Sáng kiến kinh nghiệm Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh lớp 7 giải một số bài toán bằng nhiều cách

i bài toán. Sau khi giải xong, giáo viên yêu cầu học sinh giải bài toán đó theo cách khác. Điều đó sẽ tạo yếu tố bất ngờ, thú vị, kích thích trí tò mò và phát huy khả năng sáng tạo của học sinh. Học sinh sẽ cảm thấy rất hứng thú và say mê học Toán khi phát hiện ra các cách giải mới cho một bài toán mà mình chưa biết.
Bài toán 1: Tính giá trị của đa thức P(x) tại x = 11 với P(x) = x17 - 12x16 + 12x15 - 12x14 + ... + 12x – 1
* Cách 1:
P(11) = 1117 – 12.1116 + 12.1115 – 12.1114 + ... + 12.11 – 1
= 1117 – (11+1).1116 + (11+1).1115 – (11+1).1114 + ... + (11+1).11 – 1
= 1117 – 1117 – 1116 + 1116 + 1115 – 1115 – 1114 + ... + 112 + 11 – 1
= 11 – 1 = 10
Vậy P(11) = 10 
Khi gặp dạng toán tính giá trị đa thức một biến đã thu gọn, thông thường học sinh sẽ thay ngay giá trị của biến vào đa thức rồi thực hiện phép tính. Tuy nhiên trong cách giải này, hầu hết học sinh chỉ dừng lại ở bước thay giá trị rồi không biết phải thực hiện phép tính như thế nào, vì thế giáo viên thường phải gợi ý tách hết các số 12 thành tổng 11 + 1 rồi tiếp tục sử dụng tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng để thực hiện phép tính, học sinh sẽ thấy ngay được kết quả sau khi rút gọn các hạng tử đối nhau. 
* Cách 2: 
Thay 12 bằng x + 1, ta có:
P(x) = x17 – (x + 1)x16 + (x + 1)x15 – (x + 1)x14 + ... + (x + 1)x – 1
= x17 – x17 – x16 + x16 + x15 – x15 – x14 + ... + x2 + x – 1 = x – 1
Khi đó : P(11) = 11 – 1 = 10 
Trong cách giải này, ta có thể thay hết các số 12 thành tổng x + 1 rồi tiếp tục sử dụng tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng, sau đó thu gọn đa thức trước khi tính giá trị. Mấu chốt của cách giải này là ở chỗ học sinh phải phát hiện được x.xn-1 = xn và xn - xn = 0.
* Cách 3 : 
Ta có: x = 11 nên x – 11 = 0
Do đó : 
P(x) = x17 – 11x16 – x16 + 11x15 + x15 – 11 x14 – x14 + ... + 11x + x – 1
= (x – 11)x16 – (x – 11)x15 + (x –11)x14 – ... – (x –11)x + x – 1 = x – 1
Khi đó : P(11) = 11 – 1 = 10 
Trong cách giải này, ta có thể tận dụng ngay giá trị x = 11 nên x – 11 = 0
để thu gọn đa thức bằng cách tách các hạng tử rồi đặt thừa số chung để làm xuất hiện các thừa số x – 11.
Bài toán 2: Tính A = (-1).(-1)2.(-1)3 ... (-1)2015.(-1)2016
* Cách 1: 
A = (-1).(-1)2.(-1)3 ... (-1)2015.(-1)2016
= (-1)1+2+3+...+2015+2016 = (-1)2017.2016:2 = (-1)2017.1008 = 1
Trong cách giải trên ta có thể sử dụng công thức tính tích các lũy thừa cùng cơ số -1 sau đó áp dụng công thứ tính tổng dãy số cách đều để tính số mũ của thừa số -1.
* Cách 2: 
A = (-1).(-1)2.(-1)3 ... (-1)2015.(-1)2016
 = (-1).1.(-1).1.(-1) ... (-1).1 (có 2016 thừa số trong đó có 1008 thừa số -1)
 = 1
Trong cách giải này ta có thể tính lũy thừa của từng thừa số sau đó tính xem trong tích có bao nhiêu thừa số -1 để suy ra kết quả. 
