Sáng kiến kinh nghiệm Góp phần phát triển tư duy cho học sinh thông qua một số bài toán về chủ đề hàm số hợp trong chương trình giải tích THPT lớp 12

khả 
năng tạo ra cái mới. 
Nhiều em học sinh ở các lớp thực nghiệm đã giải được nhiều bài toán thuộc 
chủ đề hàm hợp trong các kỳ thi THPT quốc gia những năm trước, kỳ thi thử 
TNTHPT sau khi các em đã được giảng dạy theo nội dung của sáng kiến. 
Tôi áp dụng đề tài này đối với học sinh lớp 12A1, 12A3 và 12A5 làm lớp 
đối chứng ở năm học trước 2020-2021 đã thu được kết quả bài kiểm tra như sau: 
Khi chưa áp dụng sáng kiến: 
50 
Lớp 
Số 
HS 
 Điểm 9-10 Điểm 7-8 Điểm 5-6 Điểm <5 
SL TL(%) SL TL(%) SL TL(%) SL TL(%) 
12A1 42 1 2,4% 15 35,7% 16 38,1% 10 23,8% 
12A3 44 3 6,8% 20 45,5% 17 38,6% 4 9,1% 
12A5 41 1 2,4% 10 24,4% 15 36,6% 15 36.6% 
Sau khi áp dụng sáng kiến 
Lớp 
Số 
HS 
 Điểm 9-10 Điểm 7-8 Điểm 5-6 Điểm <5 
SL TL(%) SL TL(%) SL TL(%) SL TL(%) 
12A1 42 5 11,9% 20 47,6% 17 40,5% 0 0% 
12A3 44 9 20,5% 26 59% 9 20,5% 0 0% 
12A5 41 2 4,9% 13 31,7% 15 36,6% 11 26,8% 
Tôi áp dụng đề tài này đối với học sinh lớp 12T1, 12B và 12T2 làm lớp đối 
chứng ở năm học trước 2021-2022 đã thu được kết quả bài kiểm tra như sau: 
Khi chưa áp dụng sáng kiến: 
Lớp 
Số 
HS 
 Điểm 9-10 Điểm 7-8 Điểm 5-6 Điểm <5 
SL TL(%) SL TL(%) SL TL(%) SL TL(%) 
12T1 44 2 4,5% 17 38,6% 15 34,1% 10 22,8% 
12B 39 0 0% 9 23,1% 11 28,2% 19 48,7% 
12T2 42 1 2,4% 11 26,2% 18 42,9% 12 28,5% 
Sau khi áp dụng sáng kiến 
Lớp 
Số 
HS 
 Điểm 9-10 Điểm 7-8 Điểm 5-6 Điểm <5 
SL TL(%) SL TL(%) SL TL(%) SL TL(%) 
12T1 44 7 15,9% 22 44,9% 15 39,2% 0 0% 
12B 39 3 7,7% 17 43,6% 16 41% 3 7,7% 
12T2 42 2 4,8% 15 35,7% 15 35,7% 10 23,8% 
51 
Căn cứ vào kết quả thực nghiệm, bước đầu có thể thấy hiệu quả của việc rèn 
luyện tư duy và năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh thông qua dạy học chủ đề 
hàm hợp mà tôi đã đề xuất và thực hiện trong quá trình thực nghiệm. 
Qua kỳ thi TNTHPT năm học 2020 – 2021 cho thấy, nhiều em đạt điểm thi 
môn Toán trên 9,0 điểm, có một học sinh đạt 9,6; 9,8 điểm. Đặc biệt có rất nhiều 
em giải được bài liên quan đế chủ đề hàm số ở mức độ vận dụng cao trong đề thi 
TNTHPT năm 2021. 
Phần III. KẾT LUẬN 
1. Đề tài đã giải quyết đƣợc vấn đề sau 
- Củng cố cho học sinh các chuẩn kiến thức, kỹ năng của chuyên đề hàm số thuộc 
chương trình giải tích lớp 12. 
