Sáng kiến kinh nghiệm Một số giải pháp phát triển năng lực cho học sinh trong giảng dạy phần Đại số tổ hợp – môn Toán lớp 11

iều đó thể hiện tính tích cực của tư duy và thể hiện được năng 
lực nắm chắc bài học của các em. 
- Như vậy, nếu dạy học theo các biện pháp đã được đề xuất sẽ phát huy tính tích cực học 
tập của HS, giúp các em chủ động trong mọi tình huống từ đó các em nắm chắc kiến 
thức, dẫn tới kết quả học tập cao hơn. 
8. Những thông tin cần được bảo mật (nếu có): 
Không 
9. Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến: 
 Học sinh lớp 11 có nhận thức trung bình.. 
10. Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng kiến 
theo ý kiến của tác giả và theo ý kiến của tổ chức, cá nhân đã tham gia áp dụng 
sáng kiến lần đầu, kể cả áp dụng thử (nếu có) theo các nội dung sau: 
10.1. Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng kiến 
theo ý kiến của tác giả: 
Sáng kiến đã thu được một số kết quả chính sau đây: 
Sáng kiến đề cập đến thực trạng, sự cần thiết của việc vận dụng toán học vào thực tiễn 
trong dạy học môn toán nói riêng và trong cuộc sống nói chung. 
Sáng kiến đề xuất một số biện pháp nhằm phát triển năng lực vận dụng toán học vào 
thực tiễn cho HS THPT trong dạy học phần Đại sô tổ hợp đồng thời giúp HS tiếp thu 
kiến thức một cách chủ động, phát huy tính tích cực và sáng tạo của người học. 
Chúng tôi hy vọng các biện pháp phát triển năng lực vận dụng toán học vào thực tiễn cho 
HS THPT được áp dụng rộng rãi trong giảng dạy toán. Các biện pháp tôi đề xuất có thể 
làm tài liệu tham khảo cho các đồng nghiệp nghiên cứu, sử dụng trong quá trình dạy học 
môn toán ở trường phổ thông. 
25 
Mặc dù đã có nhiều cố gắng, song phần trình bày đề tài không thể tránh khỏi những sai 
sót. Kính mong nhận được sự bổ sung, góp ý của quý thầy cô và các bạn để Sáng kiến 
kinh nghiệm được hoàn thiện hơn 
10.2. Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng kiến 
theo ý kiến của tổ chức, cá nhân: 
 Qua tham khảo ý kiến thầy cô giáo cùng chuyên môn trong trường và một số 
đồng nghiệp trường bạn, các em học sinh đã được trải nghiệm chuyên đề, đề tài được 
đánh giá như sau: 
Với đề tài này, học sinh hiểu được, vận dụng được một cách thông minh các kiến thức cơ 
bản của phần Đại số tổ hợp để phát triển được các năng lực vận dụng giải quyết các vấn 
đề thực tiễn.... Học sinh được phát triển tư duy, yêu thích, tích cực và hăng say học tập 
phần Đại số tổ hợp . Điều đặc biệt hơn cả là đề tài này còn là tài liệu bổ ích cho các thầy 
cô tham khảo tự bồi dưỡng chuyên môn và các em học sinh tự học. Đây cũng là mong 
muốn mà bản thân tôi trong quá trình giảng dạy của mình. Điều quan trọng hơn, đề tài 
này làm thay đổi suy nghĩ của các em học sinh, nhất là các em học sinh tôi trực tiếp 
giảng dạy khi học phần Đại số tổ hợp. Đề tài này có thể mở rộng thêm các phương pháp 
khác, để các em có thể vận dụng phát triển các năng lực chung và năng lực giải quyết 
vấn đề thực tiễn. 
11. Danh sách những tổ chức/cá nhân đã tham gia áp dụng thử hoặc áp dụng sáng 
kiến lần đầu (nếu có): 
Số 
TT 
Tên tổ chức/cá 
nhân 
Địa chỉ Phạm vi/Lĩnh vực 
áp dụng sáng kiến 
1 Lớp 11a1 năm học 
2020-2021 
Trường PT DTNT cấp 
2-3 tỉnh Vĩnh Phúc 
Khối 11 trường PT DTNT cấp 
2-3 tỉnh Vĩnh Phúc, Đại số tổ 
hợp. 
2 Lớp 11a3 năm học 
2020-2021 
Trường PT DTNT cấp 
2-3 tỉnh Vĩnh Phúc 
Khối 11 trường PT DTNT cấp 
2-3 tỉnh Vĩnh Phúc, Đại số tổ 
hợp. 
