Sáng kiến kinh nghiệm Hướng dẫn học sinh phân loại và giải một số dạng hệ phương trình

 phương trình có 5 nghiệm. 
Ví dụ 2. Giải hệ phương trình sau: 
Giải: Nếu sử dụng các hằng đẳng thức trên thì chưa thể giải quyết được yêu cầu của bài toán, vậy sử dụng hằng đẳng thức nào?
Học sinh dễ dàng chứng minh được hằng đẳng thức (x + y + z)3 - (x3 + y3 + z3) = 3(x + y)(y + z)(z + x).
	Lập phương hai vế của (1) rồi trừ đi (3) vế theo vế áp dụng hằng đẳng thức trên ta được: (x + y + z)3 - (x3 + y3 + z3) = 3(x + y)(y + z)(z + x) = 0.
Nếu x + y = 0 -> z = 1 và từ (2) -> x = y = 0.
Nếu y + z = 0 -> x = 1 và từ (2) -> z = y = 0.
Nếu z + x = 0 -> y = 1 và từ (2) -> z = x = 0. 
Ví dụ 3. Giải hệ phương trình sau: 
Giải: Cộng ba phương trình vế theo vế ta có (x - 3)3 + (y - 3)3 + (z - 3)3 = 0 (4).
Giả sử x > 3, từ (1) suy ra y > 3, do (2) nên z > 3, do đó vế trái của (4) dương nên loại. Tương tự nếu x < 3 thì y < 3 và z < 3, mâu thuẫn. Từ đó ta dễ thấy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = y = z = 3.
	c. Bài tập áp dụng.
Giải các hệ phương trình sau: 
	1. 	2. 
Dạng 13. Hệ phương trình giải bằng cách đưa về các tổng bình phương.
	a. Phương pháp. Một đẳng thức A2 + B2 + C2 = 0 A = B = C = 0.
	b. Ví dụ minh hoạ.
Ví dụ 1. Giải hệ phương trình sau: 
Giải: Điều kiện xyz Đặt ta có hệ phương trình Từ phương trình 1 -> Z = 2 - X - Y thay vào phương trình hai ta có:
2XY - (2 - X - Y) = 4 2XY - 4 -X2 - Y2 + 4X + 4Y - 2XY = 4 
(X - 2)2 + (Y - 2)2 = 0 X = Y = 2. Vây . Hê có nghiệm là: .
	Ở bài toán trên sau khi đặt ẩn phụ chúng ta đã sử dụng phương pháp thế biến đổi làm xuát hiện tổng các bình phương. Có thể dùng phương pháp cộng đại số được không. Ta xét ví dụ sau:
Ví dụ 2. Giải hệ phương trình: 
Giải: Nếu x = 0 suy y = z = 0, hệ có nghiệm (0; 0; 0)
Nếu x 0 thì y, z 0. Nghịch đảo hai vế của cả ba phương trình ta được.
Cộng cả ba phương trình vế theo vế ta được khi và chỉ khi x = y = z = 1. Thử lại thấy x = y = z = 1 là nghiệm. Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là (0; 0; 0), (1; 1; 1).
Ví dụ 3. Giải hệ phương trình: 
Giải: Điều kiện x, y, z . Nhân mỗi phương trình với 2 rồi cộng các phương trình vế theo vế ta có 4x - 2 + 4y - 2 + 4z - 2 = 0 
( -1)2 + ( -1)2 + ( -1)2 = 0 
Suy ra x = y = x = . Thử lại thấy thoả mãn nên hệ phương trình có nghiệm duy nhất: (;;)
	c. Bài tập áp dụng. 
Giải các hệ phương trình sau:
	1. 	 2. 3 . 
Dạng 14. Hệ phương trình giải bằng cách dùng bất đẳng thức.
	a. Phương pháp.
 	Dấu hiệu cho phép ta sử dụng phương pháp này là số ẩn trong phương trình nhiều hơn số phương trình của hệ. Có thể sử dụng BĐT Cô si, Bunhiacôpxki, hay tính miền giá trị của ẩn bằng cách sử dụng tam thức bậc hai...
	b. Ví dụ minh hoạ. 
Ví dụ 1. Giải hệ phương trình nghiệm dương. 
Giải: Vế trái của phương trình (2) = 1 + x + y + z + (xy + yz + zx) + xyz 
 1 + 3. Dấu bằng xảy ra khi x = y = z =1. Thử lại thấy thoả mãn. Vậy hệ phương trình có nghiệm là: (1; 1; 1).
