Sáng kiến kinh nghiệm Hướng dẫn hoc sinh lớp 8 giải bài toán bằng cách lập phương trình

 ngay thì hãy viết nó trong những biểu thức riêng lẻ rồi sau đó mới viết dưới dạng tổng quát.
5. Viết giả thiết dưới dạng có thể và dễ hiểu đối . Chọn một trong những đại lượng chưa biết và ký hiệu nó bằng một chữ cái, lập các biểu thức đại số gồm các dữ kiện của ẩn số cho mỗi quá trình của bài toán. Đừng quên những đơn vị được chọn để đo, hãy giản ước các biểu thức.
 Chú ý: Nếu như khó viết ngay các biểu thức đại số thì lấy số có lý do nào đó thay cho đại lượng chưa biết và lập các biểu thức số. Sau khi đã hiểu cấu trúc của biểu thức hãy ghi nó bằng chữ cái (x, y, ).
6. Sắp đặt thứ tự các biểu thức đại số đã được viết thuận tiện cho các phép tính và các phương trình, hãy sử dụng ở đây các bảng, đồ thị, hình vẽ hoặc là những chú thích của đầu bài toán.
 Sau khi xác định những đối tượng chủ yếu cần nghiên cứu, các quá trình được diễn tả trong bài toán và các công thức liên kết các đại lượng đó thì việc chuyển những điều ghi chép bằng lời ra ngôn ngữ toán học là một phần tự nhiên của việc giải một bài toán.
 Sự phân chia bài toán ra từng phần là cơ sở của sự phân tích. Nếu các phần tách ra được kết thúc một cách logíc cùng với mối liên quan của chúng được làm rõ thì cấu trúc của bài toán sẽ được phản ánh một cách rõ nét trong nhận thức của học sinh và điều đó đảm bảo những kết quả nhất định trong khi giải một bài toán.
 Bảng là một phương tiện, một công cụ của tư duy khi phân chia một bài toán ra những phần hợp thành quan trọng, cũng như khi tổng hợp các phần ấy, cần thiết để lập phương trình. Mỗi một biểu đồ hoặc mỗi dòng của bảng có chứa đựng một nội dung thuần túy logíc. Bảng đã lập xong sẽ tạo khả năng nhìn được tổng quát mối tương quan giữ các yếu tố của bài toán nhờ đó tìm ra cách giải.
 Trong sách giáo khoa Đại số 8 cũng đã đưa ra các bảng khi phân tích tìm cách giải một số bài toán làm ví dụ nhưng không nêu rõ cách lập như thế nào (các cột, các dòng ghi những gì). Đó là vấn đề giáo viên cần phải khai thác tự tìm cho mình hướng đi khi hướng dẫn học sinh giải toán.
 Qua thực tế giảng dạy tôi thấy bảng, sơ đồ đối với học sinh là dễ và đơn giản hơn nhiều so với việc trình bày bằng lời. Chỉ khi tất cả những mối tương quan giữa các phần của bài toán đã được trông thấy rõ ràng thì tốt hơn là có thể trình bày bằng lời. Điều đó xác định thứ tự giới thiệu cho học sinh phương pháp trình bày lời giải một bài toán: Đầu tiên là lập bảng ghi tóm tắt, sau đó trình bày bằng lời văn. 
 Giai đoạn II: Những cơ sở để lập phương trình
7. Hãy chọn một giữ kiện không nằm trong những điều ghi tóm tắt giả thiết của bài toán. Nó là cơ sở để lập phương trình. Hãy lập cho nó một biểu thức đại số phù hợp với đại lượng chưa biết.
Nếu như tất cả các dữ kiện đều nằm trong phần ghi tóm tắt giả thiết bài toán thì cơ sở để lập phương trình được diễn tả bằng lời. Trong trường hợp này có thể phân tích câu cho biết đặc điểm so sánh các biểu thức đại số chẳng hạn chúng bằng nhau, bằng một nửa, gấp đôi Sau khi đã chọn đại lượng như vậy mà đối với nó có hai biểu thức khác nhau thì nên so sánh các giá trị bằng số của chúng, các giá trị này là cơ sở để lập phương trình.