Vĩnh Yên, ngày 18 tháng 02 năm 2021. 
Thủ trưởng đơn vị/ 
Chính quyền địa phương 
(Ký tên, đóng dấu) 
., ngày. tháng  năm  
CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG 
SÁNG KIẾN CẤP CƠ SỞ 
Vĩnh Yên, ngày 12 tháng 02 năm 2021. 
Tác giả sáng kiến 
Đặng Thị Kim Chung 
26 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
1. Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên), Vũ Tuấn (Chủ biên), Đào Ngọc Nam, Lê Văn Tiến, 
Vũ Viết Yên (2010), Đại số và Giải tích 11 (sách giáo viên), NXB Giáo dục Việt Nam. 
2. Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên), Vũ Tuấn (Chủ biên), Đào Ngọc Nam, Lê Văn Tiến, 
Vũ Viết Yên (2010), Bài tập Đại số và Giải tích 11, NXB Giáo dục Việt Nam. 
3. Trung Hiếu, Đoàn Thế Phiệt, Phạm Đức Quang, Nguyễn Thị Quý Sửu (2009), 
Hướng dẫn chuẩn kiến thức, kỹ năng môn toán lớp 11, NXB Giáo dục Việt Nam. 
4. Vũ Viết Tiệp (2017), Bồi dưỡng năng lực vận dụng toán học vào thực tiễn cho học 
sinh trong dạy học Đại số và Giải tích lớp 11, Luận văn Thạc sỹ PPDH Toán, Trường 
Đại học Sư phạm Thái Nguyên. 
5. Vũ Thị Thúy Hằng (2018), Dạy học Tổ hợp-Xác suất theo hướng phát triển năng lực 
vận dụng Toán học vào thực tiễn cho học sinh THPT, Trường ĐHSP Thái Nguyên 
6. Một số tài liệu trên trang Webside Thư viện giảng dạy, 123doc 
27 
PHỤ LỤC 
PHỤ LỤC 1 
GIÁO ÁN BÀI “QUY TẮC ĐẾM” 
I. MỤC TIÊU BÀI HỌC 
1. Kiến thức: Học sinh cần nắm vững 
 + Quy tắc cộng, quy tắc nhân. 
 + Phân biệt được sự khác nhau của hai quy tắc đếm trên. 
2. Kỹ năng: Biết sử dụng hai quy tắc trên một cách linh hoạt vào việc giải các bài toán đếm cơ 
bản. 
3. Thái độ: Cẩn thận, chính xác. 
4. Định hướng phát triển năng lực: Năng lực tự học, quan sát, phát hiện và giải quyết vấn đề, 
vận dụng kiến thức vào thực tiễn cuộc sống. 
II. CHUẨN BỊ CỦA GIÁO VIÊN VÀ HỌC SINH 
1. Giáo viên: Đồ dùng giảng dạy, phấn màu và đồ dùng có liên quan đến bài học. 
2. Học sinh: Đồ dùng học tập. 
III. HOẠT ĐỘNG DẠY VÀ HỌC 
1. GIỚI THIỆU 
Bài toán 1. Mỗi tài khoản người dùng mạng xã hội Facebook có một mật khẩu. Giả sử mỗi mật 
khẩu gồm 6 kí tự, mỗi ký tự là một chữ số (trong 10 chữ số từ 0 đến 9) hoặc là một chữ cái 
(trong 26 chữ cái tiếng Anh) và mật khẩu phải có ít nhất một chữ số. Hỏi có thể lập được tất cả 
bao nhiêu mật khẩu? 
 + Hãy viết một mật khẩu. 
 + Có thể liệt kê được hết các mật khẩu không? 
 + Hãy ước đoán thử xem có khoảng bao nhiêu mật khẩu? 
Bài toán 2. Trong một trân đấu bóng đá sau hai hiệp phụ hai đội vẫn hoà nên phải phải thực 
hiện đá luân lưu 11m (penalty) để phân thắng bại. Huấn luyện viên của mỗi đội được chọn ra 5 
cầu thủ để thực hiện lần lượt 5 quả penalty. Hỏi mỗi huấn luyện viên có bao nhiêu cách phân 
công thực hiện loạt penalty trên? 
 + Em hãy đóng vai HLV thử cho một cách phân công thực hiện đá loạt penalty trên. 
 + Có thể liệt kê hết các phương án thực hiện loạt penalty trên không? 
28 
 + Có cách nào để tính hết các phương án để thực hiện loạt sút penalty trên? 
