Sáng kiến kinh nghiệm Một số giải pháp giúp học sinh lớp 12 nâng cao năng lực giải bài toán liên quan đến đọc hiểu đồ thị của hàm số

 một điểm trong tập hợp K. 
+ Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu được 
gọi chung là giá trị cực trị (hay cực trị) 
của hàm số. 
+ Nếu 
0
x là điểm cực trị của hàm số thì 
điểm x f x0 0; được gọi là điểm cực trị 
của đồ thị hàm số f . 
66 
Giao nhiệm vụ học tập Dự kiến kết quả hoạt động 
CH5. Nêu điều kiện để x0 là điểm 
cực trị của hàm số. 
CH6. Nêu định nghĩa giá trị lớn 
nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số. 
CH7. Cho hàm số y f x( ) có đồ 
thị C
1
( ) và y g x( ) có đồ thị 
2
( )C . 
Tọa độ giao điểm của 
1
( )C và 
C
2
( )được xác định như thế nào? 
Định lí: Cho hàm số y f x liên tục 
trên 0 0( ; )K x h x h và có đạo hàm trên 
K hoặc 0/K x với 0.h 
a. Nếu '( ) 0f x 
trên khoảng 0 0( ; )x h x và 
'( ) 0f x trên khoảng 0 0( ; )x x h 
thì 0x là 
một điểm cực đại của hàm số ( )f x . 
b. Nếu '( ) 0f x 
trên khoảng 0 0( ; )x h x và 
'( ) 0f x trên khoảng 0 0( ; )x x h 
thì 0x là 
một điểm cực tiểu của hàm số ( )f x . 
Định nghĩa 
Cho hàm số y f x xác định trên tập D . 
a) Số M được gọi là giá trị lớn nhất của 
hàm số y f x trên D nếu : 
 0 0
,
,
x D f x M
x D f x M
 
 
Kí hiệu : max
D
M f x 
b) Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của 
hàm số y f x trên D nếu: 
 0 0
,
,
x D f x m
x D f x m
 
 
Kí hiệu: min
D
m f x 
Tương giao giữa các đồ thị 
Cho hàm số y f x( ) có đồ thị C
1
( ) và 
 y g x( ) có đồ thị 2( )C . 
Phương trình hoành độ giao điểm của C
1
( ) 
và 2( )C là f x g x ( ) ( ) 1 . Khi đó: 
- Số giao điểm của 
1
( )C và C
2
( ) bằng 
với số nghiệm của phương trình 1 . 
- Nghiệm x
0
 của phương trình 1 chính 
67 
Giao nhiệm vụ học tập Dự kiến kết quả hoạt động 
là hoành độ x
0
 của giao điểm. 
- Để tính tung độ y
0
 của giao điểm, ta 
thay hoành độ x
0
 vào y f x hoặc 
 y g x . 
- Điểm 0 0;M x y là giao điểm của C1( ) 
và C
2
( ) . 
Hoạt động 2: Vận dụng vào các bài toán liên quan đến đọc hiểu hàm số 
( ).y f x 
Mục đích của hoạt động: 
Vận dụng linh hoạt các tính chất đã được ôn tập vào giải quyết các bài toán liên 
quan đến đọc hiểu đồ thị hàm số '( )y f x 
Phương thức tổ chức: Cá nhân. 
Thời gian: 50 phút 
Giao nhiệm vụ học tập Dự kiến kết quả hoạt động 
Bài tập 1: Cho hàm số 
( )y f x liên trên và có đồ 
thị hàm số '( )y f x là 
đường cong như hình vẽ sau: 
 a. Xét tính đơn điệu và tìm 
cực trị của hàm số ( )y f x . 
 b. Biết ( 2) (2)f f . Tìm 
điểm 0x (nếu có) mà tại đó hàm 
số đạt giá trị lớn nhất (nhỏ nhất). 
