Sáng kiến kinh nghiệm Khả năng phát hiện và giải quyết vấn đề thông qua việc vẽ thêm đường phụ

dẫn: 
Ta có (1) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung MC)
 (2) ( cùng phụ với )
Từ (1) và (2) 
ADI = ADM (g,c.g) DM = DI và AM = AI (3) 
Chứng minh tương tự ta có EN = EI và AN = AI (4)
Từ (1) và (2) AM = AN 
Từ các định hướng và lời giải trên ta có thêm bài tập nào? Hãy phát biểu nội dung bài tập đó?
Bài tập 4.6: Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O;R) . Vẽ các đường cao AH, BD, CE chúng cắt nhau tại I. Gọi M và N lần lượt là giao điểm của BD và CE với đường tròn (O). 
a) Chứng minh M và I đối xứng nhau qua AC; N và I đối xứng nhau qua AB
b) Chứng minh AM = AN
Ví dụ 5 : Cho ABC cân ở A, trung tuyến CD, trên tia đối của tia BA lấy K sao cho BK=BA. Chứng minh rằng CD = CK
Định hướng chung: Nếu để nguyên hình vẽ này không vẽ thêm đường phụ ta có chứng minh được CD = CK không ? Đường phụ phải tạo ra liên quan đến kiến thức nào? Để chứng minh CD = CK phải tạo ra một đoạn thẳng bằng CK rồi chứng minh đoạn thẳng đó bằng CD. Hoặc tạo ra một đoạn thẳng bằng 2CD rồi chứng minh đoạn thằng đó bằng CK. Có bao nhiêu cách tạo đoạn thẳng như thế? Từ định hướng chung đó cho học sinh đề xuất các cách vẽ khác nhau cụ thể như sau :
Cách1: Gọi M là trung điểm của CK có CM=CK muốn chứng minh CD = CK ta cần chứng minh điều gì? Muốn chứng minh CM = CD ta cần chứng minh điều gì? Chứng minh BMC = BDC. 
Hướng dẫn: : Gọi M là trung điểm của CK ta có CM =CK (1)
Vì B và M lần lượt là trung điểm của AK và CK nên BM là đường trung bình của AKCBM//AC và BM = AC.
 Mà AC = AB và BD = AB (gt)nênBD = BM
Vì BM//AC nên (so le trong); mà ( gtABC cân ở A) nên 
DBC và MBC có BD = BM, , cạnh BC chung 
 nên DBC = MBC (c-g-c) CM = CD (2)
Từ (1) và (2) CD =CK 
Cách 2: Gọi E là trung điểm của AC có BE= KC, muốn chứng minh DC = CK cần chứng minh điều gì? Muốn chứng minh CD = BE cần chứng minh điều gì? 
Hướng dẫn: Gọi E là trung điểm của AC có BE= KC (1)
Vì D, E lần lượt là trung điểm của AB, AC nên AD = AB; AE = AC mà AB = AC (gt) nên AD = AE.
ADC và AEB có AB = AC (gt); chung; AD = AE nên ADC = AEB (c-g-c) CD =BE (2)
Từ (1) và (2) CD =CK 
Cách 3: Trên tia đối của tia CB lấy điểm M sao cho CM= CB thì AM = 2CD, muốn chứng minh CD =CK ta cần chứng minh điều gì?, muốn chứng minh AM = CK cần chứng minh điều gì? 
Hướng dẫn: Trên tia đối của tia CB lấy điểm M sao cho CM = CB ta có AM = 2CD hay CD =AM (1) 
AMC và BKC có CM = BC, , AC =BK 
AMC = BKC (c-g-c) AM = CK(2)
Từ (1) và (2) CD =CK 
Cách 4 : Trên tia đối của tia CA lấy điểm N sao cho CN = CA cho ta điều gì? muốn chứng minh CD =CK ta cần chứng minh điều gì?, muốn chứng minh BN = CK cần chứng minh điều gì? 
Hướng dẫn: Trên tia đối của tia CA lấy CN = CA thì BC là đường trung bình của ABN nên CD = BN (1)
+) Chứng minh BCN = CBK (c-g-c) BN= CK(2)
Từ (1) và (2) CD =CK 
Cách 5: Trên tia đối của tia DC lấy điểm E sao cho DE = DC cho ta điều gì? muốn chứng minh CD =CK ta cần chứng minh điều gì?, muốn chứng minh CE = CK cần chứng minh điều gì? 
Hướng dẫn: Trên tia đối của tia DC lấy E sao cho DE = DC.Ta có CD = CE (1). 
+) Chứng minh BE =AC, BE // AC sau đó chứng minh CBE = CBK(c.g.c) CE = BK(2)
Từ (1) và (2) CD =CK 
Ví dụ 6: ' Cho ABC cân tại A có Â = 20o trên cạnh AB lấy diểm D sao cho AD = BC. Tính số của góc ACD 
