Sáng kiến kinh nghiệm Một số biện pháp nhằm rèn kỹ năng giải toán chia hết cho học sinh lớp 6

ình thàng kỹ năng giải toán chia hết cho các em một cách có nền tảng.
a) Dạng 1: Dạng toán điền vào * để được số chia hết cho một số.
Bài toán 1: Điền vào * để số 35* 
chia hết cho 2
chia hết cho 5
chia hết cho cả 2 và 5
Đây là dạng toán hết sức cơ bản. khi gặp dạng toán này thì đương nhiên giáo viên phải cho học sinh tái hiện lại dấu hiệu chia hết cho 2, cho 5 và số như thế nào chia hết cho cả 2 và 5.
	a) ó 
	b) 
	c) và 5 
Bài toán 2: Điền vào * để
	a) 
	b) 
Tương tự như bài toán 1 học sinh có thể vận dụng trực tiếp dấu hiệu chia hết cho 3 và cho 9 để làm 
	a) 
	b) 
b) Dạng 2: Tìm các chữ số chưa biết của một số:
Bài toán 3: Tìm chữ số a, b sao cho chia hết cho đồng thời 2,3,5,9
Lập luận: Đầu tiên phải đề cập đến chia hết cho 2 và 5 vì nó liên quan đến chữ số tận cùng
	 Sau đó, khi đã có chữ số tận cùng, ta xét tổng các chữ số vì nó liên quan đến chia hết cho 9. Ở đây ta không cần quan tâm đến chia hết cho 3, vì số chia hết cho 9 thì đương nhiên chia hết cho 3.
(Vì a là chữ số hàng nghìn nên số 0 không có nghĩa)
Vậy a= 9; b= 0 thì chia hết cho đồng thời 2,3,5,9
Bài toán 4: Tìm chữ số a, b sao cho và a – b = 4
Lập luận	
Mà điều kiện a – b = 4 nên ta loại a + b = 3. Từ a –b = 4 và a + b = 12
ta tìm được a = 8; b = 4
Bài toán 5: cho số 
	a) Tìm a để 
	b) Trong các số vừa tìm được của a có giá trị nào làm cho số không ?
	Hướng dẫn
	a) Tính tổng các chữ số của ta được 
	 do đó 
	b) với a = 0 thì số 76023 có 
	(7 + 0 + 3) – (6 + 2 ) = 2 11
	Tương tự với a = 9 ta có 
	(7 + 9 + 3) – ( 6 + 2) = 11 11
Vậy a= 9 thì 
Bài toán 6: Tìm a, b sao cho chia hết 3 và 4
	Hướng dẫn 
	Lập luận chia hết cho 4 trước ta được a = 2 và a = 6
	+ Thay a = 2 vào ta được . Xét tiếp dấu hiệu chia hết cho 3 bằng cách tính tổng các chữ số.
	Lập luận tương tự với a = 6 ta được 
Bài toán 7: Thay các chữ số x, y bằng chữ số thích hợp để cho 
	a) Số chia hết cho 5, cho 25, cho 125
	b) Số chia hết cho 2, cho 4, cho 8
	Hướng dẫn
	b) vì chữ số tận cùng là số chẵn
	 Hoặc 
Bài toán 8:Tìm các chữ số a và b sao cho chia hết cho 5 và 8
"Để tìm được a và b ta phải thấy được hai dấu hiệu cơ bản đó là số đó chia hết cho 5 và 8
Vì chia hết cho 5 nên b=0 hoặc b=5 và chia hết cho 8 nên suy ra b=0
Mặt khác , chia hết cho 8 nên chia hết cho 4 khi chia hết cho 4 suy ra a {0;2;4;6;8}. Ta có chia hết cho 8 khi chia hết cho 8 nên a=2 hoặc a=6. Vậy nếu a=2 thì b=0 và nếu a=6 thì b=0 nên số cần tìm là 1920 và 1960
Bái toán 9: Chữ số a là bao nhiêu để chia hết cho cả 3 và 8
vì 8 8 100a + 96 8 suy ra 100a8 
vậy a là số chẵna Î{ 2, 4, 6, 8} (1).
vì 3 (a + a + a + a + a + 9 + 6 ) 3 5a + 15 3 
mà 153 5a3
mà (5, 3) = 1	
Suy ra a 3 vậy a Î{ 3, 6 ,9} (2). 
Từ (1) và (2 ) suy ra a = 6
KL: Vậy số phải tìm là 6666696.
