Sáng kiến kinh nghiệm Hướng dẫn cho học sinh phương hướng tìm điểm cố định

m chính giữa của một cung cố định hoặc một trong hai đầu mút của một cung cố định. Sau đây là một ví dụ:
Ví dụ 8: Cho tam giác ABC, các điểm D và E lần lượt di động trên các cạnh AB và AC sao cho BD = CE. Chứng minh rằng đường trung trực của DE luôn đi qua một điểm cố định.
Gợi ý:
 Gọi d1 là đường trung trực của DE. Lấy một vị trí đặc biệt của D khi D º B thì E º C. Đường trung trực của DE trở thành đường trung trực d2 của BC. Gọi M là giao điểm của hai đường trung trực nói trên. Ta chứng minh M là điểm cố định .
 Nếu lấy hai vị trí đặc biệt của D khi D B thì EC. Đường trung trực của DE trở thành đường trung trực d2 của BC. Khi D A thì E E0 (giả sử AB < AC) với E0 thuộc cạnh AC sao cho AB = CE0 . Đường trung trực của DE trở thành đường trung trực d0 của AE0. Gọi giao điểm của d2 và d0 là M. Khi đó M là điểm cố định. Ta chứng tỏ d1 đi qua M .
 Từ đó ta có hai cách giải sau:
Lời giải:
Cách 1: Gọi d1 là đường trung trực của DE, d2 là đường trung trực của BC; d1 cắt d2 tại M. Xét D MDB và D MEC có: MB = MD (vì M thuộc đường trung trực của BC); MD = ME (vì M thuộc đường trung trực của DE); BD = CE (gt).
Nên D MDB = D MEC (c.c.c). Suy ra nên M thuộc cung chứa góc (không đổi) dựng trên đoạn BC cố định. Mặt khác M thuộc đường trung trực của BC nên M cố định. Vậy đường trung trực của DE đi qua điểm cố định.
 Cách 2: Giả sử AB < AC, Gọi E0 là điểm thuộc AC sao cho AB = CE0, ta có E0 có định. Gọi d2 là đường trung trực của BC, d0 là đường trung trực của AE0; d0 cắt d2 tại M thì M là điểm cố định. Ta chứng minh M thuộc đường trung trực của DE.
 Vì M thuộc đường trung trực của CB nên MB = MC. Vì M thuộc đường trung trực của AE0 nên MA = ME0. Ta lại có AB = E0C nên MAB =ME0C 
(c.c.c). Suy ra (góc tương ứng).
Suy ra MDB = ME0C (MB = MC, DB = EC, ABM = E0CM). Suy ra MD = MC, Vậy M thuộc đường trung trực của DE. Chứng tỏ đường trung trực của DE đi qua một điểm cố định. 
Nhận xét: 
* Xét các vị trí đặc biệt mục đích là đi tìm vị trí điểm cố định. Khi tìm được vị trí điểm cố định học sinh có thể “chia tay” với các vị trí đặc biệt đó quay về bài toán ban đầu. Tuy nhiên các vị trí đặc biệt này lại tạo nên các hình phụ (điểm, đường thẳng) thuận tiện cho việc chứng minh.
* Hai phương hướng trên cho ta phương pháp chứng minh họ đường thẳng đi qua điểm cố định bằng cách xét các vị trí đặc biệt của điểm thay đổi. 
* Có những bài toán ta không thể xét được các vị trí đặc biệt thì có thể chứng minh bằng cách sử dụng các bài toán phụ. 
II. Phương pháp sử dụng bài toán phụ
*Xét bài toán sau:
Bài toán: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) và tia phân giác của góc A cắt đường tròn tại M. Chứng minh rằng OM đi qua trung điểm của dây BC. (Bài tập 96- trang 105- sgk toán 9- tập 2)
Thay đổi một số yếu tố cố định thành chuyển động và đưa bài toán về dạng bài toán chứng minh họ đường thẳng đi qua điểm cố định ta có bài toán sau: 
Bài toán phụ 1: Cho dây BC cố định của đường tròn (O) và một điểm A chuyển động trên cung BC nào đó được xác định trước. Chứng minh rằng phân giác góc BAC luôn đi qua điểm chính giữa của cung BC còn lại.