- Hình thành kỹ năng giải toán hàm hợp cho học sinh qua đó góp phần phát 
triển tư duy và năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh lớp 12. 
- Giúp học sinh xây dựng các bài toán mới về chủ đề hàm hợp qua đó góp 
phần phát triển tư duy và năng lực sáng tạo cho học lớp 12. 
- Như vậy đề tài đã góp phần phát triển tư duy và năng lực giải quyết vấn đề 
cũng như góp phần phát triển năng lực sáng tạo, đây là các năng lực đặc thù của 
bộ môn Toán mà chúng ta cần rèn luyện cho học sinh theo chương trình GDPT 
mới năm 2018. 
- Đã tổ chức thực nghiệm sư phạm để minh hoạ cho tính khả thi và hiệu quả 
của sáng kiến. 
2. Hƣớng phát triển của đề tài 
Đề tài có thể phát triển lên theo hướng tiếp tục nghiên cứu các bài toán có 
dạng khác của hàm hợp và các hàm phức tạp hơn. 
3. Một số kinh nghiệm rút ra 
3.1. Đối với giáo viên 
Cần chủ động, tích cực tìm hiểu, nghiên cứu chương trình GDPT mới năm 
2018 thông qua việc học tập nghiêm túc các nội dung BDTX theo các Mô đun do 
Sở GD&ĐT tổ chức. 
Tăng cường đổi mới phương pháp dạy học, tìm tòi và kiểm tra đánh giá theo 
định hướng phát triển phẩm chất và năng lực người học. 
Rèn luyện cho học sinh thói quen, tính kỉ luật trong việc thực hiện các kĩ 
năng giải toán thông qua việc luyện tập; nhằm khắc phục tính chủ quan, hình thành 
52 
tính độc lập, tính tự giác ở người học, thông qua đó hình thành và phát triển phẩm 
chất và năng lực của các em học sinh. 
Phải thường xuyên học hỏi trau dồi chuyên môn để tìm ra phương pháp dạy 
học phù hợp. 
Phải nhiệt tình, gương mẫu quan tâm tới học sinh, giúp đỡ các em để các em 
không cảm thấy áp lực trong học tập, đạc biệt là khi các em đứng trước những bài 
toán có tính chất phức tạp. 
Luôn tạo ra tình huống có vấn đề, kích thích hứng thú tìm tòi học tập ở học 
sinh. 
Đặt ra câu hỏi gợi mở phù hợp với đối tượng học sinh. 
Rèn luyện tư duy tương tự hóa, khái quát hóa và đặc biệt hóa cho học sinh, 
giúp các em có cách nhìn nhận vấn đề một cách bao quát, cụ thể, có tính hệ thống, 
từ đó làm “ mềm” các dạng bài toán và giải quyết vấn đề nhanh hơn, có tính lôgic 
cao hơn... 
3.2. Đối với học sinh 
Việc học tập theo định hướng trên giúp học sinh: 
Không còn bỡ ngỡ, có cách tiếp cận và có kỹ năng tốt hơn trong việc giải 
các bài toán về chủ đề hàm hợp, hình thành cho bản thân năng lực giải quyết vấn 
đề. 
Biết cách sáng tạo bài toán mới từ những kiến thức đã biết, hình thành cho 
bản thân năng lực sáng tạo. 
4. Kiến nghị 
Bài toán thuộc chủ đề hàm hợp thường xuất hiện trong các đề thi kỳ thi 
TNTHPT đặc biệt là các kỳ thi HSG. Các bài toán này không được đề cập trong 
SGK và SBT hiện hành mà thường xuất hiện trong các tài liệu tham khảo. Đề tài 
này góp phần hệ thống lại chủ đề hàm hợp và đưa ra một số hướng giúp các em 
học sinh xây dưng bài toán mới. Đề tài có thể đưa vào giảng dạy lồng ghép trong 
tiết tự chọn khi luyện tập về chủ đề hàm hợp, phù hợp với đối tượng học sinh khá 
giỏi; góp phần nâng cao chất lượng, kết quả học tập bộ môn Toán, đặc biệt là kết 
quả thi TNTHPT sắp tới. 
