Sáng kiến kinh nghiệm Hướng dẫn học sinh áp dụng một số phương pháp tính tổng các phân số viết theo quy luật

h buôn bán, làm tự do thì không có điều kiện quan tâm chăm sóc, ít quan tâm kiểm tra đôn đốc các em học hành. Vì vậy các em chịu không ít thiệt thòi.
2. Thuận lợi:
 - Đa số các em đều là học sinh ngoan ngoãn lễ phép và yêu quý lớp học của mình.
- Đa số phụ huynh quan tâm đến việc học của các con.
 - Phụ huynh rất tin tưởng gửi gắm con em mình cho thầy cô giáo và nhà trường.
- Nhà trường tổ chức học bồi dưỡng cho học sinh vào một số buổi chiều trong tuần nên giáo viên có điều kiện bổ sung kiến thức bị hổng và rèn luyện thường xuyên cho học sinh về mọi mặt.
- Đội ngũ giáo viên đều nhiệt tình, tâm huyết với nghề và đều có trình độ chuẩn và trên chuẩn.
 III. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm:
Trước khi triển khai tôi đã tiến hành kiểm tra sự hiểu biết của các em học sinh lớp 6A2 trong việc giải một số bài toán về dãy phân số viết theo quy luật trong 10 phút đầu giờ hoặc cuối giờ qua một số bài tập sau.
Bài 1: Tính : 
Bài 2: Tính: 
Bài 3: Tính: 
Bài 4: Tính: 
* Thống kê kết quả:
Bài
Sĩ số
Điểm < 5đ
5đ - 6,4 đ
6,5đ - 7,9đ
8đ - 10đ
Bài 1
49 em
40 em
6 em
3 em
0 em
Bài 2
49 em
35 em
8 em
5 em
1 em
Bài 3
49 em
31 em
10 em
6 em
2 em
Bài 4
49 em
36 em
7 em
5 em
1 em
 
 *Nhận xét: 
Sau khi kiểm tra và chấm bài lớp 6A2 của trường tôi nhận thấy học sinh còn những tồn tại như sau:
 - Học sinh có nhiều em còn chưa biết cách giải một số bài toán đơn giản về tính tổng dãy phân số dạng như bài kiểm tra. 
Một số em biết làm nhưng lời giải trình bày còn dài dòng và rắc rối, nhầm lẫn, chưa biết cách tìm ra quy luật của dãy số.
Học sinh chưa phát huy được tư duy sáng tạo, khả năng học hỏi, sự tìm tòi kiến thức mới.
* Trước thực trạng của lớp, vấn đề đặt ra cho tôi là làm thế nào để giúp học sinh của lớp tiếp thu được nội dung bài học. Kích thích sự ham mê học toán và làm bài tập ở nhà. Tôi nghĩ mình phải tìm tòi, hệ thống lại kiến thức rồi đưa ra các phương pháp giải các dạng toán từ dễ đến khó để học sinh nắm bắt được và làm tốt các bài toán tính tổng các phân số viết theo quy luật không chỉ trong các bài thi cuối kì mà trong cả các kì thi học sinh giỏi, học sinh năng khiếu.
IV. Một số phương pháp tính tổng các phân số viết theo quy luật:
 Hệ thống các dạng toán từ dễ đến khó, với mỗi dạng có phương pháp giải, công thức tổng quát dễ áp dụng, từ đó ra thành nhiều bài toán để học sinh có thể rèn luyện.
Phương pháp đặt thừa số chung để rút gọn:
1.1: Ví dụ: Tính nhanh:
	*Phân tích bài toán: Đối với dạng toán này học sinh dễ dàng nhận ra đặc điểm là các phân số trên tử và các phân số dưới mẫu của A và B có tử giống nhau hoặc có thừa số chung, mẫu của các phân số đó tương ứng nhau, từ đó tìm ra cách giải đặt thừa số chung ra ngoài rồi rút gọn bài toán.
 	*Giải:
 1.2: Phương pháp giải: 
Biến đổi làm xuất hiện các thừa số chung trên tử và dưới mẫu, rồi đặt nhân tử chung và rút gọn.
