Sáng kiến kinh nghiệm Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh vận dụng tốt tính chất của dãy tỉ số bằng nhau để giải một số dạng Toán lớp 7

uyển 100 quyển từ tủ thứ nhất sang tủ thứ ba thì số sách ở tủ thứ nhất, thứ hai, thứ ba tỉ lệ với 16; 15; 14. Hỏi trước khi chuyển thì ở mỗi tủ có bao nhiêu quyển sách?
	Bài này có thể gây khó khăn cho học sinh ở chỗ: số lượng sách trong mỗi tủ trước và sau khi chuyển. Giáo viên có thể chia nhỏ bài toán nhằm kích thích nhiều đối tượng học sinh suy nghĩ.
Hướng dẫn
	Gọi số quyển sách lúc đầu ở tủ thứ nhất, thứ hai, thứ ba lần lượt là: a(quyển), b(quyển), c(quyển) ( và ).
	Giáo viên có thể đặt câu hỏi: Sau khi chuyển, số sách trong mỗi tủ thay đổi như thế nào?
	Số quyển sách ở các tủ sau khi chuyển lần lượt là:
	Tủ thứ nhất: (quyển)
	Tủ thứ hai: (quyển)
	Tủ thứ ba: (quyển)
	Theo đề bài ta có: và 
	Đến đây giáo viên có thể cho học sinh tự tìm ra cách giải để tìm các dữ liệu chưa biết và rút ra kết luận.
	Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
Do đó :	
	Các số , , thỏa mãn điều kiện đầu bài.
Vậy trước khi chuyển thì số quyển sách ở tủ thứ nhất, thứ hai, thứ ba lần lượt là : 900 quyển, 750 quyển, 600 quyển.
 	Ví dụ 3: Tìm giá trị của phân số biết rằng nếu cộng thêm vào cả tử và mẫu của phân số đó với cùng một số khác 0 thì giá trị của phân số không đổi.
	Giáo viên gợi ý cho học sinh gọi số cộng thêm vào là một kí hiệu nào đó và tỉ số bằng nhau để diễn đạt lại bài toán. Sau đó áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau để tìm giá trị của phân số .
Hướng dẫn
	Giả sử cộng thêm vào cả tử và mẫu của phân số với cùng một số (). 
	Theo đề bài ta có: 
	Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
Đây là một dạng toán khó đối với học sinh, ngay cả với những học sinh khá giỏi, khó ở việc dùng dãy tỉ số để diễn đạt lại lời văn của bài toán. Giáo viên cần phải kiên trì hướng dẫn từng bước, từ việc phân tích ban đầu để tìm ra yếu tố bài cho, yếu tố cần tìm và mối quan hệ giữa chúng,... rồi đến cách gọi kí hiệu kèm thêm đơn vị và điều kiện của kí hiệu,...đặc biệt là kết luận phải chính xác với yêu cầu của đề bài.
6.3.3. Bài tập tự luyện
Bài 1: Số học sinh của ba khối 6, 7, 8 tỉ lệ với 10, 9, 8. Tính số học sinh của mỗi khối, biết rằng số học sinh của khối 8 ít hơn số học sinh của khối 6 là 50 học sinh.
Bài 2: Học sinh của lớp 7A được chia thành ba tổ tỉ lệ với 2, 3, 4. Tìm số học sinh mỗi tổ, biết lớp 7A có 45 học sinh.
Bài 3: Một trường có ba lớp 6. Biết rằng số học sinh của lớp 6A bằng số học sinh của lớp 6B và bằng số học sinh của của lớp 6C. Lớp 6C có số học sinh ít hơn tổng số học sinh của hai lớp kia là 57 học. Tính số học sinh của mỗi lớp.
Bài 4: Ba thửa đất hình chữ nhật có diện tích bằng nhau. Chiều rộng của các thửa thứ nhất, thứ hai, thứ ba lần lượt là 22,5m; 20m; 18m. Chiều dài thửa thứ nhất kém chiều dài thửa thứ hai là 5m. Hãy tính chu vi của mỗi thửa đất đó.