Ví dụ 2. Giải hệ phương trình: 
Giải: Điều kiện x -1; y 5. Giải sử x > y - 6 Vế trái > Vế phải và 
Giả sử x < y - 6 thì Vế trái < Vế phải. Suy ra x = y - 6. 
Lúc này học sinh có thể dễ dàng đưa ra cách giải trọn vẹn. 
	Đôi khi việc xác định miền giá trị của x, y nhờ sử dụng điều kiện có nghiệm của tam thức bậc hai có thể đi đến cách giải hệ phương trình ngắn gọn và rõ ràng hơn, chẳng hạn ta xét ví dụ sau: 
Ví dụ 3. Giải hệ phương trình: 
Giải: Hệ phương trình đã cho có nhiều ẩn trong đó z có nhiều điều kiện ràng buộc, ta chọn đánh giá ẩn z, từ đó suy ra các ẩn còn lại.
Từ (2) suy ra y2 +2y(3 - z) + 9 - 4z = 0 (*) 
Phương trình (*) ẩn y có nghiệm khi và chỉ khi = (3 - z)2 - (9 - 4z) = z2 - 2z 0 . Mặt khác, do (3) nên (x - 2)2 + z2 = 4, suy ra z2 suy ra z 
Kết hợp vớí (4) suy ra z = 0 hoặc z = 2. Từ đó ta có nghiệm của hệ phương trình là: (4; -3; 0) hoặc (2; -1; 2).
Ví dụ 4. Giải hệ phương trình: 
Giải: Từ (2) áp dụng bất đẳng thức Cô si cho 6 số xy + xz + xt + yz + yt + zt = 6, Suy ra xyzt - 27 6 xyzt 81 (*). Mặt khác từ (1) áp dụng bất đẳng thức Cô si cho bốn số x, y, z, t ta có x + y + z + t suy ra xyzt 81(**). Từ (*) và (**) suy ra xyzt = 81. 
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = t = 3. Vậy hệ phương trình có một nghiệm (3; 3; 3; 3). 
	c. Bài tập áp dụng.
Giải các hệ phương trình sau: 
1. 2. 	 3. 
	Sau một thời gian nghiên cứu bản thân đã đưa ra được một số dạng hệ phương trình và phương pháp giải của nó. Việc giúp học sinh nắm chắc các kiến thức cơ bản cũng như phương pháp giải là rất cần thiết bởi các ứng dụng của nó. Ứng dụng của hệ phương trình rất rộng, có những bài toán nếu giải theo cách thông thường thì khó nhưng khi sử dụng hệ phương trình thì quá trình đó sẽ trở nên dễ dàng hơn. Sau đây tôi xin trình bày một vài ứng dụng của việc giải hệ phương trình.
Dạng 15. Một sô ứng dụng của hệ phương trình:
* Ứng dụng hệ phương trình trong việc xác định hàm số, xác định đa thức.
	a. Ví dụ minh hoạ.
Ví dụ 1. Xác định hàm bậc nhất số y = ax + b biết đồ thị của nó đi qua hai điểm A(1; 3); B(-1; 1)
Giải: Vì đồ thị hàm số đi qua điểm A nên ta có a + b = 3. 
Vì đồ thị hàm số đi qua điểm B nên ta có -a + b = 1. Từ đó ta có hệ phương trình:
Giải hệ phương trình trên ta được a = 1; b = 2. 
Vậy hàm số cần tìm là y = x + 2.
Ví dụ 2. Xác định đa thức P(x) = x3 + ax2 + bx + c biết rằng P(x) chia cho (x-1) dư 7; chia cho (x+1) dư 1; chia cho (x+2) dư -5.
Giải: Áp dụng định lý Bê-Zu: P(x) chia cho (x-) thì có số dư là P() nên ta có: 
P(x) chia cho (x-1) dư 7 P(1) = 7
P(x) chia cho (x+1) dư 1 P(-1) = 1
P(x) chia cho (x+2) dư -5 P(-2) = -5. Từ đó ta có hệ phương trình: giải hệ phương trình ta được a = 1; b = 2; c = 3. 
Vậy đa thức cần tìm là P(x) = x3 + x2 + 2x + 3.
Ví dụ 3. Xác định đa thức P(x) thoả mãn điều kiện sau: P(x) +xP(-x) = x + 1 (1).
Giải: Thay x bởi -x trong (1) ta có P(-x) - xP(x) = -x +1 (2). Đặt P(x) = u; P(-x) = v Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: . Nhân (4) với -x rồi cộng với (3) vế theo vế ta có (x2 + 1)u = x2 + 1 suy ra u = 1. Thử lại với P(x) = 1 thì (1) đúng. Vậy đa thức cần tìm là P(x) = 1.