1.3: Bài tập mở rộng:
Từ việc học sinh nắm được đặc điểm của dạng toán này và phương pháp giải, tôi có thể đưa ra các bài toán dạng này trong các đề thi học sinh giỏi:
*Bài toán 1: Tính nhanh:
 (Đề khảo sát HSG thành phố Vinh năm 2020 - 2021)
*Bài toán 2:Tìm x, biết: 
 (Đề Olympic toán 6 huyện Quốc Oai năm 2020 - 2021)
Phương pháp tách các số hạng để tạo ra dãy khử liên tiếp:
2.1: Ví dụ: Tính tổng
	* Phân tích bài toán: 
	Trong biểu thức A ta thấy dưới mẫu là tích của 2 số tự nhiên liên tiếp, tử là hiệu của hai thừa số dưới mẫu 1 = 2 - 1 = 3 - 2 = 4 - 3 =... = 50 - 49 = 51 - 50
Do đó ta có thể biến đổi tổng A như sau:
	Trong biểu thức B ta thấy mẫu là tích của hai số tự nhiên lẻ liên tiếp, tử chưa bằng hiệu hai thừa số dưới mẫu, vậy ta phải nhân thêm cả hai vế với 2 để tạo ra quy luật và tách thành dãy khử liên tiếp.
	Trong biểu thức C ta thấy mẫu là tích của 3 số tự nhiên liên tiếp và biến đổi để tử bằng hiệu của thừa số cuối và thừa số đầu trong mẫu, rồi tách thành dãy khử liên tiếp.
Trong dạng toán này học sinh thường mắc sai lầm là chưa biến đổi để tử bằng hiệu hai thừa số dưới mẫu đã tách mỗi số hạng thành hiệu hai phân số và trong hiệu được tách thì tử của phân số bị trừ và phân số trừ không là 1.
Ví dụ HS thường tách sai như sau:
hoặc 
*Giải
a) Ta thấy: 1 = 2 - 1 = 3 - 2 = 4 - 3 =... = 50 - 49 = 51 - 50
Do đó ta có thể biến đổi tổng trên như sau:
c) 
Ta có:
Từ phần c, ta rút ra tổng quát: 
 2.2: Phương pháp giải:
Ta dùng công thức tổng quát sau để biến đổi mỗi số hạng thành hiệu của hai số sao cho số trừ ở nhóm trước bằng số bị trừ ở nhóm sau rồi khử liên tiếp, người ta gọi là phương pháp khử liên tiếp. Còn lại số bị trừ đầu tiên và số trừ cuối cùng, lúc đó phép tính được thực hiện dễ dàng.
 2.3: Bài tập mở rộng:
*Bài toán 1: Tính các tổng sau: 
*Bài toán 2: Tính nhanh: 
*Bài toán 3: Tính nhanh: 
Ta thấy mẫu của các phân số là tích của hai số tự nhiên nhưng chưa tạo ra quy luật để tách theo dạng tổng quát phương pháp khử liên tiếp. Từ đó ta nhân thêm cả tử và mẫu với 5 để tạo ra quy luật trên.
*Bài toán 4: Tính nhanh
 *Bài toán 5: Bài toán tổng quát cho các phân số có mẫu là tích của nhiều số tự nhiên liên tiếp:
Ta có ngay	
 với m=2;3;4... 	 n=1; 2; 3	
*Bài toán 6: Tính tổng
 Sn = 
Ta có : i = 1 ; 2 ; 3; ....; n
Do đó Sn = ( 1 - = 1 - 	
*Một số bài tập áp dụng: 
Tính các tổng sau:
 (Đề HSNK khối 6 huyện Thanh Trì năm 2020 - 2021)
3. Phương pháp sử dụng nhân với một số, cộng, trừ biểu thức để tạo ra dãy khử liên tiếp:
 3.1: Ví dụ: Tính tổng: 
	*Phân tích bài toán: 
Ta thấy dạng toán này có mẫu là lũy thừa của cơ số 3 nên để tạo ra dãy khử liên tiếp ta tính 3A - A, rồi tính A. 
*Giải:
 3.2: Phương pháp giải:
Ta thấy dạng toán này có mẫu là lũy thừa của cùng một cơ số a. Ta nhân cả 2 vế của biểu thức đã cho với a ta được biểu thức mới. Sau đó cộng hoặc trừ biểu thức mới với biểu thức đã cho để tạo ra dãy khử liên tiếp.
 Từ bài trên ta rút ra tổng quát: 
 3.3: Bài tập mở rộng:
*Bài toán 1: Tính tổng: 
*Bài toán 2: Tính tổng: 
*Bài toán 3: Tính tổng: 
4. Các bài toán tổng hợp
 4.1: Dạng 1: Tìm x:
*Bài toán 1: Tìm x nếu
 Giải
Vậy x = 2014
 4.2: Dạng 2:Rút gọn biểu thức:
 *Bài toán 2: Tính Q : P biết:
 Giải:
Tương tự cách làm như bài toán 1, ta tính tổng biểu thức Q như sau:
Mà P =
Do đó Q : P = 2016
 *Bài toán 3: Rút gọn biểu thức sau:
 	 Giải:
Ta biến đổi mẫu số tương tự như cách giải bài toán 2.
