Sáng kiến kinh nghiệm Một số dạng bài tập áp dụng đại số tổ hợp trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 6

 lại có khối lượng là số chia hết cho 5 dư 2, đó là hòm 327 kg.
Bài 2: 31 người
Bài 3: Gọi số phần trăm học sinh thích cả hai môn là x. Số phần trăm học sinh thích ít nhất một trong hai môn là: 90 + 60 – x hay 150 – x
Ta có: 150 – x ≤ 100
Do đó x ≥ 50. Vậy có ít nhất 50% số học sinh thích cả hai môn (chú ý rằng có thể có học sinh không thích môn nào).
Bài 4: Lập luận thử các trường hợp có thể lấy đến 9 viên bị vẫn không thỏa mãn yêu cầu, còn lấy 10 viên bi thì chắc chắn đạt yêu cầu.
3.1.e2. Áp dụng đại số tổ hợp trong hình học: Tìm số phần tử của tập hợp (Số điểm, số cạnh, số đường thẳng, số đoạn thẳng ...)
	Để đếm số điểm, số đường thẳng, số đoạn thẳng, trong nhiều trường hợp ta không thể đếm trực tiếp mà phải dùng lập luận.
Bài toán 1: a) Cho 100 điểm trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Cứ qua hai điểm ta vẽ một đường thẳng. Có tất cả bao nhiêu đường thẳng?
 b) Cũng hỏi như câu a nếu trong 100 điểm đó có đúng ba điểm thẳng hàng.
	Bài giải:
	a) Chọn một điểm. Qua điểm đó và từng điểm trong 99 điểm còn lại, ta vẽ được 99 đường thẳng. Làm như vậy với 100 điểm, ta được 99.100 đường thẳng. Nhưng mỗi đường thẳng đã được tính hai lần, do đó tất cả chỉ có 99.100:2 = 4950 đường thẳng.
	Chú ý: tổng quát, nếu có n điểm trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng thì số đường thẳng có là: n.(n – 1) : 2
	b) Giả sử không có ba điểm nào thẳng hàng thì có 4950 đường thẳng. Vì có ba điểm thẳng hàng nên số đường thẳng giảm đi: 3 – 1 = 2 (nếu ba điểm không thẳng hàng thì vẽ được 3 đường thẳng, nếu ba điểm thẳng hàng thì chỉ vẽ được 1 đường thẳng). Vậy có tất cả: 4950 = 2 = 4948 đường thẳng.
Bài toán 2: Trên mặt phẳng có bốn đường thẳng. Số giao điểm của các đường thẳng có thể bằng bao nhiêu?
	Bài giải:
	Ta xét các trường hợp sau:
	Trường hợp 1: Bốn đường thẳng đồng quy: có 1 giao điểm (H.1a)
	Trường hợp 2: Có đúng ba đường thẳng đồng quy:
Có hai đường thẳng song song: 3 giao điểm (H.1b)
Không có hai đường thẳng nào song song: 4 giao điểm (H.1c)
	Trường hợp 3: Không có ba đường thẳng nào đồng quy:
Bốn đường thẳng song song: 0 giao điểm ( H.2a)
Có đúng ba đường thẳng song song: 3 giao điểm (H.2b)
Có hai cặp đường thẳng song song: 4 giao điểm (H.2c)
Có đúng một cặp đường thẳng song song: 5 giao điểm (H.2d,e)
Không có hai đường thẳng nào song song: 6 giao điểm (H.2g)
Bài toán 3: Cho n điểm (n ≥ 2). Nối từng cặp hai điểm trong n điểm đó thành các đoạn thẳng.
	a) Hỏi có bao nhiêu đoạn thẳng nếu trong n điểm đó không có ba điểm nào thẳng hàng?
	b) Hỏi có bao nhiêu đoạn thẳng nếu trong n điểm đó có đúng ba điểm đó thẳng hàng
	c) Tính n biết rằng có tất cả 1770 đoạn thẳng?
	Bài giải:
	a) Chọn một điểm. Nối điểm đó với từng điểm trong n – 1 điểm còn lại, ta vẽ được n – 1 đoạn thẳng. Làm như vậy với n điểm, ta được n(n – 1) đoạn thẳng. Như mỗi đoạn thẳng đã được tính hai lần, do đó tất cả chỉ có n ( n – 1) : 2 đoạn thẳng.
	b) Tuy trong hình vẽ có ba điểm thẳng hàng, như số đoạn thẳng phải đếm vẫn không thay đổi, do đó vẫn có n.(n – 1):2 đoạn thẳng.
	c) Ta có: n.(n – 1) : 2 = 1770. Suy ra: n = 60.
