Sáng kiến kinh nghiệm Một số biện pháp dạy học chủ đề hình học không gian 11 nhằm phát triển năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo cho học sinh THPT

4 3x y z
xyz
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi: 
1
3
x y z 
Vậy giá trị nhỏ nhất của B bằng 4 3 khi hình tứ diện OABC vuông cân tại O. 
Tiếp theo, áp dụng một kết quả quen thuộc: 
 22
1 3 3 2
1
2 3 31
x x
x x
 với 0 , , 1x y z 
Thật vậy, có thể có 2 hướng như sau: 
Hướng 1. Áp dụng bất đẳng thức AM-GM 
41 | SKKN năm học 2022-2023 
2 2 22
2 2 1 2 1 1 41
2 3 27
x x x
x x
Hướng 2. Hoặc xét hàm số: 
 2
1
,0 1
1
f x x
x x
có 
2
2
2 2
3 1 1 3 3
' , ' 0 min
231
x
f x f x x f x
x x
Từ đó dẫn đến các kết quả mạnh hơn: 
2
2
2
3 3
,0 1
21
x
x x
x x
 và 
2
3
2
3 3
,0 1
21
x
x x
x
Sử dụng kết quả này cho hai bài toán sau đây: 
Bài toán 26. Cho hình tứ diện vuông OABC. Gọi , ,   là góc giữa các mặt 
phẳng (OAB),(OBC),(OCA) với mặt phẳng (ABC).Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
1 2 2 2 2 2 2
cos cos cos
cos cos cos cos cos cos
P
  
    
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2
cos cos cos
cos cos cos cos cos cos
P
  
    
Lời giải 
Đặt 2 2 2cos , cos , cosx y z   thì 0 , , 1x y z 
Ta có: 
 1 2 2 21 1 1
x y z
P
x y z
; 
2 2 2
2 2 2 21 1 1
x y z
P
x y z
Dễ dàng nhận thấy: 
Giá trị nhỏ nhất của 2P bằng 
3 3
2
đạt được khi hình tứ diện vuông cân tại O. 
2 2 2 2 2 2
3 3 3
1 2 2 2 2 2 2 2 2 2
3 3
21 1 1
x y z x y z
P x y z
y z x z y x x y z
42 | SKKN năm học 2022-2023 
Theo bài trên ta chứng minh được: 3 3 3
1
3
x y z nên 
1
3 3 1 3
.
2 23
P 
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 
1
cos cos cos
3
x y z   
Giá trị nhỏ nhất của 1P bằng 
3
2
khi hình tứ diện vuông cân tại O. 
Lưu ý: Để chứng minh 2 21
3 3
x x với 0 1x ta có thể dùng cách sau 
3 2
2
1 1 2 1 3 3
1
23 3 3 3 3 3 1
x x x x
x x
Ý tưởng mạnh: Kỹ thuật Cosi ngược dấu 
Để ý rằng, với các số dương ,a b ta có: 
 3 2 2 25 3 2 2 23 3 2 3 2
2 2 2 2 2 2 2 2
1
22 2
a a b ba a b a b
a a a b a a b
a b a b a b a b
Dẫn đến: 
5 3 3 3 3
3 3
2 2
2
6 3 6
a a a b b
a a
a b
Cùng với hai kết quả tương tự, ta có bất đẳng thức sau đây: 
5 5 5 3 3 3
2 2 2 2 2 2
*
2
a b c a b c
b c a c b a
Dùng bất thức này ta có bài toán: 
Bài toán 27. Cho hình tứ diện vuông OABC. Gọi , ,   là góc giữa các mặt 
phẳng (OAB),(OBC),(OCA) với mặt phẳng (ABC). Chứng minh rằng: 
5 5 5
2 2 2 2 2 2
cos cos cos 1
2 3cos cos cos cos cos cos
  
   
Lời giải 
Áp dụng bất đẳng thức (*) với cos , cos , cosa b c   và bài toán 
3 3 3 1cos cos cos
3
   
Bài toán 28. Cho hình tứ diện vuông OABC. Gọi 1 1 1, ,   là góc giữa các 
đường thẳng OA,OB,OC với mặt phẳng (ABC). Chứng minh rằng: 
43 | SKKN năm học 2022-2023 
2 2 2
1 1 1cot cot cot 6.   
Lời giải 
Ta có: 1 OAH và 
2
2
1 2
sin
OH
OA
Tương tự: 
2 2
2 2
1 12 2
sin ;sin
OH OH
OB OC
  
