Sáng kiến kinh nghiệm Hướng dẫn học sinh giải tốt bài tập về hệ thức lượng trong tam giác vuông

 Sau khi dựng hoàn chỉnh tam giác vuông ABC, cần xác định góc C = như đã phân tích.
+ Hoàn thành bước dựng hình, GV cần hướng dẫn HS thực hiện chứng minh:
1) Cần chứng minh góc thỏa mãn những điều kiện gì? ( là góc nhọn, có sin = 0,4)
2) Dựa vào đâu để chứng minh? (cách dựng hình)
3) Chứng minh như thế nào? (vì tam giác ABC vuông tại A nên có là góc nhọn, và có ) 
c. Phân tích sai lầm: Sai lầm dễ mắc phải của phần bài tập này (dựng góc nhọn cho biết TSLG sin hoặc cos) là HS dễ nhầm cách dựng đối với cạnh huyền của tam giác ABC là dùng thước thẳng để dựng. Bởi vì điểm C chưa xác định được ở vị trí nào trên cạnh Ay nên không thể dựng bằng thước thẳng. Riêng đối với bài dựng góc nhọn cho biết tỉ số tan (cot) thì có thể dùng thước thẳng dựng rất dễ dàng. Khó khăn khi HS gặp phải đối với dạng bài tập này là HS đã không học dựng hình trước đó (vì phần dựng hình lớp 8 đã giảm tải), nên giáo viên phải kiên nhẫn hướng dẫn các em từ từ để các em làm quen với các bước dựng hình. Còn bước biện luận thì GV có thể giới thiệu để các em HS giỏi biết, không hướng dẫn các em.
3.2.5. Dạng 5: Giải tam giác vuông.
a. Phương pháp: Giải tam giác vuông là ta cần vận dụng các định nghĩa TSLG, các định lí liên quan giữa cạnh và góc trong tam giác vuông để tìm ra các cạnh, góc chưa biết của 1 tam giác vuông
b. Ví dụ minh họa: Giải tam giác ABC vuông tại A có , AB = 6cm (làm tròn kết quả đến 2 chữ số thập phân) 
+ Đầu tiên cho HS vẽ hình và ghi các số đo trên hình.
+ Cho HS nhắc lại định nghĩa về TSLG của góc nhọn, các hệ thức liên quan đến cạnh và góc trong tam giác vuông, về tính chất 2 góc phụ nhau của tam giác vuông.
+ GV hướng dẫn HS phân tích và giải bài toán:
1) Đề bài cho gì? (góc B, cạnh góc vuông AB) 
2) Còn những yếu tố nào trong tam giác chưa biết? (góc C, cạnh AC, BC)
3) Tìm yếu tố nào dễ dàng nhất? (góc C = 900 – góc B = 500).
4) Sử dụng kiến thức nào để tìm AC? Tính AC. (các định lí liên quan giữa cạnh và góc trong tam giác vuông: AC = AB. tanB 5,03)
5) Tìm cạnh BC? (sử dụng định lí Py-ta-go: BC = 7,83
c. Phân tích sai lầm: Sai lầm dễ mắc phải của phần bài tập này là các em sử dụng hệ thức bị nhầm lẫn giữa các tỉ số lượng giác với nhau (do các em xác định nhầm góc đối, góc kề hoặc nhầm giữa trường hợp đối với cạnh huyền hay cạnh góc vuông). Để tránh gặp phải sai lầm này giáo viên nên hướng dẫn kĩ các em lúc xác định góc đối, góc kề và lúc phân biệt giữa cạnh huyền và cạnh góc vuông. Bài toán này có nhiều cách giải khác nhau, giữa các cách giải có thể xuất hiện sai số nhỏ. Để tránh sai số khi tính toán các em phải chú ý lựa chọn phương pháp mà không sử dụng những kết quả làm tròn. Như ví dụ trên ta có thể sử dụng tiếp hệ thức AB = BC. sinC, từ đó tìm BC mà không cần sử dụng định lí Py-ta-go. Phương pháp này sẽ cho chúng ta kết quả BC chính xác và ít sai số hơn. Bên cạnh đó giáo viên cần hướng dẫn HS cách ghi kết quả gần đúng bằng dấu . Khi ghi kết quả chú ý nên để dạng phân số tối giản nếu đề không yêu cầu làm tròn kết quả ở dạng thập phân.