Ví dụ 4. Xác định hàm số f(x) biết rằng: f(x) + 2f() = x (1) với x 
Giải: Với x thay x bởi trong (1) ta có f() + 2f(x) = (2). 
Đặt u = f(x) và v = f(). Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình . Nhân (4) với -2 rồi công với (3) vế theo vế ta có u = . Thử lại với f(x) = thoả mãn (1). Vậy hàm số cần tìm là f(x) = .
	b. Bài tập áp dụng. 
Bài 1. Xác đinh hàm số y = ax + b biết rằng đồ thị hàm số đi qua hai điểm A và B 	a. A(1; -1), B(2; 1)	b. A(1; 5), B(-1; -1)
Bài 2. Xác định đa thức bậc ba P(x) biết rằng:
a. P(0) = 10; P(1) = 12; P(2) = 4; P(3) = 1. 
b. P(x) chia cho các đa thức x-1; x-2; x-3 đều có số dư là 6 và P(-1) = -18.
Bài 3. Xác định hàm số f(x) thoả mãn:
	a. (x-1)f(x) + f() = 	b. f(x) -3f() = x2.
* Dùng hệ phương trình để phân tích một đa thức thành nhân tử.
	a. Ví dụ minh họa.
	Ví dụ 1. Phân tích đa thức sau thành nhân tử x4 + 6x3 + 7x2 + 6x + 1
Giải: Ở đây ta sử dụng phương pháp hệ số bất định. Nhận thấy 1 và -1 không phải là nghiệm của đa thức nên đa thức không có nghiệm nguyên cũng như nghiệm hữu tỉ. Như vậy nếu đa thức trên phân tích được thành nhân tử thì cách phân tích phải có dạng: (x2 + ax + b)(x2 + cx + d) = x4 + (a+c)x3 + (ac+c+d)x2 + (ad+bc)x + bd.
Đồng nhất hai đa thức ta có hệ phương trình: giải hệ trên ta tìm được 
a = b = d = 1; c = 5. Vậy x4 + 6x3 + 7x2 + 6x + 1= (x2 + x + 1)(x2 + 5x + 1)
Ví dụ 2. Xác định các hệ số a, b, c để có đẳng thức: 
x4 - 2x3 + 2x2 - 2x + a = (x2 - 2x + 1)(x2 + bx + c)
Giải: Ta có (x2 - 2x + 1)(x2 + bx + c) = x4 - (b - 2)x3 + (c - 2b + 1)x2 + (b - 2c)x + c. Đồng nhất hai đa thức ta có hệ phương trình: giải hệ phương trình ta được a = c = 1; b = 0.
Vậy x4 - 2x3 + 2x2 - 2x + 1 = (x2 - 2x + 1)(x2 + 1) 
	b. Bài tập áp dụng.
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: 
1. x3 + 4x2 + 5x + 2
2. 2x4 - 3x3 -7x2 + 6x + 8,
3. 5x4 + 9x3 - 2x2 - 4x -8.
* Dùng hệ phương trình để tính giá trị của một biểu thức
	a. Phương pháp.
	Đặt ẩn phụ để chuyển biểu thức về một hệ phương trình, giải hệ phương trình rồi suy ra giá trị của biểu thức.
	b. Ví dụ minh hoạ.
Ví dụ 1. Tính giá trị của biểu thức A = - -
Giải: Đặt a = ; b = ta có a > 0; b > 0; a - b > 0. Suy ra a.b = 11, a2 + b2 = 24. Từ đó ta có hệ phương trùnh 
Trừ từng vế hai phương trình (1) cho (2) ta có (a - b)2 = 2 suy ra a - b = . Vậy A = - = 0.
	Ở lời giải trên ta đã dựa vào mối liên hệ giữa hai căn thức ; để tính hiệu của chúng, tương tự ta xét ví dụ sau: 
Ví dụ 2. Tính giá trị của biểu thức sau: B = + + - 
Giải: Đặt a =; b=; c=; d =
Suy ra a, b, c, d > 0 và c - d > 0.
Ta có a.b = , a2 + b2 = 10 nên ta có hệ phương trình Cộng hai phương trình vế theo vế ta có (a + b)2 = 8 + 2 suy ra a + b = + 1(vì a + b > 0) Tương tự Trừ từng vế phương trình cho nhau ta có (c - d)2 = 8 - 2 suy ra c - d = - 1. Từ đó suy ra B = a + b + c - d = + 1 + - 1 = 2. 
