Sáng kiến kinh nghiệm Một biện pháp hiệu quả để giải bài toán giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối

MỘT BIỆN PHÁP HIỆU QUẢ ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
	I. LÝ DO CHỌN BIỆN PHÁP
	Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số là phần nội dung quan trọng của chương trình Giải tích lớp 12, đồng thời là nội dung không thể thiếu trong đề thi trung học phổ thông quốc gia. Bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất nằm trong phần kiến thức vận dụng và vận dụng cao của bài thi, luôn là thử thách lớn đối với các em học sinh.
	Để giải loại bài toán này, có khá nhiều phương pháp, biện pháp được vận dụng. Trong quá trình hướng dẫn học sinh giải dạng toán này, giáo viên không chỉ là người truyền đạt, mà còn phải là người truyền lửa đam mê, kích thích tư duy, sự sáng tạo ở các em học sinh. Thông qua các phương pháp giải đó, hình thành ở các em những phẩm chất, năng lực toán học cần thiết.
	Việc vận dụng các phương pháp giải bài toán giá trị lớn nhất - nhỏ nhất của hàm số khá đa dạng và có nhiều lựa chọn. Trong khuôn khổ bài báo cáo ngắn, tôi xin trình bày vấn đề “Một biện pháp hiệu quả để giải bài toán giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối”. Nội dung đề tài chủ yếu phân tích, bình luận, rút ra những phương pháp giải nhanh các dạng bài toán giá trị lớn nhất - nhỏ nhất của hàm số chứa giá trị tuyệt đối và giúp những học sinh có năng lực học trung bình khá vẫn có thể giải quyết được các câu hỏi trắc nghiệm cơ bản của dạng toán. Từ đó phát triển tư duy và năng lực toán học tổng hợp cho học sinh.
	II. NỘI DUNG BIỆN PHÁP
	1. Kiến thức cơ bản
	1.1 Bài toán tổng quát. Cho hàm số liên tục trên đoạn [a; b].Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên [a; b ], ta có:
	* Hằng đẳng thức: max (*)
	 (**).
	Thật vậy: 
+ Giả sử khi do 
+ Mặt khác 
Ta có 
 (2). 
Từ (1) và (2) có điều phải chứng minh. Đẳng thức (*) được chứng minh tương tự ta được (**).
	*Chứng minh đẳng thức: 
+ Trường hợp 1: thi .Từ đó
+ Trường hợp 2: thì. Từ đó
 Suy ra 
+ Trường hợp 3: 
Với thỏa mãn 
Với x thỏa mãn 
Như vậy Suy ra 
Tóm lại ta có điều phải chứng minh.
	* Chứng minh đẳng thức: 
	 Phương trình có nghiệm Lai có Suy ra 
	 Không giảm tính tổng quá, giả sử (Nếu thì chứng minh
tương tự). Do đó .Từ đó ta có 
	1.2 Hệ quả. 
	Cho hàm số f(x) đơn điệu trên [ , ta có
 Nếu thi 
Nếu thì 
	2. Các ví dụ
	Ví dụ 1. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số thực sao cho giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn [0 ; 3] bằng 16. Tính tổng các phần tử của ?
	A. -16	B. 16.	C. -12	D. 
	* Phân tích: 
	Đây là dạng toán tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số chứa tham số và dấu giá trị tuyệt đối trên một đoạn. 
	* Để giải bài toán này thông thường chúng ta áp dụng các kiến thức sau đây
+ Định nghĩa GTLN và GTNN của hàm số trên đoạn [a;b].
+ Quy tắc tìm GTLN, GTNN của hàm số trên đoạn [a;b]
+ Định nghĩa và các tính chất của GTTĐ
+ Đổi biến
	* Có 3 hướng giải quyết:
Hướng 1. Đề cho , gợi cho chúng ta nhớ đến định nghĩa về GTLN của hàm số. Như vậy, yêu cầu bài toán tương đương với hai điều kiện sau đồng thời xảy ra:
: Phương trình có nghiệm . Điều kiện (1) và (2) là các bài toán quen thuộc. Điều kiện (1) cho kết quả .Điều kiện (2) cho kết quả . 
Hướng 2. Tìm , vì việc đó sẽ giúp ta giải quyết bài toán:Tìm tât cả các giá trị thực của tham số thực m sao cho thỏa mãn điều kiện nào đó.Từ đây nghĩ đến việc xét bài toán tổng quát:
Xét hàm số trên đoạn [0 ; 3]. Ta có 
 thõa mãn 
 Từ đây ta cũng có
Hướng 3. Thấy biến x và tham số m không dính nhau nên nghĩ đến đổi biến số
Đổi biến , với thì , xét hàm sốvới .Vì đồ thị của hàm số với là một đoạn thẳng nên .
	Xét trường hợp 1: (Loại m = 18).
	Trường hợp 2: (Loại m = - 34)
	* Bình luận:
Trên đây là các cách giải khác nhau của bài toán Ví dụ 1. Mặc dù mỗi hướng giải có những ưu điểm riêng, nhưng đối vớ học sinh có năng lực dưới mức khá sẽ gặp khó khăn trong việc phân chia các trường hợp của tham số.
