Sáng kiến kinh nghiệm Hướng dẫn học sinh sử dụng phương pháp diện tích trong chứng minh hình học lớp 8 - Trường THCS Nguyễn Trãi

ng bài toán tương đối khó, phức tạp . Trong khi giải toán có nhiều bài sử dụng các phương pháp thông thường để giải thì gặp nhiều khó khăn , song nếu sử dụng diện tích của các hình để giải thì đơn giản đi rất nhiều . Đối với khả năng của học sinh cấp 2 thì việc sử dụng diện tích các hình để giải toán thì có lợi ích rõ rệt nhất là đối với các học sinh giỏi . Bởi vì khi sử dụng phương pháp diện tích của các hình dễ suy luận và rất sáng tạo . Nó còn giúp ta giải quyết các dạng toán hình học khác mà vận dụng kiến thức về diện tích sẽ tuyệt vời hơn hoặc chỉ có phương pháp diện tích mới có thể giải quyết được
Khi giải các bài toán hình học, học sinh rất ngại vẽ thêm đường phụ, học sinh rất khó tìm ra phương pháp đi giải bài toán. Học sinh thường lầm tưởng diện tích chỉ sử dụng để tính toán. Ngoài ra có nhiều giáo viên cũng chưa chú trọng đến phương pháp diện tích vì nghĩ sẽ khó đối với học sinh, ít gặp trong đề thi và kiểm tra, chưa quan tâm nhiều đến đối tượng học sinh khá, giỏi vô tình làm triệt tiêu mầm non, nhân tài toán học của học sinh, do đó lên lớp trên các em sẽ rất thiệt thòi. 
Vì vậy người giáo viên phải đầu tư, nghiên cứu tìm ra phương pháp phù hợp để việc “dạy – học” đạt hiệu quả. Vì những nguyên nhân này mà tôi đưa ra một số giải pháp nhỏ khi giải bài tập bằng cách ứng dụng phương pháp diện tích trong chứng minh hình học.
2. Những giải pháp để khắc phục hạn chế, tồn tại: 
Các bài toán hình học sử dụng phương pháp diện tích để chứng minh ở trung học cơ sở đa số nằm trong chương trình hình học lớp 8. Đây là một trong những phương pháp rất hiệu quả trong việc bồi dưỡng, nâng cao kiến thức cho học sinh. Khi dạy nội dung này tôi chia làm các phần sau:
Phần 1: Chứng minh các công thức diện tích.
Phần 2: Chứng minh các bổ đề và các định lý: 
- Định lý Talet.
- Tính chất đường phân giác của tam giác.
Phần 3: Ứng dụng vào giải các bài tập cụ thể.
Phần 1: Giới thiệu và chứng minh các công thức diện tích.
1.1.Khái niệm và tính chất diện tích đa giác:
+ Số đo của phần mặt phẳng giới hạn bởi một đa giác được gọi là diện tích đa giác đó.
+ Diện tích đa giác có các tính chất sau:
- Tính chất 1: Hai tam giác bằng nhau thì có diện tích bằng nhau.
- Tính chất 2: Nếu một đa giác được chia thành những đa giác không có điểm trong chung thì diện tích của nó bằng tổng diện tích của những đa giác đó.
- Tính chất 3: Nếu chọn hình vuông có cạnh bằng 1cm, 1dm, 1m, làm đơn vị đo diện tích thì đơn vị diện tích tương ứng là: 1cm2, 1dm2, 1m2, 
1.2. Công thức diện tích hình chữ nhật:
	S = a.b ( a;b là hai kích thước của hình chữ nhật) 
 Chứng minh: Ta xét trường hợp a và b là các số nguyên dương.
Giả sử: a = 7; b = 4 đơn vị dài. 
Chia các cạnh hình chữ nhật 
thành 7 và 4 đoạn bằng nhau. 
Qua các điểm chia vẽ các đường thẳng
song song với các cạnh hình chữ nhật. 
Ta được 7x4 hình vuông (cạnh có độ dài bằng 1). 
Theo tính chất 1 và 3 về diện tích suy ra tất cả các hình vuông đều có
diện tích bằng 1.
