Sáng kiến kinh nghiệm Góp phần phát triển năng lực mô hình hóa một số bài toán thực tế cho học sinh khối 12

hận xét, đánh giá, rút kinh nghiệm. 
2.2 Biện pháp 2: Hệ thống bài tập nhằm bồi dưỡng năng lực mô hình hóa toán 
học đối với chủ đề tích phân. 
Bài 2.2.1 
Tại một nơi không có gió, một chiếc khinh khí cầu đang đứng yên ở độ cao 162 
(mét) so với mặt đất đã được người điểu khiển cài đặt chế độ tự động chuyển động đi 
xuống. Biết rằng, khinh khí cầu đã chuyển động theo phương thẳng đứng với vận tốc 
tuân theo quy luật 𝑣(𝑡) = 10𝑡 − 𝑡2 , trong đó t (phút) là thời gian tính từ lúc bắt đầu 
chuyển động, 𝑣(𝑡) được tính theo đơn vị mét/phút (m/p). Nếu như vậy thì khi bắt đầu 
tiếp đất vận tốc v của khí cầu là bao nhiêu ? 
Hướng dẫn giải: 
Gọi quãng đường mà vật chuyển động khi đang đứng yên đến khi tiếp đất là 𝑆, ta 
có: 𝑆 = 162 (𝑚). 
𝑆 = ∫ (10𝑡 − 𝑡2)𝑑𝑡
𝑡
0
= (5𝑡2 −
𝑡3
3
) = 162 
 ⇔ 𝑡 = 9 (do 𝑣(𝑡) = 10𝑡 − 𝑡2 ⇒ 0 ≤ 𝑡 ≤ 10) 
Khi đó vận tốc của vật là: 𝑣(9) = 10.9 − 92 = 9 (m/p). 
Bài 2.2.2 
 Một chú công nhân bơm nước vào bể chứa nước. Gọi ℎ(𝑡) là thể tích nước bơm 
được sau 𝑡 giây. Cho ℎ′(𝑡) = 3𝑎𝑡2 + 𝑏𝑡 và ban đầu bể không có nước. Sau 5 giây thì 
thể tích nước trong bể là 150𝑚3, sau 10 giây thì thể tích nước trong bể là 1100𝑚3. 
Tính thể tích của nước trong bể sau khi bơm được 20 giây. 
Hướng dẫn giải: 
ℎ(𝑡) = ∫ ℎ′(𝑡)𝑑𝑡 = ∫(3𝑎𝑡2 + 𝑏𝑡)𝑑𝑡 = 𝑎𝑡3 + 𝑏
𝑡2
2
+ 𝐶 
Do ban đầu hồ không có nước nên: 
ℎ(0) = 0 ⇔ 𝐶 = 0 ⇒ ℎ(𝑡) = 𝑎𝑡3 + 𝑏
𝑡2
2
Lúc 5s ta có: ℎ(5) = 𝑎. 53 + 𝑏.
52
2
= 150 
Lúc 10s ta có: ℎ(10) = 𝑎. 103 + 𝑏.
102
2
= 1100 
Từ đây với việc giải hệ 2 phương trình 2 ẩn ta có 𝑎 = 1, 𝑏 = 2 
41 
Từ đây suy ra: ℎ(𝑡) = 𝑡3 + 𝑡2 ⇒ ℎ(20) = 203 + 202 = 8400(𝑚3). 
Bài 2.2.3 
Một ôtô đang chạy với vận tốc 20m/s thì phanh lại. Sau khi phanh, ôtô chuyển 
động chậm dần đều với vận tốc 40 20 /v t t m s . Hỏi từ lúc phanh đến khi dừng 
hẳn, ôtô còn di chuyển bao nhiêu mét? 
Hướng dẫn giải: 
Liên tưởng công thức công thức 
0
0
t
S v t dt , (trong đó t0 là thời gian từ lúc phanh 
đến khi dừng hẳn) 
Xác định t0. Chọn mốc thời gian là lúc ôtô phanh lại. Gọi b là thời điểm ôtô dừng. 
