Sáng kiến kinh nghiệm Hướng dẫn giải bài toán dãy số theo quy luật cho học sinh lớp 6 theo hướng phân loại phương pháp giải

ể khi trừ cho A thì một loạt các lũy thừa bị triệt tiêu ? Ta thấy các số mũ liền
 nhau cách nhau 2 đơn vị nên ta nhân hai vế với 32. 
Ta có: 	
Bài toán tổng quát: 
Ta có: 	a2A = a2 + a4 + a6 + a8 + ... + a2n + a2n + 2 
 	 A = 1 + a2 + a4 + a6 + a8 + ... + a2n
a2A - A = a2n+2 - 1 A( a2 - 1) = a2n +2 - 1 
Bài tập đề nghị: Tính tổng: B = 1 + 22 + 24 + 26 + 28 + 210 + ... + 2200
Bài toán 4: Tính tổng của dãy số: A = 7 + 73 + 75 + 77 + 79 + ... + 799
Giải
Tương tự như ví dụ 3 ta có:
72B = 73 + 75 + 77 + 79 + ... + 799 + 7101
 B = 7 + 73 + 75 + 77 + 79 + ... + 799
 72B - B = 7101 - 7 , hay B( 72 - 1) = 7101 – 7
Bài toán tổng quát: 
Ta có: 	a2A = a3 + a5 + a7 + a9 + ... + a2n+1 + a2n + 3 
 	 A = 1 + a3 + a5 + a7 + a9 + ... + a2n+1
a2A - A = a2n+3 - 1 . A( a2 - 1) = a2n +3 - 1 
Bài tập đề nghị: Tính tổng.	C = 5 + 53 + 55 + 57 + 59 + ... + 5101 
	D = 13 + 133 + 135 + 137 + 139 + ... + 1399 
Bài toán 5: Tính tổng của dãy số: A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 +  + 8.9
Hướng dẫn cách tìm lời giải: Ở bài toán 1 chỉ có 1 thừa số trong mỗi số hạng nên
 ta nhân hai vế của A với 2. Khoảng cách giữa hai thừa số trong mỗi số hạng dạng này là 1. Nên ta nhân hai vế của A với 3 lần khoảng cách này ta được :
Giải
3A = 3.(1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + 6.7 + 7.8 + 8.9 + 9.10)
3A = 1.2.(3 - 0) + 2.3.(4 - 1) + 3.4.(5 - 2) + 4.5.(6 - 3) + 5.6.(7 - 4) + 6.7.(8 - 5)
+ 7.8.(9 - 6) + 8.9.(10 - 7) + 9.10.(11 - 8) 
3A= 1.2.3 - 1.2.3 + 2.3.4 - 2.3.4 + 3.4.5 -  + 8.9.10 - 8.9.10 + 9.10.11
 3A = 9.10.11 = 990. 
A = 990:3 = 330 
	Ta chú ý tới đáp số 990 = 9.10.11, trong đó 9.10 là số hạng cuối cùng của A và 11 là số tự nhiên kề sau của 10, tạo thành tích ba số tự nhiên liên tiếp.
Công thức tổng quát: 
 Bài tập đề nghị: Tính tổng:	A = 1.2 + 2.3 + 3.4 +  + 99.100 
C = 2.4 + 4.6 + 6.8 +  + 98.100 
Bài toán 6: Tính tổng của dãy số: B = 12 + 32 + 52 + 72 +  + 992
Hướng dẫn cách tìm lời giải: Khai thác từ bài toán 5
Giải
Nhận xét: A = 1.2 + 2.3 + 3.4 +  + 99.100
A = 0.1 + 1.2 + 2.3 + 3.4 +  + 99.100
A = 1.(0 + 2) + 3.(2 + 4) + 5.(4 + 6) +  + 99.(98 + 100)
A = 1.1.2 + 3.3.2 + 5.5.2 +  +99.99.2 = (12 + 32 + 52 + 9 + 92).2 
A = (12 + 32 + 52 + + 992).2 
Theo cách giải ví dụ 5 ta có 
Vậy ta có: 
Công thức tổng quát: 
Bài tập đề nghị: Tính tổng: Q = 112 + 132 + 152 +  + 20092. 