 Giai đoạn III: Lập phương trình
8. Nên ghi các biểu thức đại số phản ánh cơ sở để lập phương trình thành một hàng sao cho giữa chúng có thể đặt các dấu của các phép tính hoặc là dấu bằng. Sau đó so sánh các giá trị bằng số của chúng và xác định giá trị nào lớn hơn bao nhiêu đơn vị hoặc bao nhiêu lần. Sự so sánh này sẽ chỉ ra cần biến đổi như thế nào (tăng, giảm) một trong các giá trị để có thể đặt dấu bằng.
 Giai đoạn IV: Phân tích phương trình và giải phương trình
9. Khi khảo sát các phương trình nên khảo sát các phương pháp biến đổi thích hợp nhất.
 Khi giải một phương trình bậc nhất nên áp dụng thuật toán đã được thừa nhận.
- Quy đồng mẫu rồi khử mẫu thức.
- Mở các dấu ngoặc, điều đó sẽ tạo khả năng tách các đại lượng đã biết ra khỏi những đại lượng chưa biết.
- Đưa tất cả các số hạng đã biết (bằng số) sang một vế, số hạng chưa biết (chứa ẩn) sang vế khác của phương trình.
- Làm xuất hiện các số hạng đồng dạng trong cả hai vế của phương trình.
- Chia cả hai vế của phương trình cho hệ số của ẩn nếu như hệ số này khác 0.
 Giai đoạn V: 
 Nghiên cứu các nhiệm vụ của phương trình để xác định nghiệm phù hợp với giả thiết của bài toán, phân tích ý nghĩa lời giải, kiểm tra các phép tính và lập luận.
 Để học sinh hình dung rõ tất yếu các giá trị của biện luận lời giải, phân tích ý nghĩa của nó tôi đã hướng dẫn học sinh khảo sát một loại bài tập thích hợp, phản ánh những trường hợp riêng khác nhau của các nghiệm.
 Những chỉ dẫn cho học sinh trong giai đoạn này
10. Để xác định những đáp số của bài toán cần phải nghiên cứu các nghiệm của phương trình, phân tích ý nghĩa các nghiệm. Trong những trường hợp đại lượng phải tìm của bài toán và ẩn số của phương trình trùng nhau cần phải tính đến điều sau:
Nếu như đại lượng được nghiên cứu có giới hạn và nghiệm của phương trình lại vượt qua giới hạn thì nghiệm này không thể là đáp số của bài toán.
Những nghiệm âm của phương trình có thể là những đáp số của bài toán trong những trường hợp nếu đại lượng phải tìm có thể kấy giá trị âm.
Nếu như phương trình không có nghiệm thì bài toán không có đáp số. Ngay cả khi ẩn số của bài toán tìm được nhờ thực hiện một sự phân tích nào đó, đói với các nghiệm của phương trình thì cũng phải rút ra những kết luận tương tự như trên về các giá trị của các đại lượng phải tìm.
11. Để kiểm tra các phép tính nên thay các giá trị tìm được vào phàn ghi tóm tắt giả thiết của bài toán và tìm các giá trị bằng số của tất cả các biểu thức đại số được ghi trong khi lập phương trình. Hãy so sánh các giá trị bằng số của các vế trái và phải.
 Giai đoạn VI: Viết đáp số
Điều quan trọng là dạy học sinh biết viết đáp số theo bài toán không phải như viết nghiệm của phương trình. Muốn vậy cần lưu ý học sinh rằng trong bảng chúng ta lập có nhiều ẩn số, một phần trong chúng là câu trả lời của bài toán.
12. Đọc để biết bài toán hỏi cái gì. Chọn các số phù hợp với câu hỏi của bài toán để viết bổ sung. Nếu không có những số như vậy thì nên thực hiện các phép tính bổ sung bằng các số của bảng để được đáp số. Nếu đáp số gồm một vài số thì nên viết chúng theo thứ tự của bài toán hỏi.