Bài 5: Ba công nhân phải sản xuất số sản phẩm như nhau. Công nhân thứ nhất, thứ hai, thứ ba hoàn thành công việc với thời gian lần lượt là 9 giờ, 6 giờ, 7 giờ 30 phút. Hỏi trong 1 giờ mỗi công nhân sản xuất được bao nhiêu sản phẩm? Biết rằng trong 1 giờ, công nhân thứ hai sản xuất nhiều hơn công nhân thứ nhất là 3 sản phẩm.
 	6.4. Dạng 4: Tính giá trị của biểu thức
6.4.1. Phương pháp giải
- Chủ yếu áp dụng tính chất của tỉ lệ thức, tính chất của dãy tỉ số bằng nhau để biến đổi biểu thức và tìm ra giá trị của biểu thức.
- Ở dạng toán này đòi hỏi cần có khả năng quan sát, dự đoán kết quả, từ đó tìm ra được hướng biến đổi phù hợp.
6.4.2. Một số ví dụ
Ví dụ 1: Cho x, y, z thỏa mãn: (). 
Tính: P = 
	Thoạt nhìn, học sinh có thể thấy lúng túng vì cách cho biểu thức P mà bài toán không có đủ các điều kiện để tìm các giá trị của . Giáo viên có thể gợi ý một chút để học sinh tìm giá trị của P.
Hướng dẫn
	Đặt () suy ra , , .
Khi đó: P = 
	Giáo viên cũng có thể hướng dẫn học sinh áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau để tìm giá trị của P như sau:
	Có 
	và 
Khi đó: P = 
Ví dụ 2: Tính giá trị của biểu thức Q, biết rằng: Q = 
	Với bài này, học sinh có thể dễ dàng tìm ra đáp áp bằng cách áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau như sau:
	Q = 
	Kết quả trên chỉ đúng trong trường hợp . Giáo viên có thể đặt câu hỏi: Nếu thì sao? Sau đó hướng dẫn học sinh cách giải bài toán trên theo cách hoàn chỉnh hơn.
Hướng dẫn
	Có Q = 
	Nếu thì Q = 
	Nếu thì . Khi đó: Q = 
Vây:	
Nếu thì Q = .
	Nếu thì Q = .
Ví dụ 3: Cho biểu thức: M = 
	Tính giá trị của biểu thức M biết: 
	Đây là một dạng bài toán khó. Học sinh chỉ quen với cách tính trên dãy tỉ số bằng nhau, mà biểu thức M thì không phải ở dạng này. Giáo viên có thể hướng dẫn bài này để giúp cho những học sinh khá, giỏi có thêm kiến thức về tính giá trị của biểu thức.
Hướng dẫn
Có: 
hay 
Nếu thì 
Khi đó: M = 
	Nếu thì và 
	Khi đó: M = 
Vậy:	
M = khi .
	M = khi .	
Các dạng bài tập về tính giá trị của biểu thức như trên gây khá nhiều khó khăn cho học sinh bởi những suy luận logic và tính phức tạp của nó. Song với sự nhiệt tình, kiên trì hướng dẫn của giáo viên, học sinh sẽ có được cảm giác của người khám phá ra những điều thú vị, cảm xúc của người chiến thắng. Điều đó góp phần kích thích học sinh, tạo sự hứng thú cho các em trên con đường chinh phục các bài toán tiếp theo.
6.4.3. Bài tập tự luyện
Bài 1: Cho . Tính A biết tỉ lệ với 5, 4, 3.
Bài 2: Cho 4 tỉ số bằng nhau: 
	Tìm giá trị của mỗi tỉ số trên.
Bài 3: Tính giá trị của biểu thức: N = 
	Biết rằng: 
Bài 4: Giá trị của biểu thức với . Tính A.
Bài 5: Cho  với x : y : z = 3 : 2 : 1. Tính giá trị của biểu thức P.
 	6.5. Dạng 5: Bài tập hình học
Chủ yếu áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau để giải một số bài tập hình học không cần hình vẽ, bài tập về tính chu vi, diện tích một số hình phẳng đơn giản đã học ở Tiểu học.
6.5.1. Phương pháp giải
- Dùng phương pháp đại số chuyển bài toán về dạng biến đổi, áp dụng tính chất cơ bản của các đẳng thức, dãy tỉ số bằng nhau.
