Sáng kiến kinh nghiệm Hướng dẫn học sinh khá, giỏi tìm hiểu về bất đẳng thức CÔSI

= (CN + MN) + (DM + MN)
2CM ³ MN + (CN + MN + DM) = MN + CD = AB + CD (1)
Theo định lí Pytago ta có (2)
Từ (1) và (2) suy ra 
Bởi thế nên .Vậy giá trị nhỏ nhất của AC là đạt được khi 
Ví dụ 5: Cho DABC, điểm M di động trên cạnh BC. Qua M kẻ các đường thẳng song song với AC và với AB, chúng cắt AB và AC theo thứ tự ở D và E. Xác định vị trí của điểm M sao cho hình bình hành ADME có diện tích lớn nhất.
Lời giải
SADME lớn nhất Û lớn nhất 
Kẻ BK ^ AC cắt MD ở H.
SADME = MD . HK; SABC = AC . BK
Đặt MB = x, MC = y, 
MD//AC ta có: ; 
Theo bất đẳng thức Cosi . 	
Vậy Giá trị lớn nhất của SADME là SABC. Khi đó M là trung điểm của BC.
Ví dụ 6: Tam giác ABC cần có thêm điều kiện gì để đạt giá trị nhỏ nhất?
Lời giải
Kẻ phân giác AD của ABC. 
Như vậy, 
Gọi H là hình chiếu của B trên AD. 
Ta có: (1)
Mặt khác, ta lại có: (2)
Kết hợp (1) và (2), suy ra 
Lập thêm hai bất đẳng thức tương tự: , 
rồi nhân vế với vế ba bất đẳng thức trên, ta có 
Vậy đạt giá trị nhỏ nhất là khi và chỉ khi tam giác ABC là tam giác đều.
3. Ứng dụng của bất đẳng thức Côsi trong giải phương trình và hệ phương trình. 
 Trong quá trình bồi dưỡng HSG các lớp 8, 9 học sinh đã được tìm hiểu các phương pháp giải bài toán giải phương trình và hệ phương trình. Trong các phương pháp đó, Sử dụng bất đẳng thức Côsi để giải phương trình và hệ phương trình cũng là một phương pháp có hiệu quả.
Ví dụ 1. Tìm các số thỏa mãn điều kiện 
Lời giải
Theo bất đẳng thức AM-GM và hệ quả 4 của nó thì:
 (do )
Từ đó, dễ dàng suy ra . Mà 
Nên dấu đẳng thức ở các bất đẳng thức trên xảy ra.
Do đó và đây cũng là bộ số duy nhất thỏa mãn đề bài.
Ví dụ 2. Có hay không những số dương nhỏ hơn 1 và thỏa mãn đồng thời các bất phương trình sau đây: 
Lời giải
Nhân vế với vế ba bất phương trình trong hệ ta có:
 (*)
Điều này là không thể xảy ra, thật vậy:
 , trái với (*)
Vậy không tồn tại ba số dương nào thỏa mãn hệ bất phương trình.
Ví dụ 3. Giải phương trình: 
Lời giải
 Ta có , 
Áp dụng Bất đẳng thức Côsi cho hai số dương ta có:
dấu = xảy ra x = 
 phương trình có nghiệm duy nhất là x = 
Ví dụ 4. Giải hệ phương trình nghiệm dương. 
Lời giải
 Vế trái của phương trình (2) = 1 + x + y + z + (xy + yz + zx) + xyz 
 1 + 3. Dấu bằng xảy ra khi x = y = z =1. Thử lại thấy thoả mãn. Vậy hệ phương trình có nghiệm là: (1; 1; 1).
Ví dụ 5. Giải phương trình : 
Lời giải
 Ta có điều kiện: 
Khi đó áp dụng bất đẳng thức Cosi dạng ta có: 
Mặt khác: 
Vậy 
Vậy x = 1 là nghiệm của phương trình.
Ví dụ 5: Giải hệ phương trình: (Với x, y, z > 0) 
Lời giải
Từ (1) ta có: 
Vì x, y, z > 0 ta áp dụng BĐT Côsi cho 2 số
 (1) dấu “=” xảy ra khi 
 (2) dấu “=” xảy ra khi 
 (3) dấu “=” xảy ra khi 
Từ (1), (2) và (3) ta có: 
 dấu “=” xảy ra khi TM 
vậy nghiệm của hệ phương trình là: S = 
4. Ứng dụng của bất đẳng thức Côsi trong giải các bài toán số học.
 Với các bài toán số học, việc áp dụng bất đẳng thức Côsi để giải có vẻ xa lạ đối với học sinh. Nhưng trong các ví dụ dưới đây thì bất đẳng thức Côsi lại là công cụ rất hiệu quả để giải quyết bài toán.
Ví dụ 1. Cho . So sánh S và 
Lời giải
 Áp dụng bất đẳng thức Cosi dạng ta có: 
Cộng vế theo vê các bất đẳng thức trên ta được
 Vì dấu đẳng thức không xẩy ra nên từ đó ta có: 
Ví dụ 2 . Cho 
Chứng minh rằng : 
Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức Cosi dạng cho hai số dương ta có:
Vận dung bất đẳng thức trên cho n = 1, 2, 3,, 2012 ta được:
Bài toán được chứng minh.
Ví dụ 3. Cho phương trình: . Chứng minh rằng phương trình không có nghiệm nguyên dương khi a = 1 hoặc a = 2, nhưng có vô số nghiệm khi a = 3.
Lời giải
Với x, y, z là các số nguyên dương nên theo bất đẳng thức Cosi ta có 
Như vậy với a = 1, a = 2 thì phương trình không có nghiệm nguyên dương, với a = 3 thì phương trình có vô số nghiệm nguyên dương.
 Chẳng hạn chọn x = y = z = b (b là số nguyên dương bất kì) làm nghiệm.
Ví dụ 4. Giải phương trình nghiệm nguyên: 
Lời giải
Ta biến đổi tương đương phương trình như sau: 
Từ đó ta có . Do đó trong ba số x, y, z hoặc cả ba số cùng dương, hoặc một số dương hai số âm. Chú ý rằng nếu đổi dấu hai trong ba số x, y, z thì phương trình ban đầu không đổi. Vì vậy ta có thể giả sử x, y, z đều dương.
Áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có
Cộng vế với vế của ba bất đẳng thức trên ta có
Suy ra . Do x, y, z là các số nguyên dương nên x = y = z = 1
Đổi dấu hai trong ba số x, y, z ta có them hai trường hợp nghiệm nữa.
Vậy các nghiệm (x; y; z) là (1; 1; 1), (-1;- 1; 1), (-1; 1; -1), (1; -1; -1).
Ví dụ 5. Chứng minh rằng với mọi ,ta có : 
Lời giải
Với n=1 ,bất đẳng thức kép này hiển nhiên đúng ,sau đây ta sẽ xét trường hợp . Ttrước hết ta chứng minh bất đẳng thức ở vế phải, tức là
Để ý rằng theo bất đẳng thức Cosi hai số dạng , ta có
Hoàn toàn tương tự ta thiết lập được chuỗi bất đẳng thức 
Nhân n – 1 bất đẳng thức được thiết lập ở trên lại theo vế , ta thu được
Suy ra 
Do nên từ trên ta có hay 
 Bất đẳng thức ở vế hai đã được chứng minh. Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi n = 1 hoặc n = 2 
 Tiếp theo ta sẽ chứng minh bất đẳng thức vế trái là 
Sử dụng bất đẳng thức Cosi dạng ,ta có 
Hoàn toàn tương tự ta cũng có
Nhân n – 1 bất đẳng thức được thiết lập ở trên lai theo vế và lấy căn bậc hai ,ta thu được : 
Từ đó nhân hai vế của (1) với n ,suy ra 
 Đây chính là điều phải chứng minh. Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi n = 1 hoặc n = 2 .
D. SÁNG TAO VỚI BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI
1. Một cách đổi biến mới lạ.
Bài toán: Cho a , b ,c , d là các số thực dương. Chứng minh rằng: 
Lời giải
Cách 1: Sử dụng bất đẳng thức Côsi dạng , ta có:
Nhân cả hai vế của bất đẳng thức này cho , ta được 
Hoàn toàn tương tự ta cũng có 
Cộng theo vế 4 bất đẳng thức trên ,ta được:
Chú ý rằng dấu đẳng thức không xảy ra. Do đó bất đẳng thức được chứng minh.
Cách 2: Không mất tính tổng quát ta có thể chọn 
Khi đó bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 
Áp dụng bất đẳng thức Cosi cho hai số dương ta có
Hoàn toàn tương tự ta có: 
Cộng vế theo vế bốn bất đẳng thức ta được:
Ở đây dấu đẳng thức không xẩy ra nên 
Bất đẳng thức được chứng minh hoàn toàn.
 Khi đưa lời giải 2 cho bài toán trên, chắc hẳn học sinh sẽ thắc mắc là tại sao lại có thể chọn được và nếu chọn bất kì thì bài toán có giải được không? Và ngoài cách chọn điều kiện như trên có thể chọn theo cách khác (chẳng hạn như ) được không?
 Câu trả lời là hoàn toàn được, thực chất việc chọn này bắt nguồn từ việc đổi biến. Sau đây là cách đổi biến dẫn đến kết quả .
Ta thực hiện biến đổi một hạng tử bên vế trái như sau: 