Bài tập tự luyện:
Bài 1: Cho 10 điểm trên mặt phẳng, không có ba điểm nào thẳng hàng. Cứ qua hai điểm, ta kẻ một đường thẳng. Có tất cả bao nhiêu đường thẳng?
Bài 2: Có n điểm trên mặt phẳng. Kẻ các đoạn thẳng nối hai trong n điểm ấy. Có tất cả 91 đoạn thẳng. Tính số n.
Bài 3: Vẽ n tia chung gốc. Có bao nhiêu góc trên hình vẽ?
Bài 4: Cho n tia chung gốc tạo thành tất cả 153 góc. Tính n
Bài 5: Có bao nhiêu cách gọi tên hình vuông ABCD?
Bài 6: Cho hình vuông kích thước 4x4. Trên hình vẽ:
	a) Có bao nhiêu hình chữ nhật (kể cả hình vuông).
	b) Có bao nhiêu hình vuông.
Bài 7: Có 12 điểm trên mặt phẳng trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Hai điểm bất kì nào cũng được nối với nhau bởi một đoạn thẳng. Có bao nhiêu tam giác có đỉnh là 3 trong 12 điểm nói trên?
Bài 8: Cho góc xAy (khác góc bẹt). Trên tia Ax lấy 6 điểm khác A, trên tia Ay lấy 5 điểm khác A. Trong 12 điểm nói trên kể cả điểm A hai điểm nào cũng được nối với nhau thành một đoạn thẳng. Có bao nhiêu tam giác mà các đỉnh là 3 trong 12 điểm ấy.
Bài 9: Cho 100 điểm trong đó có đúng bốn điểm thẳng hàng, ngoài ra không có ba điểm nào thẳng hàng. Cứ qua hai điểm ta vẽ một đường thẳng. Hỏi có tất cả bao nhiêu đường thẳng.
Bài 10: Cho n điểm trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Cứ qua hai điểm ta vẽ một đường thẳng. Biết rằng có tất cả 105 đường thẳng. Tính n.
Gợi ý + đáp số:
Bài 1: có 10.9:2 = 45 (đường thẳng).
Bài 2: Ta có: n(n-1): 2 = 91 nên n(n – 1) = 91.2= 182
	Mà 182 = 2.7.13 = 13.14
	Vậy n = 14
Bài 3: Có n ( n – 1): 2 góc
Bài 4: Ta có: n(n – 1):2 = 153. Từ đó tìm được n = 18
Bài 5: Có 4 cách gọi tên đỉnh đầu tiên.
	Với mỗi cách trên, có hai cách gọi tên ba đỉnh còn lại (chẳng hạn nếu A là đỉnh đầu tiên thì có hai cách gọi tên ba đỉnh còn lại là BCD hoặc DCB.
	Vậy có tất cả: 4.2 = 8 cách.
Bài 6: a) Có 100 hình chữ nhất
	b) Hình vuông cạnh 1 có 16 hình, cạnh 2 có 9 hình, cạnh 3 có 4 hình, cạnh 4 có 1 hình.
	Vậy tất cả có: 30 hình.
Bài 7: Số tam giác là: 12.11.10 : 3! = 220.
Bài 8: Số cách chọn 3 trong 12 điểm là: 12.11.10 : 3! = 220. Số bộ 3 điểm thẳng hàng trong 7 điểm thuộc tia Ax là: 7.6.5 : 3! = 35. Số bộ 3 điểm thẳng hàng trong 6 điểm thuộc tia Ay là: 6.5.4 : 3! = 20.
	Vậy có tất cả: 220 – 35 – 20 = 165 tam giác.
Bài 9: có 4945 đường thẳng.
Bài 10: Ta có: n.(n – 1) : 2 = 105 suy ra n = 15.
3.1.e3. Áp dụng đại số tổ hợp giải các bài toán có nội dung thực tế:
Bài toán 1: Có một số con mèo chui vào chuồng bồ câu. Người ta đếm trong chuồng bồ câu thấy tổng cộng có 34 cái đầu và 80 cái chân. Tính số mèo.
	Bài giải:
	Giả sử mỗi con mèo vào chuồng đều dấu đi 2 chân
	Khi đó có: 34 . 2 = 68 chân
	Số chân mèo bị dấu đi là 80 – 68 = 12 chân
	Số mèo có là: 12 : 2 = 6 con
Bài toán 2: Một ô tô có 8 chỗ kể cả chỗ của người lái xe. Có bao nhiêu cách xếp chỗ 8 người trên xe, biết rằng trong đó có hai người biết lái xe.