Trên các khoảng 2;0 và 2; đồ thị 
hàm số '( )y f x nằm trên trục hoành chứng tỏ 
'( ) 0f x 
Trên các khoảng ; 2 và 0;2 , đồ thị 
hàm số '( )y f x nằm dưới trục hoành chứng tỏ 
'( ) 0f x 
 Đồ thị hàm số '( )y f x cắt trục hoành tại 
các điểm có hoành độ 2, 0, 2x x x 
 chứng 
tỏ tại 2x , 0x và 2x thì '( ) 0f x . 
Ta có bảng biến thiên như sau: 
68 
Giao nhiệm vụ học tập Dự kiến kết quả hoạt động 
H1. Để xét tính đơn điệu và 
tìm cực trị của hàm số 
( )y f x ta cần làm gì?. 
H2. Từ đồ đồ thị hàm số 
'( )y f x em hãy nêu dấu 
của '( )f x 
H3. Hàm số đạt giá trị lớn 
nhất, nhỏ nhất tại đâu? 
Bài tập 2: Cho hàm số 
( )y f x liên tục trên và có 
đồ thị hàm số '( )y f x là 
đường cong như hình vẽ sau: 
a. Xét tính đơn điệu và tìm điểm 
cực trị của hàm số ( )y f x . 
 b. Tìm điểm 0x (nếu có) mà 
Vậy: Hàm số đồng biến trên các khoảng 2;0 
và 2; . 
Hàm số nghịch biến trên các khoảng ; 2 và 
 0;2 . 
Hàm số có hai điểm cực tiểu là 2x và một 
điểm cực đại là 0x . 
b. Từ bảng biến thiên và giả thiết 
( 2) (2)f f 
ta suy ra hàm số đạt giá trị nhỏ nhất 
tại 0 2x . 
Về giá trị lớn nhất của hàm số ta không đủ 
giả thiết để kết luận. vì: 
+ Nếu 
(0) lim ( )
(0) lim ( )
x
x
f f x
f f x
 thì hàm số không có 
giá trị lớn nhất. 
+ Nếu 
(0) lim ( )
(0) lim ( )
x
x
f f x
f f x
 thì hàm số đạt giá 
trị lớn nhất tại 0x . 
Trên các khoảng 2;1 và 1; đồ thị 
hàm số '( )y f x nằm trên trục hoành chứng tỏ 
'( ) 0f x 
Trên khoảng ; 2 , đồ thị hàm số 
'( )y f x nằm dưới trục hoành chứng tỏ '( ) 0f x 
 Đồ thị hàm số '( )y f x cắt trục hoành tại 
điểm có hoành độ 2x 
và tiếp xúc với trục 
hoành tại điểm có hoành độ 1x chứng tỏ tại 
2x và 1x thì '( ) 0f x . 
Ta có bảng biến thiên: 
x 
y 
4 
1 -1 0 -2 
69 
Giao nhiệm vụ học tập Dự kiến kết quả hoạt động 
tại đó hàm số đạt giá trị lớn nhất 
(nhỏ nhất). 
H1. Để xét tính đơn điệu và 
tìm cực trị của hàm số 
( )y f x ta cần làm gì?. 
H2. Từ đồ đồ thị hàm số 
'( )y f x em hãy nêu dấu 
của '( )f x 
H3. Hàm số đạt giá trị lớn 
nhất, nhỏ nhất tại đâu? 
Bài tập 3: Cho hàm số 
 y f x có đạo hàm liên tục 
trên và đồ thị hàm số 
 'y f x như hình vẽ sau: 
Xét tính đơn điệu và tìm cực 
trị của hàm số 
a. 3 2g x f x . 
b. 2( ) 2g x f x 
GV. Yêu cầu học sinh trả lời 
các câu hỏi. 
Dựa vào đồ thị đã cho em hãy 
cho biết; 
 ' 0 ?
'( ) 0 ?
'( ) ?
f x
f x
f x
 ' ?g x ' 0 ?g x 
x -2 1 
y' 0 + 0 
+ 
y 
yCT 
Vậy: 
 Hàm số đồng biến trên các khoảng 2; . 
Hàm số nghịch biến trên các khoảng ; 2 . 