 Bài toán phụ 1 có thể sử dụng để giải một số bài toán phức tạp hơn. Sau đây là một ví dụ minh hoạ: 
Ví dụ 9: Cho hình thang ABCD nội tiếp trong đường tròn (O) có cạnh bên AB cố định và P là giao điểm hai đường chéo. Qua P vẽ đường thẳng (d) song song với đáy BC. Chứng minh (d) luôn luôn đi qua một điểm cố định.
Lời giải:
Lời giải:
ABCD là hình thang nội tiếp đường tròn nên ABCD là hình thang cân. Suy ra AB = CD và cung bằng cung . Suy ra (cùng bằng số đo cung ). Vậy P nằm trên đường tròn nội tiếp tam giác ABO cố định. Ta có ( hai góc đồng vị của (d) // BC) với E là giao điểm của đường thẳng (d) với đường tròn ngoại tiếp AOB. Ta lại có ( hai góc so le trong của hai đường thẳng (d) // BC). Mà ( hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau ) nên . Sử dụng bài toán phụ 1 ta có (d) đi qua điểm cố định E (là điểm chính giữa của cung của đường tròn ngoại tiếpAOB).
* Nhận xét: 
Một số bài tập trong sách giáo khoa toán 9, sách bài tập toán 9 có thể thay đổi theo cách trên trở thành dạng bài toán đơn giản chứng minh họ đường thẳng đi qua điểm cố định. 
Một số tính chất của đường tròn như tính chất của hai dây song song (xem bài tập 13- trang 72- sgk toán 9- tập 2), tính chất của góc nội tiếp cũng có thể sử dụng để sáng tạo ra các bài toán phụ. Sau đây một số ví dụ:
Bài toán phụ 2: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). E là một điểm di động thuộc cung (E khác phía với A đối với BC). D là một điểm thuộc dây BC sao cho . Chứng minh rằng DE luôn đi qua điểm cố định K là giao điểm của đường tròn (O) với đường thẳng đi qua A và song song với BC.
 Sử dụng bài toán phụ 2 ta giải bài toán sau:
Ví dụ 10: Cho tam giác ABC, D là một điểm tuỳ ý trên BC (khác B và C). Dựng các đường tròn tiếp xúc tại B và C với AB và AC, đồng thời đi qua D. Gọi E là giao điểm thứ 2 (khác D) của hai đường tròn này. Chứng minh rằng DE luôn luôn đi qua một điểm cố định.
Lời giải:
Ta có và (góc nội tiếp và góc giữa tiếp tuyến và một dây cùng chắn một cung). Mà = 1800 (các góc trong của ABC) nên =1800 hay . Vậy E nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Gọi giao điểm của DE với đường tròn này tại M. Do nên theo bài toán phụ 2 thì DE đi qua một điểm cố định.
Bài toán phụ 3: Cho một điểm C chuyển động trên nửa đường tròn (O) đường kính AB cố định. Điểm D nằm giữa điểm A và điểm B sao cho = x (không đổi). Chứng minh rằng đường thẳng CD luôn đi qua điểm F cố định thuộc cung đối xứng của nửa đường tròn đã cho.
Sử dụng bài toán phụ 3 ta giải bài toán sau:
Ví dụ 11: Cho nửa đường tròn đường kính AB và điểm C ở trên nửa đường tròn. Dựng hình vuông ACDE sao cho D nằm trên đoạn thẳng BC. Chứng minh rằng khi C di động trên nửa đường tròn thì CE luôn đi qua một điểm cố định.
Lời giải:
Do ACDE là hình vuông nên = 450. Gọi F là giao điểm của CE và nửa đường tròn đối xứng với nửa đường tròn đã cho. Do A cố định và = 450 (không đổi) nên theo bài toán phụ 3 ta có cung cố định. Vậy CE luôn đi qua điểm cố định F là điểm chính giữa của cung 
*Nhận xét:
 Trên đây là 3 bài toán phụ dùng làm công cụ để giải một số bài toán chứng minh họ đường thẳng đi qua điểm cố định. Cũng giống như các bài toán cơ bản trong toán dựng hình, nó có thể trở thành các bài toán cơ bản để giải các bài toán chứng minh họ đường thẳng đi qua điểm cố định. Học sinh có thể tìm thêm các bài toán phụ khác để sử dụng trong một số bài toán. Càng nắm được nhiều bài toán phụ thì việc chứng minh càng nhanh chóng.
