Sáng kiến kinh nghiệm Góp phần phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua khai thác bài toán về góc trong Hình học không gian

au: 
Bài toán 9. Cho lăng trụ đứng .ABC A B C có 6; 12;AB BC 
6 3AA AC . Gọi M là điểm nằm trong tam giác A B C . Góc giữa các 
mặt phẳng MAB , MBC , MCA với mặt phẳng ABC lần lượt là , ,   . 
Đặt 1 2 3
sin sin sin
P
  
 . Khi P đạt giá trị nhỏ nhất. Tính cosin góc giữa 
2 đường thẳng B M ,AC ? 
 Bài này kết quả không thay đổi so với Bài toán 8. 
 Nhận thấy rằng qua việc đánh giá MAB MBC MCAS S S S nhỏ nhất 
hoàn toàn được xác định khi ta cho tam giác ABC có chu vi và diện tích của nó là 
0 0,P S không đổi. 
Thật vậy: 
 2 2 2 2 2 2S ah ax bh by ch cz 
Sử dụng bất đẳng thức u v w u v w 
   
với ; , ( ; ), ( ; )u ah ax v bh by w ch cz 
  
 ta được: 
2 2 2 2 2( ) ( ) ( ) oABCS ah bh ch ax by cz a b c h S c nst . 
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 
ax by cz x y z
ah bh ch
 . 
Suy ra I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC , nên M là tâm đường tròn nội 
tiếp tam giác ' ' 'A B C . 
 47
Vì vậy, ta mở rộng bài toán là tam giác ABC có chu vi 0P diện tích 0S 
chiều cao của lăng trụ là h không đổi. Ta có bài toán như sau. 
Bài toán 10. Cho lăng trụ đứng .ABC A B C . Biết tam giácABC có chu vi 0P 
diện tích 0S chiều cao của lăng trụ là h không đổi. Gọi M là điểm nằm trong tam 
giác A B C sao cho tổng diện tích các mặt bên của hình chóp .M ABC đạt giá trị 
nhỏ nhất. Tính tan góc giữa mặt phẳng MAB với mặt phẳng ABC ? 
Lời giải vắn tắt 
Ta có 
 2 2 2 2 2 2S ah ax bh by ch cz 
2 2 2 2 2( ) ( ) ( ) oABCS ah bh ch ax by cz a b c h S c nst . 
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 
ax by cz x y z
ah bh ch
 . 
Suy ra I là tâm đương tròn nội tiếp tam giác ABC , nên M là tâm đường tròn nội 
tiếp tam giác ' ' 'A B C . 
Khi đó gọi 0
0
( , ) tan
hP
MAB ABC
S
Như vậy, việc hướng dẫn giúp học sinh tìm được phương pháp giải quyết 
sáng tạo, độc đáo, và khai thác sáng tạo ra bài toán mới góp phần cải tiến những 
cách giải “cồng kềnh” trở nên tối ưu hơn, từ đó kích thích tính chủ động, tích cực 
học tập cho các em. Qua đó không những giúp cho HS học tập có hiệu quả mà còn 
tạo hứng thú học tập và góp phần quan trọng trong việc rèn luyện và bồi dưỡng tư 
duy sáng tạo cho các em. 
2.4.4. Thực nghiệm sư phạm 
2.4.4.1. Mục đích thực nghiệm 
Kiểm tra tính hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm. 
2.4.4.2. Nội dung thực nghiệm 
Thực nghiệm theo nội dung của sáng kiến kinh nghiệm. 
2.4.4.3. Tổ chức thực nghiệm 
a) Địa điểm và đối tượng thực nghiệm 
Thực nghiệm sư phạm được tiến hành tại trường THPT Nguyễn Trường Tộ, 
huyện Hưng Nguyên, tỉnh Nghệ An 
 48
Lớp thực nghiệm: 12A1 (năm học 2020 - 2021), 12A1 (năm học 2021 - 2022). 
Qua tìm hiểu chúng tôi nhận thấy trình độ chung về môn toán tương ứng của 
các lớp 12A1 (năm học 2020 - 2021), 12A1 (năm học 2021 - 2022) và 12A2 (năm 
học 2021 - 2022) là khá tương đương nhau. 