Định hướng chung: Tam giác ABC cân tại A có Â = 20o ta tính được = 800. Từ mối liên hệ giữa góc ở đáy và góc ở đỉnh của tam giác cân: 80o - 20o = 60o, gợi cho ta việc vẽ thêm tam giác đều (vì 60o là góc của một tam giác đều), nhưng vẽ thêm tam giác như thế nào để xuất hiện cặp tam giác bằng nhau, rồi từ các cặp tam giác bằng nhau đó tính được số đo góc ACD. 
+ Ở miền trong của tam giác ABC dựng một tam giác đều thì cạnh nào của tam 
giác ABC sẽ là cạnh của tam giác đều. Có bao nhieu cách vẽ?
+ Ở miền ngoài của tam giác ABC vẽ tam giác đều như thế nào và có bao nhiêu cách vẽ để giải được bài tập này? 
Cách 1: Ở miền trong của ABC vẽ đều BEC.Ta có điều gì? Có nhận xét gì về quan hệ giữa hai tam giác AEB và AEC? Muốn tính được số đo góc ACD ta cần chứng minh điều gì? Hãy chứng minhADC =CEA? 
Từ ADC =CEA(c-g-c) . Mà bằng bao nhiêu độ? Từ = 100 = 100
Cách 2: Trên nữa mặt phẳng bờ AB không chứa điểm C lấy điểm E sao cho tam giác ADE là tam giác đều. Ta có góc = 800, CAE = ABC (c.g.c) = 20o; ADC = EDC (c.c.c) = 100
Cách 3: Trên nữa mặt phẳng bờ AC không chứa điểm B vẽ tam giác đều ACE. Ta có điều gì? Có nhận xét gì về quan hệ của hai tam giác ABC và EAD? ABC =EAD cho ta điều gì? Có nhận xét về đặc điểm của tam giác DEC ? Góc DCE có số đo bằng bao nhiêu? Từ đó tính được số đo góc ACD không?
Cách 4: Trên nữa mặt phẳng bờ AC có chứa điểm B vẽ tam giác đều ACE. Ta có điều gì? Số đo góc EAB bằng bao nhiêu?
 = 400,EAB cân tại A cho ta điều gì? = 700 suy ra số đo góc BEC bằng bao nhiêu? = 100 ; ADC = CBE ( c.g.c ) = 100
Cách 5: Trên nữa mặt phẳng bờ AB có chứa điểm C vẽ tam giác đều ACE. Ta có điều gì? = 20o; ADC = CBE (c.g.c) 
ACE cân ở A; góc = 40o Góc = 70o
 = 10o = 100
*) Lưu ý học sinh: Thường xuyên chú ý đến liên hệ giữa các góc của tam giác, liên hệ giữa cạnh của tam giác, phát hiện các cặp tam giác bằng nhau, vẽ đường phụ hợp lí làm xuất hiện những góc đặc biệt, những cặp góc bằng nhau...Trong các đường phụ vẽ thêm có thể là đường vuông góc, đường song song, tam giác đều.
Ví dụ 7: Cho hai đường tròn ngoài nhau (O, R) và (K, R’) (với R > R’). AB là tiếp tuyến chung ngoài (A đường tròn (O); B đường tròn (K)). Tính độ dài AB theo R, R’ và d (d = OK )
Định hướng : Tứ giác ABKO là hình thang vuông có OA = R, KB = R’, OK = d. Muốn tính độ dài AB, ta hãy dựng một đoạn thẳng chứng minh được bằng AB rồi tính độ dài đoạn thẳng đó theo R, R’ và d 
Cách 1. Vẽ KH OA, H OA . 
Ta có OH = R - R′, ∆HOKvuông tại H, KH = AB
	Ta tìm được AB = .
Cách 2. Vẽ BC // KO, C OA, AC = R - R′, BC = OK = d. ∆ABK vuông tại A 	
Ta cũng có được AB = .
Ví dụ 8: Cho tam giác ABC (AC > AB). Lấy các điểm D, E tùy ý theo thứ tự nằm trên các cạnh AB,AC sao cho BD = CE. Gọi K là giao điểm của các đường thẳng DE, BD. Chứng minh rằng tỉ số không phụ thuộc vào cách chọn các điểm D và E.
Định hướng cách giải.: Để chứng minh được tỉ số không phụ thuộc vào cách chọn các điểm D và E , vận dụng định lí Talet, ta cần vẽ thêm một đường thẳng song song với một đường thẳng cho trước để nhờ đó mà tạo thêm được các cặp đoạn thẳng tỉ lệ. Hãy xét xem có bao nhiêu cách vẽ thêm.
Cách 1. Để làm xuât hiện một tỉ số bằng ta vẽ qua D đường thẳng DG // AC 
Theo định lí Talet ta có : = , = 
