Sáng kiến kinh nghiệm Góp phần phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học cho học sinh thông qua bài toán hình học không gian

AB DBC DAC DAB DBC DACS S S S S S s 
Do đó 3.DAB DBC DACS S S s 
Suy ra 3 1 .tp DAB DBC DAC ABCS S S S S s . 
Dấu bằng xảy ra khi DAB DBC DACS S S DA DB DC . 
38 
Bài toán 14. Cho hình hộp đứng . ’ ’ ’ ’ABCD A B C D có đáy ABCD là hình vuông, 
'AA AB a . Gọi G là trung điểm 'BD , một mặt phẳng P thay đổi luôn đi qua 
G cắt các đoạn thẳng ', ', ' 'AD CD D B tương ứng tại , ,H I K . Tìm giá trị lớn nhất 
của biểu thức 1 1 1
' . ' ' . ' ' . '
T
D H D I D I D K D K D H
 . 
( Trích đề HSG Khối 12 Tỉnh Hải Dương Năm học 2018-2019) 
Phân tích định hướng giải 
Dựa vào kết quả phân trên, ta được hệ thức 1 1 1 2 2
' ' 'D I D K D H a
 , kết hợp 
với BĐT 21( ) ( )
3
ab bc ca a b c ta có thể tìm được kết quả quả bài toán. 
Lời giải 
Vì 'AA AB a nên . ' ' ' 'ABCD A B C D là hình lập phương có G là trung điểm 
'BD nên G là tâm của . ' ' ' 'ABCD A B C D . Gọi , E F lần lượt là tâm ' 'ADD A và 
' 'BB C C , E F lần lượt là trung điểm 'A D và 'B C ;G là trung điểm EF 
 1' ' 2 2 0 ' ' D'C D'B'4GA GB GC GD GE GF D G D A 
          
' ' ' '4 ' . ' . ' . '
' ' '
D A D C D BD G D H D K D I
D H D K D I
    
2 2 2' . ' . ' . '
4 ' 4 ' 4 '
a a aD G D I D K D H
D I D K D H
    
(1) 
Vì 4 điểm , , , H I K G đồng phẳng nên 
. ' ' ( ' ' ) ( ' ' )GH kGI l GK D H D H k D I D G l D K D G 
         
1' . ' . ' . '
1 1 1
k lD G D I D K D H
k l k l k l
    
(2) 
do ' , ' , 'D I D K D H
   
 không đồng phẳng nên từ (1) và (2) ta được: 
39 
 2 2 2 1
4 ' 4 ' 4 '
a a a
D I D K D H
 . Áp dụng BĐT 21( ) ( )
3
ab bc ca a b c ta có 
2
2
1 1 1 1 1 1 1 8( )
' . ' ' . ' ' . ' 3 ' ' ' 3
T
D H D I D I D K D K D H D I D H D K a
2
8 3 2' ' '
3 4
aT D H D I D K
a
 .
Nghĩa là mặt phẳng ( )P đi qua G và 
song song với mặt phẳng ( )ABC . Vậy GTLN của T bằng 2
8
3a
. 
Bài toán 14. Cho tứ diện đều ABCD có đường cao AH . Mặt phẳng P chứa AH 
cắt ba cạnh , ,BC CD BD lần lượt tại , ,M N P ; gọi ; ;   là góc hợp bởi , ,AM AN 
AP với mặt phẳng BCD . Chứng minh: 2 2 2tan tan tan 12   . 
( Trích đề HSG Tỉnh Bắc Ninh lớp 11 Năm học 2018-2019) 
Phân tích định hướng giải 
Ta thấy 2 2 2tan tan tan 12   tương đương với 2 2 2 2
1 1 1 18
MH NH PH a
 . 
Từ đây, ta tìm cách liên hệ độ dài , , MH NH PH với a để chứng minh đẳng thức. 
Lời giải 
Gọi a là độ dài cạnh tứ diện ABCD khi đó 2
3
AH a . Đẳng thức cần chứng 
minh 2 2 2tan tan tan 12   tương đương với 2 2 2 2
1 1 1 18
MH NH PH a
Xét tam giác BCD , từ H kẻ , , HI HJ HK vuông góc với , , BC CD BD . Không 
mất tính tổng quát, ta có thể giả sử M thuộc đoạn BI và gọi 1 2 3, , lần lượt là 
ba góc hợp bởi , , HM HN HP với ba cạnh , , BC CD BD . 
Ta có tam giác HMI và HNJ vuông tại I và J nên tứ giác HICJ nội tiếp 
 0120IHJ 01 3 120 . 
40 
Mặt khác tổng ba góc của tam giác BMP bằng 0180 nên 
  0180BMP BPM B 0 0 01 3 1 3(180 ) 60 180 60 . Từ đó suy 
ra 2 2 21 2 32 2 2 2
1 1 1 12 (sin sin sin )
HM HN PH a
2 2 0 2 0
1 1 12
12 [sin sin (120 ) sin ( 60 )
a
0 0
1 1 12
6 [1 cos2 1 cos2(120 ) 1 cos2( 60 )]
a
1 1 1 1 12 2
6 1 1 1 1 18[3 cos2 cos2 sin 2 cos2 sin 2 ]
2 2 2 2a a
Vậy 2 2 2tan tan tan 12   . 
Bài toán 16. Cho hình lập phương . ' ' ' "ABCD A B C D . Một mặt phẳng ( )P cắt các 
tia , , ', 'AB AD AA AC lần lượt tại , , , M N P Q , gọi H là hình chiếu của A lên 
( )P . Chứng minh rằng 3AQ AH . 
( Trích đề HSG Hà Nội Lớp 12 Năm học 2018-2019) 
Phân tích định hướng giải 
 Dựa vào kết quả phần trên, ta có hệ thức: 3 1 1 1
AQ AM AN AP
 , kết hợp với hệ 
thức quen thuộc 2 2 2 2
1 1 1 1
AH AM AN AP
 . Từ đây, ta đưa ra lời giải. 
Lời giải 
Theo quy tăc hình hộp, ta có: 
' '' ' . . . .AC AB AD AAAC AB AD AA AQ AM AN AP
AQ AM AN AP
        
