 2
y z z x x y
a b c
 . 
Khi đó bất đẳng thức trở thành  3.
2 2 2
y z z x x y
x y z
Ta có  
1 1 1
2 2 2 2 2 2
y z z x x y y x z x z y
x y z x y x z y z
2 2 2
. . . 3.
2 2 2
y x z x z y
x y x z y z
Vậy   3.
a b c
b c a c a b a b c
33 
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi  ABC  đều. 
 III.6.2. Bài tập vận dụng 
Bài 1. Cho  , , , .ABC AB c BC a CA b  Chứng minh rằng   
 .b c a c a b a b c abc  
Bài 2. Cho  , , , .ABC AB c BC a CA b  Chứng minh rằng   
2 2 2
.
a b c
a b c
b c a c a b a b c
Bài 3. Cho  , , , , .
2
a b c
ABC AB c BC a CA b p
  Chứng minh rằng 
2 2 2
1 1 1
.
p
p a p b p cp a p b p c
Bài 4. Cho ba số thực  , , 0, 1.a b c a c b c  Chứng minh rằng   
2 2 2
1 1 1
4.
a b a c b c
III.7. Kĩ thuật đánh giá mẫu số và Cauchy ngược dấu 
 III.7.1. Cơ sở lí thuyết 
  Kĩ thuật này sử dụng các tính chất sau: 
1) 
1 1 1 1
0 0 .A B
A B A B
2) 
1 1 1 1
2 0 .
2 2
a b ab
a b abab ab
 III.7.2. Các ví dụ 
Ví dụ 7.1. Cho a, b, c là ba số thực dương. Chứng minh rằng 
2 2 2
2 2 2
.
abc abc abc
a b c
a bc b ca c ab
34 
 Nhận xét: Vai  trò a, b, c như nhau, dự đoán dấu đẳng  thức xảy ra khi 
a b c  khi đó  2 2 2 .a bc b ca c ab  Tử số ở dạng tích, mẫu số ở dạng 
tổng nên có thể sử dụng bất đẳng thức Cauchy cho mẫu số. 
Lời giải 
  Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có 
 2 2
2 2 2
1
2 22
abc abc b c abc b c
bc
a bc a bca bc
Tương tự ta được  2
2
2
2
abc c a
b ca
 và  2
2
3
2
abc a b
c ab
Từ (1), (2), (3) suy ra 
2 2 2
2 2 2
.
2 2 2
abc abc abc a b b c c a
a b c
a bc b ca c ab
Vậy 
2 2 2
2 2 2
.
abc abc abc
a b c
a bc b ca c ab
 Đẳng thức xảy ra  .a b c  
Ví dụ 7.2. (THTT 448-T10/2014). Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn 
3 3 3 1.a b c  Chứng minh rằng 
2 2 2 2 2 2
3 3 3
9
.
4
a b b c c a
ab a b bc b c ca c a
Lời giải 
  Với  , 0x y  ta có 
3 33 3 3 3 33
4
Cauchy
x y x y xy x y x y x y  
 3 3 34 .x y x y  
Mặt khác  2 2 2 0, , 0.x y xy x y   
Áp dụng vào bài toán suy ra 
2 2 2 2 2 2
3 3 3 3 3 3 3 3 3
2 2 2
.4 .4 .4
a b b c c a ab bc ca
ab a b bc b c ca c aab a b bc b c ca c a
35 
 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
1 1 1 1 1 9 9
.
2 2 4a b b c c a a b b c c a
Vậy 
2 2 2 2 2 2
3 3 3
9
.
4
a b b c c a
ab a b bc b c ca c a
Đẳng thức xảy ra 
3
1
.
3
a b c  
Ví dụ 7.3. Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn  3.a b c  Chứng minh 
rằng  
2 2 2
3
.
1 1 1 2
a b c
b c a
  Nhận xét: Vai trò các biến như nhau, dự đoán dấu đẳng thức xảy ra khi 
1.a b c  Chúng ta không thể áp dụng ngay bất đẳng thức Cauchy cho mẫu 
số được vì  khi  đó  ta được bất  đẳng  thức  ngược chiều với  bất  đẳng  thức  cần 
chứng minh. Vậy có thể sử dụng bất đẳng thức Cauchy được không? 
Lời giải 
  Ta có 
2 2 2 2
2 2 2
(1 )
.
1 1 1 2 2
a a b ab ab ab ab
a a a
b b b b
Suy ra 
2
.
1 2
a ab
a
b
Tương tự   
2 2
, .
1 2 1 2
b bc c ca
b c
c a
Cộng các bất đẳng thức trên ta được 
2 2 2
( ) .
1 1 1 2
a b c ab bc ca
a b c
b c a
Mặt khác  
22 2 2 3ab bc ca a b c ab bc ca a b c   
3.ab bc ca  
Do đó 
2 2 2
3 3
3 .
1 1 1 2 2
a b c
b c a
36 
Vậy 
2 2 2
3
,
1 1 1 2
a b c
b c a
 dấu đẳng thức xảy ra khi  1.a b c  
Ví dụ 7.4.  Cho  a,  b,  c,  d  là  các  số  thực  dương  thỏa  mãn  4.a b c d  
Chứng minh rằng 
2 2 2 2
2.
1 1 1 1
a b c d
b c c d d a a b
Hướng dẫn 
Với định hướng tương tự ví dụ 1 ta đi tìm lời giải bài toán. 
Chú ý sử dụng các bất đẳng thức sau: 
   2
1
( ) .
4
ab bc cd da a b c d  
 3
1
( ) .
16
abc bcd cda dab a b c d  
Ví dụ 7.5. Cho a, b, c, d là các số thực dương thỏa mãn  4.a b c d  
Chứng minh rằng 
3 3 3 3
2 2 2 2 2 2 2 2
.
