Sáng kiến kinh nghiệm Lũy thừa và một số dạng toán thường gặp

 : (2008-2007)2009 = 12009 = 1
	 (1998 - 1997)1999 = 11999 = 1
 	Vậy (2008-2007)2009 = (1998 - 1997)1999
Phương pháp 2: Dùng tính chất liên hệ giữa thứ tự và phép nhân:
 Nếu thì với .
Ví dụ 1. So sánh 
 a) 85 và 3.47
 b) 202303 và 303202
 c) 992 và 999910
Hướng dẫn :
a) Ta có 85 = 215 = 2.214 85 < 3.47 
b) 202303 = (2.101)3.101 = (23.1013)101 = (8.101.1012)101 = (808.1012)101 
	303202 = (3.101)2.101 = (32.1012)101 = (9.1012)101 
 Vì 808.1012 > 9.1012 nên 202303 > 303202
c) Ta thấy : 992 (992)10 < 999910 hay 9920 < 999910
Phương pháp 3: Dùng lũy thừa trung gian
Chú ý: 
Ta thêm bớt ở cơ số để đưa về 2 lũy thừa cùng cơ số.
Ta thêm bớt ở số mũ để tìm được ƯCLN rồi đưa về 2 lũy thừa cùng số mũ.
Ví dụ 1. So sánh 
 a) 3111 và 1714
 b) 10750 và 7375 
 c) 291 và 535
Hướng dẫn
 a) Ta có 3111 < 3211 mà 3211 = (25)11 = 255 suy ra 3111 < 255
 714 > 1614 mà 1614 = (24)14 = 256 suy ra 1711 > 256
 vì 256 > 255 nên ta suy ra 3111 < 1714 	
 b) Ta thấy : 10750 < 10850 = (4. 27)50 = 2100. 3150 (1)
 7375 > 7275 = (8. 9)75 = 2225. 3150 (2)
 Từ (1) và (2) => 10750 < 2100. 3150 < 2225. 3150 < 7375.
Vậy 10750 < 7375 
 c) 291 > 290 = (25)18 = 3218 
 535 < 536 = (52)18 = 2518 
 => 291 > 3218 > 2518 > 535. 
 Vậy 291 > 535 
Ví dụ 2. Chứng tỏ rằng 
Lời giải.
Ta có 263 = (27)9 = 1289 
527 =(53)9 = 1259 => 263 > 527 	(1)
Lại có 263 = (29)7 = 5127 
528 = (54)7 = 6257 => 263 < 528 	(2)
Từ (1) và (2) Vậy 
Dạng 4 : So sánh liên quan đến biểu thức có chứa lũy thừa 
Ví dụ 1. Cho với và 
a) Tính B.
b) So sánh A với B.
c) So sánh A với 1.
Hướng dẫn
a) 
b) Ta có: với mọi .
Do đó 
Vậy 
c) Ta có , mà suy ra A < 1.
Ví dụ 2. Chứng tỏ rằng.
Lưu ý
Hướng dẫn .
a)Ta có: , , , , 
Nên , từ (*) suy ra 
b) 	 (Vì theo câu a, ). 
Vậy .
Ví dụ 3. So sánh A và B biết: ; 
Lời giải.
Cách 1. Trước khi tìm lời giải bài này giáo viên cho học sinh ghi tính chất sau :
	* Với mọi số tự nhiên a , b , c khác 0 , ta chứng minh được :
	+) Nếu thì 
 +) Nếu thì 
 Vì áp dụng tính chất trên ta có
Cách 2. 
Cách 3.
Ví dụ 4. So sánh và biết ; 
Hướng dẫn. 
Cách 1 .
Cách 2. 
Các bài toán tự luyện.
Bài 1. So sánh bằng cách đưa về cùng số mũ :.
Bài 2. Vận dụng các phương pháp






Bài 3. So sánh 
	a) và 
	b) và 
	c) 	và 
Bài 4. Chứng tỏ : 
 a) 	 
 c) 
Dạng 5. Tính nhanh tổng lũy thừa có quy luật
Ví dụ 1. Cho A = 30 + 31 + 32 + ... + 32008 và B = 32009
a) Tính 3A.
b) Chứng tỏ 2A và B là hai số nguyên liên tiếp
Phương pháp giải
 Đây là một bài toán có tính tổng có quy luật, giáo viên có thể gợi ý trực tiếp cho học sinh cách làm để thu gọn các tổng lũy thừa này, ta nhân cả hai vế của biểu thức với cơ số của các lũy thừa.