	Bài giải:
	Ở chỗ người lái xe, có 2 cách xếp
	Ở 7 chỗ còn lại có 7! = 5040 cách xếp
	Do đó có 2.5040 = 10080 cách xếp
Bài toán 3: Có hai cặp bạn ngồi trên một ghế băng có bốn chỗ để chụp ảnh. Có bao nhiêu cách sắp xếp sao cho hai người cùng cặp phải ngồi cạnh nhau.
	Bài giải:
	Có 4 cách xếp vị trí số 1
	Ứng với mỗi cách, có 1 cách xếp ở vị trí số 2
	Ứng với mỗi cách, có 2 cách xếp ở vị trí số 3.
	Ứng với mỗi cách, có 1 cách xếp ở vị trí số 4.
	Vậy có tất cả: 4.1.2.1 = 8 cách xếp
Bài toán 4: Có bao nhiêu cách sắp xếp năm bạn A, B, C, D, E ngồi trên một ghế dài sao cho A và B phải ngồi cạnh nhau?
	Bài giải:
Cách 1: Bốn cặp vị trí mà hai bạn A và B ngồi cạnh nhau là (1; 2); (2, 3); (3, 4); (4,5)
	Ứng với mỗi cặp vị trí đó, có 2 cách xếp A và B, có 3! Cách xếp ba bạn còn lại, nên có 2.3! = 12 cách xếp.
	Vậy có tất cả: 4.12 = 48 cách xếp năm người mà A và B ngồi cạnh nhau.
Cách 2: Không xét A và B thì ba người còn lại có 3! Cách xếp chỗ trên ghế dài
	Khi A và B ngồi vào ghế và ngồi cạnh nhau, họ ngồi vào một trong bốn chỗ trống (mỗi chỗ trống ghi bởi một mũi tên ở hình vẽ dưới đây) mỗi chỗ trống có 2 cách xếp A và B
	Vậy tất cả có: 3!.4.2 = 48 cách xếp
Bài toán 5: Có bao nhiêu cách sắp xếp năm bạn A, B, C, D, E ngồi chung quanh một bàn tròn sao cho A và B phải ngồi cạnh nhau?
	Bài giải:
	Không xét A và B thì ba người còn lại có 2! Cách xếp chỗ quanh bàn tròn.
	Khi A và B ngồi vào bàn cạnh nhau, họ ngồi vào một trong ba chỗ trống. Mỗi chỗ trống có 2 cách xếp A và B
	Vậy có tất cả: 2.3.2 = 12 cách xếp
Bài toán 6: Một nhóm 5 bạn gồm ba nam và hai nữ xếp thành một hàng ngang để chụp ảnh, sao cho hai bạn nữ không đứng cạnh nhau. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp?
	Bài giải:
Cách 1: Số cách xếp năm bạn thành hàng ngang là 5! = 120 cách
	Ta xét xem có bao nhiêu cách sắp xếp năm bạn mà hai bạn nữ đứng cạnh nhau. 
	Có bốn cập vị trí mà hai bạn nữ đứng cạnh nhau
Ứng với mỗi vị trí đó, có 2 cách xếp hai bạn, có 3! Cách xếp ba bạn còn lại nên có:
 2.3! = 12 cách xếp
 Vậy có 4.12 = 48 cách xếp
	Do đó số cách xếp năm bạn mà hai bạn nữ không đứng cạnh nhau là:
	120 – 48 = 72 cách xếp.
Cách 2: Có 6 cặp vị trí mà hai bạn nữ không đứng cạnh nhau là (1,3); (1,4); (1, 5); (2, 4); (2, 5); (3; 5).
	Trong mỗi cặp vị trí đó, có 2 cách xếp hai bạn nữ, có 3! Cách xếp ba bạn nam nên có:
	2.3! = 12 cách xếp
	Vậy số cách xếp năm bạn mà hai bạn nữ không đứng cạnh nhau là:
	6.12 = 72 cách xếp.
Bài toán 7: Bạn Thúy có 6 tấm ảnh khác nhau. Thúy muốn chọn ba tấm ảnh đem tặng bạn. Thúy có bao nhiêu cách chọn?
	Bài giải:
	Số cách chọn là số tổ hợp chập 3 của 6 phần tử
	Vậy có tất cả: 6.5.4 : 3! = 20 cách chọn.
Bài toán 8: Một tổ có 10 người. Có bao nhiêu cách lập nhóm ba người để làm nhiệm vụ trực nhật?
