Sáng kiến kinh nghiệm Hướng dẫn học sinh lớp 12 sử dụng phương pháp hình học để giải bài toán tìm GTLN, GTNN của mô đun số phức nhằm nâng cao hiệu quả ôn thi THPT Quốc gia

 mãn điều kiện là số thực. Biết rằng tập
hợp các điểm biểu diễn hình học của là một đường thằng có phương trình
. Mệnh đề nào sau đây sai?
A. . B. .
C. . D. .
Lời giải
Chọn A
Đặt .
32
Ta có: là số thực .
Vậy 
Câu 22. Cho số phức thỏa mãn . Tìm mô đun của số phức .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn B
 Giả sử 
Phương trình trở thành 
 .
 Vậy .
Câu 23. Có bao nhiêu số phức thỏa mãn ?
A. 2. B. 1. C. 4. D. 3.
Lời giải
Chọn B
Đặt với .
.
Vậy: nên có 1 số phức thỏa yêu cầu đề bài.
Câu 24. Trên mặt phẳng tọa độ. Tập hợp điểm biểu diễn các số phức thỏa mãn điều
kiện là đường nào sau đây?
A. Elip B. Đường thẳng C. Đường tròn D. Parabol
Lời giải
Chọn B
Gọi số phức .Khi đó 
33
Vậy tập hợp điểm biểu diễn các số phức thỏa mãn điều kiện trên là đường 
thẳng
Câu 25. Số phức thoả mãn hệ thức và là
A. . B. .
C. . D. .
Lời giải
Chọn A
Giả sử 
Ta có:
Từ và ta có hệ phương trình: 
Vậy có số phức thỏa mãn yêu cầu bài toán là .
Câu 26. Số thực để hai số phức và là liên hợp
của nhau.
A. . B. . C. . D.
.
Lời giải
Chọn B.
Ta có và .
34
Ta có .
Vậy 
Câu 27. Cho số phức thỏa mãn . Tính giá trị biểu thức
A. . B. .
C. . D. .
Lời giải
Chọn C
Ta có: . 
. Suy ra .
Câu 28. Cho số phức thỏa mãn Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn số phức
 là một đường tròn. Bán kính của đường tròn đó bằng
A. B. C. D. 
Lời giải
Chọn C
Cách 1: Gọi số phức w cần tìm có dạng: 
Khi đó ta có 
35
Mà , nên 
Cách 2: Ta có .
Câu 29. Cho số phức thỏa mãn . Khi đó có modul lớn nhất
bằng bao nhiêu?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn D
Gọi số phức , .
.
Tập hợp điểm biểu diễn số phức là đường tròn tâm , bán kính .
Gọi là điểm biểu diễn số phức .
.
Để modul số phức lớn nhất khi và chỉ khi lớn nhất 
.
Câu 30. Cho hai số phức , thỏa mãn và . Khi đó
 bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn C
Gọi và lần lượt là điểm biểu diễn của và trên mặt phẳng tọa độ. Khi
đó: và .
Nhận xét: cân tại . Khi đó:
 với là trung điểm cạnh .
36
Câu 31. Cho số phức có phần ảo âm, biết thỏa mãn và
 là số thực. Giá trị của bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn C
Ta có .
Ta có 
 là số thực nên 
Thay vào , ta được: 
.
Vậy .
Câu 32. Có bao nhiêu số phức thỏa mãn và là số thực?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn B
Gọi với .
Ta có .
Mà (do
).
TH 1: Nếu thì .
TH 2: Nếu thì vô nghiệm.
TH 3: Nếu thì 
Vậy có 2 số phức thoả yêu cầu bài toán.
37
Câu 33. Có bao nhiêu số phức thỏa mãn ?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn C
Ta có Giả sử .
Bài ra ta có 
Với .
Do đó có 4 số phức thỏa mãn là , , ,
.
Câu 34. Có bao nhiêu số phức thỏa mãn ?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn D
Ta có: Gọi . Ta có:
.
Vậy có một số phức thỏa mãn là .
Câu 35. Có tất cả bao nhiêu số phức mà phần thực và phần ảo của nó trái dấu đồng thời
thỏa mãn và 
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn C
Gọi điểm là điểm trên mp tọa độ biểu diễn số phức
38
. Khi đó tập hợp điểm 
biểu diễn số phức là hai cạnh đối của hình vuông độ dài cạnh 
bằng và tâm là gốc tọa độ 
. Tập hợp điểm biểu diễn số 
phức là đường tròn tâm .