Ta có 0 20 40 0 5v b b b , . Do đó, khoảng thời gian từ lúc phanh lại 
cho đến khi dừng hẳng của ôtô là 0,5 giây. Trong khoảng thời gian 0,5 giây đó, ôtô di 
chuyển được quãng đường là: 
0 5
2
0
0 5
20 40 20 20 5
0
, ,
S t dt t t (mét). 
Như vậy, từ lúc phanh đến khi dừng hẳn, ôtô còn di chuyển được 5(mét). 
Bài 2.2.4 
Một viên đạn được bắn lên theo phương thẳng đứng với vận tốc ban đầu 30m/s. 
Gia tốc trọng trường là 9,8m/s2. Sau bao lâu viên đạn đạt tới độ cao lớn nhất? Tính 
quãng đường viên đạn đi được từ lúc bắn lên cho đến khi rơi xuống đất(chính xác đến 
hàng phần trăm). 
Hướng dẫn giải: 
Các đại lượng đã biêt: v0 = 30(m/s), g = - 9,8m/s2; đại lượng cần tìm S 
Liên tưởng công thức 
0
0
t
S v t dt (trong đó t0 là thời gian từ khi bắn viên đạn cho 
đến khi viên đạn ở vị trí cao nhất) 
42 
Gọi v t là vận tốc của viên đạn. Ta có 9 8v' t a t , . Suy ra 
 9 8v t v' t dt , t C . Do 0 0 30v C . Vậy 9 8 30v t , t . 
Gọi T là thời điểm viên đạn đạt độ cao lớn nhất. Tại đó viên đạn có vận tốc bằng 
0, tức là 
30
0 3 06
9 8
v T T ,
,
 (giây). 
Quãng đường viên đạn đi được cho tới thời điểm 𝑇 = 3,06 giây là: 
2 55 2
0
3 069 8
9 8 30 30 45 92
02
, ,, t
S , t dt t ,
 (mét). 
Như vậy, một viên đạn được bắn lên theo phương thẳng đứng với vận tốc ban đầu 
25m/s thì sau 3,06 giây viên đạn đạt tới độ cao lớn nhất. Quãng đường viên đạn đi được 
từ lúc bắn lên cho đến khi rơi xuống đất là 91,84(mét). 
 Bài tập trắc nghiệm 
Bài 2.2.5 
Thành phố lên kế hoạch xây cây cầu bắc ngang con sông dài 500m, biết rằng người 
ta định xây cầu có 10 nhịp cầu hình dạng parabol, mỗi nhịp cách nhau 40m, hai bên đầu 
cầu và giữa mối nhịp nối người ta xây 1 chân trụ rộng 5m. Bề dày nhịp cầu không đổi 
là 20cm. Biết 1 nhịp cầu như hình vẽ. Hỏi lượng bê tông để xây các nhịp cầu là bao 
nhiêu (bỏ qua diện tích cốt sắt trong mỗi nhịp cầu). 
A. 20𝑚3 B. 50𝑚3 C. 40𝑚3 D. 100𝑚3 
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ bên dưới với gốc O(0;0) là chân cầu (điểm tiếp 
xúc Parabol trên), đỉnh I(25, 2), điểm A(50, 0) (điểm tiếp xúc Parabol trên với chân đế). 
43 
Gọi parabol có phương trình (𝑃1): 𝑦1 = 𝑎𝑥
2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 (do (P) đi qua 
O). Suy ra: 
𝑦2 = 𝑎𝑥
2 + 𝑏𝑥 −
20
100
= 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 −
1
5
Là phương trình parabol dưới. 
Lại có (𝑃1) đi qua I và A, suy ra: (𝑃1): 𝑦1 =
−2
625
𝑥2 +
4
25
𝑥 −
1
5
. 
Khi đó diện tích mỗi nhịp cầu là 𝑆 = 2𝑆1với 𝑆1 là phần giới hạn bởi 𝑦1, 𝑦2 trong 
khoảng (0, 25): 
𝑆 = 2(∫ (
0,2
0
−2
625
𝑥2 +
4
25
𝑥)𝑑𝑥 + ∫
1
5
𝑑𝑥) ≈ 9,9𝑚2
25
0,2
Vì bề dày nhịp cầu không đổi nên coi thể tích là tích của diện tích và bề dày, ta có: 
𝑉 = 𝑆. 0,2 ≈ 9,9.0,2 ≈ 1,98𝑚3 
Vậy số lượng bê tông cần cho mỗi nhịp cầu xấp xỉ 2𝑚3. Suy ra 2 bên, mỗi bên 10 
nhịp cầu cần tổng xấp xỉ 40𝑚3. Chọn đáp án C. 