Để giải được bài toán theo hai cách trên thì học sinh phải nắm được công thức (-1)2n = 1 và (-1)2n+1 = -1 với n 
Bài toán 3:1
2
2
1
1
M
E
D
C
B
A
 Cho tam giác ABC. D và E lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AC. Chứng minh rằng: DE // BC và .
* Cách 1:
Trên tia đối của tia ED lấy điểm M sao cho EM = ED.
Xét EAD và ECM có: 
EA = EC (gt), (đđ), ED = EM (theo cách vẽ)
 EAD = ECM (c-g-c)
 AD = CM (2 cạnh tương ứng); (2 góc tương ứng)
Ta có : , mà và là hai góc so le trong 
 AD // CM (hai góc so le trong )
Xét BDC và MCD có: 
BD = MC (= AD) , (cmt), DC chung.
 BDC = MCD (c – g – c)
 BC = DM (2 cạnh tương ứng); (2 góc tương ứng)
Ta có : , mà và là hai góc so le trong DE // BC
Vì mà DM = BC .
Vậy DE // BC và .
Để giải bài toán trên ta có thể vẽ thêm yếu tố phụ là lấy điểm M trên tia đối của tia ED sao cho EM = ED để tạo ra các cặp tam giác bằng nhau, từ đó chứng minh được DE // BC và .
3
N
x
A
B
C
D
E
1
1
2
2
1
* Cách 2 :
Trên nửa mặt phẳng bờ BC có chứa điểm A, vẽ tia Cx // AB. 
Trên tia Cx lấy điểm N sao cho CN = AD.
 Xét EAD và ECN có: 
EA = EC (gt), (vì AD // CN), AD= CN (theo cách vẽ)
 EAD = ECN (c-g-c)
(2 góc tương ứng); và DE = EN (2 cạnh tương ứng); 
Mà (kb) nên 
 ED và EN là hai tia đối nhau D, E, N thẳng hàng.
Xét BDC và NCD có: 
BD = CN (= AD) , (BD // CN), DC chung.
 BDC = NCD (c – g – c)
 BC = DN (2 cạnh tương ứng); (2 góc tương ứng)
Ta có : , mà và là hai góc so le trong DE // BC
Vì mà DN = BC 
Vậy DE // BC và .
Ngoài cách vẽ thêm yếu tố phụ như cách 1, ta cũng có thể vẽ thêm yếu tố phụ là trên nửa mặt phẳng bờ BC có chứa điểm A, vẽ tia Cx // AB. Trên tia Cx lấy điểm N sao cho CN = AD để tạo ra các cặp tam giác bằng nhau, từ đó chứng minh được DE // BC và .
Bài toán trên cho ta kết luận : Trong một tam giác đoạn thẳng nối trung điểm của hai cạnh thì song song và bằng một nửa cạnh còn lại. Đoạn thẳng này được gọi là đường trung bình của tam giác mà ta sẽ được học ở Hình học lớp 8. 
Bài toán 4: Cho tam giác ABC cân tại A. D là trung điểm cạnh AB. Trên tia đối của tia BA lấy E sao cho BE = AB. Chứng minh rằng . 
Có thể giải bài toán trên theo các cách sau:
* Cách 1: Gọi M là trung điểm của cạnh AC
M
A
B
C
E
D
Xét AEC có B, M lần lượt là trung điểm của các cạnh AE, AC, vận dụng kết quả ở bài toán 4 ta có: 
Ta có : AB =AC, 
Xét ABM và ACD có:
AM = AD (cmt); chung; AB =AC (gt)
ABM = ACD (c – g – c)
 BM = CD (2 cạnh tương ứng)
Mà 
* Cách 2: Trên tia đối của tia CA lấy điểm H sao cho CH = CA
H
D
E
C
B
A
Xét ABH có D,C lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AH, vận dụng kết quả ở bài toán 4, ta có: 
Ta có: AB =AC, 
Xét ACE và ABH có:
AE = AH (cmt); chung; AB =AC (gt)
ACE =ABH (c – g – c)
 BH = CE (2 cạnh tương ứng)
Mà 
* Cách 3: Trên tia đối của tia CB lấy điểm N sao cho CN = CB.Xét ABN có D,C lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BN, vận dụng kết quả ở bài toán 4, ta có: 
Ta có: 
1
2
1
N
D
E
C
B
A
Mà (ABC cân tại A )
Xét BCE và CNA có:
BC = CN (cách vẽ); 
(cmt); 
BE = AC ( = AB)
BCE = CNA (c – g – c)
 AN = CE (2 cạnh tương ứng)
Mà 
* Cách 4: Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của BC, BE
Xét BEC P và Q lần lượt là trung điểm của BC, BE, vận dụng kết quả ở bài toán 4, ta có: .