Áp dụng bất đẳng thức quen thuộc ta có 
 2 2 22 2 2
1 1 1
9OA OB OC
OA OB OC
2 2 2
2 2 2
9
OA OB OC
OH OH OH
2 2 2
2 2 2
2 2 2
1 1 2
2 2 2
1 1 1
2 2 2
1 1 1
1 1 1
9
1 1 1
9
sin sin sin
1 cot 1 cot 1 cot 9
cot cot cot 6.
OH OH OH
OA OB OC
  
  
  
Nhận xét. Đó là một cách chứng minh trực tiếp áp dụng tính chất đường cao 
của tứ diện vuông. Sau đây ta áp dụng một tính chất khác mà lời giải ngắn gọn hơn 
nhiều: 
Đặt 2 2 21 1 1sin , sin , sin 0 , , : 1m n p m n p m n p   
Ta có: 
2 2 2
1 1 1
1 1 1
cot cot cot
m n p
m n p
  
Do: 
1 1 1 1 1 1 9
3 3 6
m n p
m n p m n p m n p
Suy ra: 2 2 21 1 1cot cot cot 6.   
Dấu bằng xảy ra 1 1 1
6
cos cos cos
3
   , tức tứ diện OABC vuông cân 
tại O. Bài toán được chứng minh. 
Có gì khai thác thêm? 
44 | SKKN năm học 2022-2023 
Từ bất đẳng thức 2 2 2 1 1 1 9x y z
xy yz zx
 nếu 2 2 2x y z k là 
hằng số, ta suy ra: 
1 1 1 9
xy yz zx k
 . 
Áp dụng cho tứ diện vuông OABC, ta thu được điều gì? 
Giả thiết là gì? 
Nếu đặt 
1sin / sin '/ sinx , 1sin / sin '/ siny    , 1sin / sin '/ sinz    
ta thấy 2 2 2x y z k là một hằng số. 
Nghĩa là các biểu thức dạng 
1 1 1
sin .sin sin .sin sin .sin
M
     
1 1 1
sin '.sin ' sin '.sin ' sin '.sin '
N
     
1 1 1 1 1 1
1 1 1
sin .sin sin .sin sin .sin
P
     
ta đều đánh giá được. 
Bài toán sau đây là một trường hợp: 
Bài toán 29. Cho hình tứ diện vuông OABC. Gọi ', ', '   lần lượt là góc giữa 
OH với các đường thẳng OA,OB,OC.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
1 1 1
sin '.sin ' sin '.sin ' sin '.sin '
M
     
Lời giải 
Áp dụng (II), ta có: 
2 2 2
2 2 2
1 1 1
sin ' sin ' sin ' 9
sin '.sin ' sin '.sin ' sin '.sin '
. sin ' sin ' sin ' 9M
  
     
  
Ta lại có: 2 2 2sin ' sin ' sin '   =2. 
Suy ra: 
9
2
M 
Đẳng thức xảy ra khi: 
45 | SKKN năm học 2022-2023 
sin ' sin ' sin ' cos cos cos a b c     . 
Vậy: min
9
2
M OABC là tứ diện vuông cân tại O. 
Nhận xét. Lời giải còn đúng không nếu thay bởi các biểu thức dạng 
1 1 1
cos .cos cos .cos cos .cos
M
     
1 1 1
cos '.cos ' cos '.cos ' cos '.cos '
N
     
1 1 1 1 1 1
1 1 1
cos .cos cos .cos cos .cos
P
     
Không những vậy, ta còn có thể nghĩ đến các biểu thức có dạng hoán vị vòng 
quanh. 
Bài toán 30. Cho hình tứ diện vuông OABC. Gọi ', ', '   lần lượt là góc giữa 
OH , với các đường thẳng OA,OB,OC. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
2 2 2
cos ' cos ' cos ' cos ' cos ' cos '
cos ' cos ' cos '
N
     
 
 . 
Lời giải 
Đặt cos ', cos ', cos ' 0 , ,x y z x y z   . 
Khi đó: 2 2 2 1x y z nên 3x y z . Dấu bằng xảy ra khi .x y z 
Ta có: 
2 2 2
x y y z z x
x y z N x y z
z x y
22 2
x y y z z x x y y z z x
z x y z x y
2
21 1.6 6 18
3 3
x y y z z x x y y z z x
z x y z x y
Suy ra: 
18 18
6 3
3
N
x y z
Dấu bằng xảy ra khi: cos ' cos ' cos ' .x y x a b c   
Vậy: min 6 3N OABC là tứ diện vuông cân. 
Bài toán 31. Cho hình tứ diện vuông OABC. Gọi , ,   là góc giữa các mặt 
phẳng (OAB),(OBC),(OCA) với mặt phẳng (ABC).Chứng minh rằng: 
46 | SKKN năm học 2022-2023 
3
cot cot cot cot cot cot
2
     . 
Lời giải 
Ta có: 
2 2
cot
OI ab
OC c a b
, 
2 2
cot
bc
a b c
 