Bài 2.2.6. 
Cho parabol (𝑃) 𝑦 = 𝑥2 và hai điểm A, B thuộc (𝑃) sao cho AB = 2. Tại A, B sao 
cho diện tích hình phẳng giới hạn bởi (𝑃) và đường thẳng AB đạt giá trị lớn nhất, tìm 
giá trị lớn nhất đó. 
A. 
4
3
 B. 
3
4
 C. 
2
3
 D. 
3
2
44 
Hướng dẫn: 
Giả sử 𝐴(𝑎; 𝑎2), 𝐵(𝑏; 𝑏2) ∈ 𝑃, (𝑏 > 𝑎) sao cho AB = 2. 
Phương trình đường thẳng AB: 𝑦 = (𝑏 + 𝑎)𝑥 − 𝑎𝑏. 
Gọi S là diện tích hình phẳng cần tìm ta có: 
𝑆 = ∫|(𝑏 + 𝑎)𝑥 − 𝑎𝑏 − 𝑥2|𝑑𝑥
𝑏
𝑎
= ∫[(𝑏 + 𝑎)𝑥 − 𝑎𝑏 − 𝑥2]𝑑𝑥 =
1
6
(𝑏 − 𝑎)3
𝑏
𝑎
Vì AB = 2 nên |𝑏 − 𝑎| = 𝑏 − 𝑎 ≤ 2 ⇒ 𝑆 ≤
4
3
. 
2.3. Biện pháp 3: Ứng dụng công nghệ thông tin trong việc thiết kế các hoạt 
động mô hình hóa toán học 
Hiện nay ở các nước tiên tiến trên thế giới việc ứng dụng công nghệ thông tin vào 
việc thiết kế các hoạt động mô hình hóa hay nâng cao chất lượng dạy học mô hình hóa 
toán học là việc rất phổ biến,. Công nghệ là một trong những công cụ hữu hiệu và đắc 
lực đơn giản vì tính thực dụng và tiết kiệm chi phí và thời gian của nó. Chúng ta thậm 
chí không cần di chuyển những quãng đường xa xôi hay mất thời gian tiến hành một 
hoạt động mô hình hóa toán học, chỉ bằng công cụ máy tính và một vài phần mềm toán 
học, chúng ta đã có thể có được mô hình toán học cần thiết. Vấn đề đặt ra ở đây là các 
thiết bị công nghệ phục vụ cho việc dạy học trong các trường trung học phổ thông ở 
nước ta còn đang rất hạn chế, các phần mềm toán học có thể sử dụng miễn phí cũng rất 
ít. 
Ta có ví dụ sau: 
45 
Ví dụ : [THPT CHUYÊN LAM SƠN–THANH HÓA 2018] 
 Một thùng rượu có bán kính ở trên là 30 cm và ở giữa là 40 cm. Chiều cao thùng 
rượu là 1m. Hỏi thùng rượu đó chứa được tối đa bao nhiêu lít rượu (kết quả lấy 2 chữ 
số thập phân)? Cho rằng cạnh bên hông của thùng rượu là hình parabol. 
A. 321,05 lít. 
B. 540 lít. 
C. 201,32 lít. 
D. 425,16 lít. 
Định hướng tìm lời giải 
- Thùng rượu có dạng là một khối tròn xoay có đường sinh là một đường 
cong có dạng Parabol (𝑃): 𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 (𝑎 ≠ 0). Vì vậy để tính thể tích 
thùng rượu ta cần áp dụng tích phân để tính thể tích khối tròn xoay. Chú ý rằng 
khi mô hình đường cong Parabol ta để chiều cao của thùng rượu trải theo chiều 
của trục hoành. 
- Bước đầu ta cần xây dựng hàm số (𝑃): 𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 (𝑎 ≠ 0) với