Trên cơ sở đó, chúng tôi đề xuất lớp 12A1 (năm học 2020 - 2021), 
12A1(năm học 2021 - 2022), và lấy 12A2 (năm học 2020 - 2021), 12A2 (năm học 
2021 - 2022) làm lớp đối chứng. 
b) Thời gian thực nghiệm sư phạm 
Thực nghiệm được tiến hành từ ngày 16/3/2021 đến 22/2/2022 với số tiết 
dạy là 16 tiết/1 lớp (trong đó có 1 bài kiểm tra). Phần lớn số tiết này được giảng 
dạy cho học sinh trong các tiết luyện tập, tự chọn, bồi dưỡng học sinh giỏi, ôn thi 
THPT quốc gia. 
c) Công tác chuẩn bị và tổ chức thực hiện 
Công tác chuẩn bị: 
Điều tra thực trạng học tập của lớp thực nghiệm. 
Soạn bài giảng dạy theo nội dung của sáng kiến. 
Tổ chức thực hiện: 
* Ở lớp dạy thực nghiệm: 
+ Dạy theo nội dung sáng kiến trong các giờ luyện tập, ngoại khoá, bồi 
dưỡng học sinh giỏi. 
+ Quan sát hoạt động học tập của học sinh xem các em có phát huy được 
tính tích cực, tự giác và có phát triển được tư duy sáng tạo hay không. 
+ Tiến hành bài kiểm tra (90 phút) sau khi thực nghiệm. 
+ Cho các em giải các bài toán có liên quan đến yếu tố về góc trong hình học 
không gian của đề thi chính thức và đề thi thử THPT Quốc gia, TNTHPT Quốc gia 
và đề thi chọn học sinh giỏi các tỉnh và thành phố trên cả nước. 
* Ở lớp đối chứng: 
+ Giáo viên thực hiện quan sát hoạt động học tập của học sinh ở lớp đối 
chứng được Giáo viên giảng dạy các bài tập cùng nội dung trong SKKN nhưng 
không theo hướng đi của sáng kiến. 
+ Tiến hành cùng một đề kiểm tra như lớp thực nghiệm (đề kiểm tra đều là 
các dạng toán thường gặp kết hợp một số bài toán mở). 
2.2.3.4. Đánh giá kết quả thực nghiệm sư phạm 
Thực tế cho thấy, nhìn chung có khá nhiều em học sinh học tập bị động, máy 
móc, thiếu tính linh hoạt và sáng tạo. Khi quá trình thực nghiệm mới được bắt đầu, 
quan sát chất lượng trả lời câu hỏi, giải các bài tập chỉ dừng ở mức độ trả lời đối 
 49
thoại và giải bài toán ra đáp số, không có nhiều tìm tòi để sáng tạo ra bài toán khác, 
học tập không thật sự tích cực. 
Nhưng chúng tôi vẫn thấy rằng, ở lớp thực nghiệm, nhìn chung các em tích 
cực hoạt động, học tập sôi nổi và có sự linh hoạt hơn. Các giờ học đã phát huy 
được tính độc lập, phát triển năng lực tư duy và sáng tạo cho các em học sinh. Còn 
ở lớp đối chứng, hoạt động học tập còn khiên cưỡng, các em chủ yếu giải toán một 
cách thụ động, hoặc chỉ giải được bài toán mà không khai thác được bài toán đó, ít 
có khả năng sáng tạo ra cái mới. 
Nhiều em học sinh ở các lớp thực nghiệm đã giải được nhiều bài toán liên 
quan đến yếu tố về góc trong hình học không gian trong các đề thi thử TNTHPT 
Quốc gia cũng như đề thi chính thức THPT Quốc gia, và các đề thi chọn học sinh 
giỏi các tỉnh thành phố trên cả nước sau khi các em đã được thầy giáo giảng dạy 
theo nội dung của sáng kiến. 
Qua kỳ thi TNTHPT Quốc gia năm 2021, các em trong lớp 12A1 đã được 
chúng tôi bồi dưỡng theo nội dung của sáng kiến và thực tế cho thấy các em đã có 
sự tiến triển tốt, có năng lực tư duy và sáng tạo trong quá trình học tập và ôn thi, 
