Sáng kiến kinh nghiệm Một số bài toán liên quan đến phương trình đường thẳng

ủa điểm qua đường thẳng ∆ khi và chỉ khi H là trung điểm của 
Cách 2: Nếu pt ∆ cho dưới dạng tham số: 
Bước 1: Gọi H là hình chiếu của A trên ∆ thì tọa độ 
Bước 2: Do nên tọa độ H
A’
∆
A
H
Bước 3: là điểm đối xứng của điểm qua đường thẳng ∆ khi và chỉ khi H là trung điểm của 
Cách 3: Nếu pt ∆ cho dưới dạng tổng quát: 
Gọi là hình chiếu của điểm A trên ∆ 
Khi đó 
 (1)
 cùng phương với 
Do đó: (2)
Giải (1) và (2) ta được tọa độ điểm H
Bài tập 4: Cho đường thẳng và điểm 
a) Tìm tọa độ hình chiếu của A trên 
b) Tìm điểm là điểm đối xứng của qua 
Giải
a) + Gọi H là hình chiếu của A trên 
Đường thẳng AHpt AH có dạng: 
AH đi qua A nên: 
Vậy phương trình AH là: 
+ 
Tọa độ H là nghiệm hệ: 
b) là điểm đối xứng của qua là trung điểm của 
Bài toán: Lập phương trình đường thẳng đối xứng với đường thẳng qua I
+ Bước 1: Lấy một điểm A thuộc ; gọi A’ là điểm đối xứng của A qua I (tức I là trung điểm của AA’)
+ Bước 2: Viết pt của đường thẳng đi qua điểm A’ và song song với 
A’
d1
A
d
I
Ÿ
Bài tập 5: Cho điểm và đường thẳng . Viết phương trình tổng quát của đường thẳng đối xứng với đường thẳng qua điểm I.
Giải
Dễ thấy ; gọi là điểm đối xứng với A qua I suy ra 
Vì nên phương trình có dạng: 
 qua nên: 
Vậy pt đường thẳng là: 
CHUYỂN DẠNG PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
1. Với cho dưới dạng tổng quát: 
Để chuyển về dạng tham số ta thực hiện theo các bước sau:
a) có vtpt có vtcp là: 
b) Lấy một điểm A thuộc (cho x tìm y hoặc cho y tìm x)
c) Viết pttq của với đi qua A và có vtpt 
2. Với cho dưới dạng tham số: 
+ Để chuyển về dạng tổng quát ta khử t từ hệ ta sẽ nhận được pt tổng quát hoặc từ pt tham số ta lấy một điểm thuộc và tìm được vtcp vtpt rồi viết pt tổng quát của 
+ Để chuyển về dạng chính tắc ta rút t từ hệ sẽ nhận được pt chính tắc
3. Với cho dưới dạng chính tắc: 
+ Để chuyển về dạng tổng quát: ta đơn giản pt trên sẽ nhận được pt tổng quát
+ Để chuyển về dạng tham số ta sử dụng tham số trung gian t sẽ nhận được ptts
VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG
@Cho hai đường thẳng có phương trình:
Trong trường hợp đều khác 0 ta có:
+ cắt , nếu cắt thì tọa độ giao điểm của là nghiệm của hệ:
+ 
+ 
@ Cho hai đường thẳng có phương trình:
Ta xét hệ: 
a) Nếu hệ có một nghiệm thì d cắt d’
b) Nếu hệ vô nghiệm thì 
c) Nếu hệ có vô số nghiệm thì 
Bài tập 6: Xét vị trí tương đối của mỗi cặp đường thẳng sau và tìm giao điểm (nếu có) của chúng:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
Giải
a) Ta có: vậy d cắt d’
Tọa độ giao điểm là nghiệm hệ: 
b) Ta có: Vậy d//d’
c) Ta có: vậy 
d) Xét hệ: 
Vậy d cắt d’ tại 
e) Hướng dẫn: đưa d và d’ về cùng một dạng (tham số hoặc chính tắc rồi làm tương tự như trên)
Bài toán: Tìm trên đường thẳng d: điểm M sao cho MA+MB nhỏ nhất, với các điểm A và B cho trước và không thuộc đường thẳng d
ª Xác định 
[ Khả năng 1: <0 thì A,B khác phía đối với d
Ta luôn có 
Do đó đạt được khi A,B,M thẳng hàng
[ Khả năng 2: thì A,B cùng phía đối với d
+ Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua đường thẳng d
+ Ta có 
Ÿ
Ÿ
Ÿ
A
B
H
A’
M
d
Ÿ
Do đó đạt được khi A’, B, M thẳng hàng
A
B
M
d
M
Ÿ
Ÿ
Bài tập 7: Cho hai điểm và đường thẳng d có pt: . Tìm trên đường thẳng một điểm M sao cho nhỏ nhất.