III. Phương pháp lập hệ tọa độ Đề Các vuông góc
 *Trong chương trình đại số lớp 9, một dạng toán thường được nhắc đến trong các sách tham khảo là chứng minh đường thẳng đi qua một điểm cố định. Chẳng hạn ta xem xét bài toán sau:
Bài toán: (Bài tập 29- trang 61 - Bài tập toán 9 – tập 1- nhà xuất bản giáo dục-2005) Cho hàm số: y = mx +(2m + 1) (1)
 Với mỗi giá trị của m R, ta có một đường thẳng xác định bởi (1). Như vậy, ta có một họ đường thẳng xác định bởi (1). Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, họ đường thẳng xác định bởi (1) luôn đi qua một điểm cố định. Hãy xác định toạ độ của điểm đó. 
Lời giải:
Ta phải chứng minh họ đường thẳng 
y = mx + (2m + 1) (1)
luôn đi qua một điểm cố định nào đó.
Giả sử điểm M(x0;y0) là điểm mà họ đường thẳng (1) luôn luôn đi qua với mọi m, thế thì toạ độ x0, y0 của điểm M phải thoả mãn (1) với mọi m. Nghĩa là với mọi số thực m, ta có:
y0 = mx0 + (2m + 1) (x0 + 2) m + ( 1- y0) = 0 (2)
Phương trình (2) nghiệm đúng với mọi giá trị của ẩn m, do đó phải có các hệ số đều bằng 0, nghĩa là : x0 +2 = 0 và 1 – y0 = 0.
 Suy ra x0 = -2 và y0 = 1.
Vậy ta có điểm M(-2; 1) là điểm cố định mà họ đường thẳng (1) luôn luôn đi qua với mọi số thực m. 
* Nếu trong bài toán hình học chứng minh họ đường thẳng đi qua một điểm cố định, các yếu tố hình học đựơc đặt trong một hệ toạ độ vuông góc thích hợp thì bài toán hình học trở thành bài toán đại số dạng nói trên
* Phương pháp này thường sử dụng một số kiến thức đại số như :
 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy:
Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A(x0; y0 ) và B(x1; y1) 
Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A(x0; y0) và vuông góc với một đường thẳng y= a.x + b cho trước.
Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A(x0; y0) và song song với một đường thẳng y = ax + b cho trước.
 * Chọn hệ toạ độ Đề Các vuông góc thích hợp. Với một điểm M thay đổi, toạ độ của nó phụ thuộc vào một tham số m nào đó.
Lập phương trình đường thẳng (d) đi qua M, chúng phụ thuộc vào tham số m. Biến đổi phương trình đường thẳng (d) về dạng: m f(x; y) + g(x; y) = 0
 Giả sử đường thẳng (d) đi qua một điểm cố định S(x0; y0), khi đó phương trình m f(x0; y0) + g(x0; y0) = 0 thoả mãn với mọi giá trị của m đã cho. Điều này xảy ra khi và chỉ khi: 
 Do đó họ đường thẳng (d) luôn đi qua một điểm cố định S có toạ độ là nghiệm của hệ phương trình : 
Ta sử dụng phương pháp này giải bài toán sau:
Ví dụ 12: Cho góc vuông xOy. Trên Ox và Oy lần lượt có hai điểm A,B chuyển động sao cho OA + OB = a ( a là độ dài cho trước). Gọi G là trọng tâm của tam giác AOB và (d) là đường thẳng đi qua đi qua G, vuông góc với AB. Chứng minh rằng (d) luôn đi qua một điểm cố định.
Lời giải:
 Lập hệ toạ độ Đề Các vuông góc có trục hoành chứa tia Ox và trục tung chứa tia Oy. Nếu toạ độ điểm A là (m , 0) thì toạ độ điểm B là (0; a - m). Khi đó nếu 
gọi M là trung điểm của đoạn thẳng OA thì M (; 0) . Ta tìm toạ độ của điểm G.