, 
2 2
cot
ca
b c a
 
 Áp dụng bất đẳng thức AM-GM: 
2 2 2
2 2 2 22 2 2 2
1
cot .cot
2
b b b
a b b ca b b c
 
Tương tự: 
2 2
2 2 2 2
1
cot .cot
2
c c
c b a c
 
2 2
2 2 2 2
1
cot .cot
2
a a
a b a c
 
Cộng các về của các bất đẳng thức trên ta có điều cần chứng minh. 
Dấu bằng xảy ra khi: a b c . 
Lưu ý rằng, ta thấy ngay: 
2
2 2 2 2
cot .cot cos
b
B
a b b c
  
2
2 2 2 2
cot .cot cos
c
C
c b a c
  
2
2 2 2 2
cot .cot cos .
a
A
a b a c
 
Suy ra: 
3
cot cot cot cot cot cot cos cos cos .
2
A B C     
Nhận xét: Dùng các kết quả trên và áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta thu 
được một kết quả rất đẹp là: 
2 2 2
2 2 2
2 2 2 2 2 2
1
cot cot cot
8
a b c
a b b c c a
   
Dấu bằng xảy ra a b c . 
Từ các kết quả này, ta có kết quả sau đây là một bài đề nghị Olympic 
30/04/2007 
47 | SKKN năm học 2022-2023 
Bài toán 32. Cho hình tứ diện vuông OABC. Gọi , ,   là góc giữa các mặt 
phẳng (OAB),(OBC),(OCA) với mặt phẳng (ABC). Chứng minh rằng: 
2 2 2 2cot cot cot cot cot cot 6cot cot cot 3       . 
Tuy vậy, còn một cách chứng minh khác: 
2 2 9
cot cot cot cot cot cot cos cos cos
4
A B C     
3
2 2 2 cos cos cos 1cot cot cot cos cos cos
3 8
A B C
A B C  
Cả hai đẳng thức xảy ra khi cot cot cotA B C A B C tứ diện 
vuông cân tại O. 
Bây giờ, ta ngẫu hứng (có cố ý tạo ra như vậy) một biểu thức dạng đa thức sau 
đây mà vì sự đặc biệt của nó nên lời giải cũng khá bất ngờ: 
Bài toán 33. Cho hình tứ diện vuông OABC. Gọi , ,   là góc giữa các mặt 
phẳng (OAB),(OBC),(OCA) với mặt phẳng (ABC). Chứng minh rằng: 
 2 2 2 2 2 2cos 2cos 3cos 6cos 3cos 2cos 8T     . 
Dấu bằng xảy ra khi nào? 
Lời giải 
Đặt 2 2 2cos , cos , cos 1; 0, 0, 0.x y z x y z x y z   
Ta có: 
2 2 2
2
2 2
2
2
2 3 6 3 2
6 6 6 15 13 20
6 3 5 4
6 3 5
4 4
8 8
T x y x x y x
x y z xy yz zx
x y z x y z y y z yz
x y z x y z
x y z
x y z
Dấu bằng xảy ra: 
2
2
2
11 cos
22
0 cos 0
1 1 1
cos
2 2
x
x y z
y z x y
x y z
z


. 
Điều này không xảy ra được. Bài toán được chứng minh. 
48 | SKKN năm học 2022-2023 
Bài toán 34. Cho hình tứ diện vuông OABC. Gọi , ,   là góc giữa các mặt 
phẳng (OAB),(OBC),(OCA) với mặt phẳng (ABC). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
2 2 2 2 2 2tan tan tan cot cot cotQ     
Lời giải 
Đặt: 2 2 2cos , cos , cos 1; 0, 0, 0.x y z x y z x y z   
Ta có: 
2
2
2
1 cos 1
tan
cos
a b c
a a
Tương tự: 2tan
a c
b

 ; 2tan
a b
c

Ta có: 6
b c c a a b
a b c
 (i) 
 