Bài toán 7: Tính tổng của dãy số: B = 22 + 42 + 62 + + 1002
Hướng dẫn cách tìm lời giải: Khai thác từ bài toán 5.
Giải
 Nhận xét : 
A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + 6.7 + ... + 100.101 
 = (1.2 + 2.3) + (3.4 + 4.5) + (5.6 + 6.7) + (7.8 + 8.9)... + (99.100 + 100.101) 
 = 2( 1 + 3) + 4( 3 + 5) + 6( 5 + 7) +...+ 100( 99 + 101)
 = 2.4 + 4.8 + 6.12 + ... + 100.200 
 = 2.2.2 + 2.4.4 + 2.6.6 + ... + 2.100.100 
 = 2.22 + 2.42 + 2.62 + ... + 2.1002 = 2.( 22 + 42 + 62 + ... + 1002)
A = 2.(22 + 42 + 62 + ... + 1002) 
Theo cách giải bài toán 5 ta có: 
 Vậy
 Công thức tổng quát : 
 Bài tập đề nghị: 
 1.Tính tổng :A= 202 + 222 +  + 482 + 502. 
Cho *. Tính tổng :B= n2 + (n + 2)2 + (n + 4)2 + + (n + 100)2. 
Bài toán 8: Tính tổng của dãy số:A = 12 + 22 + 32 +  + 1002
 B = 12 + 22 + 32 +  + 992
Hướng dẫn cách tìm lời giải: Khai thác từ bài toán 6, bài toán 7.
Giải
* A = 12 + 22 + 32 +  + 1002
Cách 1: A = 12 + 22 + 32 +  + 1002 
 A = (12 + 32 + 52 +  + 992) + (22 + 42 + 62 +  + 1002)
 A = (99.100.101 + 100.101.102) : 6 
 A = 100.101.(99 + 102):6 = 100.101.(2.100 + 1):6 
Cách 2:
A = 1² + 2² + 3² + 4² ++ 100²
A = 1.1 + 2.2 + 3.3 +4.4 +  + 100.100 
A = 1.(2-1) + 2(3-1) + 3(4-1) +  + 100[(100+1)-1] 
A = 1.2 – 1+ 2.3 – 2 + 3.4 – 3 + 4.5 – 4 ++ 100(100 + 1 ) – 100 
A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + + 100( 100 + 1 ) – ( 1 + 2 + 3 +4 +  + 100 )
A = 100.101.102:3 – 100.101: 2 =100.101.(102:3 – 1:2) =100.101.(2.100 + 1):6
* B = 12 + 22 + 32 +  + 992
Cách 1: B = 12 + 22 + 32 +  + 992 
B = (12 + 32 + 52 +  + 992) + (22 + 42 + 62 +  + 982)
B = (99.100.101 + 98.99.100) : 6 
B = 99.100.(98 + 101):6 = 99.100.(2.99 + 1):6 
Cách 2:
B = 1² + 2² + 3² + 4² ++ 99²
B = 1.1 + 2.2 + 3.3 +4.4 +  + 99.99 
B = 1.(2-1) + 2(3-1) + 3(4-1) +  + 99[(99+1)-1] 
B = 1.2 – 1+ 2.3 – 2 + 3.4 – 3 + 4.5 – 4 ++ 99(99 + 1 ) – 99 
B = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + + 99( 99 + 1 ) – ( 1 + 2 + 3 +4 +  + 99 )
B = 99.100.101:3 – 99.100: 2 =99.100.(101:3 – 1:2) =99.100.(2.99 + 1):6
Công thức tổng quát: 
Bài tập đề nghị:Tính tổng: 	M = 1 + 22 + 32 + 42 + 52 + + 992
	P = 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36 + ... + 10000 
Q = - 12 + 22 – 32 + 42 -  - 192 + 202. 
Bài toán 9: Tính tổng của dãy số: A = 1.3 + 3.5 + 5.7 +  + 97.99
Hướng dẫn cách tìm lời giải: Khoảng cách giữa hai thừa số trong mỗi số hạng là 2, 
Nhân hai vế của A với 3 lần khoảng cách.
