Sáng kiến kinh nghiệm Hướng dẫn học sinh lớp 7 giải bài tập áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau

y tỉ số bằng nhau: 
 - Tính chất: Ta luôn có 
 - Tính chất mở rộng: 
 (Giả thiết các tỉ số đều có nghĩa)
Ví dụ 1: Tìm x, y biết:
 và 
 Giải: 
 Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có: 
 Vậy ; .
Ví dụ 2: Tìm x, y biết:
 và 
Phân tích đề bài: Ta phải viết tỉ lệ thức dưới dạng dãy tỉ số bằng nhau.
Giải:
 Ta có:
 Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có: 
 Vậy ; 
Ví dụ 3: Tìm x, y, z biết: và 
 Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
 Vậy: ; ; .
Nhận xét: Ở ví dụ 1 và ví dụ 3 ta áp dụng ngay được tính chất dãy tỉ số bằng nhau. Trong thực tế nhiều bài tập phải qua quá trình biến đổi mới có thể đưa được về dạng để áp dụng được tính chất dãy tỉ số bằng nhau. Sau đây là một số dạng và cách biến đổi.
Ví dụ 4: Tìm x, y, z biết: và. 
Phân tích đề bài: Để áp dụng được tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta phải biến đổi dãy tỉ số sao cho hệ số của x, y, z ở các tử của dãy tỉ số bằng hệ số của x, y, z trong đẳng thức, bằng cách áp dụng tính chất cơ bản của phân số. Cụ thể nhân cả tử và mẫu của tỉ số với 2 và nhân cả tử và mẫu của tỉ số với 3 rồi áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau để tìm x, y, z.
 Giải: 
 Ta có: 
 Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có: 
 Vậy 
Ví dụ 5: Tìm x, y, z biết: và .
Phân tích đề bài: Cách làm giống ví dụ 4
Giải:
 Ta có: 
 Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có: 
 Vậy: ; ; 
Nhận xét: Ở bài này ta còn có thể dùng phương pháp đặt ẩn phụ.
Ví dụ 6: Tìm x, y biết: và 
Ở bài này, ta viết đẳng thức về dạng dãy tỉ số bằng nhau sau đó vận dụng cách làm ở ví dụ 4
Ví dụ 7: Tìm x, y, z biết: và .
Phân tích đề bài: Ta đưa dãy đẳng thức về dạng dãy tỉ số bằng nhau sao cho hệ số của x, y, z trong dãy tỉ số bằng nhau bằng bằng 1. 
Cách làm chia các tích cho 12 vì: sau đó làm như ví dụ 3
Giải: 
 Từ: 
 Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
 Vậy ; ; 
Ví dụ 8: Tìm x, y biết: và 
Phân tích đề bài: Để áp dụng được tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta phải biến đổi dãy tỉ số bằng nhau làm xuất hiện tích x.y bằng cách lập luận để chứng tỏ rồi nhân hai vế của hai tỉ số với x. Thay vào rồi tính. 
Giải: 
 Vì Nhân cả hai vế của với x ta được:
 Nếu 
 Nếu 
 Vậy: ; hoặc ; 
Nhận xét: Ở bài này ta còn có thể dùng phương pháp đặt ẩn phụ.
Ví dụ 9: Tìm x, y, z biết: và 
Phân tích đề bài: Để áp dụng được tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta phải biến đổi dãy tỉ số bằng nhau làm xuất hiện tích x.y.z bằng cách lập luận chứng tỏ rồi biến đổi dãy tỉ số bằng nhau về dạng Sau đó làm tương tự ví dụ 8.
Ví dụ 10: Tìm x, y, z biết: ; và 
Phân tích đề bài: Đưa hai dãy tỉ số ; về một dãy ba tỉ số bằng nhau bằng cách biến đổi y ở hai dãy tỉ số về cùng mẫu sau đó làm giống ví dụ 4
Giải: 
 Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
 Vậy ; ; 
Ví dụ 11: Tìm x, y, z biết: 
Giải:
 Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
 (vì Do đó 
 Thay kết quả này vào đề bài ta được:
 Tức là 
 Vậy 
Ví dụ 12: Tìm x, y, z biết: ; (1) và 
Phân tích đề bài: Đưa hai dãy tỉ số ; về một dãy ba tỉ số bằng nhau giống ví dụ 8 rồi lập phương các tỉ số để xuất hiện sau đó áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau để tìm x, y, z.