Vậy A = 
4.3: Dạng 3: Chứng minh bất đẳng thức:
*Bài toán 4: 
Cho 
Chứng minh rằng D < 1
 Giải:
Nhận xét:
Nên 
 Vậy D < 1
4.4: Một số bài tập áp dụng:
*Bài 1: Tìm y biết:
 *Bài 2:
a) Cho . Chứng minh rằng E <
b) Cho biểu thức 
Chứng minh: 
 *Bài 3: Tìm x biết:
 *Bài 4: Cho . Chứng minh: 3! - M > 4
 *Bài 5: Chứng tỏ rằng tổng của 100 số hạng đầu tiên của dãy sau nhỏ hơn 
 *Bài 6: Cho 
 Tìm tỷ số phần trăm của M và N.
 *Bài 7: CMR: 
 (Đề thi HK II trường Lương Thế Vinh năm 2016 - 2017)
 *Bài 8: Cho: . So sánh B và 
 (Đề thi HSNK khối 7 huyện Thanh Trì năm 2020 - 2021)
Trên đây là một số ví dụ và một số dạng bài tập về “bài toán tính tổng các phân số viết theo quy luật”. Các bài toán về tính tổng thật đa dạng và phong phú. Nếu như chúng ta chỉ hướng dẫn học sinh giải những bài tập ở mức độ trung bình thì các em chưa thể thấy được “cái hay” của dạng toán này.
V. Kết quả thực hiện:
Trong quá trình dạy và sau khi dạy xong các bài toán tính tổng các phân số viết theo quy luật tôi kiểm tra sự lĩnh hội kiến thức của học sinh qua một số bài tập sau:
 Bài 1: Tính: 
 (Đề Olympic toán PGD thị xã Thái Hòa năm 2020 - 2021)
 Bài 2: Tính: 
 (Đề thi khảo sát HSG trường THCS Thạch Thất năm 2014 - 2015)
 Bài 3: Tìm x, biết: 
 (Đề thi HK II trường THCS Tả Thanh Oai năm 2019 - 2020)
 Kết quả chất lượng giảng dạy lớp 6A2 tôi phụ trách đã tăng hơn so với đầu năm, đặc biệt là số học sinh đạt điểm giỏi cao hơn, kết quả như sau:
Lần
sĩ số
Điểm < 5đ
5đ - 6,4 đ
6,5đ - 7,9đ
8đ - 10đ
Lần 1
49 em
25 em
6 em
13 em
5 em
Lần 2
49 em
16 em
8 em
15 em
10 em

Với những kinh nghiệm vừa trình bày ở trên, sau một số năm dạy toán lớp 6, bản thân tôi nhận thấy: Khi dạy phần tính tổng các phân số viết theo quy luật, học sinh tiếp nhận kiến thức một cách thoải mái, chủ động và rõ ràng. Học sinh phân biệt và nhận dạng được các bài toán tính tổng các phân số được viết theo quy luật. Từ đó các em có thể giải được hầu hết các bài tập phần này một cách độc lập, tự giác, xóa đi cảm giác phức tạp ban đầu là không có quy tắc tổng quát. Qua đó rèn luyện cho học sinh trí thông minh sáng tạo, các phẩm chất trí tuệ khác và học sinh cũng thấy được dạng toán này cũng phong phú chứ không hề đơn điệu. Điều đó giúp cho học sinh có hứng thú hơn khi học bộ môn toán.
Trong quá trình thực hiện đề tài và bản thân tôi là người trực tiếp giảng dạy tôi đã rút ra một số bài học kinh nghiệm và giải pháp thực hiện như sau:
-Việc phân chia kiến thức theo từng chuyên đề và ở mỗi chuyên đề được phân chia theo từng dạng bài, loại bài là hết sức cần thiết. Điều đó giúp các em có thể đi sâu hơn, phân tích đánh giá đầy đủ hơn từng nội dung kiến thức.
-Trong quá trình giảng dạy không những giáo viên phải tự nghiên cứu, phân tích tổng hợp kiến thức mà còn cần phải chú trọng việc dạy cho học sinh biết cách phân dạng các bài tập. Đây chính là nhiệm vụ của giáo viên trong quá trình dạy học và giáo dục.
- Hướng dẫn học sinh tìm ra phương pháp chung giải từng dạng toán tiến tới có kĩ năng kĩ xảo để giải các bài tập đó.
- Có hệ thống bài tập ở các dạng khác nhau, qua đó các em vận dụng sáng tạo, phát huy trí lực của học sinh.
