Sáng kiến kinh nghiệm Kỹ thuật sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai vào giải nhanh một số dạng toán

 hai bài toán trên là phương pháp tìm miền giá trị của hàm số 
Đoạn là tập giá trị của hàm số 
 y = 
	Qua bài toán đó giáo viên nhấn mạnh khắc sâu phương pháp giải. Muốn sử dụng biệt thức “” ta phải chuyển bài toán về liên quan đến dạng tam thức bậc hai
Ta tiếp tục xét bài toán sau 
 Bài 4.8 Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của biểu thức 
 A = 
GV yêu cầu học sinh giải tương tự bài toán 2 
Kết quả Min A = tại x = -1
 Max A = tại x = 1 
DẠNG 5. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ
	Một trong những phương pháp chủ yếu để giải phương trình vô tỷ là hữu tỷ hóa phương trình vô tỷ bằng các phương pháp khác nhau như bình phương hai vế, đặt ẩn phụ, nhân liên hợp, đánh giá hai vế  vv mục đích là chuyển phương trình vô tỷ về các phương trình hoặc hệ phương trình dạng đơn giản để có thể giải một cách nhanh chóng và tiết kiệm thời gian . Tuy nhiên có những lúc các phương pháp đó có những khó khăn hoặc có thể không đơn giản lúc đó ta có thể nghĩ đặt ẩn phụ để chuyển phương trình vô tỷ về phương trình bậc hai từ đó sử dụng đen ta để giải quyết và khi đó ta có thể giải quyết vấn đề một cách nhanh chóng và tiết kiệm được thời gian rất nhiều. Chẳng hạn ta xét bài toán sau
Bài 5.1 Giải phương trình sau (1)
	Đây không phải là một bài toán dể, nếu các bạn sử dụng phương pháp bình phương hai vế thì các bạn sẽ gặp rất nhiều khó khăn vì lúc đó các bạn sẽ đưa phương trình trên về một phương trình bậc 4 mà phương trình này chưa nhẩm nghiệm được do đó lại làm cho bài toán càng phức tạp hơn, còn nếu các bạn đặt ẩn phụ để đưa về hệ phương trình thì lại càng phức tạp hơn. Tuy nhiên nếu biết chuyển bài toán trên thành bài toán khác và sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai thì đây lại là bài toán đơn giản. Các bạn thử nhìn vào hai vế của phương trình ta sẽ thấy ngay vế phải có vế trái có x2 + 1 nên nếu đặt = t thì ta suy ra ngay x2 + 1 và đưa phương trình trên về phương trình bậc hai ẩn là t va x là tham số. Sau đây tôi xin mạnh dạn nêu ra một cách giải nhanh mà sử dụng đen ta
Đặt 9 phương trình (1) t2 – t.(x+3) +3x = 0 
( x – 3)2 │x-3│
Phương trình có 2 nghiệm phân biệt là 
t = x và t = 3 
Với t = x = x ( phương trình này vô nghiệm)
 t= 3 
	Các bạn thấy đấy phương pháp này rất hay và rất nhanh tuy nhiên phải biết nhận xét hai vế và chuyển phương trình trên về phương trình bậc hai mục đích để dùng đen ta và giải nhanh bây giờ chúng ta đi xét bài toán sau khó hơn rất nhiều nhé 
Bài 5.2 Giải phương trình sau (*)
Đối với bài toán này thì các bạn nghĩ sao? 