Hàm số có một điểm cực tiểu là 2x và không 
có điểm cực đại. 
b. Từ bảng biến thiên ta suy ra hàm số đạt giá trị 
nhỏ nhất tại 
0 2x và hàm số không có giá trị 
lớn nhất 
Ta có: 
2
' 0 2
5
x
f x x
x
a. ' 2 ' 3 2g x f x 
5
23 2 2
1
' 0 ' 3 2 0 3 2 2
2
3 2 5
1
x
x
g x f x x x
x
x
70 
Giao nhiệm vụ học tập Dự kiến kết quả hoạt động 
Em hãy lập bảng biến thiên 
của hàm số y g x 
Đối với bài toán này, vấn đề 
khó khăn đối với học sinh đó 
là xét dấu 'g x . Vì vậy giáo 
viên phải hướng dẫn học sinh 
làm việc này như sau: 
Ta xét dấu 'g x trên một 
khoảng bất kỳ, ví dụ ta chọn 
1
0 1; ,
2
x 3 2.0 3 . Khi 
đó '(0) 2 '(3)g f mà dựa vào 
đồ thị hàm số '( )y f x ta có 
'(3) 0f (Vì 3 2;5 ) nên 
'(0) 0g . 
Vậy trên khoảng 
1
1; , '( ) 0
2
g x
Nhận thấy các nghiệm của 
g x là nghiệm đơn nên qua 
các nghiệm nghiệm 'g x đổi 
dấu. 
Bảng biến thiên: 
x 
 -1 1
2
 5
2
 'g x 0 0 0 
 g x 
Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng 
1 5
1; ; ;
2 2
 và nghịch biến trên các khoảng 
1 1
; 1 ; ;
2 5
. 
Hàm số đạt cực tiểu tại 
5
1; 
2
x x và đạt cực 
đại tại 
1
2
x . 
b. 2' 2 2g x xf x , kết hợp với đồ thị hàm số 
 y f x ta được: 
2
2 2
2
0
0
0 2 2
' 0 3
2 0 2 2
3
2 5
x
x
x x
g x x
f x x
x
x
Trong đó 0x 
là nghiệm bội 3 và hai nghiệm 
3; 3x x là các nghiệm đơn. 
Chọn 1 0; 3x , ta có ' 1 2.1. 3g f mà 
 3 0f 
vì 3 2;5 . Nên ' 1 0g suy ra 
 ' 0g x 
trên khoảng 0; 3 
Bảng biến thiên 
x 3 0 3 
 'g x 0 0 0 
71 
Giao nhiệm vụ học tập Dự kiến kết quả hoạt động 
 g x 
Dựa vào bảng biến thiên ta có: 
 Hàm số nghịch biền trên các khoảng 
 ; 3 ; 0; 3 và đồng biền trên các khoảng 
 3;0 ; 3; 
Hàm số đạt cực tiểu tại các điểm 
3; 3x x 
và đạt cực đại tại 0x . 
Hoạt động 3: Củng cố, rèn luyện 
Mục đích của hoạt động: Củng cố kĩ năng giải các bài toán liên quan đến đọc 
hiểu hàm số 
Phương thức tổ chức: Trình chiếu câu hỏi trắc nghiệm, hoạt động cá nhân 
Thời gian: 30 phút 
CHTN1: Cho hàm số ( )y f x liên trên và có đồ thị hàm số '( )y f x là đường 
cong như hình vẽ sau: 
Khẳng định nào sau đây đúng: 
A. Hàm số ( )y f x 
đồng biến trên khoảng ( ;0). 
B. Hàm số ( )y f x 
đồng biến trên khoảng ( ;2). 
C. Hàm số ( )y f x 
đồng biến trên khoảng (2; ). 
D. Hàm số ( )y f x đồng biến trên khoảng ( ; 1). 
Hướng dẫn giải 
Hàm số ( )y f x 
đồng biến trên những khoảng mà đồ thị hàm số '( )y f x 
nằm phía trên trục hoành. 
x 
y 
2 
2 
1 -1 0 
72 
Vậy hàm số y f x đồng biến trên các khoảng 1;1 và 2; . 