2
Q
P
A
B
C
E
D
1
1
2
Xét BAC có P và D lần lượt là trung điểm của BC, BA, vận dụng kết quả ở ví dụ 1 ta có: (1)
BAC cân tại A 
B là trung điểm AE (2)
Từ (1) và (2) (3)
D là trung điểm AB (4)
Từ (3) và (4) 
Ta có :
 (5)
BDP cân tại D (vì ) (6)
Từ (5) và (5) 
Xét BQP và PDC có:
PD =BQ (cmt); (cmt); BP = PC (theo cách vẽ)
BQP =PDC (c – g – c)
 PQ = CD (2 cạnh tương ứng)
Mà 
Trong các cách trên có thể thấy được với cùng một phương pháp giải là vận dụng kết quả của bài toán 4 nhưng ta có thể tạo hình theo nhiều cách khác nhau, tuy nhiên cần chọn cách vẽ thêm yếu tố phụ sao cho việc giải bài toán được thuận lợi và dễ dàng nhất..
Ngoài 5 cách giải trên ta cũng có thể giải bài toán theo cách sau :
* Cách 5:2
1
1
I
D
E
C
B
A
 Trên tia đối của tia DC lấy điểm I sao cho: DI = DC
Xét DBI và DAC có:
DI = DC (cách vẽ); (đđ); AD = DB ( gt)
DBI = DAC (c – g – c)
 BI = AC , 
Ta có : 
, mà hai góc này ở vị trí so le trong nên IB // AC
 (2 góc trong cùng phía)
Ta lại có: 
Mà (ABC cân tại A ) nên 
Ta có: AB = AC, EB = AB; IB = AC EB = IB
Xét BIC và BEC có:
BI = BE (cmt); (cmt); BC chung
BIC và BEC (c – g – c)
 CI = CE (2 cạnh tương ứng)
Mà 
Qua các bài toán trên có thể thấy được với cùng một bài toán ta có thể đưa ra nhiều cách giải khác nhau. Vấn đề là phải phân tích kỹ bài toán để đưa ra hướng giải thuận tiện nhất. Điều này phụ thuộc vào sự linh động, sáng tạo và tư duy của học sinh đồng thời phải nắm vững kiến thức một cách sâu và rộng, vận dụng tốt các phương pháp giải toán đã học để đưa ra phương pháp giải mới.
3.3. Điều kiện thực hiện:
Các biện pháp trên có thể được sử dụng nhiều trong quá trình dạy học trên lớp cũng như bồi dưỡng học sinh giỏi. Mang lại hiệu quả cao trong việc nâng cao chất lượng dạy và học môn Toán lớp 7.
Để thực hiện tốt các biện pháp nêu trên thì cần đảm bảo một số điều kiện sau:
* Đối với giáo viên:
Phải không ngừng tìm tòi, đổi mới phương pháp dạy học cho phù hợp với đối tượng học sinh, tạo được niềm say mê, hứng thú học tập, lôi cuốn học sinh tích cực tham gia vào bài giảng của mình.
Phải định hướng và có sự chuẩn bị kỹ càng về hệ thống câu hỏi, các phương pháp giải, các bài toán có nhiều cách giải phù hợp đối tượng học sinh, lường trước được các tình huống và các câu trả lời của học sinh để đưa ra các phương án xử lý thích hợp. Thường xuyên chú ý việc rèn kỹ năng suy luận, vẽ hình, phân tích và trình bày lời giải bài toán một cách logic, chặt chẽ cho mỗi học sinh, đặc biệt là học sinh yếu kém. Mở rộng và nâng cao kiến thức để phát triển tư duy cho đối tượng học sinh giỏi.
Phải nắm vững kiến thức Toán học một cách sâu và rộng. Nắm được các dấu hiệu bản chất của mỗi đơn vị kiến thức, nhìn nhận một vấn đề dưới nhiều khía cạnh khác nhau để có thể dễ dàng tạo ra các tình huống có vấn đề, các tình huống mà học sinh dễ mắc sai lầm, từ đó sử dụng phản ví dụ để sửa sai, khắc sâu kiến thức cho học sinh.
