Sáng kiến kinh nghiệm Một số biện pháp nâng cao giải tốt dạng toán tìm hai số khi biết tổng (hiệu) và tỉ số của hai số đó

hiệu) và Tỉ số của hai số đó", yêu cầu giáo viên hướng dẫn học sinh thực hiện nghiêm các bước đã được khát quát hoá khi giải bài toán. Học sinh phải được nắm chắc khái niệm "tổng (hiệu)" và "tỉ số của hai số đó", từ đó nhận được dạng bài toán và có lời giải thích hợp. 
 Giúp học sinh nắm vững công thức chung khi giải bài toán dạng nêu trên, bằng cách luyện tập (kể cả tăng cường thời lượng luyện tập cho học sinh khi cần thiết). 
 Đối với các cấp quản lý giáo dục, nên mở các chuyên đề chuyên môn để bồi dưỡng, bổ túc cho giáo viên về phương pháp dạy các dạng toán điển hình như dạng toán "Tìm hai số khi biết tổng và Tỉ số của hai số đó".
 Trên đây là phần trình bày sáng kiến kinh nghiệm của tôi. Mặc dù đã rất cố gắng nhưng không thể tránh khỏi những thiếu sót. Rất mong được sự đóng góp từ các bạn đồng nghiệp, sự đánh giá nhận xét của Ban Giám hiệu nhà trường để sáng kiến kinh nghiệm của tôi đầy đủ và hoàn thiện hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn ! 
Hà Nội, ngày 8 tháng 4 năm 20..
 Tác giả
Xuân Thị Bình Minh
 
TÀI LIỆU THAM KHẢO
 1. Nguyễn Minh Thuyết (Chủ biên)– Sách giáo khoa Toán tập 1,2 Nhà xuất bản giáo dục Việt Nam.
2. Sách giáo viên Toán 4, Nhà xuất bản giáo dục
 3. Các tạp chí giáo dục Tiểu học, báo Giáo dục thời đại và các trang Web Giáo dục .WEB EB
PHỤ LỤC MINH CHỨNG
1. Minh chứng 1: Phiếu khảo sát trước khi thực hiện đề tài
Đề bài:
 Bài 1: Một cửa hàng bán 1250 kg gạo nếp và tẻ. Biết số kg gạo nếp bán bằng 1/4 ​ số kg gạo tẻ. Tính số ki-lô-gam gạo mỗi loại đã bán?
? cây
Bài 2: Nêu bài toán rồi giải bài toán theo sơ đồ sau:
60 cây
Số cây cam: 
? cây
Số cây dứa: 
2. Minh chứng 2: 
Ví dụ: Một cửa hàng có 175m vải, trong số đó số mét vải trắng bằng 3/2 số mét vải xanh.Hỏi mỗi loại có bao nhiêu mét vải?
Một số học sinh giải như sau : 
175m
? m
? m
 Giải: Vải trắng: 
 Vải xanh: 
 -Tổng số phần bằng nhau là: 3+2=5(phần)
 - Số mét vải trắng là: 175 : 5 = 35(m)
 - Số mét vải xanh là: 175 - 35=140(m)
 Đáp số: Vải trắng:35m ; Vải xanh: 140m
 Nguyên nhân dẫn đến cái sai ở đây là:
- Học sinh đã quy số mét vải trắng là 1phần nên đã lấy luôn (175: 5), trong khi đó số mét vải trắng tương ứng với 3 phần bằng nhau.
 - Ở đây học sinh đã không nắm được các bước giải cơ bản của dạng toán này.
3. Minh chứng 3: 
Ví dụ: Tổng số thóc của kho A và kho B là 371 tấn.Sau đó kho A tiếp nhận thêm 15 tấn, kho B chuyển đi nơi khác 22 tấn thì lúc đó số thóc ở kho A bằng 3/4 thóc ở kho B. Hãy tính số thóc lúc đầu ở mỗi kho?