. 
Mà , , , M N P Q đồng phẳng nên 
' ' 3 1 1 1AC AB AD AA
AQ AM AN AP AQ AM AN AP
 (Vì 'AC là đường chéo hình 
lập phương . ' ' ' 'ABCD A B C D nên 1' '
3
AB AD AA AC ). 
 Dễ dàng chứng minh kết quả quen thuộc của tứ diện vuông 
2 2 2 2
1 1 1 1
AH AM AN AP
 . Mà 22 2 2
1 1 1 1 1 1( )
AM AN AP AM AN AP
1 1 1 1 3 3AQ AH
AH AM AN AP AQ
 . 
41 
Bài toán 17. Trong không gian cho bốn điểm , , , A B C D theo thứ tự đó năm 
đường thẳng . Điểm M thay đổi không nằm trên đường thẳng thỏa mãn 
 AMB CM D . Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tam giác MAD . 
Phân tích định hướng giải 
Ta có 1 .
2MAD
S MH AD nên MADS đạt giá trị lớn nhất khi M H đạt giá trị lớn 
 nhất. Từ ,AMB CM D ta khai thác yếu tố hình học liên quan đến điểm M và 
dẫn đến MA k
MD
 (k cố định). Từ đó suy ra M thuộc một đường tròn cố định. 
Lời giải 
Ta có 1 1. .sin .
2 2MAB
S MA MB AMB MH AB 
 1 1. .sin .
2 2MCD
S MC MD CMD MH BD . Suy ra .
.
MA MC AB
MB MD CD
 (1) 
Mặt khác, ta có: 
 1 1. sin .
2 2MAC
S MA MC AMC MH AC 
 1 1. .sin .
2 2MBD
S MB MD BMD MH BD . Suy ra .
.
MA MC AC
MB MD BD
 (2) 
Từ (1), (2) suy ra 2 . .( )
. .
MA AB AC MA AB AC
MD CD BD MD DC DB
 . 
Ta lấy điểm , E F lần lượt thỏa mãn: 
42 
. .AB ACMA MD
DC DB
  