Tuy đã cố gắng nỗ lực, song do năng lực chuyên môn và thời gian thực hiện 
có hạn nên đề tài chỉ đạt được một số kết quả mang tính minh họa, các ví dụ còn 
chưa đa dạng. Bên cạnh đó, đề tài không tránh khỏi những thiếu sót, kính mong 
quý thầy cô, đồng nghiệp góp ý. 
Chúng tôi xin chân thành cảm ơn! 
53 
PHỤ LỤC 1. 
BÀI TẬP TỰ LUYỆN 
Bài 1: (Câu 34 - MĐ 104 - BGD&ĐT - Năm 2019) Cho hàm số , có bảng 
xét dấu như sau: 
Hàm số đồng biến trên khoảng nào dưới đây? 
A. . B. . C. . D. . 
Bài 2: Cho hàm số . Hàm số có 
đồ thị như hình vẽ dưới đây. 
Hàm số đồng biến trên khoảng: 
A. . B. . 
C. . D. . 
Bài 3 : Cho hàm số . Biết hàm số 
 có đồ thị như hình vẽ bên. 
Hàm số đồng biến trên khoảng 
nào dưới đây? 
 A. . B. . 
 C. . D. . 
Bài 4: Cho hàm số . Biết hàm số 
 có đồ thị như hình vẽ bên dưới. 
Hàm số đồng biến trên khoảng 
A. . B. . 
C. . D. . 
Bài 5 : Cho hàm số . Hàm số 
 có đồ thị như hình vẽ. 
Hàm số đồng biến trên 
khoảng: 
A. . B. 
. 
C. . D. . 
 f x
 f x 
 5 2y f x 
 ; 3 4;5 3;4 1;3
 y f x y f x 
 12 xfy
 1;1 ; 2 
 0;1 1; 2
 y f x 
 y f x 
 22 3y f x x 
1
;
2
1
;
3
1
2;
2
1 1
;
3 2
 y f x 
 y f x 
 23y f x 
 2; 1 1;0 
 0;1 2;3
 y f x 
 y f x 
 2 xy f e 
 0;ln3
 2; 
 ;1 1;4
54 
Bài 6: số có dạng như hình vẽ bên 
dưới. 
Hàm số nghịch biến trên khoảng 
nào trong các khoảng sau: 
A. . B. . C. . D. . 
Bài 7: Cho hàm số xác định và có đạo hàm trên . Hàm số có bảng 
biến thiên như sau: 
Hỏi hàm số luôn nghịch biến trên khoảng 
nào sau đây? 
A. . B. . C. D. . 
Bài 8: Cho hàm số có đồ thị của hàm số 
 được cho như hình bên. Hàm số 
 nghịch biến trên khoảng 
A. . B. . 
C. . D. . 
Bài 9: bảng xét dấu của đạo hàm như sau: 
x 1 2 3 4 
'( )f x 0 + 0 0 0 
Hàm số đồng biến trên khoảng nào dưới đây? 
A. . B. . C. . D. . 
Bài 10: (Câu 46 - MĐ 104 - BGD&ĐT - 
Năm 2018) Cho hai hàm số , 
. Hai hàm số và 
có đồ thị như hình vẽ dưới đây, trong đó 
đường cong đậm hơn là đồ thị hàm số 
. Hàm số 
đồng biến trên khoảng nào dưới đây? 
 y f x 
2
y f x 
 1;2 2; 1 1;1 
3
1;
2
 f x f x 
5 31 4
4 2021
5 3
g x f x f x f x 
 ;5 ;1 1; ; 
 y f x 
 y f x 
 22 2y f x x 
 3; 2 2; 1 
 1; 0 0; 2
 33 2 3y f x x x 
 1; ; 1 1;0 0;2
( )y f x 
( )y g x ( )y f x ( )y g x 
( )y g x 
5
( ) ( 6) 2
2
h x f x g x
55 
A. B. C. D. 
Bài 11. Cho hàm số xác định trên và hàm 
số có đồ thị như hình vẽ. Tìm số điểm cực 
trị của hàm số . 