	Theo bản thân tôi đây là một bài toán khó tuy nhiên nếu biết cách đặt ẩn và chuyển về dùng đen ta thì đây lại là bài toán đơn giản. Sau đây tôi xin trình bày một cách giải mà dùng đen ta để giải 
Đặt  ; t ≥ 0 
Thay vào (*) ta được (2)
Từ (1) và (2) ta có t2.x - 2(x+1).t +4 = 0 
Ta có (x+1)2 – 4x = (x – 1)2 
Với thay vào ta giải ra nghiệm của phương trình là x = 1
Với t = 2 thay vào và giải ra nghiệm của phương trình là x = 1 và x = 3 
Vậy phương trình có nghiệm là x = 1 và x = 3 
Tương tự ta đi xét ví dụ tiếp theo 
Bài 5.3 Giải phương trình sau 
	Đối với bài toán này chúng ta có thể giải theo các phương pháp khác nhau, sau đây tôi xin trình bày hai phương pháp để thấy được phương pháp nào hay hơn 
Phương pháp 1. Đặt ẩn phụ đưa về hệ phương trình đối xứng 
Đk xđ 
Đặt . kết hợp với phương trình ban đầu ta có hệ phương trình sau đây là hệ phương trình đối xứng, giải hệ phương trình này ta được a = x hoặc a = -x-1
Với a = x thay vào (*) ta đưa về được phương trình sau x2- x – 5 = 0 
Giải phương trình này ta tìm được x = hoặc x = ( loại) 
Với a = -x-1 thay vào (*) ta được phương trình x2 + x - 4 = 0 và giải ra ta được hoặc (loại) 
Vậy phương trình có nghiệm là hoặc 
Nhận xét: Đối với phương pháp này khi giải chúng ta sẽ gặp một số khó khăn 
+ khi đặt ẩn phụ phải lưu ý điều kiện của ẩn 
+ sau khi giải ra a theo x thì phải thay vào và giải lại một lần nữa và lại chú ý điều kiện để loại nghiệm nếu không chúng ta vô tình sẽ lấy nghiệm ngoại lai 
Sau đây tôi xin trình bày cách thứ hai
Các bạn để ý sẽ thấy ở hai vế của phương trình đều có 5 và nếu các bạn xem 5 là ẩn và xem x là tham số thì chúng ta sẽ chuyển bài toán về dùng kĩ thuật sử dụng đen ta để giải. Và tôi xin mạnh dạn đưa ra phương pháp giải này mặc dù các bạn thấy đây là một phương pháp hơi khác biệt vì xem 5 là ẩn tuy nhiên với cách giải này vẫn cho ta một kết quả đúng đấy các bạn ạ (Sau này ta gọi đó là phương pháp hằng số biến thiên)
Điều kiện x2 ≥ 5 khi đó (5) bây giờ ta xem 5 là ẩn chuyển vế và đặt nhân tử chung ta có phương trình sau 
Từ đó ta đưa về giải hai phương trình sau 
 và giải hai phương trình này kết hợp với điều kiện cho ta nghiệm của phương trình là hoặc 
Đối với phương pháp này nếu các bạn linh hoạt thì rất đơn giản và lại không nhầm nghiệm tuy nhiên không phải ai cũng nhìn ra phương pháp này do đó để thành thạo tôi xin đưa ra một số bài tập sau
Trên đây là một số ví dụ về kĩ thuật sử dụng đen ta để giải các bài toán về phương trình vô tỷ sau đây tôi xin đưa ra một số bài tập về dạng toán này để các em học sinh luyện thêm 
Bài tập. Giải các phương trình sau 
	Ngoài các dạng toán trên tôi cũng mạnh dạn đưa ra một dạng nữa đó là chứng minh bất đẳng thức.
DẠNG 6. CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC 
	Đối với dạng toán bất đẳng thức thực tế thì có rất nhiều phương pháp chứng minh tuy nhiên tôi cũng xin đưa ra kỹ thuật sử dụng điều kiện có nghiệm để chứng minh hi vọng rằng các bạn đọc và các em học sinh có thể vận dụng phương pháp này để từ đó chứng minh được một số bài toán về bất đẳng thức đơn giản 