	Bài giải:
	Số cách lập nhóm là số tổ hợp chập 3 của 10 phần tử
	Vậy có tất cả: 10.9.8 : 3! = 120 cách chọn
Bài toán 9: Một tổ học sinh có 5 nam, 3 nữ. Có bao nhiêu cách lập nhóm 5 người gồm 3 nam, 2 nữ?
	Bài giải:
	Số cách chọn 3 bạn nam trong 5 bạn nam là: 5.4.3 : 3! = 10 cách chọn
	Số cách chọn 2 bạn nữ trong 3 bạn nữ là 3
	Vậy có tất cả: 10.3 = 30 cách chọn.
Bài toán 10: Tâm có 5 tờ tiền mệnh giá 2000 đồng và 4 tờ tiền mệnh giá 5000 đồng. Tâm có bao nhiêu cách khác nhau để trả tiền bằng cách dùng một hoặc cả hai loại tiền trên?
	Bài giải:
	Tâm có 6 cách chọn tờ tiền mệnh giá 2000 đồng (chọn 0, 1, 2, 3, 4, 5 tờ), có 5 cách chọn tờ tiền mệnh giá 5000 đồng nên có 6.5 = 30 cách chọn
	Loại đi cách chọn 0 tờ tiền 2000 đồng và 0 tờ tiền 5000 đồng nên có tất cả 
	30 -1 = 29 cách chọn.
Bài tập tự luyện:
Bài 1: Có chín đội bóng tham dự một giải bóng đá, mỗi đội phải đấu hai trận với mỗi đội khác (ở sân nhà và ở sân khách). Có tất cả bao nhiêu trận đấu?
Bài 2: Có hai viên bi đỏ giống nhau và 8 viên bi xanh giống nhau. Có bao nhiêu cách xếp thành một hàng gồm cả 10 viên bi ấy?
Bài 3: Ở một bến cảng có 15 con tàu, mỗi con tàu có 3 cột buồm hoặc 5 cột buồm, tổng cộng có 68 cột buồm. Hỏi có bao nhiêu con tàu có 5 cột buồm?
Bài 4: Đội tuyển của một trường tham dự một cuộc thi đấu được chia đều thành 6 nhóm, mỗi học sinh dự thi đạt 8 điểm hoặc 10 điểm. Tổng số điểm của cả đội là 160 điểm. Tính số học sinh đạt điểm 10?
Bài 5: Có 64 bạn tham gia giải bóng bàn theo thể thức đấu loại trực tiếp. Những người được chọn ở mỗi vòng chia thành từng nhóm hai người, hai người trong nhóm đấu với nhau một trận để chọn lấy một người. Tìm số trận đấu ở: 	
 a) Vòng 1 b) Vòng 5
Gợi ý + đáp án:
Bài 1: có tất cả: 9.8 = 72 (trận đấu)
Bài 2: Chỉ cần xem có bao nhiêu cách xếp 2 bi đỏ ở 10 vị trí, đó là tổ hợp chập 2 của 10 phần tử.
 (Đáp số: có 45 cách xếp).
Bài 3: có 8 con tàu có 5 cột buồm
Bài 4: Giải bằng phương pháp giả thiết tạm, tìm được số học sinh đạt điểm 10 là 8 học sinh
Bài 5: a)Vòng 1 có: 64 : 2 = 32 trận b)Vòng 5 có: 64 : 25 = 2 trận
3.2.Thực hiện giảng dạy theo phương pháp mới là hướng người học làm trung tâm.
Trong giảng dạy, tôi luôn đổi mới phương pháp, lấy học sinh làm trung tâm. Tôi luôn quan tâm đến việc làm như thế nào để phát huy ở học sinh tính tự giác tích cực sáng tạo, độc lập chủ động trong quá trình tìm tòi và chiếm lĩnh tri thức mới. Trong mỗi buổi ôn tập phải làm sao cho các em học sinh có cơ hội làm việc thật nhiều, tự tìm ra những dạng bài và tìm cách giải các dạng bài đó, nên giảm bớt vị trí công việc của người giáo viên trên lớp – giáo viên chỉ đóng vai trò như một người “trọng tài” chốt lại những kiến thức mà các em vừa khám phá ra, tránh tình trạng dạy học áp đặt “Thầy giảng còn trò chỉ biết lắng nghe và làm theo” sẽ làm cho các em thụ động trong quá trình tiếp thu bài, không khắc sâu được kiến thức cho học sinh.
3.3. Thường xuyên động viên, khuyến khích học sinh trong quá trình giảng dạy trên lớp để các em thêm tự tin, hứng thú học tập. 
