Sáng kiến kinh nghiệm Kinh nghiệm giải các bài toán tính tổng của dãy số viết theo quy luật

ổng của dãy số viết theo quy luật
Dạng 1: Tính tổng của các số tự nhiên cách đều.
Dạng 2: Tính tổng của các tích số tự nhiên viết theo quy luật.
Dạng 3: Tính tổng các lũy thừa của số tự nhiên viết theo quy luật.
Dạng 4: Tính tổng của các phân số có mẫu là tích của hai số tự nhiên
Dạng 5: Tính tổng của các phân số có mẫu là tích của nhiều số tự nhiên liên tiếp.
Dạng 6: Tính tổng của các phân số có mẫu là tích của nhiều số tự nhiên cách đều, khoảng cách giữa hai thừa số lớn hơn 1.
Tập trung rèn kỹ năng đảm bảo tính hiệu quả phù hợp với học sinh thông qua các dạng toán
Dạng 1: Tính tổng của các số tự nhiên cách đều.
Phương pháp giải:
 Muốn tính tổng của các số tự nhiên cách đều, ta làm như sau:
- Tính số các số hạng của tổng theo công thức:
 (Số lớn nhất – Số nhỏ nhất) : Khoảng cách + 1
- Tính tổng theo công thức: (Số đầu + Số cuối) . Số số hạng : 2
Các ví dụ:
Ví dụ 1: Tính tổng A = 1 + 2 + 3 + ...+ 100
Giải: 
 Tổng A có: (số hạng)
Bài toán tổng quát: Tính tổng 1 + 2 + 3 + ...+ n (Với )
Giải: 
 Với cách làm như ví dụ 1, ta có:
Ta có công thức tính tổng các số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến n (Với ) như sau:
 (Với )
Ví dụ 2: Tính tổng B = 2 + 4 + 6 + ...+ 100
Giải: 
 Tổng B có: (số hạng)
Bài toán tổng quát: Tính tổng 2 + 4 + 6 + ...+2n (Với )
Giải: 
 Với cách làm như ví dụ 2, ta có:
Ta có công thức tính tổng các số tự nhiên chẵn liên tiếp từ 2 đến 2n (Với ) như sau:
 (Với )
Ví dụ 3: Tính tổng C = 1 + 3 + 5 + ...+ 49
Giải: 
 Tổng C có: (số hạng)
Bài toán tổng quát: Tính tổng 1 + 3 + 5 + ...+(2n – 1) (Với )
Giải: 
 Với cách làm như ví dụ 3, ta có:
Ta có công thức tính tổng các số tự nhiên lẻ liên tiếp từ 1 đến 2n - 1 (Với ) như sau:
 (Với )
Ví dụ 4: Tính tổng D = 4 + 7 + 10 + 13 + ...+ 301
Giải: 
 Tổng D có: (số hạng)
Ví dụ 5: Tính tổng E = 98 + 93 + 88 + 83 +  + 13 + 8 +3
Giải: 
 Tổng E có: ( 98 – 3 ) : 5 + 1 = 95 : 5 + 1= 19 +1 = 20 (số hạng)
 E = ( 98 + 3 ) . 20 : 2 = 101 . 20 : 2 = 1 010
Dạng 2: Tính tổng của các tích số tự nhiên viết theo quy luật.
Ví dụ 1: 
Chứng tỏ rằng: k( k+1) = (Với ) 
Từ đó tính tổng: A = 1.2 + 2.3 + 3.4 +  + 99.100
Giải: 
 Với , ta có k(k+1)(k+2) – k(k+1) (k-1) = k( k+1) = k (k+1) .3 
 k( k+1) = = 
Vậy: k( k+1) = (Với )
Áp dụng: Tính tổng: A = 1.2 + 2.3 + 3.4 +  + 99.100
Ta có: 
	..
Cộng vế với vế các đẳng thức trên, ta được:
A = +
Ví dụ 2: 
 Tính tổng B = 10.11 + 11.12 + 12.13 +  + 98.99 
Giải:
Ta có: 
	.