Hướng dẫn
a) Ta có A = 30 + 31 + 32 + ... + 32008 (1)
=> 3A = 31 + 32 + ... + 32008 + 32009 (2)
b) Lấy (2) – (1) ta được: 2A = 32009 -1
Vì B = 32009 nên 2A và B là 2 số nguyên liên tiếp
Ví dụ 2. Rút gọn các tổng sau
a) A = 2100 – 299 + 298 – 297 + ... + 22 – 2.
b) B = 3100 – 399 + 398 – 397 + ... + 32 – 3 +1.
Hướng dẫn.
a) Ta có A = 2100 – 299 + 298 – 297 + ... + 22 – 2 (1)
2A = 2101 - 2100 + 299 - 298 + 297 - ... + 23 – 22 (2)
Lấy (1) cộng (2) ta được: .
b) Ta có B = 3100 – 399 + 398 – 397 + ... + 32 – 3 +1 (3)
3B = 3101 - 3100 + 399 - 398 + 397 + ... + 33 – 32 + 3. (4)
Lấy (3) cộng (4) ta được .
Ví dụ 3. 
a) Tính tổng: 
b) Áp dụng tính các tổng sau: 
Hướng dẫn 
 a)* Xét a = 1, ta có 
 * Xét a ≠ 1, ta có: 
 Sn = 1 + a + a2 + ... + an
 => a. Sn = a + a2 +  + an+1
 => a. Sn - Sn = an+1 – 1
 b) Học sinh dễ dàng tính được tổng A, B, C nhờ công thức 
Ví dụ 4. Tính 	
Phương pháp giải	
 Với bài này rất có thể học sinh nghĩ tới việc nhóm các số 1002, 982,  22 thành một nhóm và các số còn lại thành một nhóm. Nhưng nếu nhóm như vậy thì sẽ không tính được nhanh. Để làm bài này giáo viên có thể cho học sinh chứng tỏ đẳng thức sau:
Với mọi số tự nhiên a và b, ta có: (a - b).(a + b) = a2 - b2 
Thật vậy, ta có: 
(a - b).(a + b) = (a - b).a + (a - b).b = a2 – ab + ab - b2 = a2 - b2.
Vậy (a - b).(a + b) = a2 - b2 
Áp dụng đẳng thức trên vào bài 6 ta được
Các bài toán tự luyện.
Bài 1. So sánh:
Bài 2. So sánh 
 và 
 b) và 
 c) và 
Bài 3. So sánh
Dạng 6. Chứng minh chia hết
Phương pháp: Vận dụng linh hoạt các công thức, phép tính về lũy thừa để tính cho hợp lý và nhanh. Biết kết hợp hài hòa một số phương pháp khi biến đổi.
Chú ý: Nếu , .
Nắm vững tính chất chia hết của một tổng.
 Nếu thì 
Ví dụ 1. Chứng minh rằng
Hướng dẫn.
Ta có 
Ta có 
Ví dụ 2. Chứng tỏ rằng:
Lời giải.
a) Ta thấy: nên ta sẽ nhóm 3 số hạng liên tiếp của tổng thành một nhóm như sau:
b) Tương tự câu a, có : 400 = 1 + 7 + 72 + 73 nên:
Ví dụ 3. Chứng tỏ rằng: là số chia hết cho .
Lời giải.
Ta tính C = 42004 + 42003 + +42 + 4 + 1 (1)
4C = 42005 + 42004 + 42003 + +42 + 4 (2)
Lấy (2) trừ (1) ta được: 
Khi đó A = 75.+ 25 = 25.(42005 – 1) + 25 = 25.42005 = 100.42004 100
Vậy A 100.
Ví dụ 4. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương thì 
 chia hết cho 6.
Hướng dẫn:
Các bài toán tự luyện. 
Bài 1. Chứng tỏ rằng.
Bài 2. Tìm số dư khi chia cho 7, biết rằng
Bài 3. Tính
a) biết 
b) 
c) biết 
Bài 4. Tìm
a) Số tự nhiên n biết: , với 
b) Chữ số tận cùng của M biết: 
Bài 5. Chứng tỏ rằng: 
III. Một số dạng toán khác
Dạng 1. Dạng toán tìm 
Bài 1. Tìm biết: 	(1) 
 Phương pháp giải
 Thoạt nhìn ta thấy đây là một bài toán rất phức tạp, vì số cần tìm có mặt cả trong số mũ và cơ số. Vì thế, học sinh rất khó xác định cách giải. Nhưng chúng ta có thể đưa về bài toán quen thuộc bằng một phép biến đổi sau:
 Đặt ta có: x + 2 = y + 4
	 x + 4 = y + 6.