2
a b c d a b c d
a b b c c d d a
Hướng dẫn 
 Vai trò của các biến là như nhau, dự đoán đấu đẳng thức xảy ra khi 
1.a b c d  nên có thể áp dụng bất đẳng thức Cauchy với mẫu số. 
 Nếu áp dụng trực tiếp? 
 Vế phải của BĐT chứa  , , ,a b c d  có bậc ? 
Từ đó biến đổi 
3
2 2
?
a
a b
 suy ra lời giải bài toán. 
Ví dụ 7.6. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn  3.a b c  Chứng minh 
rằng 
2 2 2
3 3 3
1.
2 2 2
a b c
a b b c c a
Hướng dẫn 
Vai trò của các biến là như nhau, dự đoán đẳng thức xảy ra khi  1a b c , 
nên có thể áp dụng bất đẳng thức Cauchy với mẫu số cho các số nào? 
37 
Từ đó biến đổi 
2 3
3 3 3
2
2
a ab
a
a b a b b
, sau đó áp dụng bất đẳng thức 
Cauchy cho mẫu số. 
 III.7.3. Bài tập vận dụng 
Bài 1. Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn  3.a b c  Chứng minh rằng  
2 2 2
3
.
1 1 1 2
a b c
b c a
Bài 2. Cho a, b, c, d là các số thực dương thỏa mãn  4.a b c d   
Chứng minh rằng  
2 2 2 2
2.
1 1 1 1
a b c d
b c d a
Bài 3. Cho a, b, c, d là các số thực dương thỏa mãn  4.a b c d   
Chứng minh rằng  
2 2 2 2
2.
1 1 1 1
a b c d
b c c d d a a b
Bài 4.  Cho a, b, c, d là các số thực dương thỏa mãn  4.a b c d   
Chứng minh rằng  
3 3 3 3
2 2 2 2 2 2 2 2
.
2
a b c d a b c d
a b b c c d d a
Bài 5.  Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn  3.a b c   
Chứng minh rằng  
2 2 2
2 2 2
1.
2 2 2
a b c
a b b c c a
Bài 6. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn  3.a b c    
Chứng minh rằng  
2 2 2
3 3 3
1.
2 2 2
a b c
a b b c c a
38 
Bài 7. Cho a, b, c, d là các số thực dương thỏa mãn  4.a b c d   
Chứng minh rằng  
2 2 2 2
1 1 1 1
4.
1 1 1 1
a b c d
b c d a
Bài 8. Cho a, b, c, d là các số thực dương thỏa mãn  4.a b c d   
Chứng minh rằng 
2 2 2 2
1 1 1 1
2.
1 1 1 1a b c d
Bài 9. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn  3.a b c   
Chứng minh rằng 
2 2 2
1 1 1
1.
2 2 2a b b c c a
39 
KẾT LUẬN 
   Chuyên đề trình bày một số kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Cauchy. Trên 
cơ  sở đưa  ra  các ý  tưởng,  ví  dụ và bài  tập đã được  sắp xếp  một  cách  có hệ 
thống nhằm giúp cho đối tượng học sinh có điều kiện ôn tập, nghiên cứu, phát 
triển. Từ đó học sinh có thể vận dụng vào việc giải một số bài toán chứng minh 
bất đẳng thức, tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất  
    Với kinh nghiệm, thời gian và trình độ còn hạn chế nên chuyên đề không 
thể tránh khỏi những sai sót về trình bày cũng như về chuyên môn. Các bài toán 
về bất đẳng thức trong chương trình toán THPT rất đa dạng và phong phú. Việc 
vận  dụng các phương  pháp  giải  bài  toán  về bất  đẳng  thức  cần  tiếp  tục  được 
nghiên cứu thêm để vận dụng vào thực tế giảng dạy. 
    Rất mong nhận được sự nhận xét, đánh giá và đóng góp ý kiến của quý 
thầy cô giáo đồng nghiệp và bạn đọc để chuyên đề được hoàn thiện hơn. 
  Xin chân thành cảm ơn! 
  Bắc Giang, ngày 25 tháng 2 năm 2024 
Tác giả 
Trần Việt Phương 
40 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
 [1] Trần Tuấn Hiệp, Ngô Long Hậu, Nguyễn Phú Trường, Giới thiệu Đề thi 
tuyển sinh vào Đại học – Cao đẳng toàn quốc, Nhà xuất bản Hà Nội, 2009. 
[2] Phạm Kim Hùng, Sáng tạo bất đẳng thức, Nhà xuất bản Hà Nội, 2010. 
[3] Trần Phương, Những viên kim cương trong bất đẳng thức Toán học, Nhà 
xuất bản Tri thức, 2012.  
[4] Đoàn Quỳnh, Nguyễn Huy Đoan, Nguyễn Xuân Liêm, Đặng Hùng Thắng, 
Trần Văn Vuông, Đại số 10 nâng cao, Nhà xuất bản Giáo Dục, 2006. 
[5] Tạp chí Toán học & Tuổi trẻ số 417 tháng 03/2012, Nhà xuất bản Giáo Dục. 
[6] Tạp chí Toán học & Tuổi trẻ số 418 tháng 04/2012, Nhà xuất bản Giáo Dục. 
[7] Tạp chí Toán học & Tuổi trẻ số 420 tháng 06/2012, Nhà xuất bản Giáo Dục. 
[8] Tạp chí Toán học & Tuổi trẻ số 448 tháng 10/2014, Nhà xuất bản Giáo Dục. 
[9] Tuyển tập đề thi Olympic 30/4, Nhà xuất bản Giáo Dục. 
[10] Nguồn Internet. 
ĐIỂM VÀ NHẬN XÉT ĐỀ TÀI