3.2.6. Dạng 6: Bài toán tổng hợp.
a. Phương pháp: Ở dạng bài tập này, thông thường là sẽ kết hợp các hệ thức liên quan giữa cạnh và đường cao, các hệ thức liên quan giữa cạnh và góc trong tam giác vuông. Đồng thời có phối hợp với các phương pháp hình học đã học ở các lớp dưới, kết hợp vẽ thêm hình để xuất hiện tam giác vuông. Từ đó tìm được cạnh và góc trong hình vẽ.
b. Ví dụ minh họa: Cho tam giác ABC vuông tại A biết AB = 6cm, 
a) Tính số đo góc C, độ dài cạnh AC, BC.
b) Vẽ đường cao AH và trung tuyến AM của tam giác ABC. Tính diện tích tam giác AHM.
+ Đầu tiên cho HS vẽ hình và ghi các số đo trên hình.
+ Cho HS nhắc lại các hệ thức liên hệ giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông, định nghĩa TSLG của góc nhọn, các hệ thức liên quan đến cạnh và góc trong tam giác vuông, về tính chất 2 góc phụ nhau của tam giác vuông.
+ GV cho HS làm câu a như tiến hành giải tam giác vuông đã thực hiện ở dạng 5.
+ GV tiếp tục cho HS vẽ thêm hình để thực hiện câu b, yêu cầu HS nhắc lại kiế thức về đường cao và đường trung tuyến của tam giác.
+ GV hướng dẫn HS phân tích câu b của bài toán:
1) Đề bài cho gì? (góc B, cạnh AB, câu a tìm được góc C, cạnh AC, BC) 
2) Yêu cầu tìm gì? (diện tích tam giác AHM)
3) Tam giác AHM là tam giác gì? Tính diện tích như thế nào? (tam giác vuông, muốn tính diện tích lấy nửa tích 2 cạnh góc vuông, tức là .AH.MH)
4) Như vậy cần tính những cạnh nào? (AH, MH)
5) Tìm AH như thế nào? (sử dụng định lí 3: AH. BC = AB.AC AH = 3cm)
6) Tìm MH? (cần MC – HC hoặc HB – MB)
7) Tìm HB? MB? (hoặc MC, HC?) 
* BM = BC: 2 = cm
* HB = = cm
* HM = HB – BM = cm 
8) Diện tích? (.AH.HM = cm2) 
c. Phân tích sai lầm: Ở dạng bài tập này vấn đề không còn là HS mắc sai lầm nữa, mà là HS khó có thể tổng hợp được lượng kiến thức nhiều đủ để giải bài tập. Cho nên, cần ôn tập, củng cố cho HS cơ bản kiến thức hình học quan trọng để HS có thể nhớ, ôn lại và vận dụng vào bài tập. Đối dạng bài tập này, thường chỉ có đối tượng HS khá, giỏi mới có thể vận dụng tốt, vì phần lớn các em HS trung bình, yếu không thể tổng hợp, ghi nhớ hết các kiến thức hình học đã qua.
3.2.7. Dạng 7: Bài toán thực tế.
a. Phương pháp: Ở chương I hình học 9 thì kiến thức có liên hệ nhiều đến đời sống thực tế nên dạng bài tập thực tế này cũng rất quan trọng. Nó giúp các em có những hiểu biết cơ bản về toán học thực tế, từ đó các em sẽ yêu thích môn học này hơn. Ở dạng bài tập này, thông thường là sẽ từ những hình ảnh thức tế, giúp các em vẽ lại mô phỏng hình vẽ thực tế đó thành hình vẽ trên giấy rồi vận dụng các kiến thức toán liên quan để giải. 
b. Ví dụ minh họa: Một khúc sông rộng khoảng 250m. Một chiếc đò chèo qua sông bị dòng nước đẩy xiên nên phải chèo khoảng 320m mới sang được bờ bên kia. Hỏi dòng nước đã đẩy chiếc đò lệch đi một góc bao nhiêu độ? 
+ Đầu tiên cho HS vẽ hình minh họa và ghi các số đo trên hình.