Chọn C 
 CHTN2: Cho hàm số ( )y f x liên trên và có đồ thị hàm số '( )y f x là đường 
cong như hình vẽ sau: 
Hàm số ( )y f x nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau? 
A. 1;0 B. 
; 1 C. 0;1 D. 1; 
Hướng dẫn giải 
Hàm số ( )y f x 
nghịch biến trên những khoảng mà đồ thị hàm số 
'( )y f x nằm phía dưới trục hoành. 
Vậy hàm số y f x nghịch biến trên các khoảng ; 1 
và 1;2 . 
Chọn B 
 CHTN 3: Cho hàm số ( )y f x liên trên và có đồ thị hàm số '( )y f x là đường 
cong như hình vẽ sau: 
Số điểm cực trị của hàm số y f x là: 
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 
Hướng dẫn giải 
Ta thấy đồ thị của 'y f x có 4 điểm chung với trục hoành nhưng chỉ cắt 
trục hoành tại hai điểm nên hàm số y f x chỉ có hai điểm cực trị. 
3 -1 x 
y 
0 4 1 2 
0 x 
y 
73 
 Chọn A 
CHTN 4: Cho hàm số ( )y f x xác định và liên tục trên R. Biết đồ thị của hàm số 
( )f x như hình vẽ. Tìm điểm cực tiểu của hàm số ( )y f x trên đoạn [0;3] ? 
A. 0x và 2.x B. 1x và 3.x C. 2.x D. 0.x 
Hướng dẫn giải 
0x 
là điểm cực tiểu của hàm số ( )y f x nếu kể từ trái qua phải, khi đi qua 
điểm 0x đồ thị của hàm số 'y f x đổi từ trạng thái nằm dưới trục hoành sang 
nằm trên trục hoành. 
Vậy trên đoạn [0;3] , hàm số ( )y f x chỉ có một điểm cực tiểu là 2.x 
Chọn C 
CHTN 5: Cho hàm số y f x xác định và liên tục trên  2;2 , có đồ thị của hàm 
số y f x như hình sau: 
 Tìm giá trị 0x để hàm số y f x đạt giá trị lớn nhất trên  2;2 . 
A. 0 2x . B. 0 1x . C. 0 2x . D. 0 1x . 
Hướng dẫn giải 
3 1 2 x 
y 
0 
-1 1 2 -2 
x 
y 
0 
74 
Dựa vào đồ thị của hàm số y f x ta có bảng biến thiên: 
x - 2 -1 1 2 
y' + 0 + 0 - 
y 
 f(1) 
Chọn D 
 CHTN 6: Cho hàm số y f x liên tục trên , có đồ thị f x như hình vẽ. 
y=f'(x)
O 2 x
y
Số điểm cực tiểu của hàm số 2 g x f x x là: 
 A. 1 B. 4 C. 3 D. 2 
Hướng dẫn giải 
Ta có 2 22 1 g x f x x g x x f x x . 
2 2
2
2
1
22 1 0
0 2 1 0 0
0
2
x
x
g x x f x x x x
f x x
x x
1
2
1
0
x
x
x
. Do đó 
2
2
2
2 1 0
0
0 2 1 0
2 1 0
0
x
f x x
g x x f x x
x
f x x
75 
2
2
2
1 1
2 2
2 1 0
00 1
1
211
22
0 10 2
x x
x x x x
xx x
x
xx
xx x
. 
Bảng biến thiên 
x 0 
1
2
1 
 g x 0 0 0 
 g x 
Vậy hàm số có 1 điểm cực tiểu. 
Chọn A 
Hoạt động 4: Vận dụng 
Thời gian: 35 phút 
Mục đích của hoạt động: 
- Học sinh vận dụng nhiều kiến thức để giải được các bài toán liên quan đến đọc 
hiểu hàm số 
Phương thức tổ chức: Hoạt động theo nhóm 
 - Chia HSthành 4 nhóm. 
 - Giáo viên trang bị cho mỗi nhóm một tờ giấy A2. 