Bài toán 10: Tìm chữ số a để 11
HD: tổng các chữ số hàng lẻ là 2 + a .Tổng các chữ số hàng chữ là 2a.
* Nếu 2a ³ a + 2 a ³ 2 thì 2a – (a + 2) = a -2 £ 9 – 2 = 7
mà (a - 2) 11 nên a - 2 = 0 a = 2 
* Nếu 2a £ a + 2 a < 2 thì (a + 2) - 2a = 2 - a mà 2 hoặc là 1 không chia hết cho 11.Vậy a=2
Bài toán 11:Tìm x để chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 9
	Hướng dẫn
	Vì nên 
Từ đó ta được x = 24; x = 30
c) Dạng 3: Chứng minh chia hết đối với biểu thức số
Bài toán 12: Tổng (hiệu) sau có chia hết cho 9 không?
1251+5316
5436-1234
1.2.3.4.5.6 + 27
Hướng dẫn: dựa vào dấu hiệu chia hết cho 9 để lập luận
Bài toán 13: Cho M = 7.9.11.13 + 2.3.4.7
	 N = 16 354 + 675 41
Chứng tỏ rằng: M chia hết cho 3
 N chia hết cho 5
Ta có: 7.9.11.13 3( vì )
 2.3.4.7 3 (vì 3 3)
7.9.11.13 + 2.3.4.7 3
Vậy M chia hết cho 3
Ta có giá trị của tổng 16 354 + 67 541 có chữ số tận cùng là 5 nên chia hết cho 5
Vậy N chia hết cho 5
Bài toán 14: Cho A= 2.4.6.8.10 + 40
Chứng tỏ rằng: a) A chia hết cho 8
 b) A chia hết cho 5
	Hướng dẫn
	a) Dựa vào tính chất chia hết của một tổng ta lập luận
2.4.6.8.10 ( vì tích có chứa thừa số 8)
Vậy A chia hết cho 8
b) Tương tự ( vì 10 chia hết cho 5)
Bài toán 15: Chứng minh rằng và 5 
Hướng dẫn: Theo đề bài ta suy ra chữ số tận cùng (CSTC) của từng lũy thừa trong bài 
995 – 984 + 973 – 962 =9 - 6 +3 – 6 = 0 
Biểu thức đã cho có giá trị chứa CSTC là 0 nên chia hết cho 2 và 5
Vậy và 5
d) Dạng 4: Chứng minh tổng, tích các số liên tự nhiên liên tiếp chia hết cho một số
Để làm dạng toán này ta áp dụng phương pháp chứng minh quy nạp. Tuy nhiên, khi dạy lớp 6 ta không cần phải nói khó hiểu mà chỉ dạy cho các em xét các trường hợp bẳng mệnh đề: “ Nếuthì ”. Mặt khác nếu ngay lớp 6 các em được làm dạng bài tập này thì rất thuận tiện để các em làm dạng toán chia hết ở các lớp trên. Nếu không, các em sẽ cảm thấy kiến thức chia hết rất lạ, rất xa vời khi lên lớp 7,8,9 gặp bài toán mà sử dụng kiến thức đáng lí ra phải được chứng minh ở lớp 6.
Bài toán 16: Chứng tỏ rằng tích hai số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 2.
Gv cần gợi mở rằng: ở đây ta chứng minh bài toán trên đúng với mọi cặp giá trị liên tiếp trong N, chứ không phải chỉ cần chỉ ra một hoặc hai cặp giá trị là đủ mà phải đi chứng minh đúng dưới dạng tổng quát.
Gọi hai số tự nhiên liên tiếp là: a, a+1
Nếu a 2 thì bài toán đã được giải
Nếu a 2 thì a chia 2 dư 1
Ta có a= 2k + 1.
 a + 1 = 2k + 1 + 1 
 = 2k + 2 2
Vậy trong hai số tự nhiên liên tiếp bao giờ cũng có một số chia hết cho 2.Cho nên tích hai số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 2
Bài toán 17: Chứng minh tích ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 3.
Gọi ba số tự nhiên liên tiếp là a, a+1, a+2 
Nếu a 3 thì bài toán đã được giải
Nếu a = 3k+1(nghĩa là a chia 3 dư 1) thì lúc đó 
Ta có a+2= 3k+1+2 = 3k+3 3
Nếu a= 3k+2 (nghĩa là a chia 3 dư 2) thì lúc đó
 Ta có a+1= 3k+2+1
 = 3k+3 3
Vậy trong ba số tự nhiên liên tiếp bao giờ cũng có một số chia hết cho 3.