1 1 1 3
1 1 1
3
1 1 1 1
3
2
9 3
3 
2 2
a b c a b c
b c c a a b b c c a a b
a b c
b c c a a b
b c c a a b
b c c a a b
ii
Từ (i) và (ii) suy ra: 2 2 2 2 2 2
15
tan tan tan cot cot cot
2
Q     
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi .a b c 
Bài toán 35. Cho hình tứ diện vuông OABC. Gọi , ,   là góc giữa các mặt 
phẳng (OAB),(OBC),(OCA) với mặt phẳng (ABC). Chứng minh rằng: 
2 2 2
2 2 2 2 2 2
cos cos cos 3
4sin sin sin sin sin sin
  
   
Lời giải 
Đặt 2 2 2 2 2 2sin sin , sin sin , sin sinx y z     
Ta có ngay: 4x y z vì 2 2 2sin sin sin 2   
Mặt khác: 2 2 2 2cos 1 sin 1 2 sin sin 1x   
Tương tự: 2cos 1y ; 2cos 1z 
49 | SKKN năm học 2022-2023 
Bất đẳng thức tương đương với: 
1 1 1 3
4
x y z
x y z
1 1 1 9
4x y z
Áp dụng bất đẳng thức quen thuộc: 
1 1 1
9x y z
x y z
1 1 1 9 9
4x y z x y z
Bài toán được chứng minh. 
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi cos cos cosx y z a b c   
III. Thực nghiệm sư phạm 
Sau khi thực hiện các biện pháp trong sáng kiến kinh nghiệm này, chúng tôi đã 
tiến hành lấy ý kiến điều tra đối với các em học sinh và được kết quả như sau: 
TT 
Biện 
pháp 
Mức độ đánh giá 
Tổng 
Rất hứng thú Hứng thú Không hứng thú 
1 
Giải bài 
toán bằng 
nhiều 
cách khác 
nhau 
150 20 10 180 
2 
Thay đổi 
hình thức 
bài toán 
mà không 
làm thay 
đổi bản 
chất bài 
toán 
160 25 5 180 
3 
Xây dựng 
bài toán 
khó từ 
những 
bài toán 
cơ bản 
120 45 15 180 
Tổng số 430 90 30 540 
50 | SKKN năm học 2022-2023 
Phần III. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 
1. Kết luận 
Với bất cứ một công việc gì bạn muốn thành công đòi hỏi bạn phải có sự đam 
mê yêu thích, sự đầu tư cả về thời gian, trí tuệ, vật chất và tinh thần cho nó. Công 
việc giảng dạy không là một ngoại lệ. Để kích thích niềm đam mê yêu thích môn học 
cũng như phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh đòi hỏi người giáo viên phải không 
ngừng đổi mới, đổi mới trong cách nghĩ, cách đánh giá, đổi mới trong cách làm việc 
và giảng dạy. Để mỗi ngày đến lớp là một ngày vui, sự giao tiếp giữa thầy và trò luôn 
được cởi mở và ngày càng gắn bó thân thiện, người giáo viên phải luôn tạo được sự 
hứng thú học tập đối với học sinh của mình, giúp các em được học tập chủ động, học 
tập bằng trải nghiệm sáng tạo, học tập trong hoạt động và bằng hoạt động trải nghiệm 
để chiếm lĩnh tri thức. 
Đề tài: Một số biện pháp dạy học chủ đề HÌNH HỌC KHÔNG GIAN LỚP 11 
nhằm phát triển năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo cho học sinh THPT, là một 
giải pháp khả thi giúp học sinh THPT phát triển năng lực nói chung, năng lực Toán 
học nói riêng đặc biệt là thành tố năng lực toán học đó là năng lực giải quyết vấn đề 
và sáng tạo, đã và đang được áp dụng trong quá trình giảng dạy của bản thân các tác 
giả tại đơn vị trường đang công tác tại các lớp mà tác giả đang giảng dạy từ năm học 
2021-2022 và 2022-2023 đến nay gồm các lớp 11A, 11I, 11N (năm học 2021-2022) 
và các lớp 11A, 11B, 11E, 11I, 11N trong đó 11A, 11B là lớp mũi nhọn định hướng 
tổ hợp các môn Toán - Vật lí - Hóa học, tập trung các em có năng lực khá giỏi về 
môn Toán, lớp 11E, 11I tập trung các em có năng lực trung bình khá và khá về môn 