Cộng vế với vế các đẳng thức trên, ta được: 
B = += – = 98.33.100 – 3.10.11 = 323 070
Bài toán tổng quát: Tính tổng S = 1.2 + 2.3 + 3.4 + + n(n+1) (Với ) 
Giải: 
Ta có: 
	..
Cộng vế với vế các đẳng thức trên, ta được: S = +
Ta có công thức:
 (Với )
Ví dụ 3: Tính tổng C = 2.4 + 4.6 + 6.8 + 8.10 +  + 196.198 + 198.200
Phương pháp giải: Ta thấy mỗi số hạng của tổng là tích của 2 số tự nhiên chẵn liên tiếp. Do đó, để tách mỗi số hạng thành hiệu của 2 số nhằm triệt tiêu từng cặp số hạng với nhau ta nhân cả hai vế với 6. Thừa số 6 này được viết dưới dạng: (6 - 0) ở số hạng thứ nhất, (8 - 2) ở số hạng thứ hai, (10 - 4) ở số hạng thứ ba, ..........,(202 - 196) ở số hạng cuối cùng.
Giải: 
6.C = 2.4.6 + 4.6.6 + 6.8.6 +  + 196.198.6 + 198.200.6
6.C = 2.4.6+4.6.(8–2)+6.8.(10 – 4)+  +196.198.(200 – 194)+198.200.(202 – 196)
6.C = 2.4.6+4.6.8-2.4.6+6.8.10-4.6.8++196.198.200-194.196.198+198.200.202-96.198.200 
6.C = 198.200.202
 C = 198.200.202 : 6 = 1 333 200
Bài toán tổng quát: 
 Tính tổng S = 2.4 + 4.6 + 6.8 +  + (2n – 2).2n (Với ) 
Giải: 
 Với cách làm như ví dụ 3, ta có: 6.S = (2n – 2).2n.(2n + 2) 
Ta có công thức:
 (Với )
Ví dụ 4: Tính tổng D = 1.3 + 3.5 + 5.7 +  + 95.97 + 97.99
Phương pháp giải: Ở tổng D, mỗi số hạng là tích của 2 số tự nhiên lẻ liên tiếp. Ta thực hiện phương pháp như ví dụ 3 tức là ta nhân cả hai vế với 6. Thừa số 6 này được viết dưới dạng: (5 + 1) ở số hạng thứ nhất, (7 - 1) ở số hạng thứ hai, (9 - 3) ở số hạng thứ ba, ...., (101 - 95) ở số hạng cuối cùng.
 Giải: 6.D =1.3.6 + 3.5.6 + 5.7.6 +  + 95.97.6 + 97.99.6
6.D =1.3.(5 + 1) + 3.5.(7 – 1) + 5.7.(9 – 3) +  + 95.97.(99 – 93) + 97.99.(101 – 95) 
6.D =1.3.5+1.3.1+3.5.7–1.3.5+5.7.9–3.5.7+  +95.97.99–93.95.97+ 97.99.101–95.97.99 
6.D = 3 + 97.99.101
 D = (3 + 97.99.101) : 6 = 161 651
Bài toán tổng quát: 
 Tính tổng S = 1.3 + 3.5 + 5.7 +  + (2n – 1).(2n + 1) (Với ) 
Giải: 
 Với cách làm như ví dụ 4, ta có:
6.S = 
Ta có công thức:
 (Với )
 Ví dụ 5: Tính tổng E = 1.3 + 2.4 + 3.5 + ... + 99.101 
Phương pháp giải: Để tính tổng E ta không nhân nhân cả 2 vế với cùng một số thích hợp mà tách ngay một thừa số trong mỗi số hạng làm xuất hiện các tổng khác mà ta đã biết cách tính hoặc dễ dàng tính được. 