 và . .AB ACMA MD
DC DB
  
nên , E F là hai điểm cố định. Ta cũng cũng chứng minh được 090FM E hay M 
nằm trên đường tròn đường kính EF
2
EFMH . Mặt khác, ta có 
1 1. .
2 4MAD
S M H AD EF AD , dấu bằng xẩy ra khi 
2
EFMH . 
Vậy GTLN của MADS là 
.
4
EF AD . 
3. Khảo sát tính cấp thiết và tính khả thi của các giải pháp đề xuất 
3.1. Mục đích khảo sát 
Nhằm xác định tích cấp thiết và khả thi của các giải pháp biết được các đánh 
giá của các đồng nghiệp khi áp dụng đề tài, từ đó tiếp tục hoàn thiện đề tài 
3.2. Nội dung khảo sát 
Nội dung khảo sát tập trung vào 2 vấn đề chính sau: 
- Các giải pháp được đề xuất có thực sự cấp thiết đối với vấn đề nghiên cứu 
hiện nay hay không? 
- Các giải pháp được đề xuất có khả thi đối với vấn đề nghiên cứu hiện tại 
không? 
3.3. Phương pháp khảo sát 
- Phương pháp được sử dụng để khảo sát trao đổi bằng bảng hỏi thông qua 
phần mềm Google Form qua đường link với câu hỏi theo 4 thang đánh giá 4 mức 
(Tương ứng với 4 mức tương ứng vơi điểm số 1 đến 4). 
Mức Tính cấp thiết Tính khả thi 
1 Không cấp thiết Không khả thi 
2 Ít cấp thiết Ít khả thi 
3 Cấp thiết Khả thi 
4 Rất cấp thiết Rất khả thi 
- Tính trung bình X bằng phần mềm phần mềm Microsoft Excel 2010. 
43 
- Giá trị khoảng cách – 4 1 0.
4
75=
4
Maximum Minimum 
Chúng ta có bảng sau thể hiện đoạn giá trị điểm thuộc các mức khảo sát: 
Đoạn giá trị Tính cấp thiết Tính khả thi 
 1;1,75 Không cấp thiết Không khả thi 
 1,76;2,51 Ít cấp thiết Ít khả thi 
 2,52;3,27 Cấp thiết Khả thi 
 3,28;4 Rất cấp thiết Rất khả thi 
3.4. Đối tượng khảo sát 
TT Đối tượng Số lượng 
1 Giáo viên Toán THPT 28 
 Σ 28 
3.4.1. Tính cấp thiết của các giải pháp đề xuất 
Kết quả thể hiện trong bảng sau: 
TT Các giải pháp 
Các thông số 
X Mức 
1 Khai thác và sáng tạo bài toán xuất phát từ kết quả bài toán đẳng thức hình học quen thuộc 3.39 Rất cấp thiết 
2 Phân tích định hướng giải một số bài toán 3.25 Cấp thiết 
 Điểm trung bình chung 3.32 Rất cấp thiết 
Từ kết quả trên chúng ta nhận thấy các giải pháp đề xuất là có tính rất cấp 
thiết trong nhà trường hiện nay. Điều này rất quan trọng trong hoạt động dạy học 
môn Toán của GV, giúp người thầy luôn tìm tòi cái mới và giúp học sinh pháp 
triển tư duy toàn diện hơn. 
44 
3.4.2. Tính khả thi của các giải pháp đề xuất 
Kết quả thể hiện trong bảng sau: 
TT Các giải pháp 
Các thông số 
X Mức 
1 Khai thác và sáng tạo bài toán xuất phát từ kết quả bài toán đẳng thức hình học quen thuộc 3.54 Rất khả thi 
2 Phân tích định hướng giải một số bài toán 3.43 Rất khả thi 
 Điểm trung bình chung 3.48 Rất khả thi 
Như vậy, qua khảo sát trên chúng tôi nhận thấy các giáo viên môn Toán 
THPT được hỏi đã nhận thấy tính khả thi của các giải pháp đã đề xuất. Nói chung 
các giải pháp này đã được triển khai, áp dụng tại trường THPT Lê Lợi trong những 
năm học gần đây có tính khả thi cao, có khả năng áp dụng trong phạm vi rộng và 
thực thi được cho các trường THPT trên địa bàn huyện Tân Kỳ nói riêng và các 
trường THPT trên địa bàn toàn tỉnh nói chung. Đặc biệt là đề tài đã gợi mở các vấn 
đề liên quan để GV tục nghiên cứu, nhằm phát phát triển tư duy sáng tạo và lập 
luận toán học. 
4. Kết quả thực hiện 
 Từ khi có ý tưởng và đề xuất giải pháp, chúng đã áp dụng vào các nhóm – lớp 