371 tấn
? tấn
? tấn
* Một số học sinh giải như sau :
 Giải: Kho A:	
 Kho B: 
Tổng số phần bằng nhau là: 3 + 4=7 (phần)
1 phần tương ứng với số thóc là: 371: 7 = 53 (tấn)
Số tấn thóc ở kho A là: 53 x 3 = 159 (tấn)
Số tấn thóc ở kho B là: 371 – 159 = 212 (tấn)
 Đáp số: Kho A: 159 tấn thóc ; Kho B: 212 tấn thóc
 Nguyên nhân dẫn đến cái sai ở đây là:
- Mặc dù học sinh đã hiểu được các bước giải cơ bản nhưng học sinh lại bỏ qua chi tiết: “ Kho tiếp nhận 15 tấn, kho B chuyển đi nơi khác 22 tấn”
- Suy ra: Học sinh không hiểu được tổng số tấn thóc lúc ban đầu là 371 sẽ thay đổi sau khi kho A thêm 15 tấn và kho B bớt đi 22 tấn.
-Tổng số tấn thóc lúc sau trong mỗi kho mới tương ứng với tỷ số 3/4.
4. Minh chứng 4: 
* Toán số và chữ số:
-Ví dụ: Tìm số tự nhiên, biết rằng nếu viết thêm chữ số 7 vào bên phải số đó thì được số mới mà tổng của số mới và số phải tìm là 21963.
Suy ra: Học sinh đưa về dạng phân tích số cách làm dài và phức tạp.
*Toán tính tuổi:
-Ví dụ 1: Năm nay mẹ hơn con 28 tuổi. Hỏi khi tuổi mẹ gấp 5 lần tuổi con thì mỗi người bao nhiêu tuổi?
 -Ví dụ 2: Hiện nay tổng số tuổi của hai ông cháu là 70 tuổi. Biết tuổi cháu bằng 1/6 tuổi ông. Hỏi mấy năm nữa tuổi ông gấp 3 lần tuổi cháu?
* Toán chu vi, diện tích hình:
- Ví dụ 1: Một hình chữ nhật có chiều rộng bằng 2/5 chiều dài. Nếu tăng chiều rộng 27m ta được hình vuông. Tìm chu vi của hình chữ nhật ban đầu?
- Ví dụ 2: Cho hình chữ nhật ABCD có chiều dài gấp đôi chiều rộng. Chu vi của nó là 600m . Tìm diện tích hình chữ nhật ABCD?
5. Minh chứng 5: 
Ví dụ: Một cửa hàng có 175 mét vải, trong đó số mét vải trắng bằng 1/4 số mét vải xanh. Hỏi mỗi loại có bao nhiêu mét vải?
- Bước 1: Học sinh phân tích đề bài:
 + Tổng: 175m
 + Tỉ số :1/4
 + Số bé: Vải trắng
 + Số lớn: Vải xanh 
 - Bước 2: Giải
 Ta có sơ đồ:
175 m
? m
? m
	Vải trắng: 
 Vải xanh:
 + Tổng số phần bằng nhau là: 1 + 4 = 5 (phần)
 + Số mét vải trắng là:175 : 5 x 1= 35(m)
 + Số mét vải xanh là: 175 – 35 = 140 (m)
 Đáp số : Vải trắng: 35m ; Vải xanh: 140m 
- Bước 3: Thử lại
+ Tổng: 35 + 140 = 175(m) ( Đ)
+ Tỷ số : 35/140 = 1/4 ( Đ)
6. Minh chứng 6: * Ví dụ: Tổng số lít dầu ở 2 thùng là 60 lít. Nếu thùng thứ nhất bớt đi 10 lít, thùng thứ hai thêm vào 10 lít thì số dầu ở thùng thứ nhất gấp đôi số lít dầu ở thùng thứ hai. Hỏi lúc đầu mỗi thùng có bao nhiêu lít dầu?