 Theo tính chất 2 về diện tích ta có: S = 7 x 4, tức là: S = a.b
(Cách chứng minh trên cũng đúng với a,b Q)
1.3.Công thức tính diện tích hình vuông, tam giác vuông.
a. Hình vuông là một trường hợp của hình chữ nhật: S = a2. b. Tam giác vuông: S = a.b 
Chứng minh: 
Cho tam giác vuông ABD ( = 900 ) 
và gọi S là diện tích của nó. Vẽ hình chữ nhật ABCD nhận AB và AD làm cạnh . 
Ta có ABD = CDB ( c-c-c)
Nên SABCD = 2S (tính chất 1 và 2 của diện tích)
Nhưng SABCD = AD.AB (diện tích hình chữ nhật)
1.4. Diện tích tam giác:	S = a.h
Chứng minh: Cho ABC và gọi S là diện tích của nó 
Lấy một cạnh tuỳ ý, chẳng hạn lấy cạnh BC và vẽ đường cao AH ứng với cạnh đó. Ta chứng minh: 
S= BC.AH (tức là S = a.h). Có 3 trường hợp xảy ra:
a/ Điểm H nằm giữa B và C (Hình a)
ABC được chia thành 2 tam giác vuông BHA và CHA.
Ta có: SBHA = AH.BH (diện tích tam giác vuông)
	 SCHA = AH.CH (diện tích tam giác vuông)
Vậy SABC = ( BH + HC). AH = BC.AH
b/ Điểm H nằm ngoài đoạn thẳng BC (Hình b)
Giả sử C nằm giữa B và H. Trong trường hợp này , có thể xem BHA được chia thành 2 tam giác ABC và AHC không có điểm chung trong.
Do đó: SBAH = SABC + SACH (tính chất 2)
Nhưng: SACH = AH.CH (diện tích tam giác vuông)
	 SABH = AH.BH (diện tích tam giác vuông)
Vậy : S ABC = (BH –CH). AH =BC.AH
c/ Điểm H trùng với một trong các đỉnh B hay C (Hình c)
Giả sử H B. Khi đó ABC vuông tại B.
Ta có : S = BC.AB = BC.AH
Ghi nhớ: Với AH, BK, CI là các đường cao của ΔABC ta luôn có: 
AH.BC = BK.AC = CI.AB
1.5. Diện tích hình thang:	S = (a+ b) .h 
Chứng minh: 
Cho hình thang ABCD (AB // CD) và gọi AH là đường cao, S là diện tích. 
Vẽ đường chéo AC ta được hai tam giác ABC, ACD có cùng chiều cao.
Do đó: SABCD = SADC + SACB ( tính chất 2)
Nhưng: SADC = DC.AH, SACB = AB.AH
Suy ra: SABCD = ( AB+DC).AH
Vậy S= (a+b)h
* Hình bình hành là hình thang có hai đáy bằng nhau nên có S = a.h.
1.6. Diện tích tứ giác có hai đường chéo vuông góc :
 S = d1.d2 ( d1,d2: là độ dài hai đường chéo)
Chứng minh: 
Cho tứ giác ABCD có AC BD tại H. 
Gọi S là diện tích ABCD, ta có: 
 S = SABC + SADC nhưng SABC = BH.AC , SADC = DH.AC
 Vậy S = AC(BH + DH) = AC.BD = d1.d2
 * Diện tích hình thoi: S = d1.d2
Phần 2 : Cung cấp thêm một số công thức về diện tích.
Bổ đề 1: Nếu hai tam giác có chung đường cao thì tỉ số hai cạnh đáy tương ứng bằng tỉ số diện tích của hai tam giác.
Chứng minh: Gọi S1 và S2 là diện tích của hai tam giác có chung đường cao h,hai cạnh đáy tương ứng có độ dài a1 và a2.
Ta có : S1= a1h , S2 = a2h nên (đpcm)
Bổ đề 2: Nếu hai tam giác có hai cạnh đáy bằng nhau thì tỉ số hai đường cao tương ứng bằng tỉ số diện tích của hai tam giác.
Chứng minh: Gọi S1 và S2 là diện tích của hai tam giác chung cạnh đáy có độ dài b, hai đường cao tương ứng la h1, h2.
Ta có : S1 = bh1 h1 = 
S2 = bh2 nên (đpcm).
2.1 Chứng minh định lí Talet:
 Cho ABC, nếu DE//BC thì 
Chứng minh: 
ΔADE và ABE có chung đường cao kẻ từ E nên 
theo bổ đề 1 ta có (1)
ΔAED và ACD có chung đường cao kẻ từ D nên theo bổ đề 1 ta có : (2)
Ta lại có : SBEC = SBDC (chung đáy BC, các đường cao tương ứng bằng nhau)
Nên SABC – SBEC = SABC – SBDC SABE = SACD (3)
Từ (1) , (2) và (3) suy ra .
