Sáng kiến kinh nghiệm Khai thác tính chất hình học để xây dựng và phát triển các bài toán tọa độ không gian

2
R AB 
Gọi bán kính đáy và chiều cao của trụ lần lượt 
là ; , (0 2 )r h h R . 
Có mối quan hệ 2 2 2 2 2( ) 4 36.
2
h
r R h r 
Khi đó 2 2( ) . . (36 )
4
TV r h h h
 , dễ thấy trên (0;6) biểu thức 2 3(36 ) 36h h h h đạt 
GTLN tại 2 3h 
Hai mặt phẳng đáy có VTPT là 2;2;1n 
 và khoảng cách giữa hai mặt phẳng đáy 
bằng 2 1 2 1 2 1
2 2 2 2 2 2 32 2 2 1
d d d d d d
h
b c
. Suy ra 2 1 3 6 3 10,39d d h 
Dễ thấy 1 2;d d không nguyên nên khoảng 1 2( ; )d d có 11 số nguyên. 
Sản phẩm bài 6: 
Ta có: 4;4;2 , 6AB AB 
 
. 
Gọi M là điểm thuộc đoạn IB ( M 
không trùng B ) sao cho 
 0 3IM x x . 
Khi đó 3AM x , 29MC x . 
Thể tích khối nón là: 
 2 21 1. 9 3
3 3
V MC AM x x . 
 3 21 3 9 27
3
x x x 
Xét hàm số 3 23 9 27f x x x x ,  0;3x , có 23 6 9f x x x . 
1
0
3
x
f x
x l
Bảng biến thiên 
h
r
R
A
B
O'
O
44 
Suy ra 
 
0;3
max 1 32f x f 
Như vậy max
32
3
V
 khi 
2
4
3
AM AM AB 
  
. 
Với 2; 1; 3M M MAM x y z 
 
14 11 13
; ;
3 3 3
M
. 
Vậy mặt phẳng cần tìm qua M và nhận AB
 
 làm vectơ pháp tuyến nên có phương 
trình là 
14 11 13
4 4 2 0 2 2 21 0
3 3 3
x y z x y z
Suy ra 
2
1 3 1 21 18
21
b
c b c d
d
. 
d) Tổ chức thực hiện 
Chuyển giao 
GV chia lớp thành 4 nhóm và giao nhiệm vụ: 
- Nhóm 1, 4 thực hiện bài 1. 
-Nhóm 2, 3 thực hiện bài 2. 
Yêu cầu các nhóm phát hiện và giải được bài toán cực trị, sau 
đó sử dụng điều kiện xảy ra dấu bằng để giải bài toán tọa độ 
Thực hiện 
 - HS thảo luận theo nhóm để thực hiện nhiệm vụ. 
- GV quan sát, theo dõi các nhóm. Giải thích câu hỏi nếu các 
nhóm chưa hiểu rõ nội dung vấn đề nêu ra 
Báo cáo thảo 
luận 
Các nhóm cử đại diện trình bày với yêu cầu: 
- Chỉ ra được bài toán cực trị. 
- Giải được bài toán tọa độ theo kết quả bài toán cực trị 
Đánh giá, nhận 
xét, tổng hợp 
- GV nhận xét thái độ làm việc, phương án trả lời của học sinh 
- GV kết luận vấn đề, nêu định hướng khi giải các bài toán 
tương tự như các bài toán trên. 
3. HOẠT ĐỘNG 3: LUYỆN TẬP 
a) Mục tiêu: 
b) Nội dung: 
45 
PHIẾU HỌC TẬP 1 
Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC với (1;0;0)A , 
(3;2;4)B , (0;5; 4)C . Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng ( )Oxy sao cho 
2MA MB MC 
   