+ Cho HS tiến hành giải tam giác vuông ABC tìm góc B như dạng 5. 
c. Phân tích sai lầm: Khó của dạng bài tập này chính là mô phỏng từ hình vẽ thực tế sang hình vẽ trên giấy. Còn quá trình tính toán trên giấy thì giống như các dạng đã học ở trên. 
3.2.8. Dạng 8: Bài toán nâng cao – Áp dụng các công thức lượng giác.
a. Phương pháp: Các bài tập áp dụng các công thức lượng giác nhìn chung không khó, vấn đề là HS phải thuộc các công thức lượng giác và biến đổi thành thạo các phép biến đổi đa thức đã học ở lớp 8 như nhân, chia đa thức, hằng đẳng thức, phân tích đa thức thành nhân tử. Các bài tập nâng cao của chương này không quá khó, chủ yếu là vận dụng các công thức và định lý đã học. Có đôi khi cần thiết vẽ thêm hình để tạo ra tam giác vuông, thuận lợi cho việc sử dụng các định lí đã học vào bài tập hoặc đổi ra tỉ số lượng giác của 2 góc phụ nhau.
b. Ví dụ minh họa: 
Ví dụ 1: Cho góc nhọn. Rút gọn biểu thức: 
A = sin6+ cos6 + 3sin2. cos2
+ Đầu tiên cho HS nhắc lại các công thức lượng giác có liên quan đến sin, cos và các hằng đẳng thức đã học ở lớp 8.
+ GV hướng dẫn HS sử dụng hằng đẳng thức biến đổi sao cho có thể đưa về dạng có sin2 + cos2 = 1 hoặc sử dụng sin2 + cos2 = 1 để xuất hiện hằng đẳng thức.
A	
Ví dụ 2: Tính giá trị biểu thức: 
a) 
b) 
+ Ở đây giáo viên hướng dẫn để học sinh nhận xét được các bài tập trên đều có điểm đặc biệt, chẳng hạn như trong bài tập chỉ có sin và cos, hoặc tan và cot. Khi đó ta nghĩ đến việc đổi ra tỉ số lượng giác của 2 góc phụ nhau để ra được dạng hoặc 
+ Như vậy ở câu a cần đổi để có , ta có thể đổi , tượng tự với các tỉ số còn lại. Khi đó, ta có: 
	+ Tương tự ở câu b ta sử dụng và cuối cùng ta được: 
Ví dụ 3: Tính cos150, sin 150 mà không dùng bảng số, không dùng MTCT.
+ Dạng toán tính tỉ số lượng giác của góc nhọn không đặc biệt chúng ta phải tạo ra được các tam giác vuông có chứa các góc nhọn cần tính và các yếu tố đã biết của bài toán, ta cần hướng dẫn cho các em vẽ thêm yếu tố phụ và vận dụng linh hoạt các hệ thức lượng, các tỉ số lượng giác của góc nhọn vào chổ nào là cần thiết cho quá trình. 
+ GV hướng dẫn HS vẽ thêm hình để chứng minh, tính toán:
Xét ABC có = 900, = 150, BC = 4. 
Kẻ trung tuyến AM, đường cao AH. 
Ta có , AM = 2 nên AH = 1.
Do đó tan = 
Ta có HC = HM + MC = + 2 .
Áp dụng định lí pitago vào vuông ACH ta có : 
AC2 = AH2 + HC2 = 1 + ( + 2)2 = 8 + 4 = 4. (2 + )
AC = 2.
Xét AHC vuông tại H ta có: cos = 
Vậy cos 150 = 
Xét AHC vuông tại H ta có: sin = 
Vậy sin150 = 
Ví dụ 4: (Chứng minh công thức nhân đôi) Cho vuông tại A có và AB < AC, đường cao AH, trung tuyến AM = a. 
a) Chứng minh rằng: 
b) Chứng minh rằng: 
+ Tương tự như ví dụ 2, GV hướng dẫn HS vẽ thêm hình để chứng minh, tính toán:
a) Xét AHC có sin = ; cos = 
Vì AM là trung tuyến ứng với BC .
Xét AHM có 
 sin2 = 	(1) 
Do đó: 2sin.cos=2 	(2)
Từ (1) và (2) Sin2 = 2 sin.cos
Vậy Sin2 = 2 sin.cos
b) Xét AHM có 
 cos2 = 
Do đó : 1 + cos2 = 1 +	(3) 
Ta có : 2cos2 = 2	 (4)
Từ (3) và (4) 2cos2 = 1 + cos2.
