Sáng kiến kinh nghiệm Một số bài toán về mặt cầu trong hệ toạ độ Oxyz

IA R và 82IB R nên hai điểm A , B nằm ngoài mặt cầu S . 
Gọi K là trung điểm đoạn thẳng AB thì 1; 2; 1K và K nằm ngoài mặt cầu S . 
Ta có: .MA MB
  .MK KA MK KB 
    
 2 . .MK MK KA KB KA KB 
     
2 2MK KA . 
Suy ra .MA MB
  
 nhỏ nhất khi 2MK nhỏ nhất, tức là MK nhỏ nhất. 
Đánh giá: IM MK IK R MK IK MK IK R . 
Suy ra MK nhỏ nhất bằng IK R , xảy ra khi I , M , K thẳng hàng và M nằm giữa hai 
điểm I , K . Như vậy M là giao điểm của đoạn thẳng IK và mặt cầu S . 
Có 2; 4; 2IK 
 
, 2 222 4 2 2 6 4 4IK R IM . 
Suy ra 4IK IM 
  
2 4 1
4 4 2
2 4 1
a
b
c
1
2
1
1
2
a
b
c
. 
Vậy 1a b c . 
Ví dụ 14. Trong không gian tọa độ Oxyz , cho 5 điểm 1;0;0A , 1;1;0B , 0; 1;0C , 
 0;1;0D , 0;3;0E . M là điểm thay đổi trên mặt cầu 2 2 2( ) : ( 1) 1S x y z . Giá trị 
lớn nhất của biểu thức 2 3P MA MB MC MD ME 
     
 là: 
A. 12 . B. 12 2 . C. 24 . D. 24 2 . 
Hướng dẫn giải: 
18 
Mặt cầu S : tâm 0;1;0I bán kính 1R 
Gọi trọng tâm tam giác ABC là 0;0;0G , trung điểm DE là 0; 2;0N 
do ,G N đều nằm trên S và I là trung điểm GN nên GN là đường kính của S 
 2 3 2 3 3 2 6 6 6P MA MB MC MD ME MG MN MG MN MG MN 
       
Ta có: 2 2 2 22 2 8MG MN MG MN GN 
Suy ra 2 2MG MN . Vậy giá trị lớn nhất của P là 12 2 . 
Ví dụ 15. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho các điểm 0; 1;3A ,
 2; 8; 4B , 2; 1;1C và mặt cầu 2 2 2: 1 2 3 14S x y z . Gọi 
 ; ;M M MM x y z là điểm trên S sao cho biểu thức 3 2MA MB MC 
   
 đạt giá trị nhỏ 
nhất. Tính M MP x y . 
A. P 0 . B. P 6 . C. P 14 . D. P 3 14 . 
Hướng dẫn giải: 
Gọi J là điểm thỏa mãn 3 2 0JA JB JC 
   
2 3 2 0JO OA OB OC 
    
2 3 2OJ OA OB OC 
    
 (3;6;9)J . 
Mà 3 2 2 3 2MA MB MC MJ JA JB JC 
       
 nên 3 2 2MA MB MC MJ 
    
Do đó 
min min
3 2 2MA MB MC MJ 
    
. 
Mặt khác: S có tâm 1;2;3I , bán kính 14R và 2 14IJ R điểm J nằm 
ngoài mặt cầu nên IJ cắt mặt cầu S tại hai điểm 1 2,M M . 
Phương trình đường thẳng 
1 2
: 2 4 ,
3 6
x t
IJ y t t
z t
 . 
19 
Xét hệ phương trình:
 2 2 2
1 2
2 4
3 6
1 2 3 14
x t
y t
z t
x y z
1
2
1
2
1
2
t
t
. 
Suy ra 1 22;4;6 , 0;0;0M M , 1 214 ; 3 14M J M J . 
Vậy 
min min
3 2 2MA MB MC MJ 
    
1M M  . 
2 4 6M MP x y . 
Ví dụ 16. Trong không gian với hệ trục Oxyz , cho mặt cầu 2 2 2: 1 4 8S x y z 
và điểm 3;0;0 ; 4;2;1A B . Điểm M thay đổi nằm trên mặt cầu, tìm giá trị nhỏ nhất 
của biểu thức 2P MA MB . 
A. 2 2P . B. 3 2P . C. 4 2P . D. 6 2P . 
Hướng dẫn giải: 
Cách 1 
Nhận xét: điểm ,A B nằm ngoài mặt cầu S . Mặt cầu S có tâm 1;4;0 , 2 2I R . 
Ta có: 4 2 2 , 1;2;0IA R E IA S E  . 
Gọi F là trung điểm của 0;3;0IE F . 
Tam giác IFM và IMA có AIM chung và 1
2
IF IM AIM MIF
IM IA
  . 
Suy ra 2 2MA AI MA MF
FM MI
 . 
Ta có: 2 2 2 6 2MA MB MF MB FB . 
20 
Vì F nằm trong S và B nằm ngoài S nên dấu '' '' xảy ra khi M BF S  . 
Cách 2 
Giả sử ; ;M x y z . Ta có: 3 ; y ;AM x z 
 
, 4 ; y 2 ; 1BM x z 
 
. 
Và 2 2 21 4 8x y z 2 2 23 1 4 8 0x y z . 
Ta có: 2P MA MB 2 2 2 22 23 2 4 2 1x y z x y z 
 2 2 2 2 2 22 2 23 3 1 4 8 2 4 2 1x y z x y z x y z 
 2 2 22 2 24 4 24 4 36 2 4 2 1x y y z x y z 
 2 2 2 22 22 3 4 2 1x y z x y z 
 2 2 2 22 22 3 4 2 1x y z x y z 
Áp dụng bất đẳng thức Minkowxki: 
2 2 2 2 2 2a b c d e f 2 2 2a d b e c f . 
Dấu bằng xảy ra khi: 0a b a
d e f
 . 
 2 2 2 2 222 4 3 2 1 2 4 1 1 6 2P x x y y z z . 
Dấu bằng xảy ra khi: 
 2 2 2
3 0
4 2 1
1 4 8
x y z t
x y z
x y z
2 2 2
4
1
2 3
1
1
5 1 2 1 8
1 1 1
tx
t
ty
t
tz
t
t t t
t t t
2
4
1
2 3
1
1
22 2 6 0
tx
t
ty
t
tz
t
t t
4 4 133
23 133
34 133
23 133
1 133
23 133
1 133
22
x
y
z
t
. 
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức là 6 2 . 
21 
Ví dụ 17. Trong không gian Oxyz ,cho mặt cầu 2 2 2: 2 2 2 0S x y z x z và các 
điểm 0;1;1A , 1; 2; 3B , 1;0; 3C . Điểm D thuộc mặt cầu S . Thể tích tứ diện 
ABCD lớn nhất bằng: 
A. 9 . B. 8
3
. C. 7 . D. 16
3
. 
Hướng dẫn giải: 
Ta có: 2 22: 1 1 4S x y z và 
1; 3; 4
, 8; 8;4 .
1; 1; 4
AB
AB AC
AC
 
  
 
Gọi 
2 221 1 4
; ; .
; 1; 1
x y z
D x y z S
AD x y z
 
Ta có: 1 1 2, . 8 8 4 4 2 2 1
6 6 3ABCD
V AB AC AD x y z x y z 
   
. 
Ta có: 2 2 1 2. 1 2. 1. 1 2x y z x y z và 
 2 22 2 2 22 1 2 1 2 2 1 1 1 6x y z x y z 
 6 2 1 2 1 6 4 2 2 1 8x y z x y z 
162 2 1 8
3ABCD
x y z V 
Vậy giá trị lớn nhất của ABCDV bằng 
 2 22
1 1 016 7 4 12 2 1 ; ;
3 3 3 31 1 4
x y z
D
x y z
. 
Ví dụ 18. Trong không gian Oxyz , xét số thực 0;1m và hai mặt phẳng 
 : 2 2 10 0x y z và : 1
1 1
x y z
m m
 
. Biết rằng, khi m thay đổi có hai mặt cầu 
22 
cố định tiếp xúc đồng thời với cả hai mặt phẳng ,  . Tổng bán kính của hai mặt cầu 
đó bằng 
A. 6 B. 3 C. 9 D. 12 
Hướng dẫn giải: 
Gọi ; ;I a b c là tâm mặt cầu. Theo giả thiết ta có , ,R d I d I  . 
Mà 
 22
1
1,
1 1 1
1
a b c
m md I
m m
  
. Ta có 
2
22
1 1 1 1 1 11 2 . 1
1 11m m m m mm
2
1 1 1 12 . 1 1(do 0;1
1 1 1
m
m m m m m m
Nên 
2 2
2
2 2 2
2 2 2
2
2
1 1 1
1
1 1
1
1
1 1 0 1
1 1 0 2
a m bm cm m m m
m m
R
m m
a am bm cm cm m m
R
m m
R Rm Rm a am bm cm cm m m
R Rm Rm a am bm cm cm m m
m R c m a b c R R a
m R c m b c a R R a
Xét (1) do mặt cầu tiếp xúc với tiếp xúc đồng thời với cả hai mặt phẳng ,  với mọi 
 0;1m nên pt (1) nghiệm đúng với mọi 0;1m . 
1 0
1 0 ; ;1
0 1
R c a R
a b c R b R I R R R
R a c R
. 
Mà 
2 2 1 10 3
, 3 12
6( )3
R R R R
R d I R R R
R l
Xét (2) tương tự ta được 
23 
1 0
1 0 ; ; 1
0 1
R c a R
b c a R b R I R R R
R a c R
Mà 
2 2 1 10 6
, 3 12
3( )3
R R R R
R d I R R R
R l
. 
Vậy 1 2 9R R . 
Ví dụ 19. Trong không gian Oxyz , cho điểm 2;11; 5A và mặt phẳng 
 2 2: 2 1 1 10 0P mx m y m z . Biết rằng khi m thay đổi, tồn tại hai mặt cầu cố 
định tiếp xúc với mặt phẳng P và cùng đi qua A . Tổng bán kính của hai mặt cầu đó 
bằng 
A. 10 2 . B. 12 3 . C. 12 2 . D. 10 3 . 
Hướng dẫn giải: 
Gọi 0 0 0; ;I x y z là tâm của mặt cầu S cố định và R là bán kính của mặt cầu S . 
Ta có: 
2 2
0 0 0
2 22 2 2
2 1 1 10
,
4 1 1
mx m y m z
R d I P
m m m
2 2
0 0 0
2
2 1 1 10
2 1
mx m y m z
m
2 2 2
0 0 0
2 2 2
0 0 0
2 1 1 10 2 1
2 1 1 10 2 1
mx m y m z R m
mx m y m z R m
 đúng với mọi m . 
2 2
0 0 0 0 0
2 2
0 0 0 0 0
2 10 2 2
2 10 2 2
y z m mx y z R m R
y z m mx y z R m R
 đúng với mọi m . 
0 0
0
0 0
0 0
0
0 0
2
0 
10 2
2
0 
10 2
y z R
x I
y z R
y z R
x II
y z R
Từ hệ I suy ra 0 0 00; 5 2; 5x y R z . Do đó tâm mặt cầu là 0;5 2; 5I R 
Ta có: 22 2 2 4 2 6R IA R R suy ra 2 2R và 10 2R 
24 
Hệ II suy ra 0 0 00; 5 2, 5x y R z 
Như vậy, ta có: 22 2 2 24 2 6R IA R R , phương trình không có giá trị R thỏa 
mãn nên loại. Vậy tổng hai bán kính của hai mặt cầu là: 12 2 . 
Ví dụ 20. Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu: 22 2: 1 5S x y z . Có tất cả bao 
nhiêu điểm ; ;A a b c ( , , a b c là các số nguyên) thuộc mặt phẳng Oxy sao cho có ít 
nhất hai tiếp tuyến của S đi qua A và hai tiếp tuyến đó vuông góc nhau? 
A. 20 . B. 8. C. 12 . D. 16 . 
Hướng dẫn giải: 
Mặt cầu 2 2 2: ( 1) 5S x y z có tâm 0;0; 1I và có bán kính 5R 
 ; ;0A a b Oxy , Gọi I là trung điểm của 1; ;
2 2 2
a bAI I 
Gọi ,E F lần lượt là hai tiếp điểm của tiếp tuyến đi qua A sao cho AE AF . 
Ta có: ,E F cùng thuộc mặt cầu S đường kính IA có tâm 1; ;
2 2 2
a bI 
, bán kính 
2 21 1
2
R a b . 
Đề tồn tại ,E F thì hai mặt cầu S và S phải cắt nhau suy ra R R II R R 
2 2 2 2 2 21 1 15 1 1 5 1
2 2 2
a b a b a b 
 2 2 2 25 1 4 1a b a b 
25 
Gọi H là hình chiếu của I trên AEF khi đó tứ giác AEHF là hình vuông có cạnh 
2 5AE HF AI . 
Ta có 2 2 2 2 2 2 2 2 25 5 10 0 1 10 9 2IH R HF AI AI a b a b 
Từ 1 và 2 ta có 2 24 9a b mà , , a b c nên có 20 điểm thỏa bài toán. 
Cách khác: 
Mặt cầu S có tâm 0,0, 1I bán kính 5R . Ta có 1I Oxyd R mặt cầu S cắt 
mặt phẳng Oxy . Để có tiếp tuyến của S đi qua 1A AI R . 
Có 2 2, , , ,0 , 1A a b c Oxy A a b IA a b . 
Quỹ tích các tiếp tuyến đi qua A của S là một mặt nón nếu AI R và là một mặt phẳng 
nếu AI R . 
Trong trường hợp quỹ tích các tiếp tuyến đi qua A của S là một mặt nón gọi ,AM AN 
là hai tiếp tuyến sao cho , , ,A M I N đồng phẳng. 
Tồn tại ít nhất hai tiếp tuyến của S đi qua A và hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau 
khi và chỉ khi 90 2 2oMAN IA R . 
Từ 2 21 , 2 4 9a b . Vì ,a b 
2
2
0
9
a
b
 hoặc 
2
2
9
0
a
b
 hoặc 
2
2
4
0
a
b
hoặc 
2
2
0
4
a
b
hoặc 
2
2
1
4
a
b
hoặc 
2
2
4
1
a
b
hoặc 
2
2
4
4
a
b
. 
Bốn hệ phương trình đầu tiên có hai nghiệm, ba hệ sau có 4 nghiệm suy ra số điểm A 
thỏa mãn là 4.2 3.4 20 . 
26 
Ví dụ 21. Trong không gian Oxyz cho mặt cầu 2 2 2: 1S x y z . Điểm M S có 
tọa độ dương; mặt phẳng P tiếp xúc với S tại M cắt các tia Ox ; Oy ; Oz tại các 
điểm A , B , C . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 21 1 1T OA OB OC là: 
A. 24. B. 27. C. 64. D. 8. 
Hướng dẫn giải: 
 S có tâm O và bán kính 1R . 
Theo đề bài ta có ,0,0 ; 0, ,0 ; 0,0, ; , , 0A a B b C c a b c khi đó phương trình mặt 
phẳng P là: 1x y z
a b c
 . 
 P tiếp xúc với S tại M S 
2 2 2
1; 1 1
1 1 1
d O P
a b c
 32 2 2 2 2 2 4 4 43 3 3 1abc a b b c c a a b c abc vì , , 0a b c . 
Khi đó: 2 2 2 2 2 21 1 1 1 1 1T OA OB OC a b c 
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 21 1 2T a b c a b b c c a a b c a b c a b c 
Mặt khác 32 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 21 2 1 3 2 64 2 64a b c a b c a b c a b c T . 
Vậy giá trị nhỏ nhất của T là 64 khi 1 và 2 xảy ra dấu bằng 3a b c . 
Ví dụ 22. Trong không gian Oxyz , cho hai điểm 3;1; 3A , 0; 2;3B và mặt cầu 
 2 22( ) : 1 3 1S x y z . Xét điểm M thay đổi luôn thuộc mặt cầu ( )S , giá trị 
lớn nhất của 2 22MA MB bằng 
A. 102 . B. 78 . C. 84 . D. 52 . 
Hướng dẫn giải: 
Gọi I là điểm thỏa mãn hệ thức 2 0 1; 1;1IA IB I 
  
. 
Ta có 2 22 22 22 2 2T MA MB MA MB MI IA MI IB       
2 2 2 23 2 3 36MI IA IB MI . 
Mặt cầu ( )S có tâm 1;0;3J , bán kính 1R . 
Ta có: IJ R I nằm ngoài mặt cầu ( )S . 
27 
Ta có: T lớn nhất IM lớn nhất. Mà max 3 1 4IM IJ R . 
Do đó: 2max 3.4 36 84.T 
CÁC BÀI TỰ LUYỆN 
 Bài 1. Trong không gian với hệ trục tọa độ Ox ,yz cho mặt cầu 
 2 2 2: 1 2 1 9S x y z và hai điểm 4;3;1A , 3;1;3B ; M là điểm thay đổi 
trên S . Gọi ,m n là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 22P MA MB . 
Xác định m n . 
A. 64 . B. 68 . C. 60 . D. 48 . 
Hướng dẫn giải: Xét điểm I sao cho: 2 0.IA IB 
  
Bài 2. Cho mặt cầu 2 2 2: 2 1 3 9S x y z và hai điểm 1 ; 1 ; 3A , 
 21 ; 9 ; 13B . Điểm ; ; M a b c thuộc mặt cầu S sao cho 2 23MA MB đạt giá trị 
nhỏ nhất. Khi đó giá trị của biểu thức . .T a b c bằng 
A. 3 . B. 8 . C. 6 . D. 18 . 
Hướng dẫn giải: Xét điểm I thỏa mãn 3 0 6 ; 3 ; 1IA IB I 
  
. 
Bài 3. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai điểm 2; 2;4A , 3;3; 1B 
và mặt cầu 2 2 2: 1 3 3 3S x y z . Xét điểm M thay đổi thuộc mặt cầu S , 
giá trị nhỏ nhất của 2 22 3MA MB bằng 
A. 103 . B. 108 . C. 105 . D. 100 . 
Hướng dẫn giải: Xét điểm E thỏa mãn: 2 3 0EA EB 
  
. Suy ra 1;1;1E . 
Bài 4. Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu 2 22: 1 2 10S x y z và hai điểm 
 1;2; 4A và 1;2;14B . Điểm M thay đổi trên mặt cầu S . Giá trị nhỏ nhất của 
 2MA MB bằng 
J
IM
28 
A. 2 82 . B. 3 79 . C. 5 79 . D. 3 82 . 
3. Một số bài toán khác 
Ví dụ 23. Cho , , , , ,a b c d e f là các số thực thỏa mãn 
2 2 2
2 2 2
1 2 3 1
.
3 2 9
d e f
a b c
Gọi giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
 2 2 2F a d b e c f 
lần lượt là , .M m Khi đó, M m bằng 
A. 10 . B. 10 . C. 8. D. 2 2 . 
Hướng dẫn giải: 
Gọi , ,A d e f thì A thuộc mặt cầu 2 2 21 : 1 2 3 1S x y z . 
có tâm 1 1;2;3I , bán kính 1 1R , , ,B a b c thì B thuộc mặt cầu 
 2 2 22 : 3 2 9S x y z 
có tâm 2 3;2;0I , bán kính 2 3R . 
Ta có 1 2 1 25I I R R 1S và 2S không cắt nhau và ở ngoài nhau. 
Dễ thấy F AB , AB max khi 1 1,A A B B  Giá trị lớn nhất bằng 1 2 1 2 9I I R R . 
AB min khi 2 2,A A B B  
 Giá trị nhỏ nhất bằng 1 2 1 2 1I I R R . 
Vậy 8M m . 
Ví dụ 24. Cho hình chóp SABC có đáy là tam giác đều cạnh bằng 6cm và 
 4 3SA SB SC cm .Gọi D là điểm đối xứng của B qua C .Khi đó bán kính mặt cầu 
ngoại tiếp hình chóp SABD bằng ? 
29 
A. 5cm B. 3 2cm C. 26cm D. 37cm 
Hướng dẫn giải: 
Cách 1 : Dựng CG vuông góc với ABC , qua E dựng mặt phẳng vuông góc với SB , mặt 
phẳng này cắt CG tại F . Suy ra F là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABD .Đặt 
SF R . 
Xét hình chữ nhật : 2 2 1FGSH FC SH FG SH R CH 
Lại có : 2 2 2FC R CB . 
Từ (1) và (2) suy ra 
2 2 2 2SH R CH R CB 
 2 2 26 12 36 5 12 0 37R R R R cm . 
Cách 2 : 
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ . 
Ta có : 
 0;0;0 , 3 3; 3;0 , 3 3;3;0 , 2 3;0;6C A B S 
 220;0; 36 12 6F CG F t FA FS t t 1 37t SC cm . 
Ví dụ 25. Cho , , , , ,x y z a b c là các số thực thay đổi thỏa mãn 2 2 21 1 2 1x y z 
và 3.a b c Tìm giá trị nhỏ nhất của 2 2 2 .P x a y b z c 
A. 3 1 . B. 3 1 . C. 4 2 3 . D. 4 2 3 . 
30 
Hướng dẫn giải: 
Gọi ; ;M x y z M thuộc mặt cầu S tâm 1; 1;2I bán kính 1R . 
Gọi ; ;H a b c H thuộc mặt phẳng : 3 0P x y z 
Ta có 1 1 2 3, 3
3
d I P R
 P và S không có điểm chung. 
Do đó 2 2 2 2P x a y b z c MH đạt giá trị nhỏ nhất khi vị trí của M và H 
như hình vẽ. Khi đó , 3 3 1HI d I P HM HI R . 
Do đó 2min 3 1 4 2 3P . 
Ví dụ 26. Cho , ,x y z là ba số thực thỏa mãn 2 2 2 4 6 2 11 0x y z x y z . Tìm giá 
trị lớn nhất của 2 2P x y z . 
A. max 20P . B. max 18P . C. max 18P . D. max 12P . 
Hướng dẫn giải: 
Ta có: 2 2 2 2 0 1P x y z x y z P . 
Lại có: 2 2 22 2 2 4 6 2 11 0 2 3 1 25 2x y z x y z x y z 
Xét trong hệ trục tọa độ Oxyz , ta thấy 1 là phương trình của một mặt phẳng, gọi là 
 mp và 2 là phương trình của một mặt cầu S tâm 2; 3;1I , bán kính 5R . 
Giá trị lớn nhất của 2 2P x y z là giá trị lớn nhất của P để và S có điểm 
chung, điều này tương đương với 
 22 2
2.2 2. 3 1.1
, 5 3 15 18 12.
2 2 1
P
d I R P P 
Vậy max 12P . 
31 
PHẦN III: KẾT LUẬN 
Trong chuyên đề, các kiến thức cơ bản về mặt cầu được trình bày một cách khoa 
học giúp bạn đọc phân loại các kiến thức về mặt cầu trong các bài toán toạ độ không 
gian, kèm theo một số bài tập minh hoạ. Chuyên đề đã xét đến một số bài toán viết 
phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu, một số bài tính toán, tìm điểm. Chuyên 
đề chưa xét đến các bài toán tìm các điểm khồng nằm trên mặt cầu. 
Hi vọng chuyên đề sẽ là một tài liệu có ích cho các thầy cô và các em học sinh 
trong việc học hình không gian. 
Người viết chuyên đề 
Nguyễn Hương Giang 
32 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
[1] Nguyễn Phú Khánh, Huỳnh Đức Khánh. Câu hỏi và bài tập trắc nghiệm toán 12. 
NXB Đại học Quốc gia Hà Nội. 
[2] Trần Tuấn Nam, Lê Thế Tùng, Trần Đình Nam, Hà Văn Thắng, Nguyễn Văn 
Nguyên. Tuyển chọn một số chuyên đề toán trung học phổ thông. NXB Đại học Sư 
phạm. 
[3] Báo Toán học tuổi trẻ. 
[4] Trang web toanmath.com.