Giải: 
 Ta có: 
 Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
 Vậy: ; và 
Ví dụ 13: Cho và ; . Tính: b, c.
 Phân tích đề bài: Vì ta áp dụng ngay tính chất dãy tỉ số bằng nhau để tìm giá trị của dãy tỉ số này rồi từ đó tìm ra giá trị của a, b, c.
Giải: 
 Vì 
 Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
 Mà 
 Vậy: 
Bài tập áp dụng:
 Bài 1: Tìm x, y biết.
 a) và b) và 
 c) và d) và 
 e) và f) và 
 Bài 2: Tìm x, y, z biết.
 a) và 
 b) ; và 
 c) và 
 d) và 
 e) và 
 Bài 3: Tìm x, y, z biết.
 a) ; và 
 b) và 
 c) và 
 Bài 4: Tìm x biết. .
 Bài 5: Tìm các số biết.
 và 
 Dạng II: Chia tỉ lệ.
I – Một số chú ý: 
 1) x, y, z tỉ lệ thuận với a, b, c ( Hay )
 2) x, y, z tỉ lệ nghịch với a, b, c ( Hay ) 
II – Bài tập: 
Ví dụ 1: Chu vi của hình chữ nhật bằng 28 dm. Tính độ dài mỗi cạnh, biết rằng chúng tỉ lệ với 3; 4.
Phân tích đề bài: Trong hình chữ nhật có hai kích thước là chiều dài và chiều rộng (còn được gọi là hai cạnh của hình chữ nhật) chiều rộng thì ngắn hơn chiều dài. Hai cạnh của chúng tỉ lệ với 3; 4 vậy cạnh ngắn tỉ lệ với 3 còn cạnh dài tỉ lệ với 4. 
 Nếu gọi hai cạnh của hình chữ nhật là a và b . Vì hai cạnh hình chữ nhật ti lệ với 3 và 4 nên ta có: . 
 Chu vi hình chữ nhật là nên ta có: 
 Như vậy ta đã đưa bài toán về dạng bài áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau.
Giải: 
 Gọi hai cạnh của hình chữ nhật là a (dm) và b (dm) 
 Theo bài ra ta có: và 
 Từ 
 Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có: 
 (TMĐK); 
 (TMĐK).
 Vậy độ dài hai cạnh hình chữ nhật là 6 dm và 8 dm.
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có các góc A, B, C tỉ lệ với 7: 5: 3. Các góc ngoài tương ứng tỉ lệ với các số nào.
Phân tích đề bài: Nếu gọi ba góc của tam giác ABC lần lượt là: .
 Vì ba góc tỉ lệ với 7: 5: 3 nên ta có 
 Tổng ba góc của một tam giác bằng nên ta có: 
 Từ đó ta tìm được số đo các góc của tam giác,
 Mà tổng của góc ngoài và góc trong tại một đỉnh của tam giác bù nhau.
Giải: 
 Gọi ba góc trong và góc ngoài của tam giác ABC lần lượt là: và
 Theo bài ra ta có: và . 
 Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
 Vậy các góc ngoài tương ứng tỉ lệ với: .
Ví dụ 3: Có 16 tờ giấy bạc loại 2000 đồng, 5000 đồng và 10000 đồng, trị giá mỗi loại tiền trên đều bằng nhau. Hỏi mỗi loại có mấy tờ.
 Phân tích đề bài:
 Gọi số tờ tiền loại 2000 đồng, 5000 đồng và 10000 đồng lần lượt là a, b, c 
 Vì giá trị mỗi loại tiền đều bằng nhau nên ta có: 
 Có 16 tờ giấy bạc các loại nên: 
Giải: 
 Gọi số tờ tiền của loại 2000 đồng, 5000 đồng và 10000 đồng lần lượt là a, b, c ( ) 
 Theo bài ra ta có: và 
 Từ: 
 Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
 ; (TMĐK)
 Vậy số tiền loại 2000 đồng, 5000 đồng, 10000 đồng lần lượt là 10 tờ, 4 tờ và 2 tờ.
Ví dụ 4: Ba đội công nhân I, II, III phải vận chuyển tổng cộng 1530 kg hàng từ kho theo thứ tự đến ba địa điểm cách kho 1500m, 2000m, 3000m. Hãy phân chia số hàng cho mỗi đội sao cho khối lượng hàng tỉ lệ nghịch với khoảng cách cần chuyển.