Vậy 2cos2 = 1 + cos2
Ví dụ 5: Cho góc nhọn xOy, điểm A nằm trên phân giác của góc. Một đường thẳng thay đổi qua A, cắt Ox và Oy tại E và F. Chứng minh rằng: không đổi.
+ Vì ở đây ta không thấy có tam giác vuông cũng không có số đo nào cố định, chỉ có mỗi góc xOy và OA là cố định nên mục tiêu làm bài của chúng ta là sử dụng công thức nào có chứa góc nhọn xOy, OA và độ dài cần tìm là OE và OF.
+ Khi đó, ta thấy được các công thức diện tích dành cho tam giác có 3 góc nhọn là phù hợp. 
+ GV hướng dẫn HS sử dụng công thức diện tích đối với tam giác nhọn
- Đặt . 
- Lần lượt tìm diện tích các tam giác và sử dụng cộng diện tích, ta có:
; ; 
- Cộng diện tích ta có: 
Suy ra: 
Suy ra: 
- Áp dụng công thức nhân đôi ta có: 
Suy ra: 
- Chia 2 vế cho OA.OE.OF ta được: 
- Với và OA cố định nên là không đổi.
Ví dụ 6: Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Gọi M là một điểm thuộc cạnh AB. Tia DM và tia CB cắt nhau ở N. Chứng minh rằng:
+ Để chứng minh đẳng thức trên người ta thường nghĩ ngay đến hệ thức lượng trong tam giác vuông “Hệ thức ’’. Một thủ thuật để nhận ra tam giác vuông có đường cao ứng với cạnh huyền là vẽ đường phụ để tạo ra tam giác vuông tại D có đường cao là DC, cạnh góc vuông là DN. Khi đó ta nghĩ ngay đường phụ cần vẽ là cạnh góc vuông còn lại.
+ GV hướng dẫn HS vẽ thêm hình để chứng minh, tính toán:
* Kẻ DE vuông góc với DN cắt đường thẳng BC tại E. 
* Chứng minh được DM = DE (2 tam giác vuông ADM và CDE bằng nhau TH cạnh góc vuông – góc nhọn)
* Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông DEN suy ra:
c. Phân tích bài toán: Đối với học sinh lớp 9, để giải một bài toán cần phải vẽ thêm yếu tố đường phụ các em gặp rất nhiều khó khăn, bởi các em chưa có kỹ năng, chưa có thuật giải. Vì vậy để giải quyết bài toán dạng này không có cách nào khác là phải giúp các em giải theo chuyên đề làm nhiều bài toán tương tự từ đó các em có được kỹ năng và phương pháp giải. Riêng đối với việc giải toán có sử dụng các hệ thức lượng trong tam giác vuông này cần lưu ý các em mục đích vẽ đường phụ là để xuất hiện tam giác vuông, từ đó áp dụng được các định lí để tính toán và chứng minh. Nên hướng dẫn các em vẽ thêm đường vuông góc là chủ yếu, và khi vẽ cần xác định hình vẽ thêm của chúng ta không được làm mất đi các dữ kiện đã có của đề bài (ví dụ như chia cạnh đã cho ra 2 phần, hoặc chia góc đã cho ra 2 phần, ) thì mới áp dụng được các định lí.
4. Kết quả chuyển biến của đối tượng
Qua thực tế giảng dạy môn Toán 9 qua các năm học, đặc biệt là năm 2017 – 2018 bằng phương pháp đã trình bày, bước đầu tôi thấy có những ưu điểm sau:
- Phần lớn học sinh đã thực hiện tốt việc giải bài tập về hệ thức lượng trong tam giác vuông, các em vận dụng tốt được các định lí vào các dạng bài tập. Nhiều học sinh rất hào hứng khi thực hiện các bài toán thực tế.
- Tôi đã tích cực vận dụng các phương pháp để hướng dẫn HS giải bài tập về hệ thức lượng, phân chia dạng toán để học sinh có được các hiểu biết cách giải đối với mỗi dạng bài tập khác nhau, từ đó giúp rèn cho các em kỹ năng giải bài tập hình học về hệ thức lượng trong tam giác vuông.