Giải
 Nếu thùng thứ nhất bớt đi 10 lít, thùng thứ hai thêm vào 10 lít thì cả hai thùng có số lít là:
 60 – 10 + 10 = 60 (lít)
 ? l
Ta có sơ đồ:
60 l
Thùng 1:	
? l
Thùng 2:
Sau khi thêm 10 lít, thùng thứ hai có số lít là: 60 : ( 2 + 1 ) = 20 (lít)
Lúc đầu thùng thứ hai có số lít dầu là: 20 – 10 = 10 (lít)
Lúc đầu thùng thứ nhất có số lít dầu là: 60 – 10 = 50 (lít)
 Đáp số: Thùng 1: 50 lít ; Thùng 2: 10 lít
7. Minh chứng 7: 
Ví dụ:Một nông trại có tổng số gà và heo là 600 con. Sau khi nhập thêm 33 con gà và 7 con heo thì số gà bằng 1/7 số heo. Hỏi lúc đầu mỗi loại có bao nhiêu con?
Giải
Sau khi nhập thêm 33 con gà và 7 con heo thì tổng số gà và heo là:
? con
 600 + 33 + 7 = 640 (con)
 Ta có sơ đồ: 600 con
	Gà:	
? con
 	 Heo:
 Sau khi nhập thêm 33 con gà, gà có số con là: 640 : (7 +1 )= 80 (con)
Lúc đầu, gà có số con là: 80 – 33 = 47 ( con)
Lúc đầu, heo có số con là: 600 – 47 = 553 (con)
 Đáp số: Gà: 47 con; Heo: 553 con
8. Minh chứng 8: 
Ví dụ: Một nông trại có tổng số gà và heo là 600 con. Sau khi bán 33 con gà và 7 con heo thì số gà bằng 1/7 số heo. Hỏi lúc đầu mỗi loại có bao nhiêu con?
Giải
Sau khi bán 33 con gà và 7 con heo thì tổng số gà và heo là:
 600 – ( 33 + 7) = 560 (con)
? con
560 con
? con
 Ta có sơ đồ: Heo:	
 Gà:
Sau khi bán 33 con gà, gà có số con là: 560 : (1 +7 )= 70 (con)
Lúc đầu, gà có số con là: 70 + 33 = 103 ( con)
Lúc đầu, heo có số con là: 600 – 103 = 497 (con)
 Đáp số: Gà: 103 con; Heo: 497 con
9. Minh chứng 9: 
 Ví dụ : Một nông trại có tổng số gà và heo là 600 con. Sau khi nhập thêm 33 con gà và bán đi 9 con heo thì số gà bằng 1/7 số heo. Hỏi lúc đầu mỗi loại có bao nhiêu con?
Giải
Sau khi nhập thêm 33 con gà và bán đi 9 con heo thì tổng số gà và heo là:
600 + ( 33 - 9) = 624 (con)
? con
624 con
 Ta có sơ đồ:
 Gà:
? con
 Heo:
Sau khi nhập thêm 33 con gà, gà có số con là: 624 : (1 +7 )= 78 (con)
Lúc đầu, gà có số con là: 78 - 33 = 45 ( con)
Lúc đầu, heo có số con là: 600 – 45 = 555 (con)
 Đáp số: Gà: 45 con; Heo: 555 con
10. Minh chứng 10: 
*Ví dụ : Một nông trại có tổng số gà và heo là 600 con. Sau khi nhập thêm 9 con gà và bán đi 33 con heo thì số gà bằng 1/7 số heo. Hỏi lúc đầu mỗi loại có bao nhiêu con?
Giải
576 con
? con
 Sau khi nhập thêm 9 con gà và bán đi 33 con heo thì tổng số gà và heo còn lại là: 600 - ( 33 - 9) = 576 (con)
? con
 Ta có sơ đồ: Gà:	
 Heo:
Sau khi nhập thêm 9 con gà, gà có số con là: 576 : (1 +7 ) = 72 (con)
Lúc đầu, gà có số con là: 72 - 9= 63( con)
Lúc đầu, heo có số con là: 600 – 63 = 537 (con)
 Đáp số: Gà: 63 con; Heo: 537 con
11. Minh chứng 11: 
Ví dụ: Số cây trồng của khối 5 nhiều hơn khối 4 là 360 cây. Nếu mỗi khối cùng trồng thêm 40 cây thì số cây của khối 5 sẽ nhiều hơn gấp 4 lần số cây của khối 4. Tính số cây trồng lúc đầu ở mỗi khối. 