Giải
Ta có: A, B khác phía đối với d
Ta có: 
Do đó nhỏ nhất thẳng hàng
Phương trình đường thẳng AB là: 
Tọa độ M là nghiệm hệ: 
Bài tập 8: Cho đường thẳng . Tìm điểm và cách điểm một khoảng bằng 5
Giải
Theo giả thiết 
. Vậy có hai điểm M cần tìm là: 
KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT ĐƯỜNG THẲNG
1) Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng cho trước
Cho đường thẳng và điểm . Khi đó khoảng cách từ điểm M cho trước đến ∆ được tính bởi công thức: 
2) Phương trình hai đường phân giác
Cho hai đường thẳng cắt nhau: ; . Khi đó phương trình hai đường phân giác của các góc tạo bởi là:
3) Lưu ý:
+ Nếu phương trình đường thẳng cho dưới dạng tham số, chính tắc thì ta trước hết phải đưa về dạng tổng quát
+ Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song bằng khoảng cách từ một điểm tùy ý trên đường thẳng này đến đường thẳng kia.
Bài tập 9: Tìm khoảng cách từ điểm đến các đường thẳng sau:
a) 
b) 
Giải
a) 
b) 
Bài tập 10: Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng song song 
Giải
Lấy 
Vậy 
Bài tập 11: Tìm những điểm nằm trên đường thẳng và có khoảng cách từ đó đến bằng 
Xét . Vậy 
Theo giả thiết: 
Vậy có hai điểm M cần tìm là: 	
Bài tập 12: Cho . Lập phương trình đường thẳng đi qua P đồng thời cách đều M,N
Giải
Gọi là vtpt của 
Phương trình : 
 cách đều M,N nên: 
Trường hợp 1 chọn a=3,b=2 ta được pt đường thẳng 
Trường hợp 2 chọn a=1,b=0 ta được pt đường thẳng 
Bài tập 13: Cho 
a) Chứng minh d cắt d’
b) Lập phương trình hai đường phân giác của các góc tạo bởi d và d’
Giải
a) Vì: nên d cắt d’
b) Phương trình hai đường phân giác của các góc tạo bởi d và d’ là:
Bài tập 14: Lập phương trình đường phân giác trong của góc A của biết 
Giải
+ Phương trình cạnh AB: 
+ Phương trình cạnh AC: 
+ Phương trình hai đường phân giác của góc A: 
+ Xét đường phân giác 
Thế tọa độ điểm B vào vế trái của : 
Thế tạo độ điểm C vào vế trái của : 
Vì nên B và C nằm cùng phía đối với là đường phân giác ngoài
Vậy đường phân giác trong của góc A là: 
Bài tập 15: Cho tam giác ABC với . Xét xem cắt cạnh nào của tam giác ABC
Giải
 	vậy cắt cạnh AC,BC; không cắt cạnh AB
GÓC HỢP BỞI HAI ĐƯỜNG THẲNG
Cho hai đường thẳng . Khi đó góc giữa hai đường thẳng được tính theo công thức:
 trong đó: là các vtpt của 
Chú ý: 
Nếu: thì 
Bài tập 16: Tìm góc hợp bởi hai đường thẳng sau:
a) 
b) 
Giải
a) d có vtpt là ; d’ có vtpt là 
Bài tập 17: Cho đường thẳng . Lập phương trình đường thẳng d đi qua và tạo với một góc 
Giải
+ Gọi là vtpt của của d
Phương trình đường thẳng có dạng: 
+ có vtpt là 
+ Vì góc hợp bởi d và là 450 nên: 
+ Cho b=1
Vậy có 2 đường thẳng cần tìm là: 
Bài tập 18: Cho điểm . Viết pt đường thẳng cắt hai trục tọa độ ở A và B sao cho là tam giác vuông cân tại đỉnh M
Hướng dẫn: + Giả sử d là đường thẳng cần tìm và d lần lượt cắt hai trục Ox,Oy tại 
+ Tam giác ABM vuông cân tại đỉnh M
+ Từ đó ta có hệ pt: rút (1) thế vào (2) suy ra pt vn
Vậy không tồn tại đường thẳng d cần tìm.