2. NỘI DUNG BÀI HỌC 
2.1. QUY TẮC CỘNG. 
HOẠT ĐỘNG GỢI Ý 
Ví dụ 1. Từ thành phố A 
đến thành phố B có 3 đường bộ, 2 
đường thủy. Cần chọn 1 đường để 
đi từ A đến B. Hỏi có mấy cách 
chọn? 
Để thực hiện công việc đi từ thành phố A đến thành phố B, 
ta có thể thực hiện một trong hai phương án: Đi theo 
đường bộ hoặc theo đường thuỷ. 
+ Đi theo đường bộ có: 3 cách. 
+ Đi theo đường thuỷ có: 2 cách. 
Vậy có: 3 2 5+ = cách đi từ A đến B. 
Quy tắc: Một công việc được hoàn thành bởi một trong hai phương án. Nếu phương án này 
có m cách thực hiện, phương án kia có n cách thực hiện không trùng với bất kì cách nào của 
phương án thứ nhất thì công việc đó có m n+ cách thực hiện. 
Ví dụ 2. Một cô gái có 2 cái 
mũ màu xanh khác nhau, 3 cái mũ 
màu vàng khác nhau. Cô gái 
muốn chọn một cái mũ để đội đi 
dạo phố với người yêu. Hỏi cô gái 
có mấy cách chọn? 
Để thực hiện công việc chọn mũ, cô gái có thể thực hiện 
theo một trong hai phương án: Chọn 1 mũ xanh hoặc 
chọn 1 mũ vàng. 
+ Chọn 1 mũ xanh: Có 2 cách. 
+ Chọn 1 mũ vàng: Có 3 cách. 
Vậy theo quy tắc cộng, ta có: 2 3 5+ = cách chọn 1 cái mũ. 
Chú ý: 
 1. + Số phần tử của tập hữu hạn X được ký hiệu là ( )n X hoặc X . 
 + Quy tắc cộng có thể được phát biểu như sau: Nếu A và B là các tập hợp 
hữu hạn không giao nhau, thì 
( ) ( ) ( )n A B n A n B = + 
 A 
 Có m phần tử 
B 
 Có n phần tử 
29 
+ Đặc biệt: Nếu A và B là hai tập hữu hạn bất kì thì 
( )( ) ( ) ( )n A B n A n B n A B = + −  
 2. Mở rộng quy tắc: 
 + Giả sử một công việc có thể được thực hiện theo một trong k phương án 
1 2, ,..., kA A A . Có 1n cách thực hiện phương án 1A , 2n cách thực hiện phương án 2A ,, và kn 
cách thực hiện phương án kA . Khi đó công việc có thể được thực hiện bởi 1 2 ... kn n n+ + + cách. 
 + Nếu 1 2, ,..., kA A A là k tập hợp hữu hạn đôi một không giao nhau thì số 
phần tử của 1 2 ... kA A A   là: 1 2 1 2... ...k kA A A A A A   = + + + . 
2.2. QUY TẮC NHÂN. 
HOẠT ĐỘNG GỢI Ý 
Ví dụ 3. Từ thành phố A 
đến thành phố C phải đi qua các 
thành phố B. Từ A đến B có 4 
con đường đi, từ B đến C có 2 
con đường đi. Hỏi 
a. Có bao nhiêu cách đi từ A đến 
C mà qua B chỉ một lần. 
b. Có bao nhiêu cách đi từ A đến 
C rồi quay lại A. 
a. Để đi từ thành phố A đến thành phố C, ta phải thực hiện 
đầy đủ cả hai hành động: Đi từ A đến B VÀ đi từ B đến 
C. 
+ Đi từ A đến B có: 4 cách. 
+ Ứng với mỗi cách đi từ A đến B ta có 2 cách đi từ B đến C. 
Vậy có: 4.2 8= cách đi từ A đến C mà phải qua B. 
b. + Đi từ A đến C có: 8 cách. 
 + Đi từ C về A có: 8 cách. 
Vậy có: 8.8 64= cách đi từ A đến C rồi quay về A. 
Quy tắc: Một công việc được hoàn thành bởi hai công đoạn liên tiếp. Nếu có m cách thực 
hiện công đoạn thứ nhất và ứng với mỗi cách thực hiện công đoạn thứ nhất có n cách thực hiện 
công đoạn thứ hai thì có .m n cách hoàn thành công việc. 
Ví dụ 4. Một cô gái có 3 
cái áo khác nhau và 2 cái quần 
khác nhau. Cô gái muốn chọn 
một bộ đồ (1 áo và 1 quần) để đi 
dạo phố với người yêu. Hỏi cô 
gái có mấy cách chọn? 