Bài 6.1. chứng minh rằng: 7x2 + 37x +121 > 0 x 
Đối với bài toán này thì ta thấy rất đơn giản ngya học sinh lớp 8 cũng có thể làm được bằng cách tách và nhóm để đưa về hằng đẳng thức như sau :
Đặt A = 7x2 + 37x +121 = ( x2 + 2 . = (x + 2 + > 0 x 
Vậy A > 0 x 
Tương tự chúng ta xét bài toán sau với hai biến x; y thì sao 
Bài 6.2. chứng minh rằng: x2 +2y2 -2xy +2x -10y -17
Đối với bài toán này thì các bạn nghĩ thế nào. Ở lớp dưới chắc chắn các bạn sẽ nghĩ ngay đến phân tích bằng cách tách, nhóm đưa về tổng các bình phương cộng với một số và đánh giá. Tuy nhiên ngoài cách đó các bạn thử nghỉ cách khác xem, theo tôi với kinh nghiệm bản thân đúc rút được trong quá trình giảng dạy, bồi dưỡng học sinh giỏi tôi xin mạnh dạn đưa ra cách giải và mạnh dạn sử dụng đen ta trong trường hợp này 
Đặt B = x2 +2y2 -2xy +2x -10y +17 0 B = x2 -2x(y -1) +2y2 -10y +17 0 . Ta xem đây là một phương trình bậc hai ẩn x và y là tham số và tính đen ta 
Ta có = (y – 1)2 – ( 2y2 – 10y + 17) = - ( y – 4 )2 
Ta thấy 0 y và a = 1 > 0 nên B 0 . vậy bất đẳng thức được chứng minh dấu 
“ = ” xẩy ra y = 4 và x = 3. Trên đây là bài toán hai biến x; y còn ba biến thì sao? Chúng ta tiếp tục đi xét bài toán sau nhé 
Bài 6.3. Chứng minh rằng vớix, y, z ta có: 
19x2 + 54y2 + 16z2 + 36 xy – 16xz – 24 yz 0 (1) 
Nếu chưa làm bài toán thứ hai thì đây là bài toán khó đối với học sinh vì nếu biến đổi để đưa về dạng các tổng bình phương cộng với một số thì rất là khó khăn vì ở đây không phải một ẩn, hai ẩn mà là ba ẩn nên việc biến đổi không dễ tí nào. Tuy nhiên nếu biết áp dụng đen ta và tương tự bài toán hai thì đây lại là bài toán đơn giản 
Viết lại bài toán trên như sau 19x2 + 4x(9y-4z) + 54y2 + 16z2 -24yz 0
Và ta xem vế trái của bất đẳng thức là một tam thức bậc hai ẩn là x và ta có 
’ = -702y2 + 168yz – 240z2 . Lại có (y) = (84z)2 – 702.240z2 0 z và từ đó 0 y,z
Suy ra điều phải chứng minh 
Dấu “ = ” xẩy ra 
Tiếp tục đi xét việc sử dụng đen ta vào giải quyết các bài toán về chứng minh bất đẳng thức để ta thấy được cái hay của nó chúng ta tiếp tục đi xét thêm dạng toán sau nhé.
Bài 6.4. cho ba số a,b,c là ba cạnh của tam giác. Ba số x; y; z thỏa mãn 
 ax + by + cz = 0. Chứng minh xy + yz + xz < 0 
đây cũng là một dạng toán chứng minh bất đẳng thức tuy nhiên nếu biết cách vận dụng đen ta vào đây thì bài toán trở nên không quá khó nữa. 
Từ ax + by + cz = 0 và c > 0 nên khi đó bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với: xy - ( x+y ) 0 (1) 
Do c > 0 nên (1) ax2 + xy( a + b - c ) + by2 0
Xét tam thức f(x)= ax2 + xy( a + b – c ) + by2 có a > 0 và 
= y2( a2 + b2 + c2 – 2ab – 2bc – 2ac) 
Mà với a,b,c là ba cạnh của một tam giác ta luôn có a2 + b2 + c2 – 2ab – 2bc – 2ac < 0 do đó 0. Do đó f(x) 0 với x và dấu “ = ” xẩy ra khi và chỉ khi 
Tương tự chúng ta xét tiếp bài toán sau 
Bài 6.5. cho a3 > 36 và abc = 1. Chứng minh + a2 + b2 > ab + bc + ac (1)
Từ a3 > 36 a > 0 . Từ abc =1 
Khi đó (1) 
Xét tam thức bậc hai: f(x) = x2 – ax - 
Có = ( do a3 > 36) . Từ đó suy ra điều phải chứng minh 
Tương tự chúng ta đi xét bài toán sau. 