Toán, lớp 11N là đối tượng các em học sinh trung bình yếu về môn Toán. Đồng thời 
đã được các đồng nghiệp cùng trường tiến hành thực nghiệm trên các trong khối. Quá 
trình triển khai và áp dụng với phương thức lựa chọn kiến thức và bài tập phù hợp tôi 
nhận thấy gây được sự hứng thú học tập cho các em, các em có sự tiến bộ về mặt tư 
duy cũng như năng lực giải quyết vấn đề Toán. Đây cũng là đề tài mà qua tìm hiểu 
của bản thân thì cũng có thầy cô bàn đến  nhưng không cụ thể và không theo con 
đường nghiên cứu xây dựng của đề tài này, và đề tài này của bản thân đúc rút, tích 
lũy từ quá trình học tập giảng dạy của bản thân cũng như học hỏi từ đồng nghiệp nên 
chắc chắn có đặc trưng khác biệt mà không trùng với các đề tài đã được nghiên cứu 
trước đây. 
2. Kiến nghị 
Từ kinh nghiệm của bản thân tôi nhận thấy: Để áp dụng đề tài một cách hiệu 
quả thì cần có những yêu cầu sau đối với giáo viên, học sinh và các cấp quản lí: 
- Đối với GV: Phải thật sự say mê, tâm huyết và yêu nghề, trau dồi chuyên 
môn. Tích cực chuyển đổi và thay đổi bản thân, đặc biệt là tích cực học hỏi tích lũy 
trau dồi công nghệ số để thích nghi với công nghệ thời đại 4.0. Chuẩn bị giáo án phù 
hợp với đối tượng học sinh theo từng mức độ và từng đơn vị lớp. Trong quá trình 
51 | SKKN năm học 2022-2023 
giảng dạy phải thật sự linh hoạt, gần gũi chia sẻ những kinh nghiệm, trải nghiệm của 
bản thân với học sinh. Chia sẻ giúp đỡ các em tháo gỡ những khó khăn vướng mắc. 
- Đối với học sinh: Phải nghiêm túc, chủ động trong quá trình học tập, mạnh 
dạn trao đổi trình bày, chia sẻ những băn khoăn, những chỗ chưa hiểu. Luôn đặt mục 
tiêu phấn đấu trong quá trình học. Trên lớp học và trong giờ học phải cởi mở, hợp 
tác, tranh luận xây dựng với nhóm, với các bạn và với thầy cô. 
- Đối với các cấp quản lí: Tạo điều kiện hết sức cho giáo viên được học tập 
trao đổi, trau dồi chuyên môn bằng cách giới thiệu, cung cấp tài liệu, tập huấn phổ 
biến các nội dung mới thiết thực cho việc dạy học. Đầu tư trang thiết bị dạy học phù 
hợp, khi cần sử dụng khai thác là có ngay để sử dụng. 
Mặc dù đã hết sức cố gắng để hoàn thành đề tài, chúng tôi vẫn mong muốn 
nhận được các góp ý, nhận xét, được học hỏi thêm từ quý thầy cô và các bạn đồng 
nghiệp. 
Xin chân thành cảm ơn! 
Diễn Châu, ngày 20 tháng 04 năm 2023 
52 | SKKN năm học 2022-2023 
B. KẾ HOẠCH THỰC HIỆN 
 Thời gian Nội dung thực hiện 
Tháng 10 năm 2021 Chọn đề tài Sáng kiến kinh nghiệm 
Tháng 11 năm 2021 Hoàn thành đề cương 
Tháng 12 năm 2021 đến hết tháng 09 
năm 2022 
Tập trung nghiên cứu 
Tháng 10 năm 2022 đến tháng 03 
năm 2023 
Viết và hoàn chỉnh sáng kiến 
Tháng 04 năm 2023 Nạp sáng kiến về hội đồng chấm 
sáng kiến Trường 
C. TÀI LIỆU THAM KHẢO 
[1] G. Polya (1965), Sáng tạo toán học, tập 1,2,3 Tài liệu bồi dưỡng GV, Bản dịch 
của Phan Tất Đắc, Nguyễn Giản, Hồ Thuần, NXB GD. 
[2] G. Polya (1997), Giải một bài toán như thế nào?, NXB Giáo dục, Hà Nội. 
 [3] Đào Tam(2004), Hình học sơ cấp, nhà Nhà xuất bản Đại học sư phạm. 
[4] Sách giáo khoa Hình học 11 THPT hiện hành, NXBGD. 
[5] Đề thi THPT quốc gia môn Toán. 
[6] Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh, thành phố. 
[7] Tạp chí Toán học và tuổi trẻ, NXBGD. 
[8] Internet