 Từ G hạ GH OA; GK OB . Theo định lý Ta Lét ta có :
 = = . Suy ra GH = 
= = . Suy ra GK = 
Vậy G(; ). 
Phương trình đường thẳng AB đi qua A(m,0) và B(0, a-m) là:
 y = x +(a- m)
Phương trình đường thẳng (d) đi qua G(; ) và vuông góc với AB là: 
 y = (*)
Giả sử đường thẳng (d) đi qua một điểm cố định K(x0 , y0). Thay (x0, y0) vào (*) và biến đổi tương đương ta có phương trình :
m(3x0 + 3y0 - 2a ) + a2 - 3ay0 = 0
Suy ra: 
Vậy đường thẳng (d) đi qua G và vuông góc với AB luôn đi qua điểm cố định 
S (; ).
Ví dụ 13: Cho đoạn thẳng AB cố định và một điểm M chuyển động trên đường thẳng AB. Dựng các hình vuông AMCD và BMEF sao cho chúng ở về cùng một nửa mặt phẳng với bờ là AB. Gọi N là giao điểm của AE và BC. Chứng minh rằng đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định.
Lời giải:
Lập hệ toạ độ vuông góc xAy có M thuộc tia Ax, D thuộc tia Ay. Gọi toạ độ của B là (a, 0), toạ độ của M là (m; 0), (0 < m < a, a không đổi, m thay đổi). Khi đó A(0; 0); E(m; a - m) ; C(m; m).
 Phương trình đường thẳng AE đi qua A(0; 0) và E(m; a - m) là:
 y = x (*)
 Phương trình đường thẳng CB đi qua C(m, m) và B(a, 0) là:
 y = x - (**)
Ta tìm toạ độ của điểm N là giao điểm của AE và BC:
Gọi toạ độ của điểm N (x0; y0 ). Vì (x0; y0) thoả mãn (*) và (**) nên:
 x0 = x0 - 
Vì (x0; y0 ) thoả mãn (**) nên suy ra: 
Ta tìm phương trình đường thẳng MN với M(m; 0) và N(x0; y0 ):
 y = x - (m )
 2my - ay = ax - am 
 m(2y + a) - (ay + ax) = 0
Phương trình này đúng với mọi giá trị của m (0 < m < a ; m ) nên ta có:
Trường hợp m = đưòng thẳng MN có dạng x = m hay x = đi qua điểm 
S (; - ). 
Vậy đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định S (; - ). Đó chính là điểm chính giữa của cung của đường tròn đường kính AB.
* Nhận xét: 
Phương pháp này tương đối dài nhưng nó có ưu điểm cho học sinh thấy được mối quan hệ chặt chẽ giữa hình học và đại số. Qua các bài toán hình học học sinh được ôn lại cách viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm, phương trình đường thẳng đi qua một điểm và vuông góc với một đường thẳng cho trước, cách tìm toạ độ giao điểm của hai đường thẳng.
PHẦN III : KẾT LUẬN
1. Kết quả đạt được: 
Trước khi dạy chuyên đề này cho học sinh tôi đã cho các em làm bài kiểm tra và kết quả thu được như sau:
Số lượng hs được kiểm tra
Giỏi
Khá
Trung bình
Yếu
SL
TL
SL
TL
SL
TL
SL
TL
10
0
0%
2
20%
4
40%
4
40%

Khi giảng dạy xong chuyên đề này cho học sinh trên tôi đã cho các em làm lại bài kiểm tra với mức độ đề tương đương với kiểm tra lần 1 thì thu được kết quả như sau:
Số lượng hs được kiểm tra
Giỏi
Khá
Trung bình
Yếu
SL
TL
SL
TL
SL
TL
SL
TL
10
4
40%
4
40%
2
20%
0
0%

2. Bài học kinh nghiệm:
Qua việc nghiên cứu và tiến hành dạy bồi dưỡng tôi có lấy ý kiến của học sinh. Thấy được:
+ Trong mỗi bài tập giáo viên nên khuyến khích học sinh giải theo nhiều cách, trong đó chú ý chọn cách giải ngắn gọn và hiệu quả nhất.