Trong hai tỉ số trên, ta chú ý đến tỉ số sau, vì độ dài EC được nêu trong giả thiết (EC = BD). Ta thay bằng và tỉ số này bằng (vì DG // AC).
Cách 2.Vẽ EH // AB, ta có : = = = .
Cách 3. Vẽ MD // BC , ta có (1)
 (2)
Từ (1) và (2) = 
	Ví dụ 9: Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O,R). Hai đường cao của tam giác ABC là BD và CE. Chứng minh rằng : OA DE.
Định hướng 1: Vẽ thêm tiếp tuyến Ax ta có OA Ax, muốn chứng minh OA DE ta cần chứng minh điều gì? Chứng minh DE // Ax. 
Tứ giác BCDE nội tiếp nên , 
Lại có nên DE // Ax. 
Định hướng 2: Gọi I là giao điểm của OA và DE 
OA DE = 900 + = 900 
Vẽ đường phụ là đường kính AF, có = 900 và = = . 
Định hướng 3: Vẽ DE cắt đường tròn (O) lần lượt tại M, N ( E nằm giữa M và D). Tìm cách chứng minh A là trung điểm của cung MN. Mà = (vì tứ giác BEDC nội tiếp) cho ta : 
Ví dụ 10: Đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với AB và AC lần lượt tại D, E. Cho điểm M thuộc đoạn thẳng AD, CM cắt DE tại I. Chứng minh rằng = 
Định hướng: Điều cần chứng minh gợi cho ta nghĩ đến việc áp dụng định lí nào? Để áp dụng ĐL Ta Lét ta cần vẽ thêm đường phụ như thế nảo? Có bao nhiêu cách vẽ ?
Cách 1. Vẽ CK // AB, K DE. Ta có = và chứng minh được CE = CK 
Cách 2. Vẽ MH //DE, H AC. Ta có = ; AD = AE ; = Do đó DM = HE từ đó suy ra điều cần chứng minh.
Cách 3. Vẽ ML // AC, L DE,ta có = , DM = ML. Từ đó suy ra điều cần chứng minh .
Ví dụ 11: Cho tam giác ABC vuông ở A, Từ trung điểm M của cạnh AC vẽ tia Mx vuông góc với BC, từ C vẽ tia Cy vuông góc với AC, hai tia này cắt nhau tại N, Chứng minh AN vuông góc vơí BM.
 Hướng dẫn1: Kéo dài NM cắt BA tại D.	
 +) Cm : 
 +) Cm : ADCN là hình bình hành
 +) Cm: M là trực tâm của tam giác BDC CD mà CD// AN nên BM AN
Hướng dẫn2: Trên tia đối của tia MB lấy điểm D sao cho MD = MB; ta có ABCD là hình bình hành AD// BC; AB//CD
Mà CA AB(gt) CD CA 
Lại có CN CA(gt) nên CD và CN trùng nhau CA DN 
Vì MN BC, BC// AD nên MN AD
Tam giác ADN có CA DN ; MN AD DM AN tại K ANBM tại K
Ví dụ 12: Cho tam giác ABC, trực tâm H, M là trung điểm của BC. Từ H vẽ đường thẳng vuông góc với HM cắt AB và AC lần lượt tại P và Q. Chứng minh HP = HQ 
Hướng dẫn 1: Trên tia đối của tia HC lấy điểm D sao cho HD = HC, CBD có HM là đường trung bình HM//BD
Mà HM HP (gt) nên HP BD
Gọi K là giao của CH với AB ta có CD AB tại K hay BK DH.
Từ HP BD và BK DH P là trực tâm của BDH DP BN (1) 
Gọi N là giao điểm của BH với AC ta có BN AC (2) 
Từ (1) và (2) DP// CN.
DHP = CHQ (gcg) HP = HQ 
Hướng dẫn 2: Qua C kẻ đường thẳng song song với PQ, cắt AH và AB lần lượt tại N và D ta có (1)
Tam giác NCH có CB HN , HK CN mà CB và HK cắt nhau tại M NM CH, mà CH AD NM // AD 
Vì MB = MC và NM // AD nên NC = ND (2)
Từ (1) và (2) HP = HQ
Ví dụ 13: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, Gọi D và E lần lượt là giao điểm các đường phân giác trong của tam giác AHB và AHC. Đường thẳng DE cắt AB và AC lần lượt tại M và N. Chứng minh AM = AN
Hướng dẫn: Kéo dài CE cắt AD tại K. Có (cùng phụ với )
Vì D và E lần lượt là giao điểm các đường phân giác trong của tam giác AHB và AHC(gt) nên 
Mà AKC vuông tại K CK ADEK AD
Tương tự kéo dài BD cắt AE tại Q, ta có BQAE DQ AE 
Gọi O là giao của DQ và EK, ADE có EK và DQ là hai đường cao cắt nhau tại O nên O là trực tâm củaADEAO DE AO MN