	Khi đó (1) trở thành: yy+4 = yy+6
 * Nếu: yy+4 = 0 => y = 0 Khi đó: 
 * Nếu: 
	Với y = 1 ta có 
Với y = – 1 ta có 
 Vậy 	
Bài 2. Tìm các số tự nhiên biết: 
 Phương pháp giải
 Với bài toán này, nếu học sinh sử dụng các cách làm ở trên sẽ đi vào con đường bế tắc không có lời giải. Vậy phải làm bằng cách nào và làm như thế nào ? Ta cần dựa vào tính chất đặc biệt của lũy thừa và tính chất chia hết của một tổng để giải bài toán này:
 a) 2a + 124 = 5b (1)
Xét a = 0, khi đó (1) trở thành: 
20 + 124 = 5b
ó 5b = 125
ó 5b = 53
Do đó a = 0 và b = 3
Xét a 1. Ta thấy vế trái của (1) luôn là số chẵn và vế phải của (1) luôn là số lẻ với mọi a 1, a, b N, điều này vô lí.
	Kết luận: Vậy a = 0 và b = 3.
 b) 10a + 168 = b2 (2)
Tương tự câu a.
 Xét a = 0: khi đó (2) trở thành:
 Do đó a = 0 và b = 13.
 Xét a 1 
	Chúng ta đều biết với mọi số tự nhiên a 1 thì 10a có chữ số tận cùng là 0 nên suy ra 10a + 168 có chữ số tận cùng là 8, theo (2) thì b2 có chữ số tận cùng là 8. Điều này vô lý.
	Vậy: a = 0 và b = 13.
Dạng 2: Tìm chữ số tận cùng của một giá trị lũy thừa
2.1 Tìm một chữ số tận cùng
 	Phương pháp chung: cần nhớ một số nhận xét sau:
Tất cả các số có chữ số tận cùng là: 0; 1; 5; 6 nâng lên lũy thừa nào (khác 0) cũng có chữ số tận cùng là chính những số đó.
Để tìm chữ số tận cùng của một số ta thường đưa về dạng các số có chữ số tận cùng là một trong các chữ số đó.
Lưu ý: những số có chữ số tận cùng là 4 nâng lên lũy thừa bậc chẵn sẽ có chữ số tận cùng là 6 và nâng lên lũy thừa bậc lẻ sẽ có chữ số tận cùng là 4, những số có chữ số tận cùng là 9 nâng lên lũy thừa bậc chẵn sẽ có chữ số tận cùng là 1 và nâng lên lũy thừa bậc lẻ sẽ có chữ số tận cùng là 9.
Chú ý: 24 = 16; 74 = 2401; 34 = 81; 84 = 4096
CÁC DẠNG BÀI TẬP
Bài 1. Tìm chữ số tận cùng của các số sau
 Phương pháp giải 
 Đưa các lũy thừa trên về dạng các lũy thừa của số có chữ số tận cùng là: 0; 1; 5; 6.
20072008 = (20074)502 = ()502 = nên 20072008 chữ số tận cùng là 1.
23456 = (24)864 = 16864 = => 23456 có chữ số tận cùng là 6 .
5235 = 5232. 523 = (524)8. = ()8 . = . = => 5235 có chữ số tận cùng là 8.
204208 = (2042)104 = ()104 = => 204208 có chữ số tận cùng là 6.
20032005 = 20032004. 2003 = (20034)501. 2003 = ( )501. 2003 = . 2003 => 20032005 có chữ số tận cùng là 3.
Ta thấy 99 là một số lẻ nên có chữ số tận cùng là 9.
Bài 2. Cho A = 172008 – 112008 – 32008. Tìm chữ số hàng đơn vị của A.
Phương pháp giải
Đây là dạng toán tìm chữ số tận cùng của một tổng, ta phải tìm chữ số tận cùng của tong số hạng, rồi cộng các chữ số tận cùng đó lại.
Tìm chữ số tận cùng của 172008; 112008; 32008 ta có:
	A = 172008 – 112008 – 32008 = - - = - = 
Vậy A có chữ số tận cùng là 9.
Bài 3. Cho M = 1725 + 244 – 1321. Chứng tỏ rằng 
Phương pháp giải
Ta thấy một số chia hết cho 10 khi có chữ số tận cùng là 0 nên để chứng tỏ M 10 ta chứng tỏ M có chữ số tận cùng là 0.