Hướng dẫn
SABE = SACD
SABC – SBEC = SABC – SBDC
2.2 Chứng minh tính chất phân giác của tam giác. 
	Nếu AD là phân giác của ΔABC thì 
Cách 1: Dùng định lý Talet để chứng minh (tham khảo SGK toán 8 tập 2 tr 66)
Cách 2: Dùng diện tích để chứng minh. 
Hướng dẫn:
SADB = DH.AB, SADC = DK.AC 
Chứng minh:
ΔADB và ΔADC có chung đường cao kẻ từ A đến BC 
Nên theo bổ đề 1 ta có: (1) 
Kẻ DH AB; DKAC. 
Ta có : SADB = DH.AB, 
 SADC = DK.AC 
Nên : (2) ( vì DH = DK do ADH= ADK)
Từ (1) và (2) 
Phần 3: Ứng dụng vào giải các bài toán cụ thể.
Bài toán 1: Cho ABC cân tại A. Gọi M là một điểm bất kỳ thuộc cạnh đáy BC. Gọi MH, MK theo thứ tự là các đường vuông góc kẻ từ M đến AB, AC. Gọi BI là đường cao của ABC . Chứng minh rằng MH+ MK = BI. 
Giải :
Đặt AB = AC = a. Ta có 
MH = , 
MK = 
Do đó: MH + MK =
= 
Hướng dẫn 
MK+ MH = BI.
Ghi nhớ: Đường cao h của một tam giác có diện tích S được biểu thị bằng 
h = ( a là cạnh đáy tương ứng)
Bài toán 2: Chứng minh rằng tổng các khoảng cách từ một điểm M bất kỳ trong tam giác đều ABC đến ba cạnh của tam giác bằng chiều cao của tam giác đó. 
Hướng dẫn
SMBC SMAC SMBA SABC
Giải : Gọi a là độ dài các cạnh của
 tam giác đều ABC, h là đường cao 
của tam giác đều.
Ta có: 
SMBC + SMAC + SMAB = SABC 
Ghi nhớ : Phải kẻ các đường phụ MA, MB, MC để tạo ra các tam giác MBC, MAC, MAB.
Bài toán 3: Cho tam giác ABC cân tại A. Điểm M thuộc tia đối của tia BC. Chứng minh rằng hiệu các khoảng cách từ điểm M đến các đường thẳng AC và AB bằng đường cao ứng với cạnh bên của tam giác ABC. 
Giải : 
Đặt AB = AC = a , kẻ MH AC , 
MK AB, BI AC. 
Ta sẽ chứng minh MH – MK = BI
Ta có : SMAC – SMAB = S ABC
Hướng dẫn
SMAC – SMAB = SABC
Ghi nhớ: Sử dụng tính chất 2 về diện tích đa giác để có SMAC – SMAB = SABC 
Bài toán 4: Gọi O là một điểm bất kỳ nằm trong tam giác ABC. Các tia AO, BO, CO cắt các cạnh BC, AC, AB theo thứ tự ở A’, B’, C’. Chứng minh rằng .
Hướng dẫn
 + + 
Giải: 
Kí hiệu : SABC = S, SOBC = S1, 
SOAC = S2, SOAB = S3.
Theo bổ đề 1 ta có: 
Nên theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có: 
 Trong đó: 
Do đó: 
Ghi nhớ: Có thể biểu thị tỷ số của hai đoạn thẳng theo tỷ số diện tích của hai tam giác.
Bài toán 5: Cho hình thang ABCD ( AB // CD) , các đường chéo cắt nhau tại O. Qua O, kẻ đường thẳng song song với hai đáy nó cắt các cạnh bên AD và BC theo thứ tự tại E và F. Chứng minh rằng: OE = OF.
Hướng dẫn:
OE =OF
OE(h1 + h2) = OF(h1 + h2)
SOAD = SOBC
SOEA + SOED SOFB + SOFC 
Giải : Cách 1 
 Kẻ AH , BK ,CN, DM vuông góc với EF.