Tới đây ta đổi biến như sau: 
Thay vào biểu thức trên ta được: và 
Áp dụng cho vế trái của bất đẳng thức cần chứng minh ta được
Và 
 Như vậy sau phép đổi biến ta có một bất đẳng thức mới có hình thức hoàn toàn giống như bất đẳng thức cần chứng minh và được bổ sung thêm điều kiện cho biến là . Việc chứng minh bất đẳng thức mới với điều kiện của biến là thực hiện như trên.
 Dưới đây là một số ví dụ.
Ví dụ 1: Cho a, b , c là các số thực dương tùy ý Chứng minh rằng
Lời giải
Bất đẳng thức tương đương với 
Chia cả hai vế cho ta được
 Đặt 
Thay vào bất đẳng thức trên ta được 
 Như vậy sau phép đổi biến ta có một bất đẳng thức mới có hình thức hoàn toàn giống như bất đẳng thức cần chứng minh và được bổ sung thêm điều kiện cho biến là . Bây giờ ta chứng minh bất đẳng thức trên với điều kiện của biến là .Thật vậy:
Dễ thấy rẳng theo bất đẳng thức Côsi thì bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng.
Vậy bất đẳng thức được chứng minh hoàn toàn.
 Ví dụ 2: Cho. Chứng minh rằng:
 Lời giải
 Không mất tính tổng quát ta có thể chọn: a + b + c = 1
 Theo bất đẳng thức Côsi ta có:
 = 
VT4=
 4 
Ví dụ 3: Cho ba số thực dương a, b, c. CMR: 
 Lời giải
 Không mất tính tổng quát ta có thể giả sử a + b + c = 3
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có 
Cộng vế theo vế của ba bất đẳng thức trên ta được:
Ví dụ 4: Chứng minh rằng với mọi số thực dương a,b,c ta luôn có
Lời giải
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 
 Không mất tính tổng quát ta có thể chọn a +b + c = 3 và bất đẳng thức trên sẽ trở thành 
Bất đẳng thức này tương đương với 
Ta cần cứng minh bất đẳng thức sau: 
Thật vậy theo bất đẳng thức Cosi ta có:
 Như vậy bất đẳng thức được chứng minh hoàn tất.
2. Sáng tạo từ một bất đẳng thức quen thuộc
 “Tìm được lời giải cho một bài toán là một phát minh” (Polya). Sẽ thông minh hơn nếu ta biết vận dụng nó để sáng tạo và tìm lời giải cho các bài toán mới. Trong phần này đề cập đến một bất đẳng thức quen thuộc, đơn giản và một số bài toán áp dụng bất đẳng thức này.
Bài toán: Với hai số dương x và y ta có:
 (1)
 Bất đẳng thức (1) có nhiều cách chứng minh, ở đây đưa ra cách chứng minh phổ biến nhất. 
 Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương ta có
 Từ đó: 
 Và đẳng thức xảy ra khi x =y.
Cho các số dương a, b, c, áp dụng bất đẳng thức (1) ta có
 Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên, ta được:
Bài toán 1. Cho ba số dương a, b, c, ta có:
 (2)
 Đẳng thức xảy ra khi a = b = c.
Áp dụng Bất đẳng thức (2) cho 3 số ta được:
 (3)
Kết hợp bất đẳng thức (2) và (3) ta có
Bài toán 2. Với a, b, c là các số dương:
 (4)
 Đẳng thức xảy ra khi a = b = c.
Bài toán 3. Chứng minh rằng với a, b, c dương:
 (5)
Giải: Vận dụng bất đẳng thức (1) ta có:
 Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên và rút gọn ta có bất đẳng thức (5)
 Đẳng thức xảy ra 
Bài toán 4. Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn điều kiện x + y + z = 0, x + 1>0, y + 1 > 0, z + 4 > 0. Hãy tìm giá trị lớn nhất của 
 Giải: Đặt a = x + 1 > 0, b = y + 1 > 0, c = z + 4 > 0. Ta có: a + b + c = 6 và
 Theo bất đẳng thức (1) ta có: 
 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 
 Vậy: Giá trị lớn nhất của Q là . Đạt được khi 
Bài toán 5. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