Cho nên tích ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 3
Bài toán 18: Chứng minh rằng tổng ba số tự nhiên liên tiếp là một số chia hết cho 3 nhưng tổng của bốn số tự nhiên liên tiếp thì không chia hết cho 4
Gọi ba số tự nhiên liên tiếp n, n+1, n+2
Tống của chúng là: n + n+1 + n+2 = 3n +3 3
Vậy tổng ba số tự nhiên liên tiếp là một số chia hết cho 3
Tương tự tổng của bốn số tự nhiên liên tiếp là: 4n + 6 4(vì 64)
 Vậy tổng của bốn số tự nhiên liên tiếp không chia hết cho 4 
Bài toán 19: Chứng minh rằng tích hai số chẵn liên tiếp chia hết cho 8
Gọi hai số chẵn liên tiếp là 2n, 2n+2 (nN)
Tích 2n.(2n+2) = 2.n.2.(n+1)
 = 4.n.(n+1)
 Ta có n.(n+1) là tích hai số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 2( theo bài toán 16)
Vì thế 4.n.(n+1) 8
Vậy tích hai số chẵn liên tiếp chia hết cho 8
Bài toán 20: Chứng minh rằng tích ba số chẵn liên tiếp chia hết cho 48
Gọi ba số chẵn liên tiếp là 2n, 2n +2, 2n +4 ((nN)
Tích 2n.(2n+2).(2n+4) = 2.n.2(n+1).2(n+2)
 = 8.n.(n+1).(n+2)
Ta có n.(n+1) là tích hai số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 2( theo bài toán 16)
Ta có n.(n+1).(n+2) là tích ba số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 3(theo bài toán 17)
Mà (2,3) = 1 nên n.(n+1).(n+2) chia hết cho 6
Vì thế 8.n.(n+1).(n+2) 48 
Vậy tích ba số chẵn liên tiếp chia hết cho 48
e) Dạng 5: Dạng toán vận dụng nguyên lí Đirichlê
Đối với dạng toán vận dụng nguyên lí Đirichlê giáo viên không đi sâu mà chỉ giới thiêu cho học sinh biết và bài tập áp dụng dạng suy luận dễ hiểu.
Bài toán 21: Cho ba số lẻ. chứng minh rằng tồn tại hai số có tổng hoặc hiệu chia hết cho 8
Một số lẻ chia cho 8 thì số dư chỉ có thể là một trong bốn số sau: 1;3;5;7. ta chia 4 số dư này ( 4 con thỏ) thành 2 nhóm (2 lồng)
	Nhóm 1: dư 1 hoặc dư 7
	Nhóm 2: dư 3 hoặc dư 5
Có 3 số lẻ (3 thỏ) mà chỉ có hai nhóm số dư nên tồn tại hai số thuộc cùng một nhóm
Nếu 2 số dư bằng nhau thì hiệu của chúng chia hết cho 8
Nếu 2 số dư khác nhau thì tổng của chúng chi hết cho 8
Bài tập tương tự:
Cho ba số nguyên tố lớn hơn 3.Chứng minh rằng tồn tại hai số có tổng hoặc hiệu chia hết cho 12
Hướng dẫn: Một số nguyên tố lớn hơn 3 chia cho 12 thì số dư chỉ có thể là 1 trong 4 số 1; 5; 7; 11.
Chia làm hai nhóm:
	Nhóm 1: dư 1 hoặc dư 11
	Nhóm 2: dư 5 hoặc dư 7
Giải tiếp như bài toán 18
f) Dạng 6: Tìm điều kiện để một biểu thức chia hết cho một số, chia hết cho một biểu thức 
Bài toán 22: Chứng minh rằng Nếu a m, b m, a+b+c m thì c m.
Ta sử dụng phương pháp chứng minh phản chứng
Giả sử c m
Ta có nên a + b + c m (tính chất 2 sgk toán 6 tr 35).
 Điều này trái với đề bài 
Vậy điều giả sử sai.Suy ra 
Đối với bài này, khi dạy giáo viên không nhất thiết khắc sâu phần chứng minh. Yêu cầu học sinh chỉ cần vận dụng kiến thức đã được chứng minh vào bài tập cụ thể nào đó là được.