 Đặt AH = BK = h1 ; CN = DM = h2 
 Ta có :OE .h1 + OE.h2 = SOEA + S OED = SOAD (1) 
 OF .h1 + OF.h2 = SOFB + SOFC = SOBC (2) 
Ta lại có: SADC = SBDC 
SADC – SODC = SBDC – SODC SOAD = SOBC (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra : OE (h1 + h2 ) = OF ( h1 + h2 )
Do đó: OE =OF
Ghi nhớ: Vẽ thêm các đường cao để sử dụng công thức diện tích tam giác. 
Cách 2: (Ký hiệu như hình vẽ.) 
Hướng dẫn
Ta có : SADC = SBDC , 
cùng trừ đi S5 được :S1 + S2 = S3 + S4 (1)
Giả sử OE > OF thì S1 > S3 và S2 > S4 
nên S1 + S2 > S3 + S4 trái vơí (1) 
Giả sử OE < OF thì S1 < S3 và S2 < S4 
nên S1 + S2 < S3 + S4 trái vơí (1)
 Vậy OE = OF.
Ghi nhớ: Có thể sử dụng phương pháp phản chứng kết hợp với phương pháp diện tích để chứng minh.
Bài toán 6: Cho hình bình hành ABCD. Điểm E trên tia đối của tia BA, điểm F trên tia đối của tia DA. Nối BF và DE cắt nhau tại K. Chứng minh diện tích tứ giác ABKD bằng tổng diện tích hai tam giác CKE và CKF. 
Hướng dẫn
Kẻ EM CD, FNBC
SEKC + S FCK = SABKD 
SABCD – SKCB SABCD – S KCD
SECD = SABCD SFBC =SABCD 
Ghi nhớ: Phải kẻ thêm đường phụ EM và FN để sử dụng công thức diện tích trong tam giác ECD,FBC.
3. Kết quả thực hiện: 
Sau khi thấy được các công thức diện tích không phải chỉ để tính diện tích mà chúng còn rất có ích để giải nhiều bài toán chứng minh khác, học sinh rất thích thú, nhất là khi các em tự mình giải được bài tập theo phương pháp nói trên. Qua đó, nó giúp học sinh vững tin hơn khi vận dụng kiến thức một cách sáng tạo để giải bài tập theo nhiều phương pháp khác nhau. Nó góp phần đáp ứng yêu cầu mới hiện nay, giúp cho HS học tập một cách năng động hơn, khả năng ứng dụng phong phú hơn. Nó góp phần làm cho số lượng học sinh yêu thích môn Toán ngày càng tăng lên. Sự yêu thích bộ môn giúp các em thêm tích cực học tập và tiến bộ hơn.
Giải pháp này tôi đã dần áp dụng từ năm học trước đối với các lớp tôi dạy ở một số nội dung kiến thức. Tôi nhận thấy các em nắm vững kiến thức đã học cũng như biết vận dụng phương pháp diện tích vào trong việc giải bài tập, các em hứng thú hơn với môn học vì thế chất lượng dạy học của tôi cũng được nâng dần lên.
Cụ thể, tôi so sánh kết quả kiểm tra chương I hình học 8 của học sinh khối 8 trong năm học vừa qua (tôi có áp dụng giải pháp) với kết quả bài kiểm tra chương I hình học 8 của các năm học trước (khi chưa áp dụng giải pháp này) đã thu được kết quả như sau:

Giỏi
Khá
Tbình
Yếu
Kém
Khi chưa áp dụng
10%
15%
35%
28%
12%
Khi áp dụng
29,7%
32,4%
21,8%
13,5%
2,7%

Trong năm học này, khi tôi đã áp dụng giải pháp ở lớp 8A1 sau đó thử cho 1 bài tập sau và kiểm tra trong 5 phút để lấy kết quả.
* Nội dung bài tập khảo sát: Cho ΔABC vuông tại A, đường cao AH. Chứng minh rằng: AH.BC=AB.AC ( Học sinh sử dụng công thức tính diện tích tam giác để chứng minh)
Lớp
SS
0-2,9
3,0-4,9
5,0-6,4
6,5-7,9
8,0-10,0
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
8A1
37
4
10.8
5
13.5
12
32.4
9
24.3
7
18.9

Sau khi thấy được các công thức diện tích không phải chỉ để tính diện tích mà chúng còn rất có ích để giải nhiều bài toán chứng minh khác, học sinh rất thích thú, nhất là khi các em tự mình giải được bài tập theo phương pháp nói trên. Qua đó, nó giúp học sinh vững tin hơn khi vận dụng kiến thức một cách sáng tạo để giải bài tập theo nhiều phương pháp khác nhau. Nó góp phần đáp ứng yêu cầu mới hiện nay, giúp cho HS học tập một cách năng động hơn, khả năng ứng dụng phong phú hơn. Nó góp phần làm cho số lượng học sinh yêu thích môn Toán ngày càng tăng lên. Sự yêu thích bộ môn giúp các em thêm tích cực học tập và tiến bộ hơn.