	1725 = 1724.17 = (174)6. 17 = ()6.17 = .17 = 
	244 = (242)2 = 5762 =
	1321 = (134)5.13 = ()5.13 = . 13 = 
 Vậy M = + - = => M 10 
Đến đây, sau khi làm bài 2) bài 3) giáo viên có thể cho học sinh làm các bài toán tổng quát sau:
Bài 4. Tìm chữ số tận cùng của các số có dạng:
Hướng dẫn.
a) Ta có: 24n = (24)n = 16n có chữ số tận cùng bằng 6.
 => 24n – 5 có chữ số tận cùng bằng 1.
b) 
Ta có 24n + 2 = 22 . 24n = 4. 16n có chữ số tận cùng là 4.
=> B = 24n + 2 + 1 có chữ số tận cùng là 5.
c) C = 74n – 1
Ta có 74n = (74)n = (2401)n có chữ số tận cùng là 1.
 Vậy 74n – 1 có chữ số tận cùng bằng 0.
Các bài toán tự luyện.
1) Tìm chữ số tận cùng của các số sau: 
2) Chứng tỏ rằng, với mọi số tự nhiên n
 a) 34n + 1 + 2 chia hết cho 5.
 b) 92n + 1 + 1 chia hết cho 10.
3) Tìm chữ số hàng đơn vị của:
 a) 
 b) 
4) Chứng tỏ rằng, với mọi số tự nhiên n thì:
Hướng dẫn.
CHƯƠNG III: KIỂM CHỨNG CÁC GIẢI PHÁP ĐÃ TRIỂN KHAI CỦA SÁNG KIẾN
Kết quả thực hiện:
Trong quá trình hướng dẫn các em học sinh lớp 7 học chuyên đề này, kết quả nửa đầu năm học 2018 – 2019 cho thấy các em không những giải tốt các bài toán về lũy thừa mà còn rất hào hứng với chuyên đề này. 
Giúp các em cảm thấy yêu thích môn toán nói chung và phần toán về lũy thừa nói riêng, nắm được kiến thức cần thiết, vận dụng linh hoạt, mềm dẻo vào tình huống, bài toán cụ thể.
 Giúp cho học sinh khá giỏi không những hình thành kỹ năng giải toán mà
còn giúp các em rèn luyện các thao tác tư duy: Phân tích, tổng hợp, khái quát hoá, đặc biệt hoá, 
Bài học kinh nghiệm: 
Là người giáo viên muốn học sinh đạt kết quả cao thì phải:
- Quán triệt tinh thần người giáo viên trong nhà trường xã hội chủ nghĩa.
- Có tinh thần trách nghiệm cao trong cộng tác.
- Đầu tư học hỏi ở đồng nghiệp, tham khảo, tìm tòi những bài tập có tính tổng hợp để phát triển tư duy học sinh.
- Yêu thương và tôn trọng học sinh trong tinh thần trách nhiệm. Học sinh nắm vững kiến thức cơ bản, hiểu và vận dụng tốt bài tập sách giáo khoa, tự giải thêm các bài tập nâng cao. Sau mỗi bài, mỗi dạng cần rút ra những điều cần nhớ nó là kim chỉ nam, cẩm nang giúp học sinh thành công trong việc rèn luyện kỹ năng giải bài tập.
Phần III: KẾT LUẬN
Những vấn đề quan trọng nhất được đề cập đến của sáng kiến
 Qua việc suy nghĩ và thực hiện sáng kiến: “Lũy thừa và một số dạng toán thường gặp" tôi đã rút được cho mình một số bài học kinh nghiệm bước đầu và cũng là những kinh nghiệm trong quá trình giảng dạy học sinh. Đó là:
	- Xây dựng thành hệ thống các phương pháp cơ bản để giải quyết các dạng toán, loại toán rồi từ đó khái quát hóa, tổng quát hóa.
	- Tìm tòi, khai thác sâu, nâng cao ở các dạng, loại cơ bản, đồng thời tìm nhiều dạng loại khác, nhiều phương pháp khác để làm phong phú vốn kiến thức phát triển tư duy cho học sinh.
	- Thường xuyên tích lũy, sưu tầm, học hỏi, sáng tạo, phải biết tập hợp tư liệu, tổng hợp những bài toán đơn lẻ ở các sách, các đề để sắp xếp thành hệ thống, thành dạng, loại phù hợp với yêu cầu và đối tượng giảng dạy của mình.
	- Quá trình giảng dạy, phải tiến hành từ đơn giản đến nâng cao, từ đơn giản đến phức tạp. Cố gắng đào sâu, phát triển, nâng cao trên cơ sở kiến thức cơ bản được xây dựng củng cố vững chắc. Lưu ý tính vừa sức, tránh quá tải với học trò.