6
4
2
2
4
5 5
P
M
I
B
A
D
C
N
Vậy có 2 điểm biểu diễn thỏa yêu cầu bài toán.
Câu 36. Có bao nhiêu số phức thỏa và ?
A. Vô số B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn A
Gọi điểm là điểm trên mp tọa độ biểu diễn số phức
: Tập hợp là trung trực của đoạn thẳng với
: Tập hợp là hình tròn (kể cả biên) có bán kính và
tâm 
Do đó có vô số só phức thỏa yêu cầu bài toán.
Câu 37. Có bao nhiêu số phức thỏa mãn và là số thực?
39
A. 
B. C. D. 
Lời giải
Chọn D
Gọi 
Ta có 
Theo đề ta có hệ phương trình
Giải hệ này tìm được 2 nghiệm, suy ra có 2 số phức thỏa yêu cầu bài toán.
Câu 38. Có bao nhiêu số phức thỏa mãn và là số thuần ảo?
A. 
B. C. D. 
Lời giải
Chọn D
Gọi Ta có
Theo đề ta có hệ phương trình
Giải hệ này tìm được 2 nghiệm, suy ra có 2 số phức thỏa yêu cầu bài toán.
Câu 39. Cho hai số phức thỏa mãn và . Tìm giá trị nhỏ nhất
của .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn C
Ta có:
40
Đặt , ta có:
.
Suy ra tập hợp điểm biểu diễn số phức là đường thẳng có phương trình
.
Vậy .
Câu 40. Xét các số phức thỏa mãn là số thuần ảo. Biết rằng tập hợp các điểm
biểu diễn các số phức luôn thuộc một đường tròn cố định. Bán kính của
đường tròn đó bằng
A. . B. . C. . D. .
Chọn B
Lời giải
Đặt . Gọi là điểm biểu diễn cho số phức .
Có 
 là số thuần ảo 
Có .
Suy ra thuộc đường tròn tâm , bán kính .
41
Câu 41. Có bao nhiêu số phức thỏa mãn và là số thuần ảo?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Gọi với .
Ta có .
Mà là số
thuần ảo khi .
Từ thay vào (1) ta được .
Vậy có 2 số phức thoả yêu cầu bài toán.
Câu 42. Cho hai số phức thỏa mãn . Số phức thỏa mãn
 và là các số thuần ảo. Tìm giá trị nhỏ nhất của
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn A
Gọi 
Khi đó điểm biểu diễn hình học của các số phức lần lượt là
Do nên điểm thuộc đường tròn 
Do nên điểm thuộc đường tròn 
Ta có:
 là số thuần ảo nên .
 là số thuần ảo nên 
Suy ra điểm là giao điểm của hai đường thẳng lần lượt là tiếp tuyến của
 tại 
42
 là khoảng cách giữa và 
Dựa vào hình vẽ ta thấy .
Câu 43. Cho các số phức thỏa mãn điều kiện số phức là một số
thuần ảo. Trong các số phức đó hãy tìm giá trị nhỏ nhất của 
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn A
 Giả sử Khi đó 
có điểm biểu diễn là 
 Có là số thuần ảo nên
 Suy ra tập hợp các điểm là đường thẳng 
 Có với 
 Có nhỏ nhất khi ngắn nhất, tức là
Câu 44. Cho số phức , là các số phức cùng thoả mãn điều kiện .
Biết rằng giá trị lớn nhất có thể đạt được của là số thực . Giá
trị thuộc tập hợp nào trong các tập hợp dưới đây?
43
A. . B. .
C. . D. .
Lời giải
Chọn D
Đặt 
Ta có 
* TH1: cùng thuộc một trong hai đường tròn 
Khi đó: 
Mà 
Nên 
44
* TH2: Đặc biệt hoá như sau (*)
Ta có: 
Câu 45. Cho hai số phức là hai nghiệm của phương trình , biết
. Giá trị của biểu thức bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn C
 Gọi .
 Ta có: .
 Do đó: .
 Gọi 
.
 Khi đó: .
 Vậy 
.
Câu 46. Cho số phức thỏa mãn và môđun
của số phức đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó giá trị của bằng::
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn D
Ta có: 
45
Do đó 
Khi đó 
Dấu bằng xảy ra Do đó .