Giải
 A = 1.3 + 3.5 + 5.7 +  + 97.99
6A=6.(1.3 + 3.5 + 5.7 +  + 97.99)
 = 1.3.6 + 3.5.6 + 5.7 .6 +  + 97.99.6 
 = 1.3.(5+1) + 3.5.(7-1) + 5.7 .(9-3) +  + 97.99.(101-95)
 =3+97.99.101
Nhận xét: Trong bài toán 5 ta nhân A với 3, trong bài toán 9 ta nhân A với 6. Ta có thể nhận thấy để làm xuất hiện các hạng tử đối nhau ta nhân A với 3 lần khoảng cách k giữa hai thừa số trong mỗi hạng tử.
Bài toán 10: Tính tổng của dãy số: A = 1.2.3 + 2.3.4 +  + 7.8.9 + 8.9.10
Hướng dẫn cách tìm lời giải: Ở bài toán 2 mỗi hạng tử của của tổng A có 1 thừa số thì ta nhận với 2 lần khoảng cách. Ở bài toán 5 mỗi hạng tử của tổng A có hai thừa số thì ta nhân A với 3 lần khoảng cách giữa hai thừa số đó. Theo cách đó, trong bài này ta nhân hai vế của A với 4 lần khoảng cách đó vì ở đây mỗi hạng tử có ba thừa số .
Giải
A = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + 4.5.6 + 5.6.7 + 6.7.8 + 7.8.9 + 8.9.10
4A = (1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + 4.5.6 + 5.6.7 + 6.7.8 + 7.8.9 + 8.9.10).4
4A = [1.2.3.(4 – 0) + 2.3.4.(5 – 1) +  + 8.9.10.(11 – 7)] 
4A = (1.2.3.4 – 1.2.3.4 + 2.3.4.5 – 2.3.4.5 + – 7.8.9.10 + 8.9.10.11)
 4A = 8.9.10.11 
Vậy 
Công thức tổng quát: 
Bài tập đề nghị: Tính tổng: A = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + ...+ 99.100.10
	Thay đổi khoảng cách giữa các thừa số trong mỗi số hạng của tổng A là 2
 Ta có bài toán sau:
Bài toán 11: Tính tổng của dãy số:B=1.3.5+3.5.7 ++5.7.9++95.97.99
Hướng dẫn cách tìm lời giải: Ta thấy khoảng cách giữa các thừa số trong mỗi số hạng của tổng B là 2 ta nhân hai vế của B với 4 lần khoảng cách đó.
Giải
 B=1.3.5+3.5.7 ++5.7.9++95.97.99
8B = 1.3.5.8 + 3.5.7.8 + 5.7.9.8 +  + 95.97.99.8
8B= 1.3.5(7 + 1) + 3.5.7(9 - 1) + 5.7.9(11 - 3) +  + 95.97.99(101 - 93)
8B=1.3.5.7+15+3.5.7.9 -1.3.5.7 +5.7.9.11- 3.5.7.9++95.97.99.101-93.95.97.99
8B = 15 + 95.97.99.101
Nhận xét: Trong bài toán 10 ta nhân A với 4 (4 lần khoảng cách ), trong bài toán 11 ta nhân A với 8 (4 lần khoảng cách). Như vật để giải bài toán dạng với 4k (4 lần khoảng cách ),sau đó tách
Bài toán 12: Tính tổng của dãy số sau: 
Hướng dẫn cách tìm lời giải: Trước hết ta chứng minh một kêt quả sau đây:
 với ta có: n2 – n = (n – 1)(n + 1) 
Thật vậy: n3 – n = n( n2 – 1) = n( n2 – n + n – 1) 
 = n[(n2 – n) + ( n – 1)] = n[n(n – 1) + ( n – 1)] 
 = (n – 1)n( n + 1) đpcm
 n3= n + (n – 1)n( n + 1)
Áp dụng kết quả trên để ta tính A
Giải
Ta có 
A = 13–1+ 23–2+33–3+ 43– 4+53 – 5++1003 – 100 + ( 1+ 2+ 3++100 )