Phân tích đề bài: Vì phân chia số hàng cho mỗi đội sao cho khối lượng hàng tỉ lệ nghịch với khoảng cách cần chuyển nên ta có: 
 Tổng số hàng cần chuyển đến ba kho là 1530 nên ta có: .
Giải: 
 Gọi số lượng hàng chuyển tới ba kho lần lượt là a, b, c .
 Theo bài ra ta có: và 
 Từ: 
 Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
 (TMĐK) 
 (TMĐK) 
 (TMĐK) 
 Vậy số hàng cần chuyển tới ba kho A, B, C lần lượt là: 680 tạ, 510 tạ, 340 tạ.
Ví dụ 5: Một lớp học có 35 em, sau khảo sát chất lượng số học sinh được xếp thành ba loại: Giỏi, khá và trung bình. Số học sinh giỏi và khá tỉ lệ với 2 và 3, số học sinh khá và trung bình tỉ lệ với 4 và 5. Tính số học sinh mỗi loại.
Phân tích đề bài: Nếu gọi số học sinh giỏi, khá, trung bình của lớp đó lần lượt là: a, b, c 
 Vì số học sinh giỏi và khá tỉ lệ với 2 và 3 nên ta có: 
 Số học sinh khá và trung bình tỉ lệ với 4 và 5 nên ta có: .
 Lớp học có 35 em nên ta có: 
Giải:
 Gọi số học sinh giỏi, Khá trung bình của lớp đó lần lượt là: a, b, c 
 Theo bài ra ta có: ; và 
 Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có: 
 ; ; (TMĐK)
Vậy số học sinh giỏi, khá, trung bình của lớp đó lần lượt là: 8 em, 12 em, 15 em.
Ví dụ 6: Độ dài các cạnh góc vuông của một tam giac vuông tỉ lệ với 8: 15, cạnh huyền dài 51cm. Tính độ dài hai cạnh góc vuông.
Phân tích đề bài:
 Gọi độ dài hai cạnh góc vuông của tam giác vuông đó lần lượt là: a, b 
 Vì hai cạnh tỉ lệ với 8: 15 nên ta có: 
 Áp dụng định lí Py – Ta – Go vào tam giác vuông đó ta được: 
Giải: 
 Gọi độ dài hai cạnh góc vuông của tam giác vuông đó lần lượt là: a, b 
 Theo bài ra ta có: và (Định lí Py – Ta – Go)
 Từ và 
 Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
 ; (TMĐK)
 Vậy độ dài hai cạnh góc vuông của tam giác vuông đó là: 24cm, 45cm.
Ví dụ 7: Ba kho A, B, C chứa một số gạo. Người ta nhập vào kho A thêm số gạo của kho đó, xuất ở kho B đi số gạo của kho đó, xuất ở kho C đi số gạo của kho đó. Khi đó số gạo của ba kho bằng nhau. Tính số gạo ở mỗi kho lúc đầu, biết rằng kho B chứa nhiều hơn kho A là 20 tạ gạo.
 Phân tích đề bài: Gọi số gạo ở ba kho lúc đầu lần lượt là a, b, c
 Số gạo ở kho A sau khi thêm số gạo của kho A là: .
 Số gạo ở kho B sau khi xuất số gạo của kho B là: .
 Số gạo ở kho C sau khi xuất số gạo của kho C là: 
 Vì sau khi thêm vào kho A và xuất ở kho B và kho C thì số gạo của ba kho bằng nhau nên ta có: 
 Lúc đầu kho B nhiều hơn kho A là 20 tạ nên ta có: 
Giải: 
 Gọi số gạo ở ba kho lúc đầu lần lượt là a, b, c . 
 Số gạo ở kho A sau khi thêm là: (kg)
 Số gạo ở kho B sau khi xuất là: (kg)
 Số gạo ở kho C sau khi xuất là: (kg)
 Theo bài ra ta có: và 
 Từ 
 Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
 (TMĐK) 
 (TMĐK) 
 . (TMĐK) 
 Vậy: số gạo ở mỗi kho lúc đầu lần lượt là 70 kg, 90 kg và 112 kg.
Ví dụ 8: Ba xí nghiệp cùng xây dựng chung một cái cầu hết 38 triệu đồng. Xí nghiệp I có 40 xe ở cách cầu 1,5km, xí nghiệp II có 20 xe ở cách cầu 3km, xí nghiệp III có 30 xe ở cách cầu 1km. Hỏi mỗi xí nghiệp phải trả cho việc xây dựng cầu bao nhiêu tiền, biết rằng số tiền phải trả tỉ lệ thuận với số xe và tỉ lệ nghịch với khoảng cách từ xí nghiệp đến cầu.