kết quả, nhiều em học sinh của lớp đã giải được không ít câu vận dụng cao của đề 
thi, trong đó có câu liên quan đến góc trong hình học không gian. Đặc biệt, có 
nhiều em đạt điểm trên 9 môn Toán. 
Căn cứ vào kết quả thực nghiệm, bước đầu có thể thấy hiệu quả của việc 
phát triển năng lực tư duy sáng tạo và nâng cao kỹ năng giải toán cho học sinh 
thông qua việc khai thác và sáng tạo bài toán xác định và tính góc trong không gian 
mà tôi đã đề xuất và thực hiện trong quá trình thực nghiệm. 
 50
PHẦN III. KẾT LUẬN 
3.1. Kết luận 
Đề tài đã vận dụng sáng tạo các thao tác của tư duy như tương tự hóa, khái 
quát hóa, đặc biệt hóa khai thác tìm tòi lời giải và tạo ra các bài toán mới từ bài 
toán quen thuộc có liên qua đến các loại góc trong hình học không gian. 
Đề tài đã xây dựng được một số chuỗi bài toán về hình học không gian như 
bài toán về khoảng cách, thể tích có liên qua đến yếu tố về góc. Đặc biệt là các bài 
toán xác định và tính các loại góc trong hình không gian. 
Đề tài đã chú trọng đế ba nội dung rất quan trọng là: 
Rèn luyện cho học sinh cách khai thác bài toán tính góc trong hình học 
không gian; rèn luyện cho học sinh giải một bài toán bằng nhiều cách khác nhau, 
từ đó chọn cách giải tối ưu. 
Hướng dẫn học sinh phân tích bài toán, tìm ra phương thức giải quyết sáng 
tạo, độc đáo. 
3.2. Hướng phát triển của đề tài 
Ý tưởng giải bài toán bằng nhiều cách khác nhau, tìm ra cách giải tối ưu 
cũng như cách khai thác và sáng tạo ra bài toán mới trong sáng kiến góp phần phát 
triển năng lực tư duy sáng tạo cho học sinh cũng có thể mở rộng ra cho các chủ đề 
khác của môn toán cũng như các môn khoa học tự nhiên khác. 
3.3. Bài học kinh nghiệm 
3.3.1. Đối với giáo viên 
Đề tài góp phần cho giáo viên trong quá trình giảng dạy, phát triển năng lực 
tư duy và sáng tạo cho học sinh, hướng cho học sinh có cách thức để khai thác các 
kiến thức, bài tập cơ bản hoặc bài toán có vấn đề sẽ tập dượt cho học sinh khả năng 
nghiên cứu khoa học. 
3.3.2. Đối với học sinh 
Có được cách học, cách thức khai thác kiến thức mới từ những kiến thức đã 
biết, dù có thể rất cơ bản hoặc quen thuộc. 
Học tập tích cực, chủ động, linh hoạt hơn và đặc biệt đã góp phần phát triển 
năng lực tư duy và sáng tạo cho các em, đây là một trong những nhiệm vụ rất quan 
trọng của việc dạy học môn Toán ở trường phổ thông. 
Dù bản thân đã có nhiều cố gắng, song đề tài sẽ không tránh khỏi thiếu 
sót. Kính mong Hội đồng khoa học cấp trường và Hội đồng khoa học cấp sở 
đóng góp ý kiến để đề tài được hoàn thiện hơn và ứng dụng rộng rãi trong thực 
tiễn dạy và học. 
 TÀI LIỆU THAM KHẢO 
[1]. Phạm Minh Hạc (chủ biên) (1988), Tâm lí học, NXB Giáo dục, Hà nội. 
[2]. G.Polya (1976), Sáng tạo toán học (tập 3), NXB Giáo dục. 
[3]. G.Polya (2009), Giải một bài toán như thế nào, NXB Giáo dục, Việt Nam. 
[4]. Nguyễn Thái Hòe (2004), Rèn luyện tư duy qua việc giải bài tập toán, NXB 
Giáo dục. 