Ví dụ 3. Chứng tỏ rằng: là số tự nhiên
 (Đề thi chọn HSG tỉnh Nghệ An 2007 - 2008)
Giải: Đặt a = ; b = ta có a.b = -1 và a3 + b3 = 14 từ đó ta có hệ phương trình Thay (2) vào (1) ta được: 
(a + b)3 + 3(a + b) - 14 = 0 (a + b - 2)[(a + b)2 + 2(a + b) + 7] = 0 a + b - 2 = 0 (Vì (a + b)2 + 2(a + b) + 7 ) hay a + b = 2. Vậy là số tự nhiên.
	c. Bài tập áp dụng.
Tính giá trị của các biểu thức sau: 
A = 
B = 
C = 
* Dùng hệ phương trình để giải phương trình vô tỉ.
	a. Phương pháp.
	Dùng ẩn phụ để chuyển phương trình vô tỉ về các hệ phương trình hữu tỉ quen thuộc. Giải các hệ phương trình này rồi suy ra nghiệm của phương trình ban đầu.
	b. Ví dụ minh hoạ.
Ví dụ 1. Giải phương trình sau: - = 2
Giải: Điều kiện xác định x 6. Đặt a = ; b = (a; b 0). Ta có hệ phương trình: suy ra a = 3; b = 1 nên ta có thoả mãn điều kiện. Vậy phương trình có một nghiệm x = 7.
Ví dụ 2. Giải phương trình: 
Đặt a = ; b = ta có hệ phương trình: Đây là hệ phương trình thuộc vào dạng 3. Học sinh có thể dễ dàng suy ra nghiệm a và b.
 hoặc 
Vậy phương trình có hai nghiệm {1; 3}
	Ở hai ví dụ trên ta đã đưa phương trình đã cho về một hệ phương trình gồm hai ẩn mới và không có mặt của ẩn ban đầu. Đôi khi chúng ta chỉ cần đặt một ẩn phụ rồi chuyển về hệ phương trình gồm một ẩn mới và ẩn ban đầu. Chẳng hạn ta xét ví dụ sau:
Ví dụ 3. Giải phương trình: -x2 + 2 = 
Giải: Điều kiện x 2.
Đặt y = (y 0). Ta có hệ phương trình 
	Rõ ràng đây là hệ phương trình đối xứng loại II mà học sinh đã biết cách giải. 
Tương tự ta xét phương trình
Ví dụ 4. Giải phương trình: x.
Giải: Đặt y = . Ta có hệ phương trình . Hệ phương trình trên thuộc vào hệ phương trình đối xứng loại I. Học sinh dễ dàng suy ra nghiệm của hệ rồi từ đó suy ra nghiệm của phương trình là {2; 3}
Có những phương trình chúng ta phải đặt ẩn phụ bằng một biểu thức để đưa về hệ phương trình quen thuộc, chẳng hạn:
Ví dụ 5. Giải phương trình: 
(Đề thi chọn HSG tỉnh Nghệ An 2008 - 2009)
Giải: Điều kiện xác định 
Đặt () Û 1 + 16x = 4y2 -4y + 1 Û 4y2 - 4y = 16x 
Û y2 - y = 4x (*)
Ta có hệ phương trình: 
Với x = y thay vào (*) Þ x2 - x = 4x
Û x2 - 5x = 0 Û x(x - 5) = 0
Û
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất: x = 5.
	c. Bài tập áp dụng.
Giải các phương trình sau: 
1. ; 2. ; 3. 
4. 	 5. 	 6. 
C. KẾT LUẬN VÀ BÀI HỌC KINH NGHIỆM
	Trên đây chỉ là một vài kinh nghiệm nhỏ được rút ra từ thực tế những năm giảng dạy của bản thân tôi. Hệ phương trình và những ứng dụng của nó rất đa dạng, tuy nhiên với khả năng của mình, tôi chỉ đề cập đến một số dạng toán cơ bản, thường gặp trong các đề thi. Tôi cũng đã đi sâu nghiên cứu vào một số vấn đề nhỏ đó là hướng dẫn các em phân loại và đề ra các phương pháp giải phù hợp với từng dạng bài, để từ đó các em có thể giải quyết được các bài tập khác trên cơ sở các bài toán đã học. Với những việc làm nêu trên tôi đã thu được một số kết quả mà theo tôi không thể diễn tả bằng các con số cụ thể đó là:
- Phần lớn số học sinh mà tôi bồi dưỡng đã say mê giải những bài toán mà tôi đưa ra.
- Các em không còn lúng túng khi gặp các bài toán yêu cầu giải hệ phương trình nữa.