 Phân tích đề bài: Gọi số tiền phải góp của ba xí nghiệp lần lượt là: a, b, c 
 Vì số tiền phải trả tỉ lệ thuận với số xe và tỉ lệ nghịch với khoảng cách từ xí nghiệp đến cầu nên ta có: 
 Tổng số tiền mà ba xí nghiệp cần đóng là 38 triệu nên ta có: 
Giải: 
 Gọi số tiền phải góp của ba xí nghiệp lần lượt là: a, b, c 
 Theo bài ra ta có: 
 và 
 Từ 
 Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
 ; ; (TMĐK)
 Ba xí nghiệp phải trả cho việc xây dựng cầu lần lượt là: 16 triệu đồng, 4 triệu
 đồng bà 18 triệu đồng.
Bài tập áp dụng: 
Bài 1: Tìm số có ba chữ số biết rằng số đó là bội của 18 và các chữ số của nó tỉ lệ với 1: 2: 3.
Bài 2: Năm lớp 7A, 7B, 7C, 7D, 7E nhận chăm sóc vườn trường có diện tích . Lớp 7A nhận 15% diện tích vườn, lớp 7B nhận diện tích còn lại. Diện tích còn lại của vườn sau khi hai lớp trên nhận được đem chia cho ba lớp 7C, 7D, 7E tỉ lệ với . Tính diện tích vườn giao cho mỗi lớp.
Bài 3: Cho tam giác ABC có các cạnh , tỉ lệ với 2; 3; 4. Chu vi tam giác ABC bằng 45 cm. Tính độ dài cạnh lớn nhất của tam giác ABC.
Bài 4: Số học sinh bốn khối 6, 7, 8, 9 tỉ lệ với các số 9; 8; 7; 6. Biết rằng số học sinh khối 9 ít hơn số học sinh khối 7 là 70 học sinh. Tính số học sinh mỗi khối.
Bài 5: Tìm số có hai chữ số, biết tổng hai chữ số đó bằng 10 và tỉ số giữa chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị là 
Dạng III: Dạng chứng minh tỉ lệ thức.
 I – Một số chú ý
 Có nhiều phương pháp chứng minh tỉ lệ thức. Sau đây là một số cách chứng minh tỉ lệ thức áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau:
Cho Để chứng minh tỉ lệ thức ta có thể làm:
Cách 1: Chứng minh tỉ số bằng tỉ số hoặc chứng minh AD = BC.
Cách 2: Xuất phát từ vận dụng tính chất của tỉ lệ thức để tạo ra được tỉ lệ thức 
 II – Bài tập
Ví dụ 1: Cho tỉ lệ thức với . Và 
 Chứng minh rằng: 
Phân tích đề bài: Quan sát tỉ lệ thức phải chứng minh, dùng phương pháp phân tích suy luân ngược để tìm ra hướng chứng minh. Khi chứng minh ta chứng minh theo chiều xuôi. Khi chứng minh chú ý điều kiện có nghĩa của tỉ lệ thức.
 Có:Cần CM:Cần CM: để CM:
Giải: 
 Cách1: Từ 
 hay: (đpcm)
 Cách 2: Đặt ( ) thì Ta có:
 Vậy 
Ví dụ 2: Cho ( và ). 
 Chứng minh rằng .
Phân tích đề bài: 
Giải: 
 Từ: 
 (đpcm)
Ví dụ 3: Cho tỉ lệ thức . với 
 Chứng minh: 
 Phân tích đề bài:
Giải:
 Từ: (1)
 Mà: (2)
 Từ (1) và (2) (đpcm)
Ví dụ 4: Cho tỉ lệ thức . với và 
 Chứng minh: 
Phân tích đề bài:
Giải: 
 Từ: 
 Hay (đpcm)
Ví dụ 5: Cho tỉ lệ thức với và 
 Chứng minh: 
Phân tích đề bài:
Giải:
 Từ: 
 (1)
 Mà: (2)
 Từ (1) và (2) (đpcm)
Ví dụ 6: Cho với 
 Chứng minh rằng: 
Phân tích đề bài: 
Giải: 
 Từ: 
 (1)
 Mà: (2)
 Từ (1) và (2) (đpcm)
Ví dụ 7: Cho với 
 Chứng minh rằng: 
Phân tích đề bài:
Giải: 
 Áp dụng kết quả của phần a ta có: 
 (đpcm).