 Giai đoạn VII: Phân tích cách giải bài toán
 Vì mục đích đặt ra trong giảng dạy không phải chỉ thông báo cho học sinh tổng số các kiến thức nhất định mà còn phải rèn luyện cho học sinh kỹ năng, kỹ xảo tự lập giải toán ngoài ra còn phải lĩnh hội được những quan niệm và phương pháp nghiên cứu của bộ môn. Cho nên trả lời câu hỏi của bài toán không phải là giai đoạn cuối cùng của phép giải. Ta có thể gọi giai đoạn này là giai đoạn nhận thức tư tưởng, là giai đoạn tư duy về quan niệm và phương pháp giải toán đã cho và cả những bài học tương tự, nghiên cứu các quy tắc để giải chúng. Thiếu giai đoạn này thì việc giải toán sẽ không đầy đủ giá trị.
 Đây là giai đoạn quan trọng của sự tổ chức hợp lý lao động trí óc của học sinh: Phân tích công việc đã làm, loại trừ các phép tính không cần thiết, đơn giản cách giải, tìm cách thích hợp hơn để giải bài toán.Với quan điểm thực hành, giai đoạn VII là giai đoạn kết thúc công việc, giai đoạn trọng điểm cuối cùng của lời giải.
 Qua cách trình bày ở trên, ta thấy: Để lập được phương trình, ta cần khéo chọn ẩn số và tìm sự liên quan giữa các đại lượng trong bài toán. Lập bảng biểu diễn các đại lượng trong bài toán theo ẩn số đã chọn là một phương pháp thường dùng.
 Các ví dụ minh hoạ
Bài toán 1 :
 Một xưởng may phải may xong 3000 áo trong một thời gian quy định .Để hoàn thành sớm kế hoạch , mỗi ngày xưởng đã may được nhiều hơn 6 áo so với số áo phải may trong một ngày theo kế hoạch . Vì thế 5 ngày trước khi hết thời hạn , xưởng đã may được 2650 áo . Hỏi theo kế hoạch , mỗi ngày xưởng phải may xong bao nhiêu áo
 Phân tích bài toán: bài toán thuộc loại toán năng xuất, có hai giai đoạn là theo kế hoạch và thực hiện. Các đại lượng là số áo may trong 1 ngày , thời gian may , số áo

Số áo may 1 ngày
Số ngày
Số áo may
Kế hoạch
x (áo)
(ngày)
3000 (áo)
Thực hiện
x + 6 (áo)
(ngày)
2650 (áo)
 Đk : x nguyên dương
Cở sở để lập phương trình :vì xưỏng may xong 2650 áo trước khi hết hạn 5 ngày .
Phưong trình : - 5 = 
Giải phưong trình chức ẩn ở mẫu bằng cách đưa về phương trình bậc hai có nghiệm là :x1 =100 (tmđk)
 x2 = - 36 (loại )
Trả lời bài toán : theo kế hoạch mỗi ngày xưởng phải may xong 100 áo
 Bình luận cách giải : với dạng toán có 3 đại lượng trong đó có một đại lượng bằng tích của hai đại lượng kia (toán năng xuất) nên phân tích các đại lượng bằng bảng thì dễ lập phương trình bài toán.
Bài toán 2 :
 Bác Hiệp và cô Liên đi xe đạp từ làng lên tỉnh trên quãng đường dài 30 km ,khởi hành cùng một lúc .Vận tốc xe của bác Hiệp lớn hơn vận tốc xe của cô Liên là 3 km / h nên bác Hiệp đã đến tỉnh trước cô Liên nửa giờ .Tính vận tốc xe của mỗi người.