Câu 47. Cho số phức thỏa mãn và Tìm giá trị
nhỏ nhất của 
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn A
 Ta có 
Biểu diễn miền nghiệm của hệ phương trình
Miền nghiệm của hệ là miền tứ giác 
với 
Ta biết đạt GTNN tại 1 trong các đỉnh của tứ giác . 
Thay tọa độ các điểm vào ta được:
46
Vậy GTNN của bằng .
Câu 48. Cho thỏa mãn . Giá trị bằng:
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn A
Gọi là điểm biểu diễn số phức (với ) trên mặt phẳng phức.
Ta có: 
Do đó thuộc phần chung của hai hình tròn và , với và
.
Phương trình đường thẳng là .
Dựa vào hình vẽ ta thấy lớn nhất khi và nhỏ nhất khi , 
trong đó ; lần lượt là giao điểm của đường thẳng với các đường 
tròn và sao cho ; nằm giữa và .
47
Dễ thấy ; 
Vậy .
Câu 49. Cho số phức 
4
1
izw
z
 , biết các số phức thỏa mãn 2.z Tìm giá trị lớn
nhất của w
A. 
20 B. 20 34 . C. 34 D. 34 20 
Lời giải
Chọn B
Đặt .Theo bài ra ta có:
Vậy tập hợp số phức là một đường tròn tâm , bán kính 
Khi đó giá trị lớn nhất của là : 
Câu 50. Xét các số phức thỏa mãn . Gọi , lần lượt là giá
trị nhỏ nhất, lớn nhất của . Tính .
A. . B. . C. . D. .
48
Lời giải
Chọn C
+ Ta có: 
 .
+ Đặt , gọi , , lần lượt là điểm biểu diễn của các số phức ,
 và .
Khi đó trở thành: .
+ Mặt khác: .
Suy ra: điểm chạy trên đoạn .
+ Lại có với là điểm biểu diễn số phức .
+ Ta có: . ; ; .
+ Suy ra , .Vậy: .
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Câu 1. (SGD Nghệ An - THPT Liên trường) Cho số phức và gọi là hai 
nghiệm phức của phương trình ( có phần thực dương). Giá trị nhỏ nhất
của biểu thức được viết dưới dạng 
(trong đó là các số nguyên tố). Tổng bằng
A. 10 B. 13 C. 11 D. 12
Câu 2. (THPT Chuyên Hoàng Văn Thụ - Hòa Bình) Cho số phức thỏa mãn
. Giá trị nhỏ nhất của bằng:
A. . B. . C. . D. .
Câu 3. [THPT Chuyên Lương Thế Vinh – Đồng Nai] Cho số phức z thỏa . Tìm 
giá trị lớn nhất của .
A. . B. 4. C. . D. .
49
Câu 4. Xét các số phức thỏa mãn . Tính 
khi đạt giá trị lớn nhất.
A. . B. . C. . D. .
Câu 5. (THPT Chuyên Nguyễn Quang Diệu – Đồng Tháp) Gọi S là tập hợp các số
phức thỏa mãn Gọi z1, z2 là hai số phức thuộc S có mô đun nhỏ
nhất. Giá trị biểu thức là:
A. 16. B. 32. C. -32. D. -16. 
Câu 6. (SGD Ninh Bình): Cho số phức thỏa mãn Tìm giá trị lớn nhất của
A. B. C. D. 
Câu 7. (THPT Chuyên Lương Thế Vinh – Đồng Nai) Cho số phức z thỏa
. Khi đó nhỏ nhất bằng
A. 1. B. . C. D. 2.
Câu 8. (THPT Hậu Lộc 2-Thanh Hóa ) Cho hai số phức thỏa mãn 
và . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức ?
A. . B. .
C. . D. .
Câu 9. Cho số phức z thỏa . Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn 
nhất và giá trị nhỏ nhất của . Tính tổng M + m
A. B. C. D. 
Câu 10. Cho hai số phức , thỏa mãn , .