Giải: 
E = 1.3 + 2.4 + 3.5 + ... + 99.101 
 = 1(2 + 1) + 2(3 + 1) + 3(4 + 1) + ... + 99(100 + 1) 
 = 1.2 + 1 + 2.3 + 2 + 3.4 + 3 + ... + 99.100 + 99 
 = (1.2 + 2.3 +3.4 +...+ 99.100) + (1 + 2 + 3 + ... + 99) 
 = + = 333300 + 4950 = 338250 
Bài toán tổng quát: Tính tổng 1.3 + 2.4 + 3.5 + ... + n(n + 2) (Với ) 
Giải: 
 Với cách làm như ví dụ 5, ta có:
1.3 + 2.4 + 3.5 + ... + n(n + 2) = 
Ta có công thức:
 (Với )
Ví dụ 6: Tính tổng F = 1.4 + 2.5 + 3.6 + ... + 99.102
Phương pháp giải: Sử dụng phương pháp giải như ví dụ 5. 
Giải: 
F = 1.4 + 2.5 + 3.6 + ... + 99.102 
 = 1(2 + 2) + 2(3 + 2) + 3(4 + 2) + ... + 99(100 + 2) 
 = 1.2 + 1.2 + 2.3 + 2.2 + 3.4 + 3.2 + ... + 99.100 + 99.2 
 = (1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + 99.100) + 2(1 + 2 + 3 + ... + 99) 
 = + 2. = 333300 + 9900 = 343200 
 Bài toán tổng quát: Tính tổng 1.4 + 2.5 + 3.6 ++ n(n+3) (Với ) 
Giải: 
 Với cách làm như ví dụ 6, ta có:
1.4 + 2.5 + 3.6 ++ n(n+3) = 
Ta có công thức:
 (Với )
Ví dụ 7: 
Chứng tỏ rằng: k( k+1)(k+2) = (Với ) 
Từ đó tính tổng: G = 1.2.3 + 2.3.4 +  + 98.99.100
Giải: 
 Với , ta có k(k+1)(k+2)(k+3) – (k-1)k(k+1) (k+2) 
= k( k+1)(k+2) = k (k+1)(k+2) .4 
 k( k+1)(k+2) = = 
Vậy: k( k+1)(k+2) = (Với ) 
Áp dụng: Tính tổng: G = 1.2.3 + 2.3.4 +  + 98.99.100
Ta có: 
	..
Cộng vế với vế các đẳng thức trên, ta được:
G = +
Bài toán tổng quát: Tính tổng 1.2.3 + 2.3.4 +  + n (n+1)(n+2) (Với ) 
Giải: 
Ta có: 
	..
Cộng vế với vế các đẳng thức trên, ta được:
1.2.3 + 2.3.4 +  + n (n+1)(n+2) = 
Ta có công thức:
 (Với )

Dạng 3: Tính tổng các lũy thừa của số tự nhiên viết theo quy luật.
Ví dụ 1: Tính các tổng sau:
 a) A = 1 + 2 + 22 + 23 + 24 + 25 + 26 + 27 + 28 + 29 + 210
 b) B = 1 + 3 + 32 + 33 + 34 + ... + 3100
Phương pháp giải: Tổng trên là tổng của các lũy thừa có cùng cơ số, số mũ của các lũy thừa là các số tự nhiên được sắp xếp theo thứ tự tăng dần. Để giải bài toán này, ta nhân cả hai vế của biểu thức với cơ số của các lũy thừa, sau đó trừ từng vế của biểu thức mới cho biểu thức ban đầu rồi suy ra kết quả bài toán.
Giải: 
a) A = 1 + 2 + 22 + 23 + 24 + 25 + 26 + 27 + 28 + 29 + 210
 2A = 2 + 22 + 23 + 24 + 25 + 26 + 27 + 28 + 29 + 210 + 211 
2A – A = 211 – 1 
 A = 211 – 1 
b) B = 1 + 3 + 32 + 33 + 34 + ... + 3100
 3B = 3 + 32 + 33 + 34 +... + 3100 + 3101
 3B – B = 3101 – 1 
 2B = 3101 – 1 
 B = 
Bài toán tổng quát: Tính tổng S = 1 + a + a2 + a3 +  + an (Với )
 Giải: Với cách làm như ví dụ 1, ta có:
a.S – S = an+1 – 1 
(a – 1)S = an+1 – 1 
Ta có công thức:
 (Với )
Ví dụ 2: Tính tổng 12 + 22 + 32 + 42 +  + 1002 
Phương pháp giải: Tổng trên là tổng của các lũy thừa có cùng số mũ, cơ số của các lũy thừa là các số tự nhiên liên tiếp. Để tính tổng này, tách ngay một thừa số trong mỗi số hạng làm xuất hiện các tổng khác mà ta đã biết cách tính hoặc dễ dàng tính được. 