 n Dấu căn
Bài 6.6. cho a > 0 và n nguyên dương. Chứng minh 
Để chứng minh bài này nếu các bạn biết vận dụng kĩ thuật sử dụng đen ta vào đây để giải thì bài toán trở nên đơn giản hơn nhiều. Sau đây tôi mạnh dạn đưa ra cách vận dụng đen ta và dấu của tam thức bậc hai vào đây để giải 
ndấu căn
Đặt (1) . Do a > 0 nên an > an-1 (2) 
Mặt khác từ (1) (3). Từ (2) và (3) hay 
Xét tam thức f(x) = x2 – x – a < 0 có x1 < an < x2 . mà x1 = . Từ đó suy ra điều phải chứng minh. Tương tự các bài toán trên bây giờ chúng ta vận dụng điều kiện có nghiệm để chứng minh bất đẳng thức rất quen thuộc nhé 
Bài 6.7. cho a, b, c > 0 Chứng minh rằng (1)
 ( bất đẳng thức nesbitt)
Đây là bất đẳng thức rất quen thuộc mà có lẽ ai trong chúng ta cũng đều gặp và đả chứng minh. Tuy nhiên vấn đề mà tôi đưa ra ở đây muốn vận dụng kỹ thuật có nghiệm để chứng minh bất đẳng thức này một cách nhanh chóng 
Đặt x = ; y = . Không mất tính tổng quát giả sử .Khi đó (1) với 
Đặt A = x+y; B = xy, bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 
hay 
Vì 7A – 2 > 0 và A2 ≥ 4B nên bất đăng thức được phân tích và đưa về bất đẳng thức sau 
(A – 2)2( A+2) ≥ 0 luôn đúng suy ra điều phải chứng minh.
Tương tự bài toán trên chúng ta đi xét bài toán sau 
Bài 6.8. Cho a, b, c, > 0 và thỏa mãn a + b + c + ab + bc + ac = 6 abc 
 Chứng minh: 
Với kỹ thuật sử dụng đen ta các bạn có thể giải bài toán này được không và giải như thế nào. Sau khi dạy chuyên đề này cho học sinh, một học sinh tôi đả giải như sau 
Từ 
Đặt ( x, y, z > 0 ) 
Mà ta có : ( x+ y+ z )2 ≤ 3 ( x2 + y2 + z2 ) 
 Mà xy + yz + zx ≤ x2 + y2 + z2 
Đến đây việc giải bài toán này thì đơn giản rồi các bạn nhỉ?
Đặt t = ; t > 0 khi đó chuyển BĐT trên về tam thức bậc hai dạng 
 t2 + 
dấu “ = ” xẩy ra 
Như vậy với việc sử dụng đen ta vào giải toán ta thấy rất thú vị và càng nghiên cứu sâu lại thấy càng hay các bạn ạ. Chẳng hạn chúng ta tiếp tục xét bài toán sau nhé 
Ngoài những bài toán liên quan đến bất đẳng thức nó còn có các bài toán liên quan đến tìm giá trị nhỏ nhất , lớn nhất của biểu thức đấy. Ví dụ ta xét bài toán sau 
Bài toán 6.9. Cho x >0 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = 
Đối với bài toán này chúng ta để ý mối quan hệ giữa x và và nếu gọi giá trị lớn nhất của biểu thức = a (*)
Với a ≥ x > 0 thì (*) tương đương với (**)
Vì a ≠ 0 nên (**) là phương trình bậc hai, điều kiện có nghiệm 
Mà a > 0 nên a3 ≥ 64 . Trên đây là một số bài tập mà vận dụng kỹ thuật sử dụng đen ta vào để chứng minh bất đẳng thức tuy nhiên để vận dụng kỷ thuật sử dụng đen ta vào để giải các bài tập dạng này thì đòi hỏi học sinh phải có kỹ năng biến đổi tốt thì mới có thể vận dụng nhanh phương pháp này, vì thời gian có hạn. Sau đây tôi xin đưa ra một số bài tập về dạng này hy vọng rằng các em có thể giải và khắc sâu hơn về dạng toán 
Bài tập 1. cho a,b,c,d,p,q thỏa mãn p2 +q2 –a2 – b2 – c2 – d2 > 0 (1) 
Chứng minh ( p2 + a2 – b2)(q2 – c2 – d2) ≥ (pq – ac – bd )2 
Bài 2.cho a,b,c tùy ý thuộc và a + b + c =3. Chứng minh a2+b2+c2 ≤ 5 (*) 
Bài 3. Cho a,b,c thỏa mãn 
Chứng minh -4 ≤ a+b+c ≤ 4