30 
Để chọn một bộ đồ, cô gái cần phải thực hiện đầy đủ hai 
hành động liên tiếp: Chọn 1 cái quần VÀ chọn 1 cái áo. 
 + Chọn 1 cái quần có: 2 cách. 
 + Chọn 1 cái áo có: 3 cách. 
Vậy theo quy tắc nhân, ta có: 2.3 6= cách chọn 1 bộ đồ. 
Quá trình thực hiện công việc của cô gái ở ví dụ 4 này 
khác với cô gái ở ví dụ 2. Trong khi cô gái ở ví dụ 2 chỉ cần 
thực hiện một trong hai phương án (chọn mũ) là đã yên tâm 
đi dạo phố với người yêu. Còn cô gái ở ví dụ 4 phải thực hiện 
đầy đủ 2 hành động (chọn áo và chọn quần) thì cô mới yên 
tâm đi dạo phố với người yêu. Chứ cô mà chỉ mới thực hiện 
được một trong hai hành động (chỉ mới chọn áo hoặc chỉ mới 
chọn quần) mà đi chơi. Thì HỎNG!@@ 
Chú ý: Mở rộng quy tắc: Giả sử một công việc được hoàn thành bởi k công đoạn 
1 2, ,..., kA A A liên tiếp. Công đoạn 1A có 1n cách thực hiện, công đoạn 2A có 2n cách thực 
hiện,, và công đoạn kA có kn cách thực hiện. Khi đó công việc được hoàn thành bởi 1 2. ... kn n n 
cách. 
3. LUYỆN TẬP. 
Bài 1: Trong các số tự nhiên viết trong hệ thập phân. 
a. Có bao nhiêu số có 3 chữ số? 
b. Có bao nhiêu số chẵn có 3 chữ số? 
c. Có bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau? 
d. Có bao nhiêu số lẻ có 3 chữ số khác nhau? 
e. Có bao nhiêu số chẵn có 3 chữ số khác nhau? 
4. VẬN DỤNG VÀ MỞ RỘNG. 
4.1. Vận dụng vào thực tế. 
Bài 2: Ở một nhà hàng có 3 món khai vị là salat Nga, mầm cải trộn cá ngừ và gỏi ngó sen tôm 
thịt, 4 món chính là sườn nướng, đùi gà rô-ti, cá kèo kho tộ và thịt kho trứng, 3 món canh là 
canh cải thịt bằm, cành gà lá giang và canh khổ qua cá thác lác, 4 món tráng miệng là bánh flan, 
chè đậu đỏ, trái cây thập cẩm và sữa chua. 
a) Hỏi có bao nhiêu cách chọn 1 bữa ăn gồm 1 món khai vị, 1 món chính, một canh và một món 
tráng miệng. 
b) Có một người không thích cá nhưng vì bác sĩ yêu cầu phải ăn cá nên người đó chỉ chọn đúng 
một món cá trong các món ăn. Hỏi người ấy có bao nhiêu cách chọn bữa ăn? 
Bài 3: Giải quyết bài toán 2 ở phần giới thiệu. 
Bài 4: Giải quyết bài toán 1 ở phần giới thiệu. 
Chú ý: Trong bài toán đếm, việc chọn thứ tự thực hiện đóng một vai trò quan trọng. Có thể 
nói, nếu sắp xếp công việc tốt thì ta đếm nhanh và nhàn nhã, còn sắp xếp kém thì đếm phức tạp 
và dễ sai. Một nguyên tắc là những công đoạn có nhiều ràng buộc sẽ được ưu tiên thực hiện 
trước. 
4.2. Mở rộng, tìm tòi. 
Bài 5: Từ các chữ số 0,1,2,3,4,5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên 
a. Chia hết cho 5 gồm 3 chữ số khác nhau? 
b. Chia hết cho 3 gồm 3 chữ số khác nhau? 
c. Gồm 3 chữ số đôi một khác nhau không chia hết cho 9? 
Bài 6: Số 1440 có bao nhiêu ước nguyên dương? 
IV/ RÚT KINH NGHIỆM SAU BÀI DẠY. 
31 
PHỤ LỤC 2 
ĐỀ KIỂM TRA 45 PHÚT 
I/ PHẦN TRẮC NGHIỆM (4,0 ĐIỂM). 
Mỗi câu trắc nghiệm đúng được 0,5 điểm) 
Câu 1: Một trường THPT có 360 học sinh khối 10, 270 học sinh khối 11, 160 học 
sinh khối 12. Số học sinh của trường đó là: 
 A. 360 B. 270 C. 160 D. 790 
Câu 2: Một hộp bi gồm 10 viên trắng, 20 viên xanh và 30 viên đỏ. Hỏi có bao nhiêu 
cách lấy ngẫu nhiên được một viên bi đỏ hoặc xanh: 
A. 60 B. 50 C. 40 D. 30 
Câu 3: Gieo 2 con súc sắc cân đối và đồng chất. Xác suất để tổng số chấm trên 2 mặt 
bằng 7 là: 
A. 