Giải: 
 12 + 22 + 32 + 42 +  + 1002
 = 1 + 2(1 + 1) + 3(2 + 1) + 4(3 + 1) +  + 100(99 + 1)
 = 1 + 1.2 + 2 + 2.3 + 3 + 3.4 + 4 +  + 99.100 + 100
 = (1.2 + 2.3 + 3.4 +  + 99.100) + ( 1 + 2 + 3 +  + 100)
 = 333300 + 5050
 = 338350
Bài toán tổng quát: Tính tổng 12 + 22 + 32 + 42 +  + n2 (Với ) 
 Giải: Với cách làm như ví dụ 2, ta có:
12 + 22 + 32 + 42 +  + n2 = (1 + 2 +3 +4 +  + n) +[1.2 + 2.3 + 3.4+  + (n–1)n]
 Ta có công thức tính tổng các bình phương của các số tự nhiên từ 1 đến n như sau:
 (Với )
Ví dụ 3: Tính tổng 13 + 23 + 33 +  + 1003
Giải: 13 + 23 + 33 +  + 1003
 = 13 – 1 + 23 – 2 + 33 – 3 ++ 1003 – 100 + ( 1 + 2 + 3 + + 100 )
 = 0 + 2( 22 – 1 ) + 3( 32 – 1 ) + + 100( 1002 – 1 ) + ( 1 + 2 + 3 + + 100 )
 = (1.2.3 + 2.3.4 + + 99.100.101) + ( 1 + 2 + 3 +  + 100 )
 = 101989800 + 5050 = 101994850
Bài toán tổng quát: Tính tổng 13 + 23 + 33 +  + n3 (Với ) 
Giải: Với cách làm như ví dụ 2, ta có:
 13 + 23 + 33 +  + n3
 = 13 – 1 + 23 – 2 + 33 – 3 + 43 – 4 + 53 – 5 ++ n3 – n + ( 1 + 2 + 3 + + n )
 = 0 + 2( 22 – 1 ) + 3( 32 – 1 ) + 4( 42 – 1 ) + + n( n2 – 1 ) + ( 1 + 2 + 3 + 4 + + n )
 = 0 + 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + 4.5.6 + + (n – 1 )n( n + 1 ) + ( 1 + 2 + 3 + 4 +  + n )
Ta có công thức tính tổng các lập phương của các số tự nhiên từ 1 đến n như sau:
 (Với )
Ví dụ 4: Tính tổng 13 + 33 + 53 +  + 993
Phương pháp giải: Đây là tổng lập phương của các số lẻ liên tiếp. Muốn tính tổng trên ta lập một tổng là tổng các lập phương của các số tự nhiên liên tiếp rồi trừ đi phần cộng thêm.
Giải: 
13 + 33 + 53 +  + 993 = (13 + 23 + 33++ 993) - (23 + 43 + 63++983)
= (13 + 23 + 33++ 993) - 23(13 + 23 + 33 ++493)
=
 Bài toán tổng quát: Tính tổng (Với ) 
Giải: Với cách làm như ví dụ 4, ta có:
Ta có công thức tính tổng các lập phương của các số tự nhiên lẻ liên tiếp từ 1 đến 2n + 1 như sau:
 (Với )

Dạng 4: Tính tổng của các phân số có mẫu là tích của hai số tự nhiên
Ví dụ 1: Tính tổng 
Giải: 
Với , ta có: 
Thay k lần lượt bằng 1; 2; 3; ; 2004 ta có:
= 
 .