4. Bài học kinh nghiệm: 
	Đây là một phương pháp suy luận khó đối với diện đại trà nên SGK có đề cập nhưng lượng bài tập giành cho vấn đề này còn ít. Nếu vì lí do trên mà trong quá trình giảng dạy GV cũng lướt qua thì rất thiệt thòi cho đối tượng HS khá giỏi, vì thực tế cho thấy có những bài toán nếu không sử dụng phương pháp này thì việc chứng minh sẽ rất khó khăn. Ngoài các bài tập nêu trên còn có một số dạng khác nữa nhưng thời gian trên lớp không cho phép GV hướng dẫn học sinh kĩ hơn về phương pháp này. Bởi vậy nếu không tổ chức được một hình thức học tập thích hợp thì không thể khuyến khich được HS tích cực tự giác tham gia tự học, tự rèn bổ sung kiền thức, hỗ trợ thêm cho việc tiếp thu bài trên lớp tốt hơn. 
5. Kết luận: 
Trong quá trình giảng dạy tôi luôn tìm tòi phương pháp giải phù hợp cho học sinh và khai thác phương pháp đó để học sinh vận dụng một cách linh hoạt vào các bài tập khác. Trong chứng minh hình học, học sinh rất sợ những bài toán phải vẽ thêm đường phụ và không để ý áp dụng công thức diện tích các hình (tam giác, tứ giác, đa giác). Do học sinh không biết vẽ từ đâu, và vẽ để làm gì. Qua các bài toán trên giúp học sinh định hướng được vẽ đường phụ nhằm tạo ra những tam giác để sử dụng công thức diện tích khi chứng minh. Qua thực tế bản thân tôi áp dụng phương pháp diện tích các hình (tam giác, tứ giác, đa giác) trong chứng minh các bài toán hình học ở chương trình lớp 8 để dạy học sinh giỏi, tôi thấy học sinh tiếp thu hào hứng và mạnh dạn suy nghĩ theo hướng dùng diện tích để giải quyết bài toán.
Để đạt được hiệu quả cao ngoài phương pháp dạy tốt thì giáo viên phải thường xuyên nghiên cứu thêm tài liệu về phương pháp diện tích các phần miềm giảng dạy như sketchpad, mathcad .... Bên cạnh đó kết hợp với phương tiện dạy học như máy chiếu, các hình ảnh trực quan  thì bài học sẽ sinh động và gần gũi với thực tế hơn. Nhờ đó học sinh học sinh sẽ lĩnh hội được kiến thức một cách tốt hơn, kết quả giảng dạy sẽ cao hơn.
	Trên đây là những giải pháp giảng dạy phương pháp diện tích trong chứng minh hình học. Rất mong sự góp ý của các đồng nghiệp.
Liên Nghĩa, ngày 25 tháng 5 năm 2018
Người báo cáo
(Ký, ghi rõ họ tên)
Bạch Long Hùng

Ý KIẾN CỦA BAN GIÁM HIỆU .
.
HỘI ĐỒNG XÉT DUYỆT SÁNG KIẾN
CẤP HUYỆN ĐÁNH GIÁ, NHẬN XÉT.
.
.
Tài liệu tham khảo:
1. Phan Văn Đức - Nguyễn Hoàng Khanh - Lê Văn Trường , Bồi dưỡng và phát triển toán hình học 8, Nhà xuất bản Đà Nẳng.
2. Nguyễn Để - Nguyễn Việt Hải - Hoàng Đức Chính, Các bài tập toán diện tich đa giác, Nhà xuất bản giáo dục 1996
3. Huỳnh công bằng, phương pháp diện tích.
4. 500 bài toán chọn lọc bồi dưỡng học sinh giỏi toán 8.- Nhà xuất bản ĐHSP.
5. Toán nâng cao hình học 8 – Nhà xuất bản giáo dục .
6. Các chuyên đề hình học bồi dưỡng học sinh giỏi trung học cơ sở –Nhà xuất bản Giáo dục