 Phân tích bài toán : Hai đối tượng tham gia bài toán là bác Hiệp và cô Liên , còn các đại lượng liên quan là quãng đường (đã biết) , thời gian và vận tốc( chưa biết), các đại lượng ấy quan hệ với nhau theo công thức : 
Thời gian (h) = Quãng đường(km)/ Vận tốc(km/h) 
Nếu chọn một đại lượng chưa biết làm ẩn. Gỉa sử gọi vận tốc xe của cô Liên là x(km/h) ta có thể lập bảng để biểu diễn các đại lượng trong bài toán như sau :

v (km/h)
t(h)
s(km)
Bác Hiệp
x + 3

30
Cô Liên
x

30
 ĐK : x>0
Bác Hiệp đến tỉnh trước cô Liên nửa giờ hay 1/2(h) vậy ta có phương trình :
 - = 
Giải phương trình chứa ẩn ở mẫu bằng cách đưa phương trình về phương trình bậc hai ta được nghiệm là : x1 =12 (tmđk) 
 x2 = - 15 (loại)
Trả lời bài toán : Vận tốc xe của cô Liên là 12 (km/h). 
Vận tốc xe của bác Hiệp là 15 (km/h).
Bình luận cách giải : loại toán chuyển động cùng chiều hay ngược chiều ta phải xác định xem có mấy đối tượng tham gia trong bài toán và các đại lượng tham gia trong loại toán này là : Vận tốc , thời gian ,quãng đường. Đặc biệt nên lập bảng để dễ lập phương trình hơn.
Bài toán 3 :
 Hai đội thợ quét sơn một ngôi nhà . Nếu họ cùng làm thì trong 4 ngày xong việc . Nếu họ làm riêng thì đội I hoàn thành công việc nhanh hơn đội II là 6 ngày . Hỏi nếu làm riêng thì mỗi đội phải làm trong boa nhiêu ngày để xong việc ?
 Phân tích bài toán: Ba quá trình : Việc làm của đội I, việc làm của đội II, việc làm tập thể của hai đội. Các đại lượng : toàn bộ khối lượng công việc A = 1, thời gian t ngày, năng xuất n.1/ngày. Công thức tương quan : A = n.t ; 1 = n.t
Các quá trình
Toàn bộ khối lượng công việc
thời gian(HTCV)
Năng xuất 1 ngày
Đội I
1
x(ngày)
 (cv)
Đội II
1
x + 6(ngày)
 (cv)
Cả hai đội
1
4(ngày)

 ĐK : x>0
 Cơ sở để lập phương trình : Tổng năng xuất của hai đội bằng 1/4
Phương trình : + = 
Giải phương trình sau khi biến đổi ta được : x2 - 2x - 24 = 0 .Nghiệm của phương trình là : x1 =6 (tmđk), x2 = - 4(loại).
Trả lời :đội I làm 1 mình thì hết 6 ngày , đội II làm một mình thì hết 12 ngày
 Bình luận cách giải: với dạng toán làm chung làm riêng hay về vòi nước chảy , giữa thời gian hoàn thành công việc và năng xuất trong một đơn vị thời gian là hai số nghịch đảo của nhau . Không được lấy thời gian HTCV của đội I cộng với thời gian HTCV của đội II bằng thời gian HTCV của hai đội . Còn năng xuất một ngày của đội I cộng với năng xuất một ngày của đội II bằng năng xuất một ngày của hai đội.
4. kết quả thực hiện.
Tóm lại để giải bài toán bằng cách lập phương trình thì giáo viên:
1. Phải biết phân loại bài tập, chọn những bài tập mẫu để hướng dẫn học sinh. Trước khi cùng học sinh giải các bài toán phức hợp giáo viên phải cho học sinh làm các bài toán tương tự từ những bài toán cơ bản đơn giản.
2. Hình thành cho các em các giai đoạn trong quá trình giải bài toán bằng cách lập phương trình:
- Giai đoạnI: Phân tích và tự viết giả thiết bài toán.
- Giai đoạn II: Nêu cơ sở để lập phương trình.
- Giai đoạn III: Lập phương trình.
- Giai đoạn IV: Phân tích phương trình và giải phương trình.