 Với mỗi bài giải đúng hoặc các em có cách giải hay, tìm ra dạng bài tập mới tôi thường khen và tặng điểm các em tự tin và tạo hứng thú trong buổi học. Với những học sinh còn chưa hiểu hoặc chưa tích cực tôi chú ý giảng kỹ hơn với riêng em và động viên để em cố gắng hơn. Với các nhóm hoàn thành tốt nhiệm vụ tôi luôn có phần quà nhỏ để khuyến khích các em trong các hoạt động tiếp theo.
4. Kết quả thực hiện
           Việc vận dụng sáng kiến kinh nghiệm này đã mang lại nhiều hiệu quả trong việc giải các bài toán có liên quan và các bài toán thuộc dạng này. Phần đông các em đều có hứng thú giải các bài tập nếu như bài tập có phương pháp giải hoặc vận dụng các phương pháp giải của một loại toán khác và giải.
           Đối với học sinh đại trà thì việc học của các em chỉ dừng lại ở phạm vi sách giáo khoa, sách bài tập chính khóa. Còn đối với dạng toán này thì các em học sinh khá, giỏi không những áp dụng được vào cấp học mà các em còn vận dụng vào toán THPT rất nhiều, phục vụ cho các cấp học cao hơn.
         Kết quả: Qua thời gian tham gia giảng dạy và thử nghiệm sáng kiến kinh nghiệm của mình tôi đã đạt được một số kết quả nhất định. 
       Qua các lần khảo sát năm học 2014 – 2015 và học kì 2 năm học 2015- 2016 có kết quả như sau:
Số H/S
Giỏi
Khá
Trung Bình
Yếu
Lần 1
28
8 =  28,6%
10 = 35,7%
9 = 28,6 %
2 = 7,1%
Lần 2
28
8 = 28,6 %
12 = 42,6%
7 = 25 %
1 = 3,6%
Lần 3
28
10 = 35,7%
13 = 46,4%
5 = 17,6%
0
                
PHẦN THỨ BA
KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
1. Kết luận: 
Là một giáo viên trẻ, kinh nghiệm giảng dạy chưa nhiều, tôi nhận thấy bản thân phải thường xuyên tìm hiểu, tích lũy kinh nghiệm qua thực tế giảng dạy là những bài toán hay, sáng tạo trong việc dạy và học nhằm phát huy tính tích cực , chủ động, yêu thích học toán của học sinh. Đặc biệt là sự vận dụng linh hoạt của học sinh trong đội tuyển học sinh giỏi các khối, lớp. Từ việc nghiên cứu lý luận và qua thực tiễn giảng dạy làm việc với học sinh khá, giỏi và học sinh đại trà tôi nhận thấy việc hệ thống các các dạng bài tập áp dụng về đại số tổ hợp rất hữu ích đối với cả người dạy và người học. Từ đó giúp giáo viên có được hệ thống phương pháp và giúp các em học sinh dễ dàng nghiên cứu học tập dạng toán này.                  
2.Kiến nghị:
Qua đề tài này tôi đã trình bày lượng kiến thức trong một phạm vi nhỏ nên có thể  còn nhiều khiếm khuyết mong được các đồng nghiệp  đóng góp ý kiến giúp tôi hoàn thiện đề tài, từ đó có thể áp dụng rộng rãi trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán.
Tôi xin trân trọng cảm ơn!
TÀI LIỆU THAM KHẢO
Vũ Hữu Bình: Nâng cao và phát triển Toán 7 – NXB Giáo dục Việt Nam
Vũ Hữu Bình – Tôn Thân – Đỗ Quang Thiều: Toán bồi dưỡng học sinh lớp 6 – NXB giáo dục Việt Nam
Vũ Hữu Bình – Nguyễn Tam Sơn: Tài liệu chuyên Toán THCS Toán 6 – Số học – NXB Giáo dục Việt Nam.
Vũ Hữu Bình – Đàm Hiếu Chiến: Tài liệu chuyên Toán THCS Toán 6 – hình học – NXB giáo dục Việt Nam.
Vũ Hữu Bình – Đàm Hiếu Chiến: Tài liệu chuyên Toán THCS Toán 7 – đại số – NXB giáo dục Việt Nam.
Nguyễn Vũ Thanh: chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán THCS – Số học – NXB giáo dục Việt Nam.
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
Một số dạng bài tập áp dụng đại số tổ hợp trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 6
Lĩnh vực / Môn: Toán
Cấp học : THCS
Năm học 2015 – 2016