 nhỏ nhất. 
A. (1;3;0)M . B. (1; 3;0)M . C. (3;1;0)M . D. (2;6;0)M 
Câu 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm 2; 1; 2A và đường thẳng 
 d có phương trình 
1 1 1
1 1 1
x y z 
. Gọi P là mặt phẳng đi qua điểm 
A , song song với đường thẳng d và khoảng cách từ đường thẳng d tới 
mặt phẳng P là lớn nhất. Khi đó mặt phẳng P vuông góc với mặt phẳng 
nào sau đây? 
A. 6 0x y . B. 3 2 10 0x y z . 
C. 2 3 1 0x y z . D. 3 2 0x z . 
Câu 3: Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng 
1 2
:
1 2 1
x y z
d
và mặt phẳng 
 : 2 2 4 0P x y z . Mặt phẳng chứa đường thẳng d và tạo với mặt 
phẳng P góc với số đo nhỏ nhất có phương trình là 
A. 2 0x z . B. 2 0x z . 
C. 3 1 0x y z . D. 3 0x y z . 
Câu 4: Cho hình chóp tứ giác đều .S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh , 
tâm O . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của hai cạnh SA và BC . Biết 
6
2
a
MN , tính sin của góc giữa đường thẳng MN và mặt phẳng SBC . 
A. . B. . C. . D. . 
Câu 5: Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 5a , cạnh bên 
10SA a và vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi M là trung điểm cạnh SD . 
Tính tan của góc tạo bởi hai mặt phẳng AMC và SBC . 
A. 
3
2
. B. 
2 3
3
. C. 
5
5
. D. 
2 5
5
. 
Câu 6: Cho hình lập phương cạnh . Gọi là trung điểm của 
. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng và . 
A. . B. . C. . D. . 
a
2
5
3
3
5
5
3
. ' ' ' 'ABCD A B C D a K
'DD CK 'A D
3
a
4
a
5
a
2
a
46 
Câu 7: Trong không gian tọa độ Oxyz , cho hai điểm 2;1;3A , 6;5;5B . Xét khối 
nón N ngoại tiếp mặt cầu đường kính AB có B là tâm đường tròn đáy 
của khối nón. Gọi S là đỉnh của khối nón N . Khi thể tích của khối nón 
 N nhỏ nhất thì mặt phẳng qua đỉnh S và song song với mặt phẳng chứa 
đường tròn đáy của N có phương trình 2 0x by cz d . Tính 
T b c d . 
A. 12T . B. 24T . C. 36T . D. 18T . 
Câu 8: Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu 
2 2 2
: 1 2 3 48S x y z . 
Gọi là mặt phẳng đi qua hai điểm 0;0; 4A , 2;0;0B và cắt S theo 
giao tuyến là đường tròn C . Khối nón N có đỉnh là tâm của S , 
đường tròn đáy là C có thể tích lớn nhất bằng: 
A. 
88
3
. B. 39 . C. 
125
3
. D. 
128
3
. 
c) Sản phẩm: học sinh thể hiện trên bảng nhóm kết quả bài làm của mình 
1.A 2.D 3.D 4.B 5.D 6.A 7.A 8.B 
d) Tổ chức thực hiện 
Chuyển giao 
GV: Chia lớp thành 4 nhóm. Phát phiếu học tập 1 
HS: Nhận nhiệm vụ 
Yêu cầu có hình vẽ, không cần trình bày lời giải quá chi tiết 
Thực hiện 
GV: điều hành, quan sát, hỗ trợ 
HS: 4 nhóm tự phân công nhóm trưởng, hợp tác thảo luận thực 
hiện nhiệm vụ. Ghi kết quả vào bảng nhóm. 
Báo cáo thảo 
luận 
Đại diện nhóm trình bày kết quả thảo luận 
Các nhóm khác theo dõi, nhận xét, đưa ra ý kiến phản biện để 
làm rõ hơn các vấn đề 
Đánh giá, nhận 
xét, tổng hợp 
GV nhận xét thái độ làm việc, phương án trả lời của các nhóm 
học sinh, ghi nhận và tuyên dương nhóm học sinh có câu trả 
lời tốt nhất. 
Hướng dẫn HS chuẩn bị cho nhiệm vụ tiếp theo 
4. HOẠT ĐỘNG 4: VẬN DỤNG. 
a)Mục tiêu: 
b) Nội dung 
PHIẾU HỌC TẬP 2 
Bài 1. Trong không gian , cho mặt cầu . Gọi 
là mặt phẳng đi qua hai điểm và cắt theo giao tuyến là 
Oxyz 
2 2 2
: 1 2 3 48S x y z 
 0;0; 4 , 2 ;0 ;0A B S
47 
đường tròn . Tìm thể tích lớn nhất của khối nón có đỉnh là tâm của , 
đường tròn đáy là . 
Bài 2. Trong không gian , cho điểm và mặt cầu 
 tâm . Xét các điểm thuộc sao cho lớn 
nhất, luôn thuộc mặt phẳng . Viết phương trình mặt phẳng . 
c) Sản phẩm: Sản phẩm trình bày của 4 nhóm học sinh 
Sản phẩm bài 1 
Mặt cầu có tâm và bán kính 
. 
Vì: ; nên nằm 
ngoài và nằm trong mặt cầu nên mặt 
phẳng luôn cắt theo đường tròn có 
bán kính . 
Phương trình đường thẳng . 
Gọi là hình chiếu của trên . 
. 
Từ đó ta có . 
Gọi là khoảng cách từ đến mặt phẳng , ta có: và 
. 
Thể tích khối nón là: . 
Xét hàm số với . 
. 
. 
Bảng biến thiên: 
Từ bảng biến thiên ta có . 
Sản phẩm bài 2: 
 C N S
 C
Oxyz 1; 3;0A 
2 2 2: 2 6 50S x y z I M S AMI
M
 S 1; 2;3I 
4 3R 2;0; 4AB 
 