BÀI TẬP VẬN DỤNG:
1. Viết phương trình tham số, pt tổng quát của trong mỗi trường hợp sau:
a) Qua và có vtpt 
b) Qua 
c) Qua 
d) Qua và có hệ số góc 
2. Cho tam giác ABC với . Viết phương trình các cạnh AB, BC, CA, đường trung tuyến BM, đường cao BK của tam giác ABC; đường trung trực của đoạn AB
3. Cho đường thẳng và điểm 
a) Tìm tọa độ hình chiếu của A lên 
b) Tìm điểm đối xứng của điểm A qua 
ĐS: ; 
4. Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng sau:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
ĐS: a) d cắt d’; 	b) d//d’	c) dd’	d) d cắt d’	e) dd’
5. Cho đường thẳng . Tìm điểm với 
ĐS: 
6. Tìm hình chiếu vuông góc của điểm trên đường thẳng 
ĐS: 
7. Cho điểm . Hãy viết phương trình đường thẳng:
a) Đi qua A và song song với 
b) Đi qua A và vuông góc với 
ĐS: a) 	b) 
8. Trên đường thẳng , tìm điểm M cách đều hai điểm 
ĐS: 
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
01/.Đường thẳng 51x - 30y + 11 = 0 đi qua điểm nào sau đây ?
	A. 	B. 	C. 	D. 
02/.Đường thẳng 12x - 7y + 5 = 0 không đi qua điểm nào sau đây ?
	A. (-1 ; -1)	B. (1 ; 1)	C. 	D. 
03/.Cho 2 điểm A(1 ; -4) , B(3 ; 2). Viết phương trình tổng quát đường trung trực của đoạn thẳng AB.
	A. 3x + y + 1 = 0	B. x + 3y + 1 = 0 	
	C. 3x - y + 4 = 0	D. x + y - 1 = 0
04/.Viết phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua 2 điểm A(3 ; -1) và B(1 ; 5)
	A. 3x - y + 10 = 0	B. 3x + y - 8 = 0
	C. 3x - y + 6 = 0	D. -x + 3y + 6 = 0
05/.Viết phương trình của đường thẳng đi qua 2 điểm A(0 ; -5) và B(3 ; 0)
	A. 	B. 	C. 	D. 
06/.Viết phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua điểm O(0 ; 0) và song song với đường thẳng có phương trình 6x - 4y + 1 = 0.
	A. 4x + 6y = 0	B. 3x - 2y = 0	
	C. 3x - y - 1 = 0 	 D. 6x - 4y - 1 = 0
07/.Viết phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua điểm I(-1 ; 2) và vuông góc với đường thẳng có phương trình 2x - y + 4 = 0.
	A. x + 2y = 0	B. x -2y + 5 = 0 	C. x +2y - 3 = 0 D. -x +2y - 5 = 0
08/.Cho rABC có A(1 ; 1), B(0 ; -2), C(4 ; 2). Viết phương trình tổng quát của trung tuyến AM.
	A. 2x + y -3 = 0	B. x + 2y -3 = 0 	C. x + y -2 = 0	D. x -y = 0 
09/.Cho rABC có A(1 ; 1), B(0 ; -2), C(4 ; 2). Viết phương trình tổng quát của trung tuyến BM.
	A. 7x +7 y + 14 = 0	B. 5x - 3y +1 = 0 
	C. 3x + y -2 = 0	D. -7x +5y + 10 = 0 
10/.Cho rABC có A(2 ; -1), B(4 ; 5), C(-3 ; 2). Viết phương trình tổng quát của đường cao AH.
	A. 3x + 7y + 1 = 0	B. -3x + 7y + 13 = 0 
	C. 7x + 3y +13 = 0	D. 7x + 3y -11 = 0 
11/.Cho rABC có A(2 ; -1), B(4 ; 5), C(-3 ; 2). Viết phương trình tổng quát của đường cao BH.
	A. 5x - 3y - 5 = 0	B. 3x + 5y - 20 = 0 
	C/. 3x + 5y - 37 = 0	D. 3x - 5y -13 = 0 .
12/.Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng r: 5x + 2y - 10 = 0 và trục hoành Ox. 
A. (0 ; 5)	B. (-2 ; 0)	C. (2 ; 0)	D. (0 ; 2).
13/.Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng D: 15x - 2y - 10 = 0 và trục tung Oy. 
A. ( ; 5)	B. (0 ; -5)	C. (0 ; 5)	D. (-5 ; 0).
14/.Tìm tọa độ giao điểm của 2 đ.thẳng D : 4x - 3y - 26 = 0 và đường thẳng D : 3x + 4y - 7 = 0. 