= 
Cộng vế với vế các đẳng thức trên, ta được:
 = 
Bài toán tổng quát: Tính tổng (Với ) 
Giải: 
 = 
 Ta có công thức :
 (Với )
Ví dụ 2: Tính tổng 
 (Trích đề kiểm tra nghiệm thu lớp 6 huyện Krông Ana năm học 2011 - 2012)
Nhận xét: Tổng trên là tổng của các phân số có tử là 5, mẫu là tích của 2 số tự nhiên liên tiếp. Do đó, nếu ta đặt 5 làm thừa số chung thì biểu thức trong ngoặc sẽ có dạng như ví dụ 1.
Giải: 
Ví dụ 3: Tính tổng 
Giải: 
Với , ta có: 
Thay k lần lượt bằng 1; 2; 3; ; 2003 và a = 2 ta có:
Cộng vế với vế các đẳng thức trên, ta được:
 = = 
Bài toán tổng quát: Tính tổng (Với , n lẻ) 
Giải: 
= = 
Ta có công thức :
 (Với )
Ví dụ 4: Tính tổng 
 (Trích đề kiểm tra nghiệm thu lớp 6 huyện Krông Ana năm học 2010 - 2011)
Giải: 
Thông qua ví dụ trên cần phải khắc phục cho học sinh sai lầm thường gặp: là sai
Cách khác:
Bài toán tổng quát: Tính tổng (Với , n lẻ) 
Giải: 
= = 
Ta có công thức :
 (Với )
Ví dụ 5: Tính tổng 
 (Trích đề kiểm tra nghiệm thu lớp 6 huyện Krông Ana năm học 2012 - 2013)
Giải: 
= 
Ví dụ 6: Tính tổng 
Giải: 
Bài toán tổng quát: Tính tổng (Với ) 
Giải: 
= 
Ta có công thức :
 (Với )
Ví dụ 7: Tính tổng 
Giải: 
Dạng 5: Tính tổng của các phân số có mẫu là tích của nhiều số tự nhiên 
 liên tiếp.
Phương pháp giải:
 Muốn tính tổng của các phân số có mẫu là tích của nhiều số tự nhiên liên tiếp, ta tiến hành như sau:
- Tách từng phân số thành hiệu của hai phân số theo các công thức tổng quát sau đây: (Với )
 (Với )
 (Với )
 (Với )
- Tiến hành rút gọn từng cặp số hạng đối nhau kể từ số hạng thứ hai đến số hạng kề cuối rồi tính ra kết quả.
Các ví dụ:
Ví dụ 1: Tính tổng 
Phương pháp tách: 
 .. 
Giải: 
 = +++
= ==
====
Bài toán tổng quát: Tính tổng (Với ) 
Giải: 
Ta có công thức :
 (Với )
Ví dụ 2: Tính tổng 
Phương pháp tách: 
 .. 
Giải: 
Bài toán tổng quát: 
Tính tổng (Với ) 
Giải: 
Ta có công thức :
 (Với )
Ví dụ 3: 
 Tính tổng 
Phương pháp tách: 
 .. 
Giải: 
Ví dụ 4: Tính tổng 
Giải: 
 = 
 = 
= = = = 
Dạng 6: Tính tổng của các phân số có mẫu là tích của nhiều số tự nhiên 
 cách đều, khoảng cách giữa hai thừa số lớn hơn 1.
 Muốn tính tổng của các phân số có mẫu là tích của nhiều số tự nhiên cách đều, khoảng cách giữa hai thừa số lớn hơn 1, ta tiến hành như sau:
- Tách từng phân số thành hiệu của hai phân số theo các công thức tổng quát sau đây: 
 (Với )
 (Với )
 (Với )
 (Với )
.
 (Với )
- Tiến hành rút gọn từng cặp số hạng đối nhau kể từ số hạng thứ hai đến số hạng kề cuối rồi tính ra kết quả.