A = 0 +2(22 – 1)+3(32 – 1) + 4(42–1) ++100(1002 – 1)+(1+2+ 3+4++100)
A =0+1.2.3+2.3.4+3.4.5+4.5.6++(100–1).100.(100+1)+(1+2+3+4++100)
A = 
Bài toán tổng quát: A = 1³ + 2³ + 3³ + 4³ + 5³ + + n³
A = 13– 1 + 23 – 2 + 33 – 3 + 43 – 4 + 53 – 5 ++ n3 – n + ( 1 + 2 + 3 + + n )
A = 0+ 2(22 – 1)+ 3(32 – 1) + 4(42 – 1)++n( n2 –1) + (1+2+ 3+ 4 ++ n)
A = 0 +1.2.3 +2.3.4 +3.4.5 +4.5.6 ++ (n – 1)n(n + 1)+ (1+ 2+3+4 ++ n )
Nhận xét: Với = 1+2+3+4++ n , nên ta có công thức tổng quát sau 
Cách 2: Sử dụng n3= n + (n – 1)n( n + 1)
Ta có: A = 1³ + 2³ + 3³ + 4³ + 5³ + + 100³ 
A= 1+(2+1.2.3)+(3+2.3.4)+(4+3.4.5)++(100+99.100.101)
A= (1+2+3+4++100)+ (1.2.3+2.3.4+3.4.5++99.100.101)
A=5050+ 101989800=101994850
Thay đổi khoảng cách giữa các cơ số ở bài toán trên ta có bài toán sau:
Bài toán 13: Tính tổng của dãy số sau: 
Hướng dẫn cách tìm lời giải:
Sử dụng (n-2)n(n+2)= n3-4n n3=(n-2)n(n+2)+4n
Giải
A=1+(1.3.5+4.3)+(3.5.7+4.5)++(97.99.101+4.99)
A= 1+ (1.3.5+3.5.7++97.99.101)+4.(3+5++99)
A=1+12487503+9996= 12497500
Tổng quát: Với khoảng cách là a ta tách: (n-a)n(n+a)= n³- a2n
Bài toán 14: Tính tổng : A = 1.22 + 2.32 + 3.42 +  + 99.1002 
Giải
A = 1.2.(3 - 1) + 2.3(4 - 1) + 3.4(5 - 1) +  + 99.100.(101 - 1)
 = 1.2.3 - 1.2 + 2.3.4 - 2.3 + 3.4.5 - 3.4 +  + 99.100.101 - 99.100
 = (1.2.3 + 2.3.4 +  + 99.100.101) - (1.2 + 2.3 + 3.4 +  + 99.100)
Đưa về dạng toán cơ bản.
Với cách khai thác trên ta có thể khai thác, phát triển các bài toán trên thành nhiều bài toán hay mà trong quá trình giải đòi hỏi học sinh phải có sự linh hoạt, sáng tạo.
Bài tập đề nghị: Tính các tổng sau: 
A = 12 + 42 + 72 + . +1002.
B = 1.32 + 3.52 + 5.72 +  + 97.992.
A = 1.99 + 2.98 + 3.97 +  + 49.51+ 50.50
B = 1.3 + 5.7 + 9.11 +  + 97.101 
C = 1.3.5 – 3.5.7 + 5.7.9 – 7.9.11 +  - 97.99.101
D = 1.99 + 3.97 + 5.95 +  + 49.51
E = 1.33 + 3.53 + 5.73 +  + 49.513
F = 1.992 + 2.982 + 3.972 +  + 49.512
3.2. Phương pháp khử liên tiếp
	Loại toán tìm tổng của một dãy số viết theo quy luật, trong đó thường có 3 phân số đầu là số cụ thể còn các phân số sau cùng cho ở dạng tổng quát. Để làm dạng toán này ta cần nhận xét, so sánh giữa tử và mẫu, các tử (hay các mẫu) với nhau, giữa phân số cụ thể và tổng quát để tìm ra cách viết phân số rồi dần dần tìm ra cách giải.
	Để làm dạng toán này người ta dùng phương pháp khử liên tiếp các số hạng.
Bài toán 1: Tính tổng: S = 
Hướng dẫn cách tìm lời giải: Bài toán này có tổng của các phân số có tử là 1 còn mẫu của các phân số là 1.2; 2.3; 3.4; ...100.101.