 - Mỗi nhóm được giao giải quyết một nhiệm vụ. Giáo viên yêu cầu HSthực hiện 
theo nhóm trên phiếu học tập 
 - Đại diện các nhóm trình bày kết quả của nhóm mình, các nhóm còn lại nhận 
xét và bổ sung (nếu có). 
Giao nhiệm vụ học tập 
Nhóm 1: Giải bài tập 
Cho hàm số f x . Hàm số ' y f x có đồ thị như hình bên. Hàm số 
 21 2 g x f x x x nghịch biến trên khoảng nào dưới đây ? 
76 
x
y
– 2
4
1
– 2 O
A. 
3
1;
2
. B. 
1
0;
2
. C. 2; 1 . D. 2;3 . 
Nhóm 2: Giải bài tập 
 Cho hàm số bậc bốn ( )y f x có đồ thị của hàm số ( )y f x như hình vẽ 
sau: 
x
y
O-4 -2 2-3
-3
1
-1
-2
Hàm số 3 23 ( ) 6 9y f x x x x đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau 
đây? 
A. 0;2 . B. 1;1 . C. 1; . D. 2;0 . 
Nhóm 3: Giải bài tập 
 Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên và đồ thị hàm số 
 y f ' x như hình vẽ sau: 
77 
Số điểm cực trị của hàm số y f x 2021 2022x 2023 là. 
A. 3 B. 4 C. 1 D. 2 
Nhóm 4: Giải bài tập 
 Cho hàm số đa thức y f x có đạo hàm trên , 0 0f và đồ thị hình 
bên dưới là đồ thị của đạo hàm f x . 
Hỏi hàm số 3g x f x x có bao nhiêu cực trị? 
A. 4. B. 5. C. 3. D. 6. 
BÀI TẬP VỀ NHÀ: 
Cho hàm số bậc bốn y f x . Hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ sau: 
Xét tính đơn điệu và tìm điểm cực trị của hàm số: 2 2 2y f x x . 
x 
y 
-1 3 1 0 
78 
PHỤ LỤC 2: ĐỀ KIỂM TRA THỰC NGHIỆM 
ĐỐI TƯỢNG THỰC NGHIỆM: AK33 có 38 HS và D2K33 có 48 HS. 
ĐỐI TƯỢNG ĐỐI CHỨNG: D1K33 có 40 HS và D3K33 có 42 HS. 
Thời gian thực hiện: Tháng 10/ 2022 
Câu 1. (1 điểm) Cho hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ bên. 
Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng 
A. 1;0 . B. 2; 1 . C. 0;1 . D. 1;3 . 
Câu 2. (1 điểm) Cho hàm số 3 2y ax bx cx d , , ,a b c d có đồ thị như hình vẽ 
sau: 
Số điểm cực trị của hàm số này là: 
A. 3. B. 2. C. 0. D. 1. 
Câu 3. (1 điểm) Cho hàm số y f x có đồ thị là hình vẽ sau: 
0 
x 
y 
79 
Điểm cực tiểu của hàm số y f x là: 
A. 2x . B. 0x . C. 2x . D. 2y . 
Câu 4. (1 điểm) Cho hàm số y f x liên tục trên đoạn 1;2 và có đồ thị như 
hình vẽ 
Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số đã 
cho trên đoạn 1;2 . Ta có M m bằng 
A. 5 . B. 4 . C. 1 . D. 3 . 
Câu 5. (1 điểm) Cho hàm số 4 2 , ,f x ax bx c a b c . Đồ thị của hàm số 
 y f x như hình vẽ sau: 
y 
x 
2 
2 
-2 
0 
0 -1 
2 
3 
x 
y 
-2 
1 
1 
80 
Số nghiệm của phương trình 4 3 0f x là 
A. 2 B. 0 C. 4 D. 3 
Câu 6. (1 điểm) Cho hàm số ( )y f x liên tục trên và có đồ thị hàm số 
'( )y f x là đường cong như hình vẽ sau: 
Số điểm cực trị của hàm số ( )y f x là: 
A. 3. B. 2. C. 0. D. 1. 
Câu 7. (1 điểm) Cho hàm số ( )y f x liên tục trên và có đồ thị hàm số 
'( )y f x là đường cong như hình vẽ sau: 
Hàm số ( )y f x đồng biến trên khoảng nào sau đây? 