A. . B. . C. . D. . 
Bài 12. Cho hàm số có đạo hàm 
liên tục trên . Đồ thị hàm số 
như hình vẽ sau: 
Số điểm cực trị của hàm số 
là: 
A. . B. . C. . D. . 
Bài 13. Cho đồ thị hàm số như 
hình vẽ dưới đây: 
Gọi là tập tất cả các giá trị nguyên 
dương của tham số để hàm số 
 có điểm cực trị. 
Tổng tất cả các giá trị của các phần tử của 
tập bằng: 
 A. . B. . C. . D. . 
Bài 14. Cho hàm số với đạo hàm 
có đồ thị như hình vẽ. Hàm số 
 đạt cực đại tại điểm 
nào? 
A. . B. . C. . D. . 
Bài 15. Cho hàm số bậc bốn 
có đồ thị như hình dưới đây 
Số điểm cực trị của hàm số 
 là 
A. B. 
21
;
5
1
;1
4
21
3;
5
17
4;
4
 y f x 
 y f x 
 2 3y f x 
3 2 5 4
 y f x 
 y f x 
 5y f x x 
2 3 4 1
 y f x 
S
m
 2
1
2018
3
y f x m 5
S
7 6 5 9
 f x f x 
3
2 2
3
x
g x f x x x 
0x 2x 1x 1x 
 y f x 
 3 23g x f x x 
5. 3.
56 
C. D. 
Bài 16. (Đề tốt nghiệp THPT đợt 2 năm 
2020 - mã đề 101) Cho hàm số có 
. Biết là hàm bậc bốn và có 
đồ thị là đường cong trong hình bên. Số điểm 
cực trị của hàm số là 
A. . B. . C. . D. . 
Bài 17. (Câu 44) (BGD - Đợt 1 - Mã đề 103 - 2020) Cho hàm số bậc 4 có bảng 
biến thiên như hình vẽ 
Số điểm cực trị của hàm số là 
A. . B. . C. . D. . 
Câu 18. (Câu 46 - Đề Tham Khảo BGD - 2021) Cho hàm số là hàm số bậc 
bốn thoả mãn . Hàm số có bảng biến thiên như sau: 
Hàm số có bao nhiêu điểm cực trị? 
A. . B. . C. . D. . 
Bài 19. (Câu 45 - Đề - BGD - 2020 - Đợt 2 - 
Mã đề - 104 ) Cho hàm số với 
. Biết là một hàm số bậc bốn 
và có đồ thị là đường cong như hình dưới đây 
Số điểm cực trị của hàm số là 
A. . B. . C. . D. . 
Bài 20. Cho hàm số , bảng biến thiên của hàm số như sau: 
7. 11.
 f x
 0 0f y f x 
 3g x f x x 
5 6 4 3
24 1g x x f x 
7 5 9 11
 f x
 0 0f f x 
 3 3g x f x x 
3 5 4 2
 y f x 
 0 0f y f x 
 4 2g x f x x 
3 6 5 4
 f x f x 
57 
Số điểm cực trị của hàm số là 
A. . B. . C. . D. . 
Bài 21. Cho hàm số có đạo hàm liên 
tục trên , đồ thị của hàm số như 
hình vẽ bên. 
Giá trị nhỏ nhất của hàm số 
trên đoạn bằng: 
A. B. . 
C. . D. 
Bài 22. Cho hàm số có đồ thị của đạo hàm như 
sau: Giá trị lớn nhất của hàm số 
trên đoạn bằng 
A. . B. . C. . D. . 
Bài 23. Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ 
bên dưới: 
Khi đó, giá trị lớn nhất của hàm số trên 
đoạn là 
A. . B. . C. . D. . 
Bài 24. Cho hàm số liên tục trên và có đồ 
thị của đạo hàm như hình dưới đây. 