Giá trị nhỏ nhất của là:
A. . B. . C. . D. .
Câu 11. Cho số phức thỏa mãn . Giá trị nhỏ nhất của bằng
A. . B. . C. . D. .
Câu 12. Cho số phức thỏa mãn . Giá trị lớn nhất của là
A. . B. . C. . D. .
50
Câu 13. (THPT Thăng Long - Hà Nội) Cho số thực a thay đổi và số phức z thỏa mãn
 Trên mặt phẳng tọa độ, gọi I 3; 4 và M là điểm biểu diễn
số phức z. Khi a thay đổi thì MI đạt nhỏ nhất là:
A. 4 B. 3 C. 5 D. 6. 
Câu 14. (THPT Chuyên Đại học Vinh) Giả sử là hai trong các số phức z thỏa
mãn là số thực. Biết rằng . Giá trị trị nhỏ nhất của
 bằng:
A. B. C. D. 
Câu 15. (THPT Chuyên Nguyễn Quang Diệu – Đồng Tháp) Cho các số phức z và w
thỏa mãn Tìm GTLN của 
A. B. C. 2 D. 
Câu 16. (THPT Chuyên Ngữ – Hà Nội ) Cho hai số phức , thỏa mãn
 và . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức .
A. . B. .
C. . D. .
Câu 17. (SGD Lào Cai) Biết số phức z thỏa mãn đồng thời hai điều kiện 
và biểu thức đạt giá trị lớn nhất. Tính mô đun của số phức z +
i.
A. B. C. D. .
Câu 18. (THPT Chuyên Quang Trung) Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của m để
tồn tại 4 số phức z thỏa mãn và là số thuần 
ảo. Tổng các phần tử của S là:
A. B. C. D. .
Câu 19. Cho số phức thỏa mãn và thỏa mãn
. Tìm giá trị nhỏ nhất của
.
A. . B. . C. . D. .
51

 



Câu 20. Cho số phức thỏa mãn điều kiện . Giá trị nhỏ nhất của biểu
thức được viết dưới dạng với , 
là các số hữu tỉ. Giá trị của là
A. . B. . C. . D. .
Câu 21. (THPT Lương Thế Vinh - 2021) Xét các số phức thỏa mãn . Gọi 
và lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của . Tổng bằng
A. . B. . C. . D. .
Câu 22. Xét các số phức thỏa mãn . Gọi lần lượt là giá trị lớn
nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức . Khi đó bằng
       
Câu 23. Xét số phức thỏa mãn . Tính khi
 đạt giá trị lớn nhất?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
 ⇔ ⇔ 
Do đó tập hợp các điểm biểu diễn số phức là đường tròn tâm , 
bán kính: 
 Gọi ; ; là trung điểm của 
Nhận xét: ; ; ⇒ 
 
Xét: ⇒ Giá trị của đạt được khi 
52
Khi đó điểm thỏa mãn hệ điều kiện đẳng thức xảy ra: 
Ta có: ⇒ 
Vậy đạt được khi . Khi đó: 
Câu 24. Xét các số phức thỏa mãn . Gọi .Trong mặt phẳng phức , 
trong các số phức thỏa mãn . Nếu số phức có môđun lớn nhất thì số phức
 có phần thực bằng bao nhiêu?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có: .
Vậy trong mặt phẳng phức , các số phức thỏa mãn là hình
tròn tâm , bán kính .
Vậy số phức có mô đun lớn nhất: .
Nếu gọi là điểm biểu diễn số phức đó thì
.
Vậy số phức có phần thực .
Câu 25. Cho hai số phức thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau: ,
 ( trong đó là số thực ) và sao cho lớn nhất. Khi đó giá trị
của bằng
A. 2. B. 10. C. . D. .
Lời giải
Đặt .
53
Từ giả thiết ta có hệ phương trình:
Hai số phức là hai nghiệm của hệ phương trình trên. Gọi lần lượt là 
các điểm biểu diễn cho khi đó .
Ta có lớn nhất khi đường thẳng cắt đường tròn theo dây cung
 có độ dài
lớn nhất, tức là đi qua tâm của .
Thay tọa độ vào ta có: 
Với giải hệ 
Giả sử .
54
III.. Hiệu quả của Sáng kiến kinh nghiệm
 Trong năm học 2023 – 2024, được sự góp ý xây dựng của Tổ bộ môn, được sự
đồng ý của Ban chuyên môn nhà trường, chúng tôi đã áp dụng việc dạy học tại lớp 12 Lý
tiết ôn tập thi THPT và cùng thời điểm cô Đỗ Thị Nhung cùng dạy nội dung trên đối với
lớp 12 Trung ( Lớp thực nghiệm đề tài). Sau khi dạy xong, chúng tôi đã tổ chức kiểm tra
đối với lớp thực nghiệm (TN) là lớp 12 Trung và lớp đối chứng (ĐC) là lớp 12 Lý. Ngoài
kết quả bài kiểm tra, tôi còn kiểm tra mức độ hứng thú học tập của học sinh bằng phiếu
thăm dò, với 4 mức độ:
- Mức độ 1: Rất hứng thú học.