- Áp dụng các công thức tính chu vi, diện tích tam giác, hình vuông, hình chữ nhật, từ đó biến đổi dựa trên tính chất của tỉ lệ thức để đưa về dãy tỉ số bằng nhau.
- Một số bài toán cần kết hợp định lí về tổng ba góc của một tam giác, định lí Py- ta- go.
6.5.2. Một số ví dụ
Ví dụ 1: Một khu vườn hình chữ nhật có diện tích 300m2, có hai cạnh tỉ lệ với 4 và 3. Tính chiều dài và chiều rộng của khu vườn.
	Để giải được bài này, học sinh cần nhớ lại công thức tính diện tích của hình chữ nhật đã học ở Tiểu học. Gọi các kí hiệu cho các dữ kiện cần tìm và dùng dãy tỉ số bằng nhau để diễn đạt lại bài toán như các ví dụ trên sau đó áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau và tìm ra kết quả.
Hướng dẫn
 Gọi chiều dài và chiều rộng của khu vườn lần lượt là (m) và (m) 
	Theo đề bài ta có: và 
	Giáo viên cần lưu ý về sự tương ứng của và với 4 và 3 để tránh sai lầm dẫn đến có tỉ lệ thức .
Đến đây học sinh có thể dễ dàng áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau để tìm ra đáp án: m và m.
Đặt , .
Vì nên 
mà , do đó: 
Vậy chiều dài và chiều rộng của khu vườn lần lượt là: 20m và 15m. 
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có và tỉ lệ với 3 và 15, . Tính số đo các góc của tam giác ABC.
	Giáo viên yêu cầu học sinh dùng dãy tỉ số bằng nhau để diễn đạt lại bài toán. Gợi ý để học sinh nhớ lại định lí về tổng ba góc trong một tam giác thì bài toán trở nên đơn giản hơn nhiều.
Hướng dẫn
	Theo đề bài ta có: và 
	Hay và (định lí tổng ba góc của một tam giác)
	Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
Do đó:	
Vậy số đo các góc của tam giác ABC là: , , .
 	Ví dụ 3: Cho tam giác ABC vuông tại A, biết và BC = 15cm. 
Tính chu vi của tam giác ABC. 
	Giáo viên cho học sinh nhắc lại công thức tính chu vi của một tam giác để học sinh thấy được cần phải tìm độ dài các cạnh AB, AC. Sau đó, giáo viên có thể gợi ý để học sinh thấy cần phải áp dụng định lí Py- ta- go và tính chất của dãy tỉ số bằng nhau.
Hướng dẫn
	 Giáo viên yêu cầu học sinh phát biểu lại định lí Py- ta- go, viết được hệ thức , sau đó biến đổi giả thiết để có thể áp dụng được tính chất của dãy tỉ số bằng nhau.
	Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau và định lí Py- ta- go, ta có:
	Đến đây giáo viên có thể yêu cầu học sinh tự tìm ra độ dài các cạnh còn lại và tính chu vi của tam giác ABC.
	Vậy chu vi của tam giác ABC là: 
AB + AC + BC = 9 + 12 + 15 = 36(cm)
 Ví dụ 4: Cho tam giác ABC vuông tại A, biết BC = 28,9cm và . 
 Tính độ dài đường cao AH của tam giác ABC.
Đây là một dạng toán khó, để giải được học sinh cần phải có kĩ năng biến đổi thật tốt, tổng hợp nhiều kiến thức đã học, biết phân tích và tìm ra mối liên hệ giữa các cạnh trong tam giác.
 Hướng dẫn
Giáo viên yêu cầu học sinh nhắc lại công thức tính diện tích tam giác, có thể giúp học sinh nhận ra được mối liên hệ giữa các cạnh “” trong tam giác vuông ABC. Qua đó, học sinh thấy được muốn tính độ dài đường cao AH, cần phải tính độ dài các cạnh AB, AC.
Ta có: 
Giáo viên gợi ý cho học sinh biến đổi giả thiết , sau đó áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau và định lí Py- ta- go để tìm độ dài các cạnh AB và AC với .