Bài toán 23: Tìm n N để:
n+4 n
3n + 7 n
27- 5n n
Giải:
a) 	 4 n ( theo bài toán 22)
Vậy n 
b) 	 7 n
Vậy n 
c) 	 27 n
Vậy n nhưng 5n < 27 hay n<6 
Vậy n 
3. Kết quả:
Kết quả so sánh về các số liệu với thời điểm bắt đầu nghiên cứu cho đến nay 
Giai đoạn
TS
HS
Tổng số SH đạt từ TB trở lên
Tổng số học sinh dưới trung bình
Chi chú


TS
Tỉ lệ %
TS
Tỉ lệ %

Giai đoạn 1
50
33
66
17
34

Giai đoạn 2
50
40
80
10
20

Giai đoạn 3
50
44
88
6
12


	Kết quả trên cho thấy việc vận dụng phương pháp trên vào giảng dạy toán giúp học sinh có kết quả cao trong học tập.
Sau khi thử nghiệm tôi thấy học sinh có kỹ năng giải các dạng toán chia hết khá tốt và áp dụng linh hoạt các phương pháp đã học như phương pháp quy nạp toán học, tính chất chia hết của một tổng, hiệu, tíchđể giải quyết triệt để các dạng toán liên quan tới dạng toán “chia hết”
Thông qua các phương pháp học sinh đã xác định được đúng hướng giải một bài toán nên kỹ năng giải toán “chia hết” nói chung và khả năng tự học ở nhà của học sinh tăng lên rõ rệt. Kết quả đáng tin cậy là điểm kiểm tra một tiết và điểm thi HKI vừa qua đồng thời kỹ năng giải toán chia hết đạt 80% trên trung bình, cao hơn so với trước khi thử nghiệm. Hơn nữa, giữa HKII chất lượng đạt được hơn 88% trên trung bình, đã tạo cho học sinh sự hứng thú và say mê với bộ môn Toán.
Phần thứ ba. KẾT LUẬN
I/. KẾT LUẬN
 1/ Đối với giáo viên:
-Để rèn kỹ năng giải toán chia hết cho học sinh đạt hiệu qua cao ta cần lưu ý một số nội dung như sau:
-Thường xuyên kiểm tra miệng và phần bài tập về nhà trong những giờ học nhằm giúp các em nắm vững các kiến thức cơ bản của từng bài học.
- Lồng ghép nhiều dạng bài tập chia hết vào các tiết luyện tập , tự chọn.
-Cần xây dựng một hệ thống bài tập đặc trưng nêu được những tính chất cơ bản của nội dung mà ta cần rèn luyện. Bên cạnh đó đưa ra những bài tập tương tự như những bài tập mà các em đã làm được. 
-Việc rèn luyện kỹ năng tính toán cho học sinh phải thực hiện thường xuyên, lâu dài xuyên suốt quá trình giảng dạy trong cả năm học.
- Qua kết quả trên tôi thấy việc rèn luyện kỹ năng giải toán chia hết là hết sức cần thiết, phương pháp cho từng dạng toán đem lại hiệu quả cao trong việc nâng cao kỹ năng giải toán chia hết nói chung và giải Toán nói riêng.
 2/ Đối với học sinh:
Để làm tốt được dạng toán chia hết này học sinh cần phải nắm chắc các kiến thức cơ bản như: tính chất chia hết của một tổng, một hiệu, một tích.Bên cạnh đó còn hiểu vả nắm được các phương pháp chứng minh quy nạp toán học, phương pháp phản chứng,  và một số các phương pháp khác nữa. Tuy nhiên trong quá trình làm học sinh cần vận dụng linh hoạt nội dung kiến thức trên vào từng bài cho phù hợp, có như vậy mới đạt được kết quả tốt. Trong quá trình làm dạng toán này tôi đặc biệt chú ý đến nội dung các bài toán có sự sắp xếp theo trình tự từ dễ đến khó, các dạng rất đa dạng và phong phú. Nhằm cung cấp cho học sinh lượng kiến thức phù hợp với khả năng nhận thức và có sự phát triển khả năng tư duy lôgíc.
Đây là một sáng kiến thuộc dạng dạy và học nên hy vọng không chỉ người dạy quan tâm tới việc nâng cao kỹ năng giải toán chia hết cho học sinh mà cả học sinh cũng cần tham khảo để tự mình nâng cao kỹ năng giải toán chia hết cho riêng mình và áp dụng nó để giải các dạng bài tập có liên quan.