 Ví dụ 8: Cho tỉ lệ thức với và .
 Chứng minh các tỉ lệ thức sau: 
Phân tích đề bài:
Giải:
 Từ: (1)
 Mà: (2)
 Từ (1) và (2) 
 (đpcm).
Ví dụ 9: Cho tỉ lệ thức với và
 Chứng minh: 
Phân tích đề bài: 
Giải:
 Từ: 
 (1)
 Ta có: (2)
 Từ (1) và (2) 
 (đpcm)
Bài tập áp dụng:
Bài 1: Cho tỉ lệ thức với a, b, c, d . Chứng minh rằng:
 a) b) c) 
Bài 2: Cho tỉ lệ thức: với . Chứng minh rằng 
Bài 3: Cho tỉ lệ thức Chứng minh các tỉ lệ thức sau (với giả thiết các tỉ số đều có nghĩa).
 a) b) 
 c) d) 
Bài 4: Cho . 
 Chứng minh rằng: 
Bài 5: Cho với ;.
 CMR hoặc hoặc 
Bài 6: Cho . Chứng minh rằng nếu thì giá trị của P không phụ thuộc vào x.
3.3. Khả năng áp dụng của giải pháp:
 - Đối tượng: Giáo viên và học sinh
 - Thời gian: Năm học 2018 – 2019 đến nay và những năm học tiếp theo
 - Phạm vi: Là giáo viên trực tiếp giảng dạy bộ môn Toán khối 7 nên tôi tập trung áp dụng đối với học sinh lớp 7 Trường THCS Lê Danh Phương, huyện Hưng Hà, tỉnh Thái Bình. 
3.4. Hiệu quả, lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được của áp dụng giải pháp:
        Sau một thời gian đưa sáng kiến “Hướng dẫn học sinh lớp 7 giải bài tập áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau” vào áp dụng tôi nhận thấy với cách làm trên đây đã mang lại hiệu quả cao trong việc rèn luyện năng lực sáng tạo toán cho học sinh. Các em học sinh đã thực sự có hứng thú học toán bồi dưỡng cho học sinh khá giỏi, đã tự độc lập tìm tòi ra nhiều cách giải khác nhau mà không cần quá nhiều sự gợi ý của giáo viên. 
 3.5. Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến:
 Để thực hiện tốt được sáng kiến trên cần phải có những điều kiện cần thiết sau: 
Đối với giáo viên :
- Để áp dụng chuyên đề này vào việc giảng dạy đòi hỏi giáo viên thường xuyên trau rồi để nâng cao kiến thức. Trong quá tŕnh giảng dạy ngoài kiến thức cơ bản trong sách giáo khoa, giáo viên cần tìm tòi đưa ra thêm kiến thức và kĩ năng cho học sinh để từ đó nâng cao kiến thức cho học sinh.
- Hệ thống hóa kiến thức, các dạng bài tập từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp. 
- Hướng dẫn học sinh cách tìm tòi và mở rộng thêm vốn kiến thức của mình.
- Kiến thức của học sinh chỉ bền vững khi biết vận dụng kiến thức đã học vào việc giải thành thạo các dạng bài tập, vì vậy giáo viên phải rèn luyện cho học sinh
Đối với học sinh:
- Học sinh cần phải biết sắp xếp công việc, lịch học của mình sao cho khoa học, phù hợp, linh hoạt, sáng tạo, thích ứng với mọi điều kiện, hoàn cảnh.
- Đối với học sinh phải nắm chắc kiến thức, có khả năng phân tích từ những bài tập đơn giản mở rộng ra các bài tập khó hơn. 
- Không ngừng học hỏi, học thày, học bạn, học qua sách vở, qua nguồn tư liệu phong phú như: sách giáo khoa, sách tham khảo, báo chí, tạp chí, ngân hàng đề thi, đài, ti vi, máy tính, mạng internet... 
4. Cam kết không sao chép hoặc vi phạm bản quyền
 Tôi xin cam đoan sáng kiến trên là của tôi tự nghiên cứu, không sao chép hoặc vi phạm bản quyền của tác giả khác.
Tôi xin chân thành cảm ơn.
 Hưng Hà, ngày tháng năm 2019
 ĐƠN VỊ ÁP DỤNG SÁNG KIẾN
 
 TÁC GIẢ 
 Nguyễn Thị Mai