học sinh có học lực học khá giỏi môn toán thuộc lớp 11 và lớp 12 trường THPT Lê 
Lợi từ năm học 2019 – 2020 đến nay qua các hoạt động dạy học đặc biệt là ôn thi 
TN THPT và bồi dưỡng học sinh giỏi các cấp. Với sự nỗ lực, quyết tâm của bản 
thân, sự chung tay của các đồng nghiệp bộ môn toán trong trường, các trường bạn 
vào quá trình thực nghiệm, tác giả có một số đánh giá như sau: 
Các em đã tích cực hoạt động, học tập sôi nổi và có sự linh hoạt hơn. Các 
giờ học đã phát huy được tính độc lập. Bước đầu đã hình thành thói quen suy nghĩ 
tìm tòi, đặt câu hỏi xoay quanh bài toán, giải xong thì biết khắc sâu, mở rộng bài 
toán từ đó đưa ra vấn đề mới. Từ đó các em có thể sáng tạo ra các bài toán mới. 
Qua đây có thể phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học cho các em HS. 
 Nhiều em học sinh đã giải được nhiều bài toán cực trị hình học không gian 
trong các các đề thi chính thức và đề thi thử TN THPT, đề chính thức thi TN 
THPT và các đề thi chọn học sinh giỏi các tỉnh thành phố trên cả nước 
 Qua các kỳ thi TN THPT năm 2021, năm 2022 các em đã có sự tiến triển 
tốt, có năng lực tư duy và lập luận toán học trong quá trình học tập và ôn thi, kết 
quả, nhiều em học sinh của lớp đã giải được không ít câu vận dụng cao của đề thi, 
trong đó có câu về tìm cực trị hình học không gian. Nhiều em đạt điểm trên 9 môn 
45 
Toán, đặc biệt trong kỳ thi TN THPT năm 2021 có 1 em được Ủy ban nhân dân 
Tỉnh vinh danh với tổ hợp môn khối B đạt 28.95 điểm trong đó môn toán đạt 9.6. 
 Trong hoạt động bồi dưỡng học sinh giỏi chúng tôi nhận thấy các em rất hào 
hứng học tập, qua đó tạo thêm đam mê khám phá, sáng tạo cho các em. Từ đây, 
phát huy khả năng tự học cho các em. Kết quả thi HSG cấp tỉnh bảng A môn Toán 
tại trường THPT Lê Lợi từ năm học 2020-2021 đến năm học 2022 – 2023 có 7 em 
trong đó có 3 em đạt giải Nhì, 2 em đạt giải Ba. 
 Căn cứ vào kết quả đạt được, bước đầu có thể thấy hiệu quả của việc phát 
triển năng lực tư duy cho học sinh thông qua việc khai thác và sáng tạo bài toán 
cực trị hình học không gian mà chúng tôi đã đề xuất và thực hiện trong quá trình 
dạy học. 
C. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 
I. KẾT LUẬN 
1. Các vấn đề đã giải quyết của đề tài 
- Đã vận dụng sáng tạo các thao tác của tư duy như tương tự hóa, khái quát 
hóa, đặc biệt hóa để tạo ra các bài toán cực trị hình học không gian. Khai thác từ 
các bài toán quen thuộc, từ đó sáng tạo ra được hệ thống các bài toán. 
- Xây dựng được một số chuỗi bài toán tìm tìm cực trị hình học không gian 
- Luyện tập cho học sinh cách khai thác các bài toán đã biết, để tạo ra các bài 
toán mới. Qua đây cũng phát triển khả năng phân tích, để tìm lời giải cho các bài 
toán cực trị hình học không gian. 
- Tạo được hứng thú học tập và phát huy được khả năng tự học cho học sinh. 
Qua đó nâng cao nâng cao chất lương dạy và học môn toán trong nhà trường. 
- Đã tổ chức thực nghiệm sư phạm để minh hoạ cho tính khả thi và hiệu quả 
của đề tài. 
2. Hướng phát triển 
Đề tài có thể mở rộng theo chiều sâu cho những bài toán cực trị hình học 
không gian, ý tưởng khai thác và sáng tạo ra bài toán trong sáng kiến góp phần 
phát triển năng lực tư duy và lập luận Toán học cho học sinh cũng có thể mở rộng 
ra cho các chủ đề khác của môn toán cũng như các môn khoa học tự nhiên khác. 