- Giai đoạn V: Nghiên cứu các nghiệm của phương trình để xác định nghiệm phù hợp với giả thiết của bài toán. Phân tích ý nghĩa của lời giải. Kiểm tra các phép tính và lập luận.
- Giai đoạn VI: Viết đáp số.
- Giai đoạn VII: Phân tích cách giải bài toán. Bình luận cách giải bài toán. Xác định những nguyên tắc chung để giải những bài toán tương tự. Tìm những biện pháp thích hợp để giải một bài toán.
 kết luận
1. Kết luận.
 Có thể nói với phương pháp trên tôi đã tổ chức cho học sinh tiếp nhận bài học một cách chủ động, tích cực. Tất cả các em thực sự được làm việc. Trong quá trình giảng dạy các bài toán bằng cách lập phương trình, tôi đã tổ chức cho học sinh giải qua 7 giai đoạn. Dùng những chỉ dẫn thích hợp và như vậy đã cung cấp cho học sinh những cơ sở vững chắc để nắm vững các bài toán.
 Kiến thức các giai đoạn sẽ làm cho học sinh suy nghĩ các bài toán, tạo điều kiện tổ chức các hoạt động trí óc, có tác dụng hình thành và giáo dục tư duy hợp lý. Các giai đoạn và những chỉ dẫn của giáo viên sẽ giúp trí lực của học sinh vào kỷ luật, tạo cho giáo viên khả năng uốn nắn tư duy và khả năng tự lập điều khiển suy nghĩ của mình.
 Trong những điều kiện hiếm có học sinh có thể lựa chọn ngay lời giải một cách đúng đắn. Không cần những chỉ dẫn đặc biệt và không cần bắt chước. Ngay cả những học sinh khá giỏi, những học sinh có năng lực cũng cảm thấy khó khăn trước khi giải một bài toán dạng mới nào đó mà không có những chỉ dẫn đặc biệt. Điều đó gợi cho ta thấy sự cần thiết phải quản lý công việc, áo dụng các kinh nghiệm riêng của bản thân.
 Qua thăm dò ý kiến của giáo viên và học sinh tôi thấy cả hai phía đều rất tán thành với phương pháp dạy học như trên. Các em giải bài toán một cách rất nhẹ nhàng, rất hào hứng và thích thú. Học sinh chủ động và sáng tạo tiếp thu kiến thức, khả năng tư duy của các em được rèn luyện đáp ứng yêu cầu giáo dục toàn diệu cho học sinh thông qua môn Toán. Giáo viên cũng như tìm được cho mình một chiếc chìa khóa, phương pháp mở vào cánh cửa: “Dạy – học giải các bài toán bằng cách lập phương trình (hệ phương trình)” tưởng như nặng nề, khó khăn.
 Nhưng dù sao đó cũng là phương pháp của cá nhân tôi, chắc chắn nó chưa được hoàn chỉnh và sẽ còn khiếm khuyết. Trong khi vấn đề dạy học theo phương pháp mới: “tích cự hóa hoạt động học tập của học sinh, khới dậy và phát triển năng lực tự học, nhằm hình thành tri thức cho học sinh tư duy tích cực, độc lập sáng tạo, nâng cao năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề, trên cơ sở những kiến thức . Toán học được tích lũy có tính hệ thống”. Vấn đề dạy học “giải bài toán bằng cách lập phương trình (hệ phương trình)” được đặt rất bức xúc đối với giáo viên trường THCS thì cá nhân tôi rất muốn đóng góp một kinh nghiệm nhỏ cùng đồng nghiệp.
2. ý kiến đề xuất.
Qua bài viết này, tôi cũng mong các cấp chỉ đạo chuyên môn tổ chức nhiều chuyên đề hơn nữa về kiến thức và phương pháp dạy học cho anh chị em giáo viên THCS. Bản thân tôi viết sáng kiến này với thời gian nghiên cứu, tìm tòi còn ít và kinh nghiệm còn hạn chế. Rất mong được sự góp ý xây dựng của đồng nghiệp để đề tài này được hoàn chỉnh hơn. Tôi xin chân thành cảm ơn