Trên đoạn , hàm số đạt 
giá trị nhỏ nhất tại điểm nào trong các điểm sau đây? 
A. . B. . 
C. . D. . 
 24 4y f x x 
9 5 7 3
 y f x 
 'y f x 
2
2 1g x f x x  1;2 
 2 0 1f 2 1 4.f 
 2 1 .f 2 2 1.f 
 f x
 22 sing x f x x 
 1;1 
 2
1
1 sin
2
f 22 sin 1f 0f 2
1
1 sin
2
f 
 y f x 
 22g x f x 
0; 2 
0; 2
max 0g x f 
0; 2
max 1g x f 
0; 2
max 2g x f 
0; 2
max 2g x f
 f x
 y f x 
 3;4 22 1g x f x x 
0 4x 0 3x 
0 1x 0 3x 
58 
Bài 25. Cho hàm số có bảng biến thiên trên đoạn như hình vẽ. 
Có bao nhiêu giá trị của tham số trên đoạn sao cho giá trị lớn nhất của 
hàm số trên đoạn bằng ? 
A. . B. . C. . D. . 
Bài 26. Cho hàm số xác định trên có bảng biến thiên như hình vẽ. 
Số nghiệm của phương trình là 
A. . B. . C. . D. . 
Bài 27. Cho hàm số bậc ba có đồ 
thị là đường cong như hình vẽ sau: 
Số nghiệm thực của phương trình 
 là. 
A. . B. . 
C. . D. . 
Bài 28. Cho hàm số 
có đồ thị 
hình dưới đây. Hỏi phương trình 
có bao 
nhiêu nghiệm? 
A. . B. . C. . D. . 
Bài 29. Cho hàm số bậc bốn có đồ thị như 
hình vẽ bên: Số nghiệm của phương trình 
 là 
A. 2 B. 3 C. 5 D. 4 
 y f x  4;4 
m  4;4 
 3 3y f x x f m  1;1 1
2 3 4 5
y f x \ 0
( ) 3 0f x
3 2 0 1
 y f x 
 2 5 0f x 
1 0
3 2
 4 2y f x ax bx c 
 2 1f x 
2 1 3 0
 f x
 5 1 2 1 12 0f x x 
59 
Bài 30. Xét tất cả các số thực và 
hàm số đa thức có đồ thị như hình vẽ bên: 
Đặt . Số nghiệm thực phân biệt 
của phương trình
 là 
A. . B. . 
C. . D. . 
, (0;1)a b
( )f x
( ) ( ( ))g x f f x
( ) ( )( ). ( ). ( ) ( )g x f xf x a g x b f x g x
14 10
12 17
60 
PHỤ LỤC 2. 
ĐỀ KIỂM TRA THỰC NGHIỆM 
Thời gian làm bài: 45 phút ( gồm 15 câu hỏi trắc nghiệm). 
Câu 1. Cho hàm số y f x có đạo hàm 
2 3
' 1 1 2f x x x x . Hàm số y f x 
đồng biến trên khoảng nào dưới đây? 
A. 1;1 . B. 2; . C. ;1 . D. 1;2 . 
Câu 2. Cho hàm số f x liên tục trên , có bảng xét dấu f x như sau: 
Số điểm cực trị của hàm số trên khoảng 3; là 
 A. 1. B. 4 . C. 3 . D. 2 . 
Câu 3. Cho hàm số y f x xác định và liên tục 
trên đoạn 
7
0; 
2
có đồ thị hàm số y f x như 
hình vẽ. 
Hỏi hàm số y f x đạt giá trị nhỏ nhất trên đoạn 
7
0; 
2
 tại điểm 0x nào dưới đây? 
A. 0 2x . B. 0 1x . C. 0 0x . D. 0 3x . 
Câu 4. Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như sau: 
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình f x m có ba nghiệm phân 
biệt. 