54IA R 14IB R A
B S
 S C
r
r
R
h
J
H
I
B
A
2 2
: 0
4
x t
AB y
z t
J I AB 2 2 ;0;4J t t 1 2 ; 2; 4 3IJ t t 
 
1
2 1 2 4 4 3 0
2
IJ AB t t t 
  
 2; 2; 1 3IJ IJ 
 
h I 0 3h 
2 2 248r R h h 
 N 2 2 31 1 148 48
3 3 3
V r h h h h h 
 31 48
3
V h h h 0 3h 
 2 21 48 3 16
3
V h h h 
 20 16 0 4V h h h 
max 39V 
48 
Mặt cầu có 
tâm , bán kính 
Điểm nằm trong mặt cầu, do 
. 
Mặt phẳng cắt mặt cầu theo 
giao tuyến là đường tròn. 
Ta có: 
 lớn nhất 
Khi đó: vuông tại 
Vậy, khi lớn nhất thì luôn nằm trên mặt phẳng đi qua và vuông góc 
với . 
* Viết phương trình mặt phẳng : 
 có 1 VTPT PT mặt phẳng : 
. 
d) Tổ chức thực hiện 
Chuyển giao 
GV: Chia lớp thành 4 nhóm. Phát phiếu học tập 2 cuối tiết để 
học sinh về nhà thực hiện và chuẩn bị cho buổi báo cáo tiếp 
theo. 
HS: Nhận nhiệm vụ 
Thực hiện 
Các nhóm HS thực hiện tìm tòi, nghiên cứu và làm bài ở nhà. 
Có thể dùng các phần mềm vẽ hình để tìm tòi ra kết quả sau 
đó giải bằng phương pháp hình học giải tích tọa độ không 
gian. 
Báo cáo thảo 
luận 
HS cử đại diện nhóm trình bày sản phẩm vào tiết tiếp theo. 
Các nhóm khác theo dõi, nhận xét, đưa ra ý kiến phản biện để 
làm rõ hơn các vấn đề. 
Đánh giá, nhận 
xét, tổng hợp 
GV nhận xét thái độ làm việc, phương án trả lời của các nhóm 
học sinh, ghi nhận và tuyên dương nhóm học sinh có câu trả 
lời tốt nhất. 
- Chốt kiến thức tổng thể trong bài học. 
- Hướng dẫn HS về nhà tự xây dựng tổng quan kiến thức đã 
học bằng sơ đồ tư duy. 
3.4. Xử lí kết quả thực nghiệm. 
2 2 2: 2 6 50S x y z 
 2; 6;0I 50 5 2R 
 1; 3;0A 
2 2 21 3 0 10IA R 
 AIM S
2 2 2 2 50 10 2 2 2 2 2
cos 2 .
2. . 2. .5 2 10 2 10 2 5
MA MI AI MA MA MA
AMI
MA MI MA MAMA
 AMI 
2
cos
5
AMI 
2 2
40 2 10
10 2
MA
MA
MA
 2 2 22 2 2 50 40 10MI MA IA AIM A
 AMI M A
AI
 1; 3;0n AI 
  