- Các em có niềm tin hơn trong học tập, không nản chí trước những bài toán khó, luôn phát huy cao độ tính độc lập suy nghĩ.
- Nhiều học sinh khá giỏi đã tìm ra được cách giải hay, ngắn gọn, một số học sinh đã đề xuất những bài toán độc đáo từ bài toán gốc.
- Cụ thể áp dụng sáng kiến kinh nghiệm của tôi vào công tác giảng dạy và bồi dưỡng học sinh giỏi tại trường tôi như sau:
 + Trước khi chưa áp dụng thì chất lượng học sinh về giải hệ phương trình như sau:
Lớp
Sỉ số
Giỏi
Khá
TB
Yếu- kém
SL
%
SL
%
Sl
%
SL
%
9C
30
1
3%
10
33%
13
43%
6
21%
+ Sau khi áp dụng thì chất lượng học sinh về giải hệ phương trình như sau:
Lớp
Sỉ số
Giỏi
Khá
TB
Yếu- kém
SL
%
SL
%
Sl
%
SL
%
9C
30
5
16%
15
50%
8
26%
2
6%
-Qua áp dụng sáng kiến kinh nghiệm của tôi vào công tác giảng dạy và bồi dưỡng học sinh giỏi tại trường, năm học 2016 - 2017 như sau:
 + Trước khi chưa áp dụng thì chất lượng học sinh về giải hệ phương trình như sau:
Lớp
Sỉ số
Giỏi
Khá
TB
Yếu- kém
SL
%
SL
%
Sl
%
SL
%
9B
28
2
7%
10
36%
11
39%
5
18%
+ Sau khi áp dụng thì chất lượng học sinh về giải hệ phương trình như sau:
Lớp
Sỉ số
Giỏi
Khá
TB
Yếu- kém
SL
%
SL
%
Sl
%
SL
%
9B
28
7
25%
14
50%
6
21%
1
4%

 Tuy nhiên bên cạnh những kết quả đạt được thì vẫn còn một số tồn tại, còn một số ít học sinh nắm bài chưa chắc chắn, lười học, nhác làm bài tập... Đối với những học sinh này quả thực đó là một vấn đề thực sự khó khăn. Một phần là do khả năng học toán của các em còn nhiều hạn chế, mặt khác dạng toán này cũng rất khó, nó đòi hỏi ở các em tính tư duy cao. Hơn nữa do khả năng có hạn nên có lúc bản thân nhận thấy việc truyền đạt của mình là chưa hợp lý. Bởi vậy tôi thiết nghỉ để có một kết quả tốt nhất mỗi người giáo viên cần phải:
- Có kiến thức vững vàng, phương pháp dạy học phải phù hợp với đối tượng học sinh (về kiến thức cũng như môi trường học tập).	
- Học sinh phải chăm học nắm chắc lý thuyết, biết vận dụng thực hành từng loại toán, đặc biệt cần phải có thói quen phát triển bài toán.
 Những biện pháp và việc làm của tôi đã nêu ở trên, bước đầu chưa đạt kết quả thật mỹ mãn như nguyện vọng của mình. Tuy nhiên nếu thực hiện tốt nó cũng góp phần đổi mới phương pháp dạy học mà nghành đang quan tâm và chỉ đạo.
 Tôi tin chắc rằng kinh nghiệm của tôi cũng chỉ là một trong những biện pháp nhỏ bé trong vô vàn phương pháp được đúc kết qua sách vở cũng như các quý thầy cô giáo đi trước. Vì vậy bản thân tôi rất mong được sự đóng góp chân thành từ các thầy cô giáo và bạn bè đồng nghiệp để giúp tôi hoàn thiện phương pháp giảng dạy của mình. Từ đó bản thân có điều kiện phục vụ cho sự nghiệp giáo dục được nhiều hơn. Tôi xin chân thành cảm ơn! 
 TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. SGK và SBT Toán 9 ( tập 1,2) – NXBD
2.Nâng cao và phát triển Toán 8,9 ( tập 1,2) NXBD năm 2011
3. Phương pháp giải các dạng Toán 9( tập 1,2) NXBD 2005
4.Toán nâng cao và các chuyên đề Đại số - NXBD 2005
5. Nâng cao và một số chuyên đề toán 9 – xuất bản 2005
6. Tài liệu bồi dưỡng thường xuyên môn toán về đổi mới phương pháp dạy học
7. Tài liệu qua báo toán học tuổi thơ, báo toán học tuổi trẻ
8. Tài liệu ôn thi cấp 3 tham khảo qua mạng