II. KIẾN NGHỊ 
1. Đối với giáo viên 
Việc khai thác bài toán bất đẳng thức trong sáng kiến giúp giáo viên: 
 - Làm rõ được nguồn gốc của bài toán cực trị hình học không gian. Điều này 
tạo cho bài giảng của giáo viên có chiều sâu, đặc biệt giúp học sinh có được cách 
học, cách sáng tạo các kết quả mới từ những điều đã biết. 
 - Rèn luyện các thao tác của tư duy như tương tự hóa, khái quát hóa và đặc 
biệt hóa cho học sinh, giúp các em có cách nhìn nhận vấn đề một cách bao quát, cụ 
thể, có tính hệ thống, và giải quyết vấn đề nhanh hơn, có tính lôgic cao hơn...qua đó 
46 
phát triển năng lực tư duy và và lập luận toán học cho học sinh. 
 - Trong quá trình giảng dạy, phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học 
cho học sinh, hướng cho HS có cách thức để khai thác các kiến thức, bài tập cơ bản 
hoặc bài toán có vấn đề sẽ tập dượt cho học sinh khả năng nghiên cứu khoa học. 
2. Đối với học sinh 
 Việc học tập theo định hướng trên giúp học sinh: 
 - Không còn bỡ ngỡ, có cách tiếp cận và có kỹ năng tốt hơn trong việc giải 
các bài toàn cực trị hình học không gian. 
 - Có được cách học, cách thức khai thác kiến thức mới từ những kiến thức 
đã biết, dù có thể rất cơ bản hoặc quen thuộc. 
 - Giúp các em có những kết quả tốt trong các kì thi như kì thi TN TPHT đặc 
biệt là kì thi chọn học sinh giỏi tỉnh. 
 - Học tập tích cực, chủ động, linh hoạt hơn và đặc biệt đã góp phần phát 
triển năng lực tư duy và sáng tạo cho các em, đây là một trong những nhiệm vụ rất 
quan trọng của việc dạy học môn toán ở trường phổ thông. 
Dù bản thân đã có nhiều cố gắng, song đề tài của chúng tôi không tránh khỏi 
thiếu sót. Kính mong hội đồng khoa học cấp trường và hội đồng khoa học cấp sở 
đóng góp ý kiến để đề tài được hoàn thiện hơn và ứng dụng rộng rãi trong thực tiễn 
dạy và học. 
Tôi xin trân trọng cảm ơn! 
 Ngày 28 tháng 3 năm 2023 
47 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
[1]. Chương trình tổng thể giáo dục phổ thông 2018, BGD&ĐT 
[2]. Chương trình giáo dục phổ thông môn Toán 2018, BGD&ĐT 
[3]. G. Polya (1965), Sáng tạo toán học, tập 1,2,3. Tài liệu bồi dưỡng GV, Bản 
dịch của Phan Tất Đắc, Nguyễn Giản, Hồ Thuần, NXB GD. 
[4]. Sách giáo khoa Hình học 11; Hình học 12 cơ bản và nâng cao của NXB GD. 
[5]. Đề thi THPT quốc gia và đề thi thử TN THPT quốc gia môn Toán. 
[6]. Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh, thành phố. 
[7]. Tạp chí Toán học và tuổi trẻ, NXBGD. 
[8]. Các trang wed về diễn đàn Toán học. 
[9]. Phương pháp dạy học môn toán, NXBGD của Nguyễn Bá Kim. 
[10]. Dạy học theo phát triển năng lực môn Toán THPT, NXBĐPSP của tác giả Đỗ 
Đức Thái ( chủ biên) 
48 
PHỤ LỤC 
Phụ lục 1: 
Một số hình ảnh thực hiện trong quá trình khảo sát tính cấp thiết và tính 
khả thi của đề tài 
Ảnh: Đồng nghiệp tham gia khảo sát trên Google Form 
49 
Ảnh: Biểu đồ hình tròn thể hiện kết quả khảo sát 
50 
Ảnh: Xử lý số liệu khảo sát tính cấp thiết 
Ảnh: Số liệu khảo sát tính khả thi sau khi xử lý 
51 
Phụ lục 2: 
Một số hình ảnh thể hiện kết quả đạt được tiêu biểu của học sinh trường 
THPT Lê Lợi trong đó có đóng góp của việc áp dụng các giải pháp đề xuất 
Ảnh: Kết quả đạt được của học sinh 
52 
Ảnh: Kết quả đạt được của học sinh 
53 
Ảnh: Kết quả đạt được của học sinh