Các ví dụ:
Ví dụ 1: Tính tổng 
Phương pháp tách: 
Giải:
Ví dụ 2: Tính tổng 
Phương pháp tách: 
Giải: 
Ví dụ 3: Tính tổng 
Phương pháp tách: 
Giải: 
C. HIỆU QUẢ GIẢI PHÁP
Thời gian áp dụng thử : 
Năm học 2018 - 2019
Hiệu quả đạt được
Kết quả khảo sát đầu năm:
Điểm
Lớp
Sỉ số
Giỏi
Khá
T. Bình
Yếu
Kém
6D
40
6(15%)
16(40%)
11(27,5%)
5(12,5%)
2(5%)
6F
39
9(23,1%)
12(30,1%)
11(28,2%)
5(12,8%)
2(5,8%)

Sau khi thực nghiệm đề tài tại trường tôi thấy học sinh có thức giải toán bằng cách lập phương trình kỹ hơn , cẩn thận hơn , trình bày lời giải bài toán khoa học , chặt chẽ hơn được thể hiện qua kết quả sau đây:
Điểm
Lớp
Sỉ số
Giỏi
Khá
T. Bình
Yếu
Kém
6D
40
7(17,5%)
17(42,5%)
15(37,5%)
1(2,5%)
0
6F
39
11(28,2%)
12(30,1%)
12(30,1%)
4(11,6%)
0

Khả năng áp dụng:
Đề tài này tôi đã nghiên cứu và có áp dụng trong trong trường bằng cách thông qua các buổi họp chuyên môn hai lần trên tháng, đưa cho giáo viên nghiên cứu và trao đổi làm nội dung chuyên môn và từ đó mỗi giáo viên nắm bắt được và áp dụng trong bồi dưỡng học sinh giỏi.
D. KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT, KIẾN NGHỊ
Kết luận : 
Sau quá trình nghiên cứu thực trạng, áp dụng giải bài toán tính tổng của dãy số theo quy luật cho học sinh lớp 6 bản thân tôi tự đúc rút bài học kinh nghiệm như sau:
Mỗi giáo viên dạy môn toán THCS cần xác định việc nâng cao chất lượng dạy học là một nhiệm vụ quan trọng đòi hỏi phải có sự quan tâm, đầu tư về trí tuệ và sự hợp lực của giáo viên và học sinh.
Làm tốt công tác xã hội hoá giáo dục, thu hút sự quan tâm của nhà trường, phụ huynh học sinh cùng tham gia trong việc nâng cao chất lượng dạy học.
Giáo viên cần sáng tạo trong công tác vận dụng linh hoạt phương pháp và hình thức dạy học tích cực trong quá trình dạy học, tìm tòi học hỏi để nâng cao nghiệp vụ chuyên môn.
Song song với việc kiểm tra, đôn đốc cần chú trọng đến công tác thi đua, khen thưởng cho học sinh. Từ đó giao chỉ tiêu rõ ràng và điều kiện đi kèm với chỉ tiêu đó để khuyến khích các em học sinh cố gắng đạt được mục tiêu đề ra. Đây là giải pháp quan trọng mang tính đột phá trong việc thúc đẩy các em học sinh tìm tòi, cố gắng, quyết tâm dành được thành tích cao trong học tập.
Những đề xuất, kiến nghị
2. 1. Đối với Phòng Giáo dục và Đào tạo
- Mở các chuyên đề về kỹ năng giải toán trong trường THCS.
2.2. Đối với ban lãnh đạo nhà trường
- Quan tâm hơn nữa đến việc nâng cao chất lượng giáo dục toàn diện.
Phước Hưng, ngày 28 tháng 8 năm 2019
Người viết sáng kiến
Đường Hồng Phúc

TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Phan Đức Chính, Sách giáo khoa toán 6( tập 1, 2), Nhà xuất bản Giáo dục. 
2. Phan Đức Chính, Sách giáo viên toán 6( tập 1,2), Nhà xuất bản Giáo dục.
3. Vũ Văn Bình, Nâng cao và phát triển toán 6 , Nhà xuất bản Giáo dục.
4. Đặng Đức Trọng – Nguyễn Đức Tấn, Bồi dưỡng năng lực tự học toán 6, Nhà xuất bản Đại học quốc gia thành phố Hồ Chí Minh
5. ThS. Đào Duy Thụ - ThS. Phạm Vĩnh Phúc, Tài liệu tập huấn Đổi mới phương pháp dạy học môn toán, Nhà xuất bản Giáo dục, 180 trang.