Giải
- Sau khi mỗi khối cùng trồng thêm 40 cây thì số cây khối 5 trồng vẫn nhiều hơn số cây khối 4 là: 360 cây.
360 cây
Ta có sơ đồ: Khối 4:
 Khối 5:
Sau khi trồng thêm 40 cây, khối 4 trồng được số cây là: 360: (4 – 1) = 120 (cây)
Lúc đầu, khối 4 trồng được số cây là: 120 – 40 = 80 ( cây)
Lúc đầu, khối 5 trồng được số cây là: 380 + 80 = 440 (cây)
 Đáp số: Khối 4: 80 cây; Khối 5: 440 cây
12. Minh chứng 12: 
*Ví dụ: Số cây trồng của khối 5 nhiều hơn khối 4 là 360 cây. Nếu khối 5 trồng thêm 25 cây, khối 4 trồng bớt 5 cây thì số cây của khối 5 sẽ nhiều gấp 4 lần số cây của khối 4. Hỏi lúc đầu mỗi khối trồng được bao nhiêu cây?
Giải
 Sau khối 5 trồng thêm 25 cây, khối 4 trồng bớt 5 cây thì số cây của khối 5 trồng nhiều hơn số cây của khối 4 là:
 360 + (25+ 5) = 390 ( cây)
390 cây
 Ta có sơ đồ: Khối 4:
 Khối 5:
Nếu khối 4 trồng bớt đi 5 cây thì khối 4 trồng được số cây là: 
390 : (4 – 1) = 130 (cây)
Lúc đầu, khối 4 trồng được số cây là: 130 + 5 = 135 ( cây)
Lúc đầu, khối 5 trồng được số cây là: 135 + 360 = 495 (cây)
 Đáp số: Khối 4: 135 cây; Khối 5: 495 cây
13. Minh chứng 13: 
*Ví dụ: Khối 5 trồng nhiều cây hơn khối 4 là 360 cây. Nếu khối 5 trồng bớt đi 35 cây, khối 4 trồng thêm 25 cây thì số cây của khối 5 sẽ nhiều hơn gấp 4 lần số cây của khối 4. Hỏi lúc đầu mỗi khối trồng được bao nhiêu cây?
 Giải
 Nếu khối 5 trồng bớt đi 35 cây, khối 4 trồng thêm 25 cây thì số cây của khối 5 trồng nhiều hơn số cây của khối 4 là:
 360 - (35+ 25) = 300 ( cây)
300 cây
Ta có sơ đồ: Khối 4:
 Khối 5:
Nếu khối 4 trồng thêm 25 cây thì khối 4 trồng được số cây là:
300: (4 – 1) = 100(cây)
Thực tế, khối 4 trồng được số cây là: 100 - 25 = 75 ( cây)
Thực tế, khối 5 trồng được số cây là: 75 + 360 = 435 (cây)
 Đáp số: Khối 4: 75 cây; Khối 5: 435 cây
14. Minh chứng 14: 
Ví dụ : Số cây trồng của khối 5 nhiều hơn số cây trồng khối 4 là 360 cây. Nếu khối 5 trồng thêm 45 cây, khối 4 trồng thêm 15 cây , thì số cây của khối 5 sẽ nhiều hơn gấp 4 lần số cây của khối 4. Hỏi mỗi khối trồng được bao nhiêu cây?
Giải
 Nếu khối 5 trồng thêm 45 cây, khối 4 trồng thêm 15 cây thì số cây của khối 5 trồng nhiều hơn số cây của khối 4 là:
 360 + (45 - 15) = 390 ( cây)
390 cây
Ta có sơ đồ: Khối 4: 
 Khối 5:
Số cây khối lớp 4 nếu trồng thêm 15 cây là: 390: ( 4 – 1 ) = 130 ( cây)
Thực tế, khối 4 trồng được số cây là: 130 - 15 = 115 ( cây)
Thực tế, khối 5 trồng được số cây là: 115 + 360 = 475 (cây)
 Đáp số: Khối 4: 115 cây; Khối 5: 475 cây
15. Minh chứng 15: 
Ví dụ : Số cây trồng của khối 5 nhiều hơn số cây trồng khối 4 là 360 cây. Nếu khối 5 trồng thêm 15 cây, khối 4 trồng thêm 45 cây , thì số cây của khối 5 sẽ nhiều hơn gấp 4 lần số cây của khối 4. Hỏi mỗi khối trồng được bao nhiêu cây?