	Như vậy mẫu của các phân số là tích của 2 số tự nhiên liên tiếp. Cách giải bài toán này là biến đổi mỗi phân số đã cho thành hiệu của 2 phân số, biến dãy tính cộng thành dãy tính cộng và trừ.
Chẳng hạn: = ; ; . ; = 
Mục đích là ta đi triệt tiêu các số hạng đối nhau
Giải
Ta có : , , 
Do đó : S = 
 S = 
Công thức tổng quát: Sn = = 1- ( n > 1 ) 
Bài toán 2: Tính tổng: P=
Phương pháp tìm lời giải: Ta thấy P là tổng của các phân số có tử là 2, còn mẫu của các phân số là tích của 2 chữ số lẻ liên tiếp hơn kém nhau 2 đơn vị, do đó ta có thể viết mỗi phân số đó là hiệu của 2 phân số, phân số bị trừ có tử là 1 và mẫu là thừa số thứ nhất, phân số trừ có tử là 1 và mẫu là thừa số thứ 2.
VD: ; ; ;  ; 
Nên ta dễ dàng tính được tổng đã cho.
Giải
P=
 == 
Bài toán tổng quát: Tính tổng: 
 P= (n lẻ)
 == 
Công thức tổng quát: 
Bài toán 3: Tính tổng A= 
Hướng dẫn tìm lời giải: Ta thấy các phân số trong tổng A đều có tử là 1 còn mẫu của các phân số là tích của 3 số tự nhiên liên tiếp. Ta viết mỗi số hạng của tổng thành hiệu của hai số sao cho số trừ của nhóm trước bằng số bị trừ của nhóm sau. Ta tách phân số bị trừ có tử là 1 còn mẫu là 2 số tự nhiên liên tiếp đầu, phân số trừ có tử cũng là 1 còn mẫu gồm có 2 số tự nhiên liên tiếp sau ( có 1 số giữa trùng nhau).
Ta thấy: 
Giải
Ta có: A = 
 A = 
 A = 
Bài toán 4: Tính tổng B=
Hướng dẫn tìm lời giải: Ta thấy các phân số trong tổng B đều có tử là 1 còn mẫu của các phân số là tích của 3 số tự nhiên liên tiếp. Ta viết mỗi số hạng của tổng thành hiệu của hai số sao cho số trừ của nhóm trước bằng số bị trừ của nhóm sau. Ta tách phân số bị trừ có tử là 1 còn mẫu là 2 số tự nhiên liên tiếp đầu, phân số trừ có tử cũng là 1 còn mẫu gồm có 2 số tự nhiên liên tiếp sau ( có 1 số giữa trùng nhau).
Ta thấy: 
Tổng quát ta có thể áp dụng: 
Giải
 B = 
 B = +++
 B= 
 B ==
 B====
Bài toán 5: Tính tổng Sn = 1! +2.2 ! + 3.3 ! + ...... + n .n! ( n! = 1.2.3 ....n ) 
Giải
Ta có : 1! = 2! -1! 
 2.2! = 3 ! -2! 
 3.3! = 4! -3! 
 	 ..... ..... ..... 
 n.n! = (n + 1) –n! 
 Sn = 2! - 1! +3! – 2 ! + 4! - 3! +.....+ ( n+1) ! – n! =( n+1) ! - 1! = ( n+ 1) ! - 1
Bài tập đề nghị: 
Bài 1: Tính các tổng sau: 
 A = 
 B = 
C = 
D = 
E = 
 M = 
H = 
Bài 2: Tìm x, biết:
 (x+1) + (x+2) + (x+3) +...... + ( x+100 ) = 5070 
1 + 2 + 3 + 4 +.............+ x = 820 
1 + 
Bài toán 6: 
Cho Chứng minh rằng: 
Chứng minh rằng: 
Hướng dẫn tìm lời giải:
Chia S thành 3 nhóm: Chứng minh và 
Ta thấy các phân số có tử là 1 và mẫu số là bình phương của một số tự nhiên
( ) 
Sử dụng tính chất: 
Giải
* Chứng minh 
* Chứng minh 
Từ (1) và (2) 
Ta có: 
Vậy ( đpcm )
Bài tập đề nghị: 
Bài 1: Chứng tỏ rằng tổng: không phải là số nguyên.