[5]. Phan Thị Kim Chi (2019), “Một số biện pháp phát triển tư duy sáng tạo cho 
học sinh trung học phổ thông trong dạy học giải toán hình học không gian”, 
Tạp chí Giáo dục, Số đặc biệt, 12/2019, Tr166-170. 
[6]. Các bài tập trên nhóm Strong team VD-VDC. 
 PHỤ LỤC 
1) Sáng kiến kinh nghiệm đã được Tòa soạn Báo Toán học và Tuổi trẻ đăng số 
535 tháng 1 năm 2022 
 2) Bài tập áp dụng 
Câu 1. Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . Gọi H là trung điểm 
AB , SH a và SH ABCD . Tính là góc giữa SAC và SBC . 
Câu 2. Cho hình chóp .S ABCD đáy ABCD là hình chữ nhật. AB a , 2AD a . Cạnh bên 
SA vuông góc với đáy ABCD , 2SA a . Tính giá trị tan góc giữa hai mặt phẳng 
 SCB và SCD . 
Câu 3. Cho hình chóp .S ABCD có đáy là hình chữ nhật tâm O , cạnh AB a , 3BC a . 
Biết rằng cạnh bên SA hợp với mặt phẳng đáy ABCD một góc 60 và SO là 
đường cao của hình chóp. Tính thể tích của khối cầu ngoại tiếp khối chóp nói trên. 
Câu 4. Cho hình chóp .S ABCD , ABCD là hình chữ nhật tâm O, AB a , 3AD a . Tam 
giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Góc giữa đường 
thẳng SO và mặt phẳng đáy bằng 60 . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA 
và CM biết M là trung điểm SD . 
A. 
3
2 22
a
. B. 
3
22
a
. C. 
6
22
a
. D. 
22
a
. 
Câu 5. Cho hình chóp .S ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và D , CD a ; 
2 AB AD a . Tam giác SAD cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với 
đáy. Mặt phẳng SBC tạo với đáy một góc 60 . Gọi E là trung điểm cạnh AB . Tính 
bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp .S EBC . 
A. 
1699
540
a . B. 
2113
864
a . C. 
65
5
a . D. 
2113
584
a . 
Câu 6. Cho hình chóp .S ABC , tam giác ABC cân tại B , 3, 120AC a ABC  , tam giác 
SBC cân tại S , SB vuông góc AC , góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng 
 ABC bằng 60 . Tính sin của góc giữa hai mặt phẳng SAB và SBC . 
A.
4
7
. B.
4
5
. C.
2
5
. D.
5
8
. 
Câu 7. Cho hình hộp .ABCD ABCD có đáy là hình thoi cạnh a , góc 120ADC  , mặt 
bên DCCD là hình chữ nhật và tạo với đáy góc 60. Gọi , , ,M N P K lần lượt là 
trung điểm của , , ,AB A D CC BB . Cho biết 2AA a , hãy tính thể tích khối đa diện 
MNPKA . 
A. 
33
16
a
. B. 
39
16
a
. C. 
39
32
a
. D. 
33
32
a
. 
Câu 8. Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , cạnh bên SA vuông 
góc với đáy và SA a . Gọi ,M N lần lượt là trung điểm của các cạnh BC và SD , 
là góc giữa đường thẳng MN và mặt phẳng SAC . Giá trị tan là: 
 A. 2
3
 . B. 6
3
 . C. 6
2
 . D. 3
2
 . 
Câu 9. Cho hình chóp .S ABCD có SA vuông góc với mặt phẳng đáy, ABCD là hình chữ 
nhật có 3 , 5AD a AC a , góc giữa hai mặt phẳng SCD và ABCD bằng 45 . 
Khi đó cos của góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng SBC bằng 
A. 119
12
. B. 2 2
5
. C. 17
5
. D. 
5
12
. 
Câu 10. Cho hình chóp .S ABCD có đáy là hình thang với //AD BC và 2AD BC . Gọi M , 
N , P lần lượt là trung điểm của các cạnh SA , BC , CD . Điểm Q thỏa mãn 
2SQ QD 
  