Ta có O là giao điểm các đường phân giác trong của ABC nên AO là phân giác của góc MAN AMN có AO vừa là phân giác vừa là đường cao nên AMN là cân tại A AM = AN
Ví dụ 14: Cho tam giác ABC, vẽ ra phía ngoài tam giác đó các tam giác vuông cân ABD và ACE (D và C thuộc 2 nữa mặt phẳng đối nhau bờ AB; E và B thuộc 2 nữa mặt phẳng đối nhau bờ AC). Gọi M là trung điểm của DE. Chứng minh AM vuông góc với BC.
Hướng dẫn: Trên tia đối của tia MA lấy điểm N sao cho MA = MN, tứ giác ADNE là hình bình hành nên (1)
Từ gt ta có (2)
Từ (1) và (2) ta có: 
+) Cm được NAD = CAB (cgc) 
Gọi giao của AM với BC là H, ta có nên AHB vuông tại H AM BC 
Ví dụ 15: Vẽ ra phía ngoài tam giác ABC các tam giác ABD vuông cân tại B, ACE vuông cân tại C. Gọi M là trung điểm của DE. Hãy xác định dạng của tam giác BMC
 Hướng dẫn: Trên tia đối của tia MB lấy điểm N sao cho MN = MB, BDNE là hình bình hành nên EN AB, EN = AB. Ta có EC AC, EC = AC. Từ đó dễ dàng có ENC = ABC (cgc), NC = BC, NC BC do đó BCN vuông cân BMC vuông cân tại M 
Ví dụ 16: Cho tam giác ABC. Lấy các điểm D, E theo thứ tự thuộc tia đối của các tia BA, CA sao cho BD = CE = BC. Gọi O là giao điểm của BE và CD. Qua O vẽ các đường thẳng song song với tia phân giác của góc A, đường thẳng này cắt AC ở K. Chứng minh rằng AB = CK 
Hướng dẫn: Vẽ hình bình hành ABMC thì AB = CM. Ta sẽ chứng minh CM = CK. trước hết ta chứng minh M, O , K thẳng hàng. Thật vậy nên BO là tia phân giác của góc CBM. tương tự CD là tia phân giác của góc BMC. Do đó MO là phân giác của góc BMC. Suy ra OM// Ax là tia phân giác của góc A. Vậy K; O; M thẳng hàng. 
Ta có: nên tam giác CMK cân CK = CM = AB
 c) KẾT LUẬN
Thực tế hiện nay phần lớn học sinh đã nhận thức được tầm quan trọng của học tập. Tuy nhiên, giữa nhận thức và hành động lại có sự mâu thuẫn. Nguyên nhân căn bản là do học sinh chưa có động cơ học tập đúng đắn, giáo viên chưa chú ý nhiều đến việc tạo hứng thú học tập cho học sinh. Việc dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề đã được giáo viên sử dụng nhưng chưa thực sự linh hoạt, chưa gây được hứng thú trong học sinh. Kinh nghiệm dạy và học cho thấy: học sinh chỉ có kết quả học tập cao khi họ có hứng thú thật sự. Việc tạo hứng thú học tập cho học sinh là điều kiện tiên quyết, là cách tối ưu giúp các em lĩnh hội tri thức cũng như đảm bảo cho sự thành công trong cuộc đời của mỗi cá nhân.
Qua thực tế tổ chức dạy học, nếu từ một bài tập đơn giản, giáo viên đặt vấn đề tạo thêm yếu tố phụ, vẽ thêm đường phụ để học sinh dự đoán, nhận xét, phân tích, so sánh, phát hiện vấn đề mới nãy sinh, đã gây được hứng thú, thu hút được sự chú ý và kích thích sự tò mò, tính sáng tạo của học sinh. Học sinh được tham gia phát hiện và giải quyết vấn đề, học sinh được trang bị thêm kỹ năng phát hiện vấn đề, kỹ năng tạo thêm đường phụ. Đặc biệt học sinh đã biết vẽ thêm đường phụ, tạo thêm yếu tố phụ, giải được khá nhiều bài tập mà khi giải phải tạo thêm đường phụ. Trong nhiều năm học vừa qua học sinh lớp tôi giảng dạy nhiều em đã thi đậu các lớp chuyên toán, chuyên toán tin ở trường chuyên Phan Bội Châu của tỉnh, khối chuyên Đại học sư phạm Vinh. Trong kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 PTTH có nhiều em đạt điểm 9; 9,5 một số em đã đạt được 10.
 Năm học 2013 – 2014 qua khảo sát hai nhóm đối tượng học sinh, đã thu được kết quả sau đây: 
 