Bài 2: Chứng tỏ rằng: 
Bài 3: Cho . Chứng minh: 
Bài 4:	Cho . Chứng minh: 
4. KẾT QUẢ THỰC HIỆN
- Hs hứng thú với môn học.
- Biết cách khai thác bài toán, học sinh biết tìm tòi ra quy luật của dạng toán tính tổng của dãy số.
5. BÀI HỌC KINH NGHIỆM
Từ bước đầu nghiên cứu sáng kiến: “ Hướng dẫn giải bài toán dãy số theo quy luật cho học sinh lớp 6 theo hướng phân loại phương pháp giải ” tôi thấy vấn đề này rất cần thiết không những đối với học sinh mà với cả giáo viên, nhất là giáo viên đang bồi dưỡng HSG.
Vì vậy mỗi giáo viên chúng ta cần tích cực, thường xuyên trong công tác bồi dưỡng và tự bồi dưỡng để tích lũy chuyên môn, nghiệp vụ cho bản thân thông qua các hình thức: học hỏi bạn bè đồng nghiệp, xem tài liệu, đọc sách báo....
PHẦN KẾT LUẬN 
	Qua thực tế nghiên cứu và giảng dạy môn toán và giảng dạy về các bài toán “Dãy số viết theo quy luật” trong trường THCS, tôi đã thể hiện vấn đề này qua SKKN “ Hướng dẫn giải bài toán dãy số theo quy luật cho học sinh lớp 6 theo hướng phân loại phương pháp giải ” nhằm thể hiện phương pháp giảng dạy cho giáo viên và nâng cao chất lượng học tập nhận thức của học sinh. 
	Trong nội dung của sáng kiến tôi đã đưa ra các dạng bài toán “ dãy số viết theo quy luật ”, phương pháp tìm lời giải của từng bài toán để đưa ra cách giải cụ thể cho từng bài để có một bài toán tổng quát cho từng dạng bài.
Qua sáng kiến này tôi muốn đưa đến cho học sinh thói quen suy nghĩ và tìm tòi lời giải một bài toán trên cơ sở kiến thức đã được học, nhằm phối hợp giữa lý thuyết với thực hành toán học. 
Mỗi bài toán tôi đưa ra:
 - Phương pháp tìm lời giải
 - Cách giải
 - Bài toán tổng quát
	Từ cách đưa ra các phương pháp giải toán, giáo viên, học sinh có thể nhận dạng bài toán thật dễ dàng , có thể đọc được ngay đáp số với những bài toán thuộc quy luật.
	Tôi xin chân thành cảm ơn các đồng chí trong ban giám hiệu nhà trường, cảm ơn các đồng chí trong tổ chuyên môn trường THCS Mỹ Hà đã giúp tôi hoàn thành đề tài này. Tôi rất mong được sự chỉ bảo của các đồng chí chuyên môn Phòng Giáo dục và Đào tạo, ý kiến đóng góp của các đồng nghiệp để vốn kinh nghiệm giảng dạy của tôi được phong phú hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn !
 ngày tháng năm 
CƠ QUAN ĐƠN VỊ	TÁC GIẢ SÁNG KIẾN
ÁP DỤNG SÁNG KIẾN
	(xác nhận)
TÀI LIỆU THAM KHẢO
Sách giáo khoa Toán 6 – NXB Giáo dục.
Sách giáo viên Toán 6 – NXB Giáo dục.
Nâng cao và phát triển toán 6 ( tập 1, tập 2 ) - Vũ Hữu Bình - NXB Giáo dục.
Toán nâng cao lớp 6 (Phần phân số) - Tôn Thân - NXB Giáo dục.
Bài tập thực hành Toán 6 ( tập 1, tập 2 ) - Bùi Văn Tuyên, Nguyễn Tam Sơn, Nguyễn Đức Trường - NXB Đại học quốc gia Hà Nội.
Bồi dưỡng HSG toán 6 ( tập 1, tập 2 ) – Trần Thị Vân Anh - NXB Đại học quốc gia Hà Nội.