+ Khi đưa yêu cầu cho học sinh cần phải xuất phát từ thấp đến cao, từ đơn giản dến phức tạp.
+ Bản thân tôi nắm được hệ thống kiến thức .
+ Học sinh hiểu rõ và khắc sâu kiến thức hơn. 
Vì vậy, các chuyên đề tiếp theo tôi đã đưa ra và yêu cầu học sinh dựa vào cách học như vậy tự nghiên cứu trước ở nhà hoặc thảo luận nhóm nhỏ sau đó tôi sẽ hoàn chỉnh giúp các em trong các buổi học chuyên đề.
Như vậy, học sinh đã từ học thụ động giờ có thể chủ động hình thành tri thức bằng cách tự học.
3. Kết luận chung
Trên đây là một số phương pháp giải bài toán hình học chứng minh họ đường thẳng đi qua một điểm cố định. Bài viết này giúp học sinh : 
- Nắm được một số phương pháp cơ bản để giải bài toán họ đường thẳng đi qua qua một điểm cố định.
- Biết sử dụng các công cụ đại số để giải các bài toán hình học. Từ đó tạo nên mối quan hệ chặt chẽ giữa các bài toán hình học và đại số.
- Trong quá trình tổ chức giáo viên phải cần kết hợp nhiều phương pháp dạy học linh hoạt, nhưng phương pháp "nêu vấn đề - giải quyết vấn đề " là phương pháp chính kết hợp hình thức dạy học hợp tác nhóm nhỏ là hình thức dạy học có hiệu quả, nó tạo điều kiện cho HS có thể thảo luận, trao đổi, đóng góp ý kiến xây dựng bài.
- Nội dung bài viết chủ yếu là gợi ý HS nên đã bỏ qua một số bước chứng minh. 
- Với đề tài này, tôi muốn góp một phần nhỏ vào việc đổi mới phương pháp để nâng cao chất lượng dạy học. Song đây chỉ là những kinh nghiệm nhỏ rút ra từ thực tế giảng dạy và nghiên cứu chủ quan của bản thân. Do vậy sẽ không tránh khỏi sự sai sót và khiếm khuyết về nhận thức cũng như cách trình bày. Rất mong sự góp ý của Hội đồng khoa học và bạn bè, đồng nghiệp giúp tôi sửa chữa và bổ sung được đầy đủ và tốt hơn.
 Tôi xin chân thành cảm ơn !
	Bá Ngọc, ngày 18/4/2019
 Người thực hiện
 Đậu Cao Cành
Mục lục
Nội dung
Trang
Phần I . Đặt vấn đề
1
I. Lý do chọn đề tài 
1
1. Cơ sở lý luận
1
2. Cơ sở thực tiễn
1
II. Mục đích nghiên cứu
1
III. Nhiệm vụ đề tài
1
IV. Giới hạn đề tài
1
V. Giải quyết vấn đề
2
1. Phương pháp nghiên cứu lý thuyết
2
2. Phương pháp nghiên cứu thực tiễn
2
3. Phương pháp đánh giá
2
Phần II: Nội dung
3
I. Phương pháp xét vị trí đặc biệt
3
II. Phương pháp sử dụng bài toán phụ
12
III. Phương pháp lập hệ tọa độ Đề Các vuông góc
16
Phần III: Kết luận
10
1. Kết quả đạt được 
21
2 . Bài học kinh nghiệm
21
3. Kết luận chung
22
TÀI LIỆU THAM KHẢO
- Sách giáo khoa Toán 9 - NXB Giáo dục.
- Sách bài tập Toán 9 - NXB Giáo dục.
- Toán nâng cao Hình học 9 - NXB Thành phố Hồ Chí Minh.
- Toán nâng cao và các chuyên đề 9 - NXB Giáo dục.
- 100 bài toán Hình học hay và khó - NXB Hà Nội.
- Các bài tóan hay và khó về đường tròn - NXB Đà Nẵng.
- Hướng dẫn học sinh tìm lời giải bài toán hình học - NXB Thành phố Hồ Chí Minh.