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau và định lí Py- ta- go, ta có:
Vậy 
Đối với các bài toán hình học có vận dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau thường gây ra nhiều khó khăn cho học sinh, để giải được đòi hỏi học sinh cần phải có khả năng quan sát tốt, có kĩ năng biến đổi, đồng thời cần phải tổng hợp nhiều nội dung kiến thức đã học. Song, giáo viên cần phải kiên trì, có thể hướng dẫn cho học sinh làm quen trước , sau đó cho các bài tập tương tự để học sinh tự rèn luyện. 
6.5.3. Bài tập tự luyện
Bài 1: Tìm diện tích của một hình chữ nhật, biết rằng tỉ số giữa hai cạnh của nó là và chu vi bằng 90m.
Bài 2: Tìm ba cạnh của một tam giác. Biết rằng chu vi tam giác đó bằng 30cm và ba cạnh của nó tỉ lệ với 3, 5, 7. 
Bài 3: Cho một hình chữ nhật có tỉ số giữa hai cạnh của nó là  và chu vi bằng 286. Tính diện tích của hình chữ nhật đó.
Bài 4: Cho tam giác ABC có các góc ngoài tại A, B, C tỉ lệ với 3; 4; 5. Số đo các góc A, B, C tỉ lệ với các số nào ?
Bài 5: Độ dài các cạnh của một tam giác tỉ lệ với 2; 3; 4. Biết độ dài ba đường cao tương ứng có ước chung lớn nhất bằng 1. Tìm độ dài các chiều cao tương ứng của tam giác đó.
Bài 6: Cho tam giác ABC vuông tại A, độ dài hai cạnh góc vuông tỉ lệ với 5 và 12. Biết chu vi của tam giác ABC bằng 180cm. Tính diện tích của tam giác ABC.
C. KẾT QUẢ
Sau khi áp dụng chuyên đề này, tôi nhận thấy sự hạn chế của học sinh khi giải các bài tập về dãy tỉ số bằng nhau đã được khắc phục đáng kể. Cụ thể như:
- Số học sinh nhận dạng và giải bài tập tốt tăng lên nhiều.
- Hạn chế học sinh bị điểm yếu khi giải bài tập ở phần này.
- Chất lượng học sinh tăng lên đáng kể.
- Việc phân loại từng dạng bài và đưa ra phương pháp giải cùng với các bài tập để học sinh tự giải đã giúp các em khắc phục được tình trạng lúng túng khi giải các bài tập có liên quan.
- Học sinh nắm vững phương pháp nên kĩ năng làm bài tập tốt hơn.
- Học sinh hứng thú tiếp thu kiến thức, tích cực trong học tập, vận dụng ý tưởng của đề tài nên kết quả thu được rất đáng khích lệ.
D. BÀI HỌC KINH NGHIỆM
 	Đối với học sinh
Để đạt kết quả cao trong học tập, đối với học sinh cần có phương pháp học tập phù hợp, luôn chú ý đến kĩ năng tính toán, nên tích cực suy nghĩ trước những vấn đề mới.
Tích cực giải nhiều dạng bài tập, không ngừng học tập, nghiên cứu, phát hiện ra nhiều cách giải khác nhau (nếu được) của một bài toán để khắc sâu hơn kiến thức cần nhớ qua từng bài.
 	Đối với giáo viên
	Kiến thức về dãy tỉ số bằng nhau là một trong những nội dung cơ bản của chương trình Đại số lớp 7. Việc áp dụng tốt tính chất của dãy tỉ số bằng nhau vào giải toán là một yêu cầu cần thiết không những để nâng cao trình độ học toán mà nó còn có tác dụng rất tốt trong việc rèn luyện tư duy, khả năng suy nghĩ, tính cẩn thận, óc quan sát và có phương pháp tìm lời giải thích hợp cho bài toán.
Trong quá trình thực hiện cần phải tìm hiểu để nắm trình độ chung của lớp, từ đó chọn lọc những bài toán phù hợp với học sinh cả về trình độ kiến thức lẫn trình độ phát triển tư duy để nâng dần khả năng giải được nhiều bài toán, trình bày lời giải hay và tìm nhiều lời giải cho một bài toán.