* Đối với học sinh lớp 7:
Phải có niềm say mê, hứng thú và tự giác học tập môn Toán, nắm vững kiến thức cơ bản. Rèn kỹ năng vẽ hình theo yêu cầu của bài toán, liên kết các kiến thức đã học với nhau, nắm vững công thức, quy tắc, định nghĩa, định lý, tính chất để vận dụng vào làm bài tập một cách hợp lý, chính xác. Thường xuyên nghiên cứu, tìm tòi các phương pháp giải toán mới qua tài liệu tham khảo, sách vở và Thầy, cô để có thể vận dụng vào giải một bài toán bằng nhiều cách nhau.
4. Kết quả thu được qua khảo nghiệm, giá trị khoa học của vấn đề nghiên cứu:
* Kết quả thu được sau khi khảo nghiệm: 
Qua kết quả khảo nghiệm, có thể thấy rằng đa số giáo viên và học sinh hứng thú với việc vận dụng phương pháp giải toán bằng nhiều cách trong quá trình dạy và học môn Toán 7, nhiều giáo viên vận dụng phương pháp giải dạng toán này đạt được hiệu quả tương đối cao, tạo được niềm say mê hứng thú học tập cho học sinh, giúp học sinh phát triển tư duy và rèn cho học sinh kỹ năng vẽ hình, khả năng sử dụng ngôn ngữ chính xác. Nhiều học sinh cảm thấy hiểu bài hơn, nắm vững kiến thức hơn, vận dụng được kiến thức để làm bài tập, biết giải một bài toán bằng nhiều cách hơn, biết vẽ hình theo yêu cầu đề bài và vẽ thêm yếu tố phụ khi giải bài toán Hình học, yêu thích học môn Toán hơn, tránh được những sai lầm thường gặp do không nắm vững bản chất kiến thức hoặc do sử dụng ngôn ngữ không chính xác. 
* Giá trị khoa học mang lại khi thực hiện đề tài:
Đa số học sinh nắm được kiến thức cơ bản và mở rộng, nâng cao. Nắm được một số phương pháp giải toán bằng nhiều cách, vận dụng được để làm bài tập tương tự. Học sinh hứng thú hơn với việc học Toán, nhờ đó chất lượng đại trà và chất lượng học sinh giỏi được nâng lên rõ rệt.
Đa số giáo viên thích vận dụng phương pháp giải toán bằng nhiều cách trong quá trình dạy và học môn Toán 7. Nâng cao được trình độ chuyên môn nghiệp vụ, giúp cho việc giảng dạy hiệu quả hơn, nâng cao chất lượng dạy và học.
Phương pháp giải toán bằng nhiều cách không chỉ áp dụng trong quá trình dạy và học môn Toán 7 mà còn có thể áp dụng trong các khối lớp khác và các môn học khác.
Nhờ quá trình tìm tòi, nghiên cứu tài liệu, dự giờ, trao đổi, học hỏi kinh nghiệm của bạn bè đồng nghiệp, tích lũy chuyên môn, đúc rút kinh nghiệm trong quá trình giảng dạy nên trình độ chuyên môn nghiệp vụ của bản thân cũng được nâng cao. 
III. PHẦN KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ:
1. Kết luận:
Vận dụng đề tài “Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh lớp 7 giải một số bài toán bằng nhiều cách” sẽ mang lại hiệu quả thiết thực trong việc dạy và học môn Toán lớp 7, nhằm nâng cao chất lượng dạy và học môn Toán. Giúp học sinh nắm vững kiến thức. Nâng cao năng lực tư duy, sự sáng tạo và rèn kỹ năng giải Toán tốt hơn cho học sinh.
Trong quá trình dạy học ở trường phổ thông, nếu chỉ dừng lại ở sách giáo khoa thì chưa đủ, muốn khai thác tốt kiến thức để giúp cho học sinh hiểu và vận dụng tốt kiến thức vào bài tập và vào thực tế và nâng cao chất lượng giảng dạy thì đòi hỏi giáo viên phải không ngừng học hỏi, nâng cao trình độ chuyên môn, nghiệp vụ, tự nghiên cứu, tìm tòi sáng tạo, thường xuyên bổ sung kiến thức và tích lũy kinh nghiệm về nhiều mặt, đồng thời phải biết vận dụng một cách linh động, sáng tạo các phương pháp dạy học phù hợp với từng đối tượng học sinh.