 1 1 3 3 0 0 0 3 10 0x y z x y 
49 
 Để kiểm chứng kết quả của đề tài, chúng tôi tiến hành cho học sinh thực 
hiện hai bài kiểm tra 15p ở hai lớp 12A1 và 12A2 trường THPT Diễn Châu 4 trong 
đó lớp 12A1 được học chủ đề khai thác tính chất hình học để giải bài toán tọa độ 
không gian, lớp 12A2 không được học chủ đề (với lưu ý rằng các học sinh các lớp 
này thuộc lớp chất lượng cao của nhà trường). 
Đề 1 : (Thực hiện trước khi học thực nghiệm) 
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai điểm 2;1;3A , 6;5;5B . Gọi 
 S là mặt cầu có đường kính AB . Mặt phẳng P vuông góc với đoạn AB tại H 
sao cho khối nón đỉnh A và đáy là hình tròn tâm H (giao của mặt cầu S và mặt 
phẳng P ) có thể tích lớn nhất, biết rằng : 2 0P x by cz d với b , c , d . 
Tính T b c d . 
Đề 2: (Thực hiện sau khi học thực nghiệm) 
Trong không gian , cho mặt cầu . Gọi là 
mặt phẳng đi qua hai điểm , và cắt theo giao tuyến là 
đường tròn sao cho khối nón đỉnh là tâm của và đáy là là đường tròn 
có thể tích lớn nhất. Biết rằng , tính tổng . 
Kết quả thực nghiệm: 
Lớp Sĩ 
số 
Đề Giỏi Khá TB Yếu Kém 
SL % SL % SL % SL % SL % 
12A1 40 1 10 25 20 50 10 25 1 2,5 0 0 
2 15 37,5 24 60 1 2,5 0 0 0 0 
12A2 40 1 4 10 23 57,5 11 27,5 2 5 0 0 
2 6 15 25 62,5 8 20 1 2,5 0 0 
Nhận xét: Qua kết quả thực nghiệm chúng tôi nhận thấy kết quả đề kiểm tra số 2 
của hai lớp đều cao hơn so với đề số 1, tuy nhiên nếu học sinh được học và vận 
dụng được chủ đề khai thác tính chất hình học trong bài toán tọa độ không gian thì 
thấy được kết quả đặc biệt rõ nét hơn so với lớp chưa được học . Cụ thể, tại lớp 
12A1 số học sinh đạt điểm khá, giỏi đều tăng lên rõ rệt, số học sinh trung bình và 
yếu giảm xuống trong khi đó lớp 12A2 do chưa được học nên kết quả có thay đổi 
nhưng hiệu quả chưa cao. 
Nhận xét chung chương 3: 
 Trong chương 3 chúng tôi đã tiến hành thực nghiệm dạy học chủ đề khai 
thác tính chất hình học trong bài toán tọa độ không gian và đã đánh giá tính hiệu 
quả khi áp dụng các phương pháp này. Từ đó chúng tôi nhận thấy có thể sử dụng 
đề tài “Khai thác tính chất hình học để xây dựng và phát triển các bài toán tọa độ 
không gian” này một cách rộng rãi để giáo viên có thể áp dụng và thực hiện dạy 
học mới theo hướng phát huy năng lực của học sinh đồng thời giúp học sinh lĩnh 
hội kiến thức và logic được hệ thông bài tập, giúp các em hứng thú hơn với môn 
học. 
Oxyz 
2 2 2
: 1 2 3 27S x y z 
 0;0; 4A 2;0;0B S
 C S C
 : 0ax by z c a b c 
50 
MỘT SỐ HÌNH ẢNH MINH HỌA 
51 
PHẦN III. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 
 1. Quá trình nghiên cứu 
 Đề tài này được nghiên cứu một cách nghiêm túc, cẩn thận. Trong quá trình 
giảng dạy, do yêu cầu cần phải thay đổi phương pháp để đón đầu xu thế đáp ứng 
việc đánh giá năng lực học sinh, cũng như thực tế cho thấy việc dạy học theo 
chương trình phổ thông mới cần có sự thay đổi về tư duy, về phương pháp nên 
chúng tôi đã tìm tòi, nghiên cứu để tìm ra con đường dạy học phù hợp hơn. Để 
hoàn thành đề tài này chúng tôi đã tham khảo nhiều nguồn tài liệu, đặc biệt là các 
đề minh họa và các đề thi thử của các trường trên cả nước trong năm học 2021, bên 
cạnh áp dụng cho học sinh, rút ra kình nghiệm, chúng tôi còn thường xuyên trao 
đổi với đồng nghiệp để hoàn thiện đề tài được tốt nhất. 
2. Ý nghĩa của đề tài 
 Qua thời gian nghiên cứu đề tài và áp dụng vào thực tiễn quá trình dạy học 
chúng tôi nhận thấy đề tài đạt được nhiều ứng dụng hiệu quả đối với chương trình 