Mỗi đối tượng học sinh có thể có nhiều cách tiếp nhận thông tin khác nhau, vì vậy để khắc sâu kiến thức cho học sinh, cũng như hạn chế những sai lầm của các em trong giải toán thì giáo viên nên kết hợp tốt các phương pháp để chuyển tải kiến thức đến từng đối tượng học sinh.
Trong mỗi tiết dạy giáo viên cần tạo không khí vui vẻ, thoải mái giúp các em tiếp thu kiến thức một cách tự nhiên không gò bó. Tích cực đổi mới phương pháp dạy học theo hướng phát huy tính tích cực chủ động sáng tạo của học sinh.
E. KẾT LUẬN
Qua quá trình giảng dạy, tôi thấy nếu giáo viên có sự đầu tư nghiên cứu bài dạy càng kĩ thì hiệu quả đạt được càng cao. Tâm huyết với nghề là một trong những yếu tố tạo nên thành công của bài dạy. Trước những bài tập đòi hỏi khả năng tư duy, tổng hợp kiến thức, học sinh thường tỏ ra lúng túng, không kiên trì suy nghĩ. Lúc đó chính là thời điểm để giáo viên xuất hiện cùng với vai trò định hướng, dẫn dắt các em bước qua khó khăn, gợi mở để các em không những làm được mà còn làm tốt bài đó hay kiến thức đó mà cả những bài, những kiến thức khác có liên quan hoặc không liên quan bằng những sự liên hệ logic. Đó chính là cách tư duy, kể cả việc nắm vững kiến thức cơ bản, biết khai thác và mở rộng kiến thức, đặc biệt là biết cách vận dụng nó một cách hiệu quả nhất.
Trong đề tài này có phần kiến thức cơ bản, phương pháp giải cụ thể cho từng dạng toán. Có nhiều bài tập gây hứng thú cho học sinh tìm hiểu và tự giải. Có hướng gợi mở cho giáo viên tự xây dựng đề bài dựa trên phương pháp giải. 
Qua đây, tôi tự thấy bản thân mình cần cố gắng nhiều hơn nữa để đáp ứng được yêu cầu ngày càng cao của ngành để được góp một phần sức lực nhỏ bé của mình vào sự nghiệp trồng người của đất nước.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng khi phân chia kiến thức và trình bày chuyên đề này nhưng trong quá trình thực hiện có thể vẫn còn hạn chế về số các dạng bài tập, rất mong nhận được những lời động viên, ý kiến đóng góp quí báu từ quí thầy cô để chuyên đề này có thể hoàn thiện hơn về cả nội dung và hình thức, cũng như mang lại hiệu quả cao nhất khi triển khai đến học sinh.
Kế Sách, ngày 10 tháng 9 năm 2015
Người viết
 Nguyễn Văn Bế
Nhận xét, đánh giá, xếp loại của Hiệu trưởng
Nhận xét, đánh giá, xếp loại của PGD&ĐT
Mục lục
A. Đặt vấn đề	Trang 2
1. Bối cảnh của đề tài	Trang 2
2. Thực trạng của vấn đề	Trang 2
3. Lí do chọn đề tài	Trang 2
B. Giải quyết vấn đề	Trang 3
1. Cơ sở lí luận	Trang 3
2. Phương pháp nghiên cứu	Trang 4
3. Mục đích nghiên cứu	Trang 4
4. Phạm vi và đối tượng áp dụng	Trang 4
5. Nội dung thực hiện	Trang 4
5.1. Ôn tập kiến thức cơ bản	Trang 4 
5.2. Ôn tập kiến thức liên quan	Trang 5
6. Một số ví dụ minh họa	Trang 5
6.1. Dạng 1: Bài tập về chứng minh tỉ lệ thức	Trang 5
6.2. Dạng 2: Tìm các số chưa biết trong dãy tỉ số bằng nhau	Trang 8
6.3. Dạng 3: Bài toán có lời văn	Trang 14
6.4. Dạng 4: Tính giá trị của biểu thức	Trang 16
6.5. Dạng 5: Bài tập hình học	Trang 19
C. Kết quả 	Trang 23
D. Bài học kinh nghiệm	Trang 23 
E. Kết luận	Trang 24