Giải
 Nếu khối 5 trồng thêm 15 cây, khối 4 trồng thêm 45 cây thì số cây của khối 5 trồng nhiều hơn số cây của khối 4 là:
 360 - (45 - 15) = 330 ( cây)
 330 cây
Ta có sơ đồ: Khối 4: 
 Khối 5:
Số cây khối lớp 4 nếu trồng thêm 45 cây là: 330: ( 4 – 1 ) = 110 ( cây)
Thực tế, khối 4 trồng được số cây là: 110 - 45 = 65 ( cây)
Thực tế, khối 5 trồng được số cây là: 65 + 360 = 425 (cây)
 Đáp số: Khối 4: 65 cây; Khối 5: 425 cây
16. Minh chứng 16: 
Ví dụ 1: Tìm số tự nhiên, biết rằng nếu viết thêm chữ số 7 vào bên phải số đó thì được một số mới mà tổng của số mới và số phải tìm là 21963.
Giải
 Gọi số cần tìm là A
Khi viết thêm chữ số 7 vào bên phải số A ta được số A7 mà A7 gấp số A 10 lần + 7 đơn vị.
Theo đầu bài ta có sơ đồ:
21963
 A: 
 A7:
Tổng số phần bằng nhau là: 1 + 10 = 11 (phần)
Số cần tìm là: (21962 – 7 ) :11 = 1996
 Đáp số: 1996
*Ở đây, tôi hướng dẫn học sinh đưa dạng toán số và chữ số về dạng tổng – tỉ.
Ví dụ 2: Cho một số có hai chữ số. Nếu viết thêm một chữ số 6 vào bên trái số đó, ta được số mới gấp 25 lần số dã cho. Tìm số dã cho?
Giải
 Khi viết thêm một chữ số 6 vào bên trái một số có hai chữ số, ta được một số mới hơn số ban đầu 600 đơn vị.
600
Ta có sơ đồ: 
Số đã cho:
Số mới: 
Hiệu số phần bằng nhau là: 25 – 1 = 24 (phần)
Số ban đầu là: 600: 24 = 25
 Đáp số: 25
*Ở đây, tôi hướng dẫn học sinh đưa dạng toán số và chữ số về dạng hiệu – tỉ.
17. Minh chứng 17: 
Ví dụ 1: Năm nay mẹ hơn con 28 tuổi. Hỏi khi tuổi mẹ gấp 5 lần tuổi con thì mỗi người bao nhiêu tuổi?
Giải
Vì mỗi năm mỗi người tăng 1 tuổi nên lúc nào mẹ cũng hơn con 28 tuổi . Vậy hiệu là 28 tuổi.
Khi tuổi mẹ gấp 5 lần tuổi con ta có sơ đồ sau:
28 tuổi
Tuổi mẹ: 
Tuổi con:
Hiệu số phần bằng nhau là: 5 – 1 = 4 (phần)
Lúc đó, con có số tuổi là: 28 : 4 = 7 (tuổi)
Lúc đó,mẹ có số tuổi là: 7 + 28 = 35 (tuổi)
 Đáp số: Tuổi con: 7 tuổi; Tuổi mẹ: 35 tuổi
=> Tôi hướng dẫn học sinh đưa dạng toán trên về dạng hiệu- tỉ.
Ví dụ 2: Năm nay, tổng số tuổi của hai ông cháu là 70 tuổi.Biết tuổi cháu bằng 1/6 tuổi ông. Hỏi mấy năm nữa tuổi ông gấp 3 lần tuổi cháu ?