phổ thông nói chung và bộ môn toán nói riêng, cụ thể là: 
- Đề tài đã xây dựng được phương pháp tư duy mới về bài toán tọa độ không gian 
trong chương trình hình học lớp 12. 
- Đề tài giúp giáo viên có cách nhìn hệ thống về mối quan hệ giữa tính chất hình 
học và biểu thức tọa độ, khái quát hóa một số dạng toán, phục vụ cho quá trình dạy 
học. 
- Đề tài giúp học sinh xâu chuỗi được kiến thức của mình khi học về hình học 
không gian tổng hợp và hình học tọa độ, giúp các em cảm nhận phần kiến thức này 
không phải quá khó, chỉ cần biết phương pháp giải và áp dụng nhuần nhuyễn trên 
bài toán tọa độ thì sẽ học tốt phần này. 
- Đề tài tiếp cận được với nội dung chương trình thi tốt nghiệp của Bộ Giáo Dục 
nên có thể dùng để làm tài liệu cho giáo viên và học sinh trong quá trình ôn tập. 
- Đề tài góp phần vào sự phát triển chung của xu thế toán học, đưa nội dung kiến 
thức toán đến gần gũi hơn với người học và người dạy. 
 Tuy nhiên bên cạnh những ưu điểm thì đề tài còn một số vấn đề cần bổ sung 
như khái quát hóa một số bài toán thành dạng tổng quát, phát triển thêm việc sử 
dụng các phép biến đổi để tính nhanh kết quả,  do hạn chế về mặt thời gian và 
quy định về số trang của sáng kiến, rất mong sự đóng góp ý kiến từ quý thầy cô 
giáo đồng nghiệp và các em học sinh để đề tài hoàn thiện hơn. 
3. Kiến nghị 
 Với việc đã kiểm nghiệm qua quá trình dạy học và ôn thi tốt nghiệp cho học 
sinh đạt nhiều kết quả, chúng tôi kiến nghị nhà trường cần có định hướng để áp 
dụng đề tài “Khai thác tính chất hình học để xây dựng và phát triển các bài toán tọa 
độ không gian” đã nghiên cứu này phổ biến vào chương trình dạy học, khuyến 
khích giáo viên nghiên cứu và phát triển thêm. 
52 
 Tổ bộ môn nên đưa chủ đề đã xây dựng trong đề tài này vào sinh hoạt 
chuyên môn để nâng cao hiệu quả quá trình giảng dạy của các thành viên. 
 Giáo viên cần quan tâm hơn đến phương pháp đã nêu trong đề tài để vào 
phục vụ trong quá trình dạy học, đáp ứng được các yêu cầu đổi mới phương pháp 
theo hướng tiếp cận và phát triển năng lực người học. 
 Diễn Châu, tháng 4 năm 2022 
 Nhóm tác giả 
53 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
[1]. SGK hình học 12, Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên)-Nguyễn Mộng Hy (Chủ 
biên)-Khu Quốc Anh-Trần Đức Huyên, Nhà xuất bản giáo dục. 
[2]. SGK hình học 11, Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên)-Nguyễn Mộng Hy (Chủ 
biên)-Khu Quốc Anh-Nguyễn Hà Thanh-Phan Văn Viện, Nhà xuất bản giáo 
dục. 
[3]. Bài tập hình học nâng cao 11, Văn Như Cương (Chủ biên)-Phạm Khắc Ban-
Tạ Mân, Nhà xuất bản giáo dục. 
[4]. Bồi dưỡng học sinh giỏi toán hình học 12, ThS. Lê Hoành Phò, Nhà xuất 
bản Đại học quốc gia Hà Nội. 
[5]. Phương pháp giải toán hình học không gian, Trần Quang Minh, Nhà xuất 
bản Đại học quốc gia Hà Nội 
[6]. Tuyển chọn đề thi học sinh giỏi THPT môn Toán tập 2, Trịnh Khắc Tuấn, 
Nhà xuất bản Đại học quốc gia Hà Nội 
[7]. Rèn luyện kỹ năng giải toán hình học không gian, Nguyễn Mạnh Hùng, Nhà 
xuất bản Đại học quốc gia Hà Nội 
[8]. Toán nâng cao hình học THPT tập 2, Phan Huy Khải, Nhà xuất bản Hà Nội 
[9]. Phân dạng và các phương pháp giải các chuyên đề hình học 12, Nguyễn Phú 
Khánh, Nhà xuất bản Đại học quốc gia Hà Nội 
[10]. Đề thi thpt Quốc gia, thi tốt nghiệp, đề minh họa Bộ Giáo dục và Đào tạo từ 
năm 2017 đến nay. 
[11]. Tuyển tập các đề thi thử Thpt Quốc gia của các trường trên cả nước 
[12]. Đề thi học sinh giỏi lớp 12 các tỉnh và thành phố.