Khi dạy môn Toán lớp 7, giáo viên cần tạo hứng thú học tập cho học sinh bằng cách giúp học sinh nắm vững được các kiến thức cơ bản, rèn kỹ năng vẽ hình và trình bày lời giải bài toán một cách chặt chẽ, logic; vận dụng được kiến thức để làm các bài tập từ dễ đến khó, tăng khả năng tư duy và phân tích tổng hợp cho học sinh trong mọi trường hợp. Không chỉ học sinh khá, giỏi mà ngay cả học sinh trung bình, yếu, kém cũng có hứng thú học Toán hơn. Học sinh dễ dàng tiếp thu kiến thức mới một cách có hệ thống và hình thành được khả năng tư duy logic, nâng cao năng lực tự học của bản thân. 
2. Kiến nghị:
 Để việc vận dụng đề tài có hiệu quả trong quá trình dạy và học nhằm nâng cao chất lượng đại trà và chất lượng mũi nhọn thì:
Mỗi giáo viên phải thường xuyên học tập, nghiên cứu, tìm tòi, học hỏi kinh nghiệm, nâng cao trình độ chuyên môn của bản thân. Phải nắm vững kiến thức Toán học một cách sâu và rộng, tham khảo, tìm tòi nhiều phương pháp giải hay để hướng dẫn, mở rộng, nâng cao kiến thức cho học sinh. 
Mỗi học sinh phải không ngừng học tập, nắm vững kiến thức Toán học, rèn kỹ năng vẽ hình và trình bày lời giải. Nâng cao năng lực tự học, tự tìm tòi, nghiên cứu kiến thức mới. Biết vận dụng kiến vào học tập và vào thực tế cuộc sống.
Trên đây là một số phương pháp giải toán bằng nhiều cách một số bài toán lớp 7 mà trong quá trình dạy học môn Toán và nghiên cứu tài liệu tôi đã tổng hợp được để giúp bản thân nâng cao kiến thức, chuyên môn nghiệp vụ và bổ sung kinh nghiệm cho mình, cũng là để giúp học sinh tiếp thu kiến thức một cách dễ dàng hơn, phần nào nâng cao năng lực tư duy, sự sáng tạo và rèn kỹ năng giải Toán tốt hơn. Đây là một vài kinh nghiệm nhỏ khi dạy bộ môn Toán, tuy bước đầu chưa đem lại kết quả cao và mĩ mãn như mong đợi, nhưng nếu mỗi giáo viên chúng ta cùng đồng lòng, yêu nghề và tận tâm với nghề, hết lòng vì học sinh và thực sự đầu tư cho việc giảng dạy của mình thì sẽ giúp học sinh có hứng thú và tự tin hơn trong học tập đối với môn Toán nói riêng và tất cả các môn học khác nói chung. Được như vậy chắn chắn chất lượng dạy và học sẽ ngày càng được nâng lên. Vì còn nhiều hạn chế về chuyên môn, kiến thức cũng như kinh nghiệm, nên những gì tôi nêu ra ở trên không thể tránh được những sai sót. Rất mong nhận được sự góp ý của quý Thầy cô và đồng nghiệp để bài viết này được hoàn chỉnh hơn và cũng là để cùng nhau rèn luyện, nâng cao trình độ chuyên môn và xây dựng đội ngũ có kiến thức, giàu kinh nghiệm, ham học hỏi và yêu nghề.
Xin chân thành cảm ơn !
TÀI LIỆU THAM KHẢO
STT
Tên tài liệu
Tác giả
1
Sách giáo khoa Toán 7
Bộ GD&ĐT
2
Sách bài tập Toán 7
Nhiều tác giả
3
Sách giáo viên Toán 7
Bộ GD&ĐT
4
HD thực hiện Chuẩn kiến thức kỹ năng môn Toán THCS
Bộ GD&ĐT
5
Phương pháp dạy học Toán học ở trường phổ thông THCS 
Hoàng Chúng

Người thực hiện
 Nguyễn Trung Phương