Ta có sơ đồ:
70 tuổi
Ông:
Cháu: 
Giải
Tổng số phần bằng nhau là: 6 + 1 = 7 (phần)
Tuổi cháu hiện nay là: 70 : 7 = 10 (tuổi)
Tuổi ông hiện nay là: 10 x 6 = 60 (tuổi)
Ông hơn cháu số tuổi là: 60 – 10 = 50(tuổi)
 Vì mỗi năm mỗi người tăng 1 tuổi nên lúc nào ông cũng hơn cháu 50 tuổi. Vậy hiệu là 50 tuổi.
50 tuổi
Khi ông gấp 3 lần tuổi cháu ta có sơ đồ: Ông: 
 Cháu:
Hiệu số phần bằng nhau là: 3 – 1 = 2 (phần)
Lúc đó, cháu có số tuổi là: 50 : 2 = 25 (tuổi)
Số năm để ông gấp 3 lần tuổi cháu là: 25 – 10 = 15(năm)
 Đáp số: 15 năm
18. Minh chứng 18: 
Ví dụ 1: Một hình chữ nhật có chiều rộng bằng 2/5 chiều dài. Nếu tăng chiều chiều rộng 27 m ta được hình vuông. Tìm chu vi của hình chữ nhật ban đầu?
Giải
 Nếu tăng chiều rông 27m ta được hình vuông (các cạnh bằng nhau) tức là chiều rộng kém chiều dài 27m . Vậy hiệu là 27m
27m
Ta có sơ đồ:
Chiều rộng:
Chiều dài: 
Hiệu số phần bằng nhau là: 5 – 2 = 3 (phần)
Giá trị của một phần là: 27 : 3 = 9 (m)
Chiều rộng hình chữ nhật là: 9 x 2 = 18 (m)
Chiều dài hình chữ nhật là: 18 + 27 = 45 (m)
Chu vi hình chữ nhật ban đầu là: (18 + 45 ) x 2 = 126 (m)
 Đáp số: 126 mét
Ví dụ 2: Một hình chữ nhật ABCD có chiều dài gấp đôi chiều rộng. Chu vi của nó là 600m. Tính diện tích hình chữ nhật ABCD?
Giải
Nửa chu vi hình chữ nhậtABCD là: 600 : 2 = 300 (m)
300m
Ta có sơ đồ: Chiều dài: 
 Chiều rộng:
Tổng số phần bằng nhau là: 2 + 1 = 3 (phần)
Chiều rộng hình chữ nhật là: 300 : 3 = 100 (m)
Chiều dài hình chữ nhật là: 300 - 100 = 200 (m)
Diện tích hình chữ nhật ABCD là: 100 x 200 = 20000 (m)
 Đáp số: 20000 mét
=>Tôi hướng dẫn học sinh đưa bài toán trên về dạng tổng – tỉ.
19. Minh chứng 19: Phiếu học tập
Đề bài: Lớp 4A và lớp 4B có 15 học sinh giỏi. Biết số học sinh giỏi lớp 4A bằng 3/2 số học sinh giỏi lớp 4B. Hỏi mỗi lớp có bao nhiêu học sinh giỏi?
Em hãy điền vào chỗ chấm:
-Đầu bài cho tổng của hai số là:
-Đầu bài cho tỉ số của 2 số là:.
Số lớn là:.. Số bé là: 
-Đầu bài hỏi 2 số là:..
20. Minh chứng 20:
Bảng phân loại học sinh trước quá trình thực nghiệm:
Lớp
Tổng số học sinh
Tóm tắt bài toán
Chọn và thực hiện đúng phép tính
Lời giải và đáp số

4A

42
Đạt
Chưa đạt
Đúng
Sai
Đúng
Sai
28 em = 66,7%
14 em = 33,3%
23 em = 54,7%
 19 em = 45,3%
25 em= 59,5%
17 em = 40,5%

Bảng phân loại học sinh qua quá trình thực nghiệm:
Lớp
Tổng số học sinh
Tóm tắt bài toán
Chọn và thực hiện đúng phép tính
Lời giải và đáp số

4A

42
Đạt
Chưa đạt
Đúng
Sai
Đúng
Sai
40 em = 95,2%
2 em = 4,8 %
38 em = 90,5%
4 em = 9,5 %
38 em = 90,5%
4 em = 9,5 %