y 
x 
1 
1 -1 0 
-2 2 
x 
y 
0 
-2 2 
x 
y 
0 
81 
A. ( ; 2). B. (0; ). C. ( 2;0). D. ( 2;2). 
 Câu 8. (1 điểm) Cho hàm số ( )y f x liên tục trên và có đồ thị hàm số 
'( )y f x là đường cong như hình vẽ sau: 
Số điểm cực đại của hàm số ( )y f x là: 
 A. 3 B. 2 C. 0 D. 1 
 Câu 9. (1 điểm) Cho hàm số ( ) y f x . Hàm số '( ) y f x có đồ thị như hình sau: 
Đặt 1g x f x . Kết luận nào sau đây đúng? 
A. Hàm số g x đồng biến trên khoảng 3;4 . 
B. Hàm số g x đồng biến trên khoảng 0;1 . 
C. Hàm số g x nghịch biến trên khoảng 2; . 
D. Hàm số g x nghịch biến trên khoảng 4;6 . 
Câu 10. (1 điểm) Cho hàm số y f x xác định và liên tục trên có đồ thị như 
hình vẽ. 
2 
x 
y 
2 
-2 
-6 
0 
82 
Hàm số 2 2 4g x f x x có bao nhiêu điểm cực tiểu? 
A. 1. B. 3 . C. 2 . D. 4 . 
Đáp án: 
Câu 1 Câu 2 Câu 3 Câu 4 Câu 5 Câu 6 Câu 7 Câu 8 Câu 9 Câu 10 
A B C A C A A B B B 
Đáp án chi tiết câu 9: 
 1g x f x . 
Ta có: 1g x f x 
Hàm số g x đồng biến 
1 5 4
0 1 0
1 1 3 0 2
x x
g x f x
x x
. 
Hàm số g x nghịch biến 
3 1 5 2 4
0 1 0
1 1 0
x x
g x f x
x x
. 
Vậy hàm số g x đồng biến trên khoảng 0;2 ; 4; và nghịch biến 
trên khoảng 2;4 ; ;0 . 
Đáp án chi tiết câu 10: 
Ta có: 22 1 2 4g x x f x x . 
2
2
1
0 1 2 4 0
2 4 0
x
g x x f x x
f x x
x 
y 
-2 0 
83 
2
2
1
1 31
2 4 2 1 3
2 4 0 1 5
1 5
x
xx
x x x
x x x
x
 (Tất cả đều là nghiệm bội lẻ). 
Ta chọn 2x để xét dấu của g x : 2 2. 3 . 4g f . 
Vì hàm số y f x đồng biến trên khoảng 0; do đó: 4 0f . 
Suy ra: 2 0g . 
Theo tính chất qua nghiệm bội lẻ g x đổi dấu, ta có bảng xét dấy g x 
như sau: 
x 1 5 1 3 1 1 3 1 5 
 g x 0 0 0 0 0 
Từ bảng xét dấu, suy ra hàm số y g x có 3 điểm cực tiểu. 
84 
BẢNG KÊ CÁC KÍ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT TRONG ĐỀ TÀI 
CÁC KÍ HIỆU TOÁN HỌC TỪ VIẾT TẮT 
 : với mọi 
Min : giá trị nhỏ nhất 
GTNN : giá trị nhỏ nhất 
Max : giá trị lớn nhất 
GTLN : giá trị lớn nhất 
 : tương đương 
 : suy ra ( kéo theo) 
≠ : dấu khác 
≥ : không âm 
= : dấu bằng 
GV: giáo viên 
HS: học sinh 
HSG: học sinh giỏi 
PPDH: phương pháp dạy học 
VP : vế phải 
THTT : toán học tuổi trẻ 
TN THPT: tốt nghiệp trung học phổ thông 
KSCL: Khảo sát chất lượng