- Mức độ 2: Có hứng thú, nhưng không có ý định tìm tòi sáng tạo thêm.
- Mức độ 3: Bình thường.
- Mức độ 4: Không hứng thú. Không hiểu nhiều vấn đề.
Kết quả thể hiện qua biểu đồ sau:
 Biểu đồ so sánh mức độ hứng thú học tập của 2 lớp sau khi thực nghiệm
Biểu đồ so sánh kết quả học tập của 2 lớp sau khi thực nghiệm
Từ kết quả trên, cũng như xem xét bài làm của học sinh, tôi thấy rằng:
55
Học sinh lớp thực nghiệm có hứng thú học tập hơn hẳn so với học sinh lớp đối chứng.
Kết quả kiểm tra của lớp thực nghiệm tỉ lệ học sinh khá giỏi tăng, tỉ lệ học sinh trung 
bình, yếu giảm, còn lớp đối chứng tỉ lệ khá giỏi giảm, tỉ lệ trung bình và yếu lại tăng lên.
Việc định hướng về phương pháp trong làm bài của học sinh lớp thực nghiệm tốt hơn
lớp đối chứng. 
Học sinh lớp thực nghiệm tự tin hơn khi đứng trước bài kiểm tra. Không bị bất ngờ
trong từng bài toán, trình bày lời giải ngắn gọn, rõ ràng.
Khi dạy một nội dung khó nhưng cách tiếp cận dễ dàng dẫn đến việc học của học sinh
cũng nhẹ nhàng hơn, giảm áp lực cho giáo viên đứng lớp.
Được đồng nghiệp ở tổ bộ môn đánh giá cao và xem đây là một tài liệu quan trong
giảng dạy môn Giải tích ôn thi Tốt nghiệp THPTQG.
Từ đó có thể khẳng định cách dạy luyện tập như trên đã mang lại hiệu quả trong quá
trình dạy học môn Giải tích ở trường THPT Chuyên Bắc Giang.
IV. KẾT LUẬN – KIẾN NGHỊ
IV.1. Kết luận
Trong quá trình làm sáng kiến và áp dụng sáng kiến trong thực tế giảng dạy tại lớp
12 Lý, hiệu quả mang lại đối với thực tiễn giảng dạy của nhà trường đã được trình bày ở
trên. Từ đó thấy rằng SKKN : “HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 12 SỬ DỤNG
PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN TÌM GTLN, GTNN CỦA MÔ
ĐUN SỐ PHỨC NHẰM NÂNG CAO HIỆU QUẢ ÔN THI THPT QG NĂM HỌC
2023 – 2024 TẠI TRƯỜNG THPT CHUYÊN BẮC GIANG” có đóng góp không nhỏ
trong việc giảng dạy tại trường THPT Chuyên BG. Cụ thể:
Về lí luận: SKKN đã góp phần khẳng định việc xây sử dụng phương pháp hình học
giúp học sinh xử lí nhanh được các bài toán vận dụng và vận dụng cao trong phần tìm
GTLN, GTNN của mô đun số phức.
Về thực tiễn: SKKN là một giáo án luyện tập môn Giải tích có hiệu quả dành cho
bản thân và đồng nghiệp trong Tổ bộ môn.
IV. 2. Kiến nghị
Tổ chuyên môn cần tổ chức những diễn đàn trao đổi về chuyên môn để giáo viên có
thể học hỏi kinh nghiệm và phổ biến các SKKN của cá nhân.
56
* Cam kết: Chúng tôi cam đoan những điều khai trên đây là đúng sự thật và
không sao chép hoặc vi phạm bản quyền.
Xác nhận của cơ quan, đơn vị
(Chữ ký dấu)
Đại diện nhóm tác giả sáng kiến
Lại Thu Hằng
Xác nhận của Hội đồng nghiệm thu SKKN trường THPT Chuyên Bắc Giang
CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG
HIỆU TRƯỞNG
Trần Duy Phương
57