Bài 4. Cho a, b ≠ 0 Chứng minh rằng 
Hướng dẫn: 
Đối với bài 2 rút a theo b và c sau đó thay vào (*) và xem phương trình bậc hai ẩn b hoặc c và chuyển về một vế sau đó sử dụng đen ta là giải quyết ngay được 
Bài 3. từ phương trình thứ nhất các bạn đưa về dạng ( a+b + c)2 -2 ( ab+bc +ca) =2 
Từ đó thay tích ab + bc + ca = 1 vào và giải bình thường là xong 
Bài 4. xem bất đẳng thức cần chứng minh là tam thức bậc hai ẩn là b, và nó đạt giá trị nhỏ nhất khi b = khi đó thay vào và sử dụng cosi là đưa về điều phải chứng minh 
KẾT LUẬN
	Qua việc tìm hiểu các dạng toán trên chúng ta cần vận dụng linh hoạt, sáng tạo kết quả của các bài toán để chuyển bài toán sang một bài toán khác đây là một vấn đề rất khó không những đối với học sinh mà cũng là một vấn đề khó đối với giáo viên. Tuy nhiên nếu vận dụng tốt thì việc chuyển một bài toán dựa vào kết quả của bài toán đó thành bài toán khác cũng không phải là quá khó. Nếu làm được điều này sẽ giúp các em hiểu sâu sắc hơn các kiến thức đã học, góp phần phát triển tư duy sáng tạo và tiếp thu tốt những kiến thức mới dựa trên kiến thức cũ, phát huy được khả năng tư duy của học sinh 
	Các bài toán, dạng toán mà tôi đưa ra trong đề tài còn có thể có những cách giải khác nữa tuy nhiên vấn đề mà chúng tôi đưa ra ở đây muốn các em học sinh hướng tới sử dụng điều kiện có nghệm của phương trình bậc hai vào để giải và có thể giải quyết bài toán một cách nhanh và đơn giản hơn, ngoài ra qua các bài tập này không những rèn được kĩ năng giải toán cho học sinh mà còn rèn cho học sinh cách nhìn và nhận xét bài toán để từ đó có hướng giải quyết bài toán một cách tối ưu nhất. 
Trên đây là những kinh nghiệm của tôi tích luỹ được trong quá trình giảng dạy và giải toán. Có gì thiếu sót mong được sự góp ý của quý thầy cô. Tôi xin chân thành cảm ơn 
Kết quả đạt được 
Trong hai năm học vừa qua vận dụng đề tài vào việc bồi dưỡng học sinh giỏi tôi đã gặt hái được một số thàng công bước đầu đó là: có 25 em đạt học sinh giỏi huyện trong đó 2 giải nhất, 5 giải nhì, 12 giải 3 và 8 giải khuyến khích. Có 6 em đạt giải trong kì thi giải toán qua mạng cấp huyện, có 5 em đạt học sinh giỏi cấp tỉnh trong đó 1 giải nhất 2 em giải ba và 2 giải khuyến khích 
Kiến nghị đề xuất: 
 Để đề tài trên được áp dụng rộng rãi, trong quá trình dạy học. Tôi tha thiết kính mong các thầy cô cùng bạn đọc góp ý để đề tài ngày một hoàn thiện hơn.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
Sách giáo khoa toán 9
Sách nâng cao và phát triển toán 8 tập 1,2
Sách nâng cao và phát triển toán 9 tập 1,2
MỤC LỤC
Đặt vấn đề...1
Cơ sở lý luận .1
Cơ sở thực tiễn...1
Mục đích nghiên cứu .2
IV. Đối tượng nghiên cứu và phạm vi áp dụng...2
Nội dụng ..3
Dạng 1. Tìm nghiệm lớn nhất, nhỏ nhất của phương trình3
Dạng 2. Giải phương trình và hệ phương trình nhiều ẩn5
Dạng 3. Giải phương trình nghiệm nguyên9
Dạng 4. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức...11
Dạng 5. Giải phương trình vô tỷ...16
Dạng 6. chứng minh bất đẳng thức ..19
C. Kết luận ..23
XÁC NHẬN CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC NHÀ TRƯỜNG