1
6
 B. 
1
3
 C. 
1
2
 D. 
5
6
Câu 4: Một đội thi đấu cầu lông gồm 6 VĐV nam và 5 VĐV nữ. Số cách chọn ngẫu 
nhiên một cặp VĐV nam - nữ đi thi là: 
A. 5 B. 6 C. 11 D. 30 
Câu 5: Có 10 đội bóng tham gia thi đấu. Hỏi có bao nhiêu cách trao ba loại huy 
chương vàng, bạc, đồng cho ba đội nhất, nhì, ba. Biết rằng mỗi đội chỉ có thể nhận một 
huy chương và đội nào cũng có thể được nhận huy chương. 
A. 10 B. 30 C. 720 D. 100 
Câu 6: Một khóa số có 3 vòng, mỗi vòng có các khoảng gắn các số từ 0 đến 9. Người 
ta có thể chọn trên mỗi vòng một số để tạo thành khóa. Số cách tạo ra các khóa khác 
nhau là: 
A. 27 B. 30 C. 729 D. 1000 
Câu 7: Trong một đội văn nghệ có 5 bạn nam và 8 bạn nữ, biết rằng các bạn đó có 
năng khiếu văn nghệ như nhau. Số cách chọn một đơn ca nam hoặc một đơn ca nữ là: 
A.5 B.8 C.13 D.40 
Câu 8: Có bao nhiêu số tự nhiên có 7 chữ số khác nhau từng đôi một , sao cho chữ số 2 
đứng liền giữa chữ số 1 và 3. 
 A. 2942 B. 3204 C. 7440 D. Đáp án khác. 
II/ PHẦN TỰ LUẬN (6,0 ĐIỂM) 
Câu 9: Một người đi từ Vĩnh Phúc về Hà Nội và từ Hà Nội vào Nha Trang. Biết từ Vĩnh 
Phúc về Hà Nội có thể đi bằng ôtô, tàu hỏa, xe máy. Từ Hà Nội vào Nha Trang có thể 
32 
đi bằng ôtô, tàu hỏa, xe máy, máy bay. Hỏi có bao nhiêu cách để đi từ Vĩnh Phúc đến 
Nha Trang. Biết để đi từ Vĩnh Phúc Nha Trang phải đi qua Hà Nội. 
Câu 10: Trong một phòng học có hai bàn dài, mỗi bàn có năm ghế. Người ta muốn sắp 
xếp chỗ ngồi cho 10 HS gồm 5 nam và 5 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi nếu: 
a) Các HS ngồi tùy ý. 
b) Các HS nam ngồi một bàn, các HS nữ ngồi một bàn 
ĐÁP ÁN –THANG ĐIỂM 
I/ PHẦN TRẮC NGHIỆM (4,0 ĐIỂM). Mỗi câu trả lời đúng được 0,5 điểm) 
Câu 1 2 3 4 5 6 7 8 
Đáp án D B A D C D C C 
II/ PHẦN TỰ LUẬN (6,0 ĐIỂM). 
Câu Đáp án Điểm 
9 
(2,0 điểm) 
Số cách đi từ Vĩnh Phúc đi Hà Nội là: 03 cách 0,5 
Số cách đi từ Hà Nội đi Nha Trang là 04 cách 0,5 
Theo quy tắc nhân, số cách đi từ Vĩnh Phúc đi Nha Trang 
qua Hà Nội là: 3x4=12 cách. 
1,0 
10a 
(2,0 điểm) 
Tổng số học sinh là: 5+5=10 0,5 
Mỗi cách sắp xếp các HS ngồi tùy ý là một hoán vị của 
10 phần tử 
0,5 
Số cách sắp xếp là: 10 10! 362880P = = 1,0 
10b 
(2,0 điểm) 
Chọn vị trí bàn cho nam là 2 cách, còn lại là bàn của nữ 0,5 
Số cách SX nam ngồi bàn đã chọn là 5 5! 120P = = 
Số cách SX nữ ngồi bàn đã chọn là 5 5! 120P = = 
0,5 
Vậy số cách sx 10 theo yêu cầu là: 2x120x120=28800 1,0 
( Học sinh làm cách khác mà đúng thì vẫn cho điểm theo cách phần tương ứng) 
33