A. 2m . B. 2 4m . C. 2 4m . D. 4m . 
Câu 5. Cho hàm số f x , bảng xét dấu của f x như sau: 
Hàm số 3 2y f x đồng biến trên khoảng nào dưới đây? 
61 
A. 3;4 . B. 2;3 . C. ; 3 . D. 0;2 . 
Câu 6. Cho hàm số y f x có bảng biên thiên như hình vẽ 
Hàm số 2
5 3
2
2 2
g x f x x
 nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau? 
A. 
1
1;
4
. B. 
1
;1
4
. C. 
9
;
4
. D. 
5
1;
4
. 
Câu 7. Cho hàm số . Hàm số có đồ 
thị như hình bên 
Hàm số 
3
1 3
3
x
g x f x x nghịch biến 
trên khoảng nào dưới đây? 
A. 2;0 . B. 1;2 . C. 0;4 . D. 1;5 . 
Câu 8. Cho hàm số f x liên tục trên và có bảng xét dấu f x như sau: 
Hàm số 2 1g x f x có số điểm cực tiểu là 
 A. 1. B. 0 . C. 3 . D. 2 . 
Câu 9. Cho hàm số f x , bảng biến thiên của hàm số f x như sau 
Số điểm cực trị của hàm số 2 2 2y f x x là 
 A. 7 . B. 3 . C. 9 . D. 5 . 
 f x y f x 
62 
Câu 10. Cho hàm số bậc bốn y f x có 
đồ thị hàm số f x như hình vẽ. Số điểm 
cực trị của hàm số 2sin 1g x f x 
trên khoảng 0;2 là 
A. 5. B. 6. C. 4. D. 8. 
Câu 11. Cho hàm số bậc bốn y f x có 
đồ thị như hình vẽ. Số điểm cực trị của 
hàm số 
2
1g x x f x là 
A. 13. B. 6. C. 11. D. 9. 
Câu 12. Cho hàm số đa thức y f x có 
đồ thị hàm số f x như hình vẽ. Số điểm 
cực trị của hàm số 
 33 2cos 2cos 6cosg x f x x x trên 
khoảng 0;2 là 
 A. 3. B. 6. C. 4. D. 5. 
Câu 13. Cho hàm số f x bậc bốn. Biết 0 0f và 
đồ thị hàm số f x như hình vẽ bên: 
Giá trị nhỏ nhất của hàm số 22 4 4g x f x x x 
trên đoạn 
1 3
;
2 2
 bằng 
A. 
63
4
 . B. 
9
4
. C. 
15
4
 . D. 
1
4
 . 
Câu 14. Cho hàm số y f x có đồ thị y f x như 
hình vẽ. Xét hàm số 
 3 2
1 3 3
2018
3 4 2
g x f x x x x . Mệnh đề nào 
dưới đây đúng? 
A. 
 
3; 1
min 1g x g
 . B. 
 
3; 1
min 1g x g
C. 
 
3; 1
min 3g x g
 D. 
 
3; 1
3 1
min
2
g g
g x
63 
Câu 15. Cho hàm số đa thức f x có đồ thị như hình 
vẽ bên: Số nghiệm của phương trình 
 24 4 1 f x x x là: 
A. 6 . B. 4 . 
C. 8 . D. 5 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
[1]. Các đề thi minh họa, đề thi tham khảo, đề thi chính thức; các đề thi thử 
THPTQG, TNTHPT trên toàn quốc qua các diễn đàn. 
[2]. Chương trình giáo dục phổ thông môn Toán năm 2018. 
 [3]. Polya G (1995), Giải một bài toán như thế nào. Nhà xuất bản Giáo dục, Hà 
Nội. 
[4]. Polya G (1997), Sáng tạo toán học (bản dịch), Nhà xuất bản Giáo dục, Hà Nội. 
[5]. SGK Giải tích 12. 
[6]. Sách Bài tập Giải tích 12. 
[7]. Tài liệu từ các trang mạng trên Internet.