Nhóm thực nghiệm 
 
Nhóm đối chứng 
Số học sinh
KT đầu năm
KT trước tác động
KT sau tác động
 
KT đầu năm
KT trước tác động
KT sau tác động
1
8
8
9
 
7
7
8
2
7
7
8
 
6
7
8
3
8
8
9
 
6
6
7
4
8
8
9
 
7
8
8
5
8
8
9
 
3
5
7
6
8
8
9
 
5
4
5
7
8
8
10
 
7
7
6
8
7
7
8
 
7
8
6
9
8
8
9
 
6
7
7
10
8
8
9
 
6
5
6
11
6
7
8
 
4
5
6
12
8
8
9
 
8
9
7
13
7
8
9
 
5
6
6
14
7
7
8
 
6
6
5
15
7
8
9
 
5
6
6
16
8
8
9
 
7
6
7
17
8
8
9
 
5
7
6
18
8
9
10
 
5
5
6
19
8
8
10
 
6
6
6
20
8
8
9
 
7
6
6
21
8
8
9
 
4
5
4
22
8
 8
9
 
5
6
6
23
8
8
9
 
7
6
7
24
7
8
9
 
7
8
6
25
8
9
10
 
4
5
6
26
8
8
9
 
3
5
6
27
8
8
9
 
3
4
5
28
8
8
9
 
8
7
7
29
7
7
8
 
4
5
6
30
7
8
9
 
6
6
5
 
 
 
 
 
 
 
 
Môt(mode)
6.0
5.0
7.0
 
7.0
6.0
6.0
Trung vị(median)
5.5
5.5
7.0
 
6.0
6.0
6.0
Giá trị trung bình(average)
5.43
5.53
7.00
 
5.63
6.10
6.23
Độ lệch chuẩn(stdev)
1.01
1.01
0.95
 
1.45
1.21
0.94
Giá trị p(ttest)
0.54
0.05
0.00
 
 
 
 
Mức độ ảnh hưởng(SE)
 
 
0.82
 
 
 
 

 Bài học rút ra:
Để từ các bài tập trong SGK; SBT vẽ thêm đường phụ, từ các đường phụ đó có được các câu khác, các bài tập khác một cách lô gic, hợp lý, thì người giáo viên cần phải đầu tư nghiên cứu kỹ, phải biên soạn thành nội dung, phải chuẩn bị các định hướng, các cách đặt vấn đề thích hợp để giúp học sinh phát hiện được, dự đoán được, học sinh cùng nhau giải quyết được vấn đề đã đề xuất.
Việc tìm tòi các bài tập có vẽ thêm đường phụ nếu được giáo viên quan tâm một cách thường xuyên sẽ góp phần không nhỏ trong viÖc rÌn luyÖn cho c¸c em học sinh khá, giỏi tÝnh linh ho¹t, tÝnh ®éc lËp, tÝnh s¸ng t¹o. Xây dựng các định hướng phù hợp và đưa ra các định hướng đó ở những thời điểm thích hợp ngoài việc phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh còn bồi dưỡng học sinh khả năng khám phá, khả năng tự học, tự rèn luyện. Thông qua việc giải các bài tập có vẽ thêm đường phụ cũng giứp học sinh ôn tập được kiến thức cơ bản, trọng tâm, làm cho học sinh được rèn luyện một số phương pháp giải bài tập, học sinh có kỹ năng vẽ thêm đường phụ và kỹ năng tìm tòi sáng tạo bài toán mới.