- Rèn luyện học sinh tính độc lập, tìm tòi sáng tạo trong quá trình học tập. Chính điều đó mới có thể giúp các em học tập tốt.
- Khi học phải cho học sinh nhận dạng bài tập sau đó mới bắt tay vào giải theo nhiều cách (nếu có thể) chứ không nhất thiết phải giải nhiều bài tập.
- Cần rèn luyện nhiều cách suy luận để tìm hướng giải và cách lập luận trình bày của học sinh vì đây là học sinh đầu cấp.
- Học sinh cần phải luyện tập nhiều bài toán vận dụng các kiến thức cơ bản của lí thuyết, sau đó suy nghĩ tăng dần đến những bài toán nâng cao mở rộng đòi hỏi tính sáng tạo và phải biết vận dụng kiến thức đã học trong nhiều tình huống khác nhau.
PHẦN III: KẾT LUẬN, KHUYẾN NGHỊ
 1. Kết luận:
	Để giải được bài toán tính tổng các phân số viết theo quy luật thì trước tiên các em phải đọc đề bài, phân tích bài toán để tìm ra quy luật chung cho các phân số trong bài toán. Từ đó các em sẽ phân loại bài toán tìm ra hướng giải và phương pháp giải rồi trình bày lời giải bài toán một cách khoa học. Trên cơ sở hiểu rõ bản chất của dạng toán này các em có thể giải theo nhiều cách và có thể tự đặt ra đề các bài toán tính tổng các phân số viết theo quy luật.
Có thể nói với cách làm trên đây, tôi đã chuẩn bị tạo tình huống dẫn dắt học sinh học tập bằng cách tự học là chính. Thông qua đó phát huy tính tích cực chủ động học tập của học sinh, tuy nhiên để làm được điều đó phải tốn không ít thời gian cho việc chuẩn bị nội dung và phương pháp giảng dạy của mình. Nhưng theo tôi đó là phương pháp giúp chất lượng học tập của học sinh ngày một nâng cao.
 2. Khuyến nghị:
- Học tập là cả một quá trình lâu dài, bền bỉ. Để có được những kiến thức vững chắc về môn toán cấp trung học cơ sở, chúng ta cần phải tập trung bồi dưỡng cho các em ngay từ năm học lớp 6. Có học tốt ở các lớp dưới mới có thể tiếp tục học tốt ở các lớp trên. Nhưng cũng cần nhiều hơn sự cố gắng nỗ lực từ phía học sinh và phụ huynh. 
- Tôi mong ban giám hiệu nhà trường thường xuyên tổ chức các buổi chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi để chúng tôi có điều kiện trao đổi và học hỏi thêm.
- Khi vận dụng đề tài, với mỗi khối lớp giáo viên có thể lựa chọn phạm vi kiến thức và lượng bài tập sao cho phù hợp với năng lực của mỗi đối tượng học sinh.
 Trên đây là một vài kinh nghiệm nhỏ của tôi sau khi dạy học sinh tính tổng các phân số viết theo quy luật. Với sự hiểu biết và kinh nghiệm giảng dạy cũng như thời gian còn nhiều hạn chế, nên không tránh khỏi những thiếu sót khi nghiên cứu và giảng dạy đề tài này, rất mong sự đóng góp ý kiến của các thầy cô cùng chuyên môn .
Cuối cùng tôi xin chân thành cảm ơn nhà trường THCS nơi tôi công tác đã tạo điều kiện cho tôi giảng dạy bộ môn Toán 6 để tôi có kinh nghiệm viết sáng kiến này. 
Xin chân thành cảm ơn!
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG
ĐƠN VỊ

Tả Thanh Oai, ngày 22 tháng 4 năm 2021
Tôi xin cam đoan đây là sáng kiến kinh nghiệm do tôi viết, không sao chép của người khác.
Người viết
Nguyễn Thị Mai
	
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Sách " Một số vấn đề về đổi mới PPDH ở trường THCS môn toán" của Bộ giáo dục và Đào tạo
2. Tài liệu bồi dưỡng thường xuyên cho GV THCS môn toán của Bộ giáo dục và Đào tạo.
3. Bùi Văn Tuyên, 2011, Bài tập nâng cao và một số chuyên đề toán 6, NXBGD.
4. Vũ Hữu Bình, 2011, Toán nâng cao và phát triển toán 7, tập 1, NXBGD.
5. Tôn Thân, 2013, SBT toán 6,7, BGD & ĐT
6. Các đề thi HK II, HSG lớp 6,7 các năm của các quận, huyện.
Ý KIẾN ĐÁNH GIÁ CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC:
* Cấp cơ sở:
............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
*Cấp Huyện:
...........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................