. Gọi V , V lần lượt là thể tích của khối chóp .S ABCD và khối tứ diện 
MNPQ . Khi đó V
V
 bằng 
A. 
1
6
. B. 1
8
. C. 
1
12
. D. 
1
24
. 
Câu 11. Cho hình chóp .S ABCD có thể tích bằng 336 2a , 6 ,AB a tam giác SAB đều, tứ 
giác ABCD là hình bình hành. Gọi I là điểm thuộc đường thẳng SB sao cho 
2
5
SI SB 
  
, E là điểm thuộc đường thẳng SC sao cho 
2
3
SE SC 
  
, gọi H là trọng tâm 
tam giác ACD . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AI và HE . 
A. 4 2
3
a . B. 4 6
3
a . C. 4 3
2
a . D. 6 3a . 
Câu 12. Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D . Biết 
4 AB a , 2 AD CD a . Cạnh bên 3 SA a và SA vuông góc với mặt phẳng đáy. 
Gọi G là trọng tâm tam giác SBC , M là điểm sao cho 2 
  
MA MS và E là trung 
điểm cạnh CD ( tham khảo hình vẽ). Tính thể tích V của khối đa diện MGABE . 
A. 
327
8
a
. B. 
310
3
a
. C. 
313
4
a
. D. 
325
9
a
. 
M
N
P
A
D
B C
S
Q
Câu 13. Cho hình hộp .ABCD A B C D các điểm ,I K thỏa mãn: 2 0ID IA 
  
, 
3 0KA KD 
  
, E là giao điểm của CD và C D , M là trung điểm của CD . Tam 
giác ABC là tam giác đều cạnh a , mặt phẳng IBD vuông góc với mặt phẳng 
 ABCD . Diện tích tam giác IBD bằng 26 3a . Gọi ;G G lần lượt là trọng tâm tứ 
diện MBB A và AIE . Khoảng cách giữa hai đường thẳng GG và CK bằng 
 A. 6a . B. 12a . C. 4a . 
 D. 3a . 
Câu 14. Cho hình lăng trụ tam giác đều .ABC A B C có độ dài cạnh đáy bằng a . Gọi là 
góc giữa đường thẳng BC và mặt phẳng A BC . Khi sin đạt giá trị lớn nhất, tính 
thể tích của khối lăng trụ đã cho. 
A.
36
4
a . B. 
33
4
a . C. 
34 12
4 3
a . D. 
34 27
4 2
a . 
Câu 15. Gọi 0S là diện tích mặt cầu S ngoại tiếp hình chóp .S ABCD . Cho biết 
 5 2; 6; 2 5; 3 10; , ,AB BC CD AD d B AC d D AC . Khi 0S đạt giá trị 
nhỏ nhất thì giá trị lớn nhất của thể tích khối chóp .S ABCD bằng 
A. 42 . B. 70 . C. 56 . D. 77 . 
Câu 16. Cho hình lăng trụ tam giác .ABC A B C , biết hình chóp .A ABC là hình chóp tam 
giác đều cạnh bằng a , A BC AB C  . Tính thể tích khối lăng trụ .ABC A B C 
theo a . 
Câu 17. Cho hình lập phương .ABCD A B C D . Gọi ,M N là trung điểm của các cạnh 
,AD CD và P là điểm nằm trên cạnh BB sao cho 3BP PB (như hình vẽ dưới). 
 Mặt phẳng MNP chia khối lập phương thành hai khối lần lượt có thể tích 1 2,V V . 
Biết khối có thể tích 1V chứa điểm A . Tính tỉ số 1
2
V
V
A. 1
2
1
4
V
V
 . B. 1
2
25
71
V
V
 . C. 1
2
1
8
V
V
 . D. 1
2
25
96
V
V
 . 
Câu 18. Cho hình chóp .S ABCD có đáy là hình bình hành, thể tích là V . Gọi , , ,M N P Q lần 
lượt là trọng tâm các mặt , , ,SAB SBC SCD SDA của hình chóp; O là giao điểm của 
,AC BD . Tính theo V thể tích khối chóp .O MNQ . 
Câu 19. Cho tứ diện ABCD có , 2 AB a CD a , góc giữa hai đường thẳng AD và BCbằng 
60, ABD vuông tại A; ABC vuông tại B. Khi thể tích khối tứ diện ABCD lớn 
nhất, tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD. 
A. 3a . B. 3
2
a
. C. 
2
a . D. 3
2
a . 
Câu 20. Cho hình chóp .S ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng 6 . Biết rằng các 
mặt bên của hình chóp có diện tích bằng nhau và một trong các cạnh bên bằng 3 2 . 
Tính thể tích nhỏ nhất của khối chóp .S ABC . 
A. 4 . B. 3. C. 2 2 . D. 2 3 .