Tôi đã nghiên cứu và đưa ra một phương pháp giải khác, giúp học sinh giải nhanh và phù hợp với năng lực của nhiều đối tượng học sinh.
	Phương pháp giải:
Ta có: 
 = = 
 hoặc .
Chọn A
	Ví dụ 2. Gọi là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số thực sao cho giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn bằng .Tổng các phần tử của bằng
	A. .	B. .	C. .	D. .
	Lời giải
+Đồ thị của hàm số là Parabol có bề lõm quay lên và nhận điểm làm đỉnh.Ta có , , .Rõ ràng với mọi giá trị của thì .
+Vì nên .
+.Vậy .Chọn A
	Ví dụ 3. Gọi là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số thực sao cho giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn bằng .Tổng các phần tử của bằng
	A. .	B. .	C. .	D. .
	Lời giải
+ Xét hàm số .Ta có ; ; ; ; ; .Suy ra ; .
+.
+. Chọn A
	Nhận xét:Tìm như sau:Nếu thì ; Nếu thì .
Ví dụ 4: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho giá trị nhỏ nhất của hàm số 
 trên đoạn [-1; 2] bằng 2. Tổng tất cả các phần tử của S bằng:
A.-2 B. 7. C. 14. D. 3.
Lời giải: 
Xét hàm số trên đoạn [-1;2]
Ta có: 	
 Mà : 
Nên: ; 
+) Nếu thì không thỏa mãn bài toán
+) Nếu thì: 
Theo bài ra (thỏa mãn)
Vậy tổng các phần tử của S là 7. Nên chọn B
Ví dụ 5. Cho hàm số . Gọi , lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn .Có bao nhiêu số nguyên thuộc đoạn sao cho ?
	A. .	B. .	C. .	D. .
	Lời giải
+ Đặt , vớithì .Xét hàm số .Ta thấy là hàm tăng trên .
+.
+ Nếu thì .Trường hợp này loại vì .
+ Nếu thì .
+.Từ đây suy ra . Chọn D
Ví dụ 6. Gọi là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số thực để giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn không vượt quá .Số phần tử của bằng
	A. .	B. .	C. .	D. .
	Lời giải
+ Xét hàm số trên đoạn .Ta có suy ra là hàm tăng trên .
+.
+. Chọn B
	Ví dụ 7. Cho hàm số với là tham số thực.Gọi là tập hợp tất cả các giá của sao cho.Tổng các phần tử của bằng
	A. .	B. .	C. .	D. .
	Lời giải
+ Xét hàm số trên đoạn .Ta có ; ; , , .Suy ra ; .Ta có .
+ Nếu thì .Vậy (Thỏa mãn).
+ Nếu thì .
Vậy (Không thỏa mãn điều kiện ).
+ Kết luận . Chọn A
	Chú ý:Ta tìm được sao cho với là các số thực cho trước.
	Ví dụ 8. Cho hàm số với là tham số thực.Gọi là tập hợp tất cả các giá trị của sao cho .Số phần tử của là
	A. .	B. .	C. .	D. .
	Lời giải
+Trường hợp 1:, khi đó .Dễ thấy .Vậy thỏa mãn.
+Trường hợp 2:, khi đó đơn điệu trên và .
-Nếu thì.Do đó:(Phương trình này vô nghiệm vì do).
-Nếu thì .Do vậy: (Chú ý ).
+Kết luận . Chọn B
 	3. Bài tập vận dụng
Câu 1. Cho hàm số . Có bao nhiêu giá trị nguyên của sao cho với mọi số thực a, b, c thì là độ dài ba cạnh của một tam giác?
	A. 8.	B. 6.	C. 5.	D. 4.
Câu 2. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số trên bằng 3. Số phần tử của S là
	A. 	B.	C. 	D. 
Cáu 3. Biết rằng giá trị lớn nhất của hàm số trên [0;2] đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó, giá trị của tham số m bằng
	A. -12.	B. 12.	C. -13.	D. -14.
Câu 4. Biết rằng giá trị lớn nhất của hàm số trên đạt giá trị nhỏ nhất. Giá trị của tham số bằng
	A. 1.	B. 3.	C. 4.	D. 5.
Câu 5. Gọi S là tập hợp các giá trị của tha số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số trên 
bằng 16. Số phần tử của là
	A. 0.	B. 2.	C. 4	D. 1.
Câu 6. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số y = trên đạt giá trị nhỏ nhất. Số phần tử của tập S là
	A. 0.	B. 3.	C. 2	D. 1.
IV. KẾT LUẬN
	Hiểu và vận dụng linh hoạt phương pháp trong bài toán tổng quát khi giải các bài toán giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối, giúp học sinh có khả năng nhìn nhận các bài toán một cách khái quát, từ đó tìm ra cách giải nhanh nhất đối với mỗi bài toán cụ thể.
	Thông qua biện pháp “Một biện pháp hiệu quả để giải bài toán giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối” học sinh cảm thấy hứng thú với các bài toán giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số, cũng như liên hệ được với các cách đánh giá bất đẳng thức giá trị tuyệt đối. Đặc biệt, thông qua kỹ năng giải các bài toán, có thể phát triển ở học sinh các năng lực học tập, tư duy sáng tạo, kinh nghiệm và bản lĩnh giải quyết các dạng toán khó.