 Với x, y, z, t là các số dương.
Giải : Ta có:
 Vậy MinA=0 khi x = y = z = t.
 Trên đây là một số bài toán áp dụng bất đẳng thức (1) sau đây là một số bài tập tương tự:
Bài toán 6. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh các bất đẳng thức:
Bài toán 7. Chứng minh rằng nếu a, b, c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện abc = ab + bc + ca thì:
Bài toán 8. Cho x > 0, y > 0 thỏa mãn x + y . Tìm giá trị nhỏ nhất của:
Bài toán 9. Cho tam giác ABC có chu vi a + b + c = k (không đổi), BC = a, CA = b, AB = c. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
PHẦN III - KẾT LUẬN
 Như vậy từ ví dụ cụ thể và cách phân chia riêng học sinh có thấy được vai trò to lớn của bất đẳng thức Côsi trong giải một số dạng toán. Việc làm như thế ở người giáo viên được lặp đi, lặp lại và thường xuyên trong quá trình lên lớp sẽ dần dần hình thành cho học sinh có phương pháp, thói quen đào sâu suy nghĩ, khai thác các kiến thức toán ở nhiều góc độ khác nhau để từ đó tìm ra được nhiều cách áp dụng cho các trường hợp cụ thể. Thông qua đó học sinh được phát triển năng lực sáng tạo toán học, nhất là những học sinh khá giỏi. Qua mỗi giờ dạy người giáo viên cần giúp học sinh làm quen và sau đó tạo cơ hội cho học sinh luyện tập, thể hiện một cách thường xuyên thông qua hệ thống câu hỏi gợi mở, hệ thống bài tập từ dễ đến khó.
	Trên đây là một vài ý tưởng của chúng tôi đã đưa ra trong quá trình lên lớp trong giờ học.
	Kết quả là:
	- Giúp các em nắm được kiến thức cần thiết, vận dụng linh hoạt, mềm dẻo vào tình huống cụ thể.
	- Khi thực hiện bài giảng này trong giờ luyện tập, thấy các em hứng thú tiếp thu và hứng thú học tập.
	- Giúp cho học sinh khá giỏi không những hình thành kỹ năng giải toán mà còn giúp các em rèn luyện các thao tác tư duy: Phân tích, tổng hợp, khái quát hoá, tương tự hóa 
	- Bước đầu hình thành ở các em cách học sáng tạo, tạo cho các em có thói quen sau khi giải quyết xong bài toán tự mình nghiên cứu, khai thác tìm cho mình các lời giải mới hoặc tự đặt cho mình những bài toán mới,Qua đó giúp các em có phương pháp tự học, tự nghiên cứu.
 - Thông qua tiết dạy, không có gì đáng để bàn thêm, học sinh chỉ cần hoàn thành yêu cầu của bài toán là xong. Như thế trong tiết luyện tập nếu trước đó giáo viên giao bài về nhà để học sinh làm, tiết sau chữa thì chỉ tìm thấy cái đúng, sai của học sinh, rèn kĩ năng trình bày cho học sinh. Còn đối với học sinh khá giỏi thì một tiết học đó không mang lại kết quả nhiều như mong muốn. Nếu giáo viên thực hiện khai thác, phát hiện vấn đề xung quanh bài toán thì tiết học đó sôi nổi, cuốn hút mọi đối tượng học sinh, phát huy hết khả năng sáng tạo của trò. Một tiết học như vậy sẽ để lại nhiều ấn tượng. Từ đó học sinh sẽ tự mình làm những việc mà trước đó người giáo viên phải làm hoặc thiết kế cho học sinh.
 Trong quá trình giảng dạy ở hai lớp 9A, 9B va tham gia BGHSG cho trường, chúng tôi đã khảo sát trên hai nhóm học sinh bằng bài kiểm tra dưới hình thức cho 02 bài toán trong đó 01 bài trong SGK, 01 bài toán nâng cao lấy trong sách tài liệu tham khảo và có thay đổi một chút. 
 + Nhóm thực nghiệm: 30 học sinh lớp 9A. 
 + Nhóm đối chứng : 30 học sinh lớp 9B.
 Các học sinh ở các nhóm được đánh số thứ tự từ 1 đến 30.
 Kết quả thu được sau khi khảo sát như sau:

Nhóm thực nghiệm

Nhóm đối chứng
Số học sinh
KT đầu năm
KT trước tác động
KT sau tác động

KT đầu năm
KT trước tác động
KT sau tác động
1
8
8
9

7
7
8
2
7
7
8

6
7
8
3
8
8
9

6
6
7
4
8
8
9

7
8
8
5
8
8
9

3
5
7
6
8
8
9

5
4
5
7
8
8
10

7
7
6
8
7
7
8

7
8
6
9
8
8
9

6
7
7
10
8
8
9

6
5
6
11
6
7
8

4
5
6
12
8
8
9

8
8
8
13
7
8
9

5
6
6
14
7
7
8

6
6
5
15
7
8
9

5
6
6
16
8
8
9

7
6
7
17
8
8
9

5
7
6
18
7
9
10

5
5
6
19
8
8
10

6
6
6
20
7
8
9

7
6
6
21
8
8
9

4
5
4
22
8
8
9

5
6
6
23
8
8
9

7
6
7
24
7
8
9

7
8
6
25
8
9
10

4
5
6
26
8
8
9

3
5
6
27
8
8
9

3
4
5
28
8
8
9

8
7
7
29
7
7
8

4
5
6
30
7
8
9

6
6
5








Môt(mode)
6.0
5.0
7.0

7.0
6.0
6.0
Trung vị(median)
5.5
5.5
7.0

6.0
6.0
6.0
Giá trị trung bình(average)
5.43
5.53
7.00

5.63
6.10
6.23
Độ lệch chuẩn(stdev)
1.01
1.01
0.95

1.45
1.21
0.94
Giá trị p(ttest)
0.54
0.05
0.00




Mức độ ảnh hưởng(SE)
 
 
0.82
 
 
 
 
 	Sau một thời gian kiên trì, nghiêm túc và nỗ lực thực hiện với sự giúp đỡ của đồng nghiệp, chúng tôi đã hoàn thành sáng kiến kinh nghiệm với đề tài ". Tôi mong muốn được học hỏi, trao đổi thêm cùng tất cả đồng nghiệp và bạn đọc quan tâm vấn đề này. Đồng thời, chúng tôi cũng hi vọng đề tài này sẽ đóng góp một phần nhỏ trong việc bổ sung hiểu biết, góp phần làm tài liệu tham khảo cho công tác giảng dạy toán cũng như học toán, từ đó nâng cao được chất lượng dạy và học môn toán trong nhà trường. Bước đầu, đề tài đã thu được khá nhiều kết quả tích cực, đã tạo thói quen tốt cho nhiều HS tính kiên trì, độc lập suy nghĩ và có khả năng sáng tạo khi học toán, tự thấy được sự phong phú, thú vị của toán học. Các em đã ham thích hơn với môn toán. Mặc dù vậy, với khuôn khổ của đề tài này thì đây cũng chưa phải cho tất cả các đối tượng HS và đây cũng chỉ là ý kiến của riêng cá nhân chúng tôi là chính. Tuy đã cố gắng nhưng do kinh nghiệm cá nhân còn hạn chế nên nội dung của sáng kiến kinh nghiệm này chắc chắn không tránh khỏi nhiều khiếm khuyết. Tôi rất mong được sự trao đổi, chỉ bảo và đóng góp ý kiến bổ sung của các thầy giáo, cô giáo để đề tài được hoàn thiện hơn.
 Xin chân thành cảm ơn !.