- So với để các em tự mày mò phương pháp giải cho từng loại thì cách phân chia dạng bài tập rõ ràng này sẽ giúp được các em học tốt hơn, không còn sợ học môn hình học nữa. Từ đó dẫn đến kết quả học tập được nâng lên, hạn chế học sinh yếu kém môn hình học.
- Riêng với đối tượng học sinh giỏi thì bước đầu có khái quát về cách giải một số bài toán khó, tuy chưa đầy đủ nhưng cũng giúp các em biết cách khai thác một bài tập khó, từ đó có hướng giải quyết khi gặp phải dạng toán khó trong chương này, giúp các em học tập tốt hơn, nâng cao chất lượng học sinh giỏi bộ môn Toán.
- Tuy nhiên, bên cạnh đó cũng còn một số đối tượng học sinh yếu do chưa thuộc các công thức, định nghĩa, định lí nên vẫn còn gặp nhiều khó khăn khi làm bài, các em chưa có ý thức học bài môn Toán vì cho rằng môn Toán là không cần phải học bài, dẫn đến kết quả học tập vẫn còn chưa được cải thiện.
Do đó, năm học 2018 – 2019 tôi đã bổ sung hướng dẫn thêm các cách ghi nhớ các định lí, các định nghĩa, và các công thức lượng giác, để từ đó, khắc phục được vấn đề chưa thuộc bài của học sinh cũng như vấn đề áp dụng định lí cụ thể bằng các tóm tắt dễ hiểu kết hợp với hình vẽ, nâng cao tỉ lệ học sinh khá giỏi, giảm tỉ lệ học sinh yếu kém, cụ thể bài kiểm tra 45’ chương I Hình học 9 vào các năm như sau:
Năm học
Tổng số HS
Khá – Giỏi
Trung bình
Yếu – Kém
Tỉ lệ bài KT trên TB
SL
%
SL
%
SL
%
2016 – 2017
27
5
18,5
6
22,2
16
59,2
40,7%
2017 – 2018
39
3
7,7
19
48,7
17
43,5
56,4%
2018 – 2019
34
15
44,1
11
32,4
8
23,5
76,5%
III. KẾT LUẬN
1. Tóm lược giải pháp
Với sáng kiến “HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI TỐT BÀI TẬP VỀ HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG” tôi đã cố gắng trình bày các phương pháp hướng dẫn cho học sinh ghi nhớ kiến thức và thực hiện giải thành thạo các dạng toán cơ bản trong chương I Hình học 9 về các hệ thức lượng trong tam giác vuông, phân loại cho học sinh nhiều dạng bài tập tiêu biểu và phương pháp giải cụ thể cho từng bài. Bên cạnh đó, tôi còn chỉ ra chỗ sai lầm học sinh thường mắc phải cũng như kinh nghiệm về phương pháp giải cho các bài toán khó. Từ đó, giúp học sinh có phương pháp học tập hiệu quả đạt được kết quả tốt hơn trong học toán, đặc biệt là môn Toán hình học.
Vì khả năng có hạn, có nhiều dạng bài tập tôi phân tích cũng chưa sâu, chưa đưa được nhiều ví dụ minh họa hơn, do đó những gì mà tôi tích luỹ được và trình bày trên đây cũng chỉ là kinh nghiệm bước đầu. Trong thời gian tới tôi sẽ tiếp tục hoàn thiện thêm. Rất mong được lãnh đạo và đồng nghiệp chỉ bảo, giúp đỡ và bổ sung cho tôi để sáng kiến được đầy đủ hơn, có thể vận dụng được tốt và có chất lượng trong những năm học sau.
2. Phạm vi đối tượng áp dụng
- Với sáng kiến kinh nghiệm “HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI TỐT BÀI TẬP VỀ HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG” được áp dụng giảng dạy môn Toán Hình học 9 chương I.
- Dùng để giảng dạy, ôn tập kiến thức cho đối tượng học sinh trung bình, yếu, hỗ trợ các em học sinh khá giỏi bước đầu có kỹ năng giải những bài tập hình học khó, giúp nâng cao hiệu quả học tập của các em.
3. Đề xuất – kiến nghị: Không./.
NGƯỜI THỰC HIỆN
Đặng Vũ Phượng Linh