Người dạy và học muốn có hiệu quả cao trong việc áp dụng sáng kiến để nâng cao kỹ năng giải toán chia hết thì người dạy và học cần nhiệt tình nắm rõ các bước sau. Đối với người dạy cần vận dụng trình tự sơ đồ như sau:
Người dạy cần:
Nắm rõ các kiến thức đã học liên quan về toán chia hết
Áp dụng kiến thức đã học một cách linh hoạt để giải toán hoạt
Kiểm tra, đánh giá kết quả thực nghiệm
 Đối với học sinh cần vận dụng theo trình tự sơ đồ hoá sau:
Học sinh cần:
Nắm vững các kiến thức đã học cũng như phương pháp giải cho từng dạng toán 
Có tính sáng tạo , tự giác, tích cực
Biết vận dụng vào thực tế
II. KHUYẾN NGHỊ
 §Ó cho häc sinh häc tËp cã kÕt qu¶ cao, t«i cã mét sè ý kiÕn ®Ò xuÊt sau:
 - Gi¸o viªn ph¶i nghiªn cøu s©u s¾c râ rµng vÒ néi dung bµi d¹y, t×m hiÓu ph©n lo¹i ®èi t­îng häc sinh ®Ó cã kÕ ho¹ch gi¶ng d¹y thÝch hîp, tõ ®ã dù kiÕn nh÷ng viÖc cÇn h­íng dÉn häc sinh.
 §Æc biÖt gi¸o viªn ph¶i nghiªn cøu n¾m v÷ng néi dung s¸ch gi¸o khoa, ®­a ra ph­¬ng ph¸p truyÒn thô hiÖu qu¶ nhÊt, gi¸o viªn ph¶i th­êng xuyªn rót kinh nghiÖm qua mçi bµi gi¶ng, xem xÐt bµi nµo chç nµo häc sinh hiÓu nhanh, tèt nhÊt, chç nµo ch­a thµnh c«ng ®Ó rót kinh nghiÖm t×m ph­¬ng ph¸p kh¸c cã hiÖu qu¶ h¬n.
 - X©y dùng nÒ nÕp häc tËp cho häc sinh cã thãi quen chuÈn bÞ s¸ch vë ®å dïng häc tËp, nÕu bµi tËp vÒ nhµ ch­a gi¶i ®­îc ph¶i hái b¹n vµ ph¶i b¸o c¸o víi thÇy tr­íc khi vµo líp. Khi gi¶ng bµi gi¸o viªn ®Æt c©u hái cÇn phï hîp víi tõng ®èi t­îng häc sinh, c©u hái ph¶i ng¾n gän dÔ hiÓu vµ c©u hái ®ã ph¶i trùc tiÕp gi¶i quyÕt vÊn ®Ò c¶ líp ®ang nghiªn cøu.
 - Gi¸o viªn h­íng dÉn häc sinh ph­¬ng ph¸p häc tËp ph¸t triÓn t­ duy vµ rÌn luyÖn kü n¨ng.
 - §øng tr­íc mét vÊn ®Ò gi¸o viªn cÇn cho häc sinh ph©n biÖt qua hÖ thèng c©u hái, hiÓu ra ®©u lµ ®iÒu ®· cho, ®©u lµ ®iÒu ph¶i t×m.tõ ®ã häc sinh tù m×nh t×m ra c©u tr¶ lêi.
 Trên đây là một vài biện pháp của tôi nhằm giúp học sinh khắc phục những khó khăn khi giải toán đại số 6. Rất mong được sự thông cảm góp ý của cấp trên và các bạn đồng nghiệp.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1/ Phương pháp dạy và học Toán THCS_NXB GD
2/ Thực hành giải toán_Nhà xuất bản GD
3/ Nâng cao và phát triển toán 6 tập 1 của tác giả Vũ Hữu Bình _Nhà xuất bản GD
4/ Sách giáo khoa toán 6 tập 1
5/ Sách bài tập toán 6 tập 1
MỤC LỤC
Phần thứ nhất. MỞ ĐẦU
 Trang
1 . Lý do chọn đề tài :.......................................................................1
2. Đối tượng nghiên cứu:..................................................................1
3. Phạm vi nghiên cứu:.....................................................................2
4. Phương pháp nghiên cứu:.............................................................2
Phần thứ hai. NỘI DUNG :
1. Cơ sở lý luận :..............................................................................3
2. Cơ sở thực tiễn: ..........................................................................3
3. Nội dung vấn đề:.........................................................................4
Phần thứ ba. KẾT LUẬN:
1. Kết luận.......................................................................................17
2. Khuyến nghị:...............................................................................19