	A. (2 ; -6)	B. (5 ; 2)	C. (5 ; -2)	D. Không giao điểm.
15/.Cho 4 điểm A(1 ; 2), B(-1 ; 4), C(2 ; 2), D(-3 ; 2). Tìm tọa độ giao điểm của 2 đường thẳng AB và CD
	A. (1 ; 2)	B. (3 ; -2)	C. (0 ; -1)	D. (5 ; -5).
16/.Xác định vị trí tương đối của 2 đường thẳng sau đây :
	r1 : x - 2y + 1 = 0 và r2 : -3x + 6y - 10 = 0.
	A. Song song.	B. Cắt nhau nhưng không vuông góc.
	C. Trùng nhau.	D. Vuông góc nhau. 
17/.Xác định vị trí tương đối của 2 đường thẳng sau đây :
	D1: 11x - 12y + 1 = 0 và D2: 12x + 11y + 9 = 0.
	A. Song song.	B. Cắt nhau nhưng không vuông góc.
	C. Trùng nhau.	D. Vuông góc nhau. 
18/.Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua 2 điểm A(3 ; -1) và B(1 ; 5).
	A. 	B. 	C. 	 D. .
19/.Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm O(0 ; 0) và song song với đường thẳng r : .
	A. 	B. 	C. 	 D. .
20/.Viết phương trình tham số của đường thẳng (D) đi qua điểm A(-1 ; 2) và vuông góc với đường thẳng r : .
	A. 	B. 	C. 	 D. .
21/.Cho đường thẳng r : . Điểm nào sau đây nằm trên r ?
	A. (7 ; 5)	B. (20 ; 9)	C. (12 ; 0)	D. (-13 ; 33). 
22/.Cho đường thẳng r : . Điểm nào sau đây không nằm trên r ?
	A. (1 ;1)	B. ()	
C. ()	D. ()
23/.Cho đường thẳng r : . Viết phương trình tổng quát của r.
	A. 4x + 5y - 17 = 0	B. 4x - 5y + 17 = 0	
C. 4x + 5y + 17 = 0 	D. 4x - 5y - 17 = 0.
24/.Phương trình tham số của đường thẳng r : là :
	A. 	B. 	C. 	 D. .
25/.Tìm tọa độ giao điểm của 2 đường thẳng sau đây :
	 r1: và r2 : 
	A. (-3 ; 2)	B. (1 ; 7)	C. (1 ; -3)	D. (5 ; 1)
26/. Với giá trị nào của m hai đường thẳng sau đây song song ?
	r1: và r2 : .
	A. m = 1 hoặc m = 2 	B. m = 1 hoặc m = 0	C. m = 2	D/. m = 1 
27/. Với giá trị nào của m thì 2 đường thẳng sau đây vuông góc ?
	 r1 : và r2 : 
	A. 	B. Không m nào	C. m = 2	D. m = 0.
28/. Định m để 2 đường thẳng sau đây vuông góc :
	r1 : và r2 : 
	A. m = 	B. m = -	C. m = 	D. m = -
29/. Với giá trị nào của m hai đường thẳng sau đây cắt nhau ?
	r1 : và r2 :
	A. Mọi m 	B. Không có m nào	C. m = 1	D. 1 < m < 10.
30/. Khoảng cách từ điểm M(1 ; -1) đến đường thẳng r : là :
	A/. 2	B/. 	C/. 	D/. .
31/. Khoảng cách giữa 2 đường thẳng r1 : và r2 : 
	A/. 10,1	B/. 1,01	C/. 101	D/. .
32/. Khoảng cách từ điểm M(15 ; 1) đến đường thẳng r : là :
	A/. 	B/. 	C/. 	D/. 
33/. Cho đường thẳng đi qua 2 điểm A(3 ; -1), B(0 ; 3), tìm tọa độ điểm M thuộc Ox sao cho khoảng cách từ M tới đường thẳng AB bằng 1.
	A/. (2 ; 0)	B/. (4 ; 0)	C/. (1 ; 0) và (3,5 ; 0)	D/. ( ; 0).
34/. Tìm tọa độ điểm M nằm trên trục Ox và cách đều 2 đường thẳng r1 : và 
	r2 : 
	A/. (1 ; 0)	B/. (0,5 ; 0)	C/. (0 ; ) 	D/. ( ; 0).
35/. rABC với A(1 ; 2), B(0 ; 3), C(4 ; 0). Chiều cao tam giác ứng với cạnh BC bằng :
	A/. 3	B/. 0,2	C/. 	D/. .