	- Để bồi dưỡng học sinh giỏi toán thì bản thân người thầy phải đầu tư thời gian, luôn phấn đấu nâng cao trình độ mới đáp ứng được yêu cầu ngày càng cao của công tác “bồi dưỡng nhân tài” trong sự nghiệp đổi mới của đất nước.
2. Hiệu quả thiết thực của sáng kiến nếu được triển khai
 Trên đây là một vài ý tưởng của tôi đã đưa ra trong quá trình lên lớp trong
giờ luyện tập tập toán, ôn toán buổi chiều, buổi bồi dưỡng học sinh giỏi. Theo tôi nó có tác dụng:
 - Giúp các em củng cố kiến thức đã học.
 - Giúp các em biết vận dụng kiến thức đã học vào bài tập.
 - Rèn kĩ năng trình bày cho học sinh.
 - Giúp giáo viên nâng cao chất lượng lớp mình, hạn chế những sai sót của học sinh khi giải về lũy thừa, tạo được hứng thú học toán cho học sinh.
 - Định hướng giải một bài toán áp dụng kiến thức về lũy thừa, có phương pháp thích hợp với để giải quyết bài toán, tổng kết được các dạng toán, có được niềm tin vững vàng khi giải toán.
3. Ý kiến đề xuất: 
 Sau một thời gian kiên trì, nghiêm túc và nỗ lực thực hiện với sự giúp đỡ
của đồng nghiệp, tôi đã hoàn thành sáng kiến kinh nghiệm với đề tài “Lũy thừa và một số dạng toán thường gặp ”. Tôi mong muốn được học hỏi, trao đổi thêm cùng tất cả đồng nghiệp và bạn đọc quan tâm vấn đề này. Đồng thời, tôi cũng hi vọng đề tài này sẽ đóng góp một phần nhỏ trong việc bổ sung hiểu biết, góp phần làm tài liệu tham khảo cho công tác giảng dạy toán cũng như học toán, từ đó nâng cao được chất lượng dạy và học môn toán trong nhà trường. 
Xin có vài kiến nghị như sau:
 3.1 Đối với Phòng Giáo dục và Đào tạo
 Mở các chuyên đề về kỹ năng giải toán, phương pháp dạy học phù hợp với đối tượng cho học sinh trong trường THCS.
 Công bố rộng rãi những SKKN đạt kết quả cao để giáo viên được học tập trao dồi thêm kiến thức chuyên môn và áp dụng các SKKN đó để giáo dục nâng cao chất lượng học tập học sinh.
 Nên bảo lưu kết quả SKKN đạt giải cao để đánh giá thi đua trong vòng 3 năm liền.
 3.2 Đối với ban lãnh đạo nhà trường
 Quan tâm hơn nữa đến việc nâng cao chất lượng giáo dục toàn diện đến công tác bồi dưỡng học sinh giỏi.
 Bằng những kinh nghiệm rút ra sau nhiều năm giảng dạy cũng như bồi dưỡng học sinh giỏi, cùng với sự giúp đỡ tận tình của tổ chuyên môn, của ban giám hiệu nhà trường và phòng giáo dục tôi đã hoàn thành đề tài “Lũy thừa và một số dạng toán thường gặp” cho học sinh lớp 7.
 Bản thân tôi cũng đã cố gắng học hỏi và tham khảo thêm kinh nghiệm trong sách tham khảo và đặc biệt là của các thầy cô đi trước. Nhưng thời gian viết chưa nhiều nên không tránh khỏi thiếu sót. Rất mong các cấp chuyên môn, các đồng nghiệp góp ý, bổ sung để đề tài được hoàn thiện hơn.
	Tôi xin chân thành cảm ơn!	
 Tiền An, ngày 15 tháng 10 năm 2018 
 	 Người thực hiện 
Đặng Đức Quý
PHẦN IV. PHỤ LỤC
TÀI LIỆU THAM KHẢO
Sách giáo khoa và sách bài tập toán 7(Nhà xuất bản giáo dục)
Đề thi toán 7 (Nguyễn Đức Tấn – Nguyễn Hoàng Anh – Lương Anh Văn – Bùi Ruy Tân – Trương Đức Long – Vũ Đức Đoàn) – NXB: Đại học Quốc gia Thành Phố Hồ Chí Minh.
Nâng cao và phát triển Toán 7 - tập 1(Vũ Hữu Bình) NXB Giáo dục năm 2005.
Đề thi học sinh giỏi toán 7 sưu tầm trên mạng.
Tài liệu toán sưu tầm trên internet.