36/. Tìm góc giữa 2 đường thẳng r1 : và r2 : 
	A/. 900	B/. 00	C/. 600	D/. 450.
37/. Tìm góc hợp bởi hai đường thẳng r1 : và r2 : 
	A/. 900	B/. 00	C/. 600	D/. 450.
38/. Tìm cosin của góc giữa 2 đường thẳng r1 : và r2 : .
	A/.	B/. 	C/. 	D/..
39/. Cho đường thẳng d : và 2 điểm A(1 ; 3), B(2 ; m). Định m để A và B nằm cùng phía đối với d.
	A. m - 1	C. 	D. .
40/. Cho đoạn thẳng AB với A(1 ; 2), B(-3 ; 4) và đường thẳng d : . Định m để d và đoạn thẳng AB có điểm chung.
	A. m > 40 hoặc m < 10.	B. 	
	C. 	D. .
2.3.2. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm
 	Trong quá trình dạy lớp 10A6, 10A 10 (2022 - 2023) tôi đã đưa ra phương pháp giải các dạng bài tập về lập phương trình đường thẳng trong mặt phẳng, lấy ví dụ minh họa cho từng dạng, các bt tự luận trắc nghiệm cho các em lên bảng làm, làm bt về nhà cho hs tự học để từ đó các em rút ra kinh nghiệm cho bản thân mình.
Kết quả đạt được sau khi thực hiện đề tài.
Lớp 10A6, 10A10:
LỚP
Số học sinh đạt yêu cầu
Số học sinh không đạt yêu cầu
10A6
25/34 (73,5%)
9/34(26,5%)
10A10
21/33 (63,6%)
12/33 (36,4%)

 2.4. Bài học kinh nghiệm.
Trong quá trình nghiên cứu và áp dụng đề tài vào công tác giảng dạy thực tế ở các lớp, để các em học sinh đạt kết quả cao và dễ dàng vượt qua dạng bài tập này từ đó bản thân tôi rút ra được một số kinh nghiệm sau:
- Trong quá trình giảng dạy trên lớp giáo viên cần dành một ít thời gian lồng ghép các kiến thức thực tiễn vào bài dạy. Muốn làm được điều này bản thân giáo viên cần cập nhật, tích lũy cho mình vốn kiến thức thực tiễn vững chắc.
- Ứng dụng trong giảng dạy, kiểm tra đánh giá học sinh, nhất là trong các bài cuối chương, cuối kì, các bài thực hành
PHẦN 3: KẾT LUẬN – KIẾN NGHỊ
3.1. Kết luận: 
Qua thời gian nghiên cứu và kiểm nghiệm thực tế giảng dạy tôi rút ra được một số kết luận sau : Môn toán học là môn học rất gần gũi với các em học sinh, nên đây là một lợi thế rất lớn để tạo ra lòng ham học hỏi, yêu thích bộ môn. Do đó trong quá trình giảng dạy giáo viên nên đưa các ví dụ áp dụng từ dễ đến khó, nên phân loại cho học sinh dễ học, nên để học sinh lên bảng làm bài để kịp thời phát hiện những sai lầm, hướng giải sai lệch và giúp các em khác xâu kiến thức hơn.
3.2. Kiến nghị.
3.2.1. Sở Giáo dục và Đào tạo
- Kính mong Sở GD & ĐT mở thêm nhiều lớp tập huấn đổi mới cho giáo viên giúp bản thân giáo viên được tiếp cận, trao đổi chuyên môn nhiều hơn.
- Cần công khai các sáng kiến kinh nghiệm đạt giải cao trên mạng internet để giáo viên và học sinh tất cả các trường trong tỉnh và ngoài tỉnh áp dụng vào thực tiễn và học hỏi cách viết một đề tài sáng kiến kinh nghiệm.
3.2.2. BGH trường
- Trong các buổi họp, hội thảo nên trao đổi về các bài học khó để tìm ra cách giảng dạy hay nhất và đạt hiệu quả cao và chỉ ra những cách giảng dạy chưa được. 
- Mở rộng phạm vi áp dụng đề tài trong nhà trường phổ thông.
Trên đây là một số kinh nghiệm của bản thân tôi đúc rút được trong quá trình giảng dạy, chắc chắn còn mang tính chủ quan của bản thân, và sẽ không tránh khỏi nhiều sai sót, các vấn đề tôi nêu ra rất mong được sự góp ý của các thầy cô giáo, các bạn đồng nghiệp và đặc biệt từ phía các em học sinh.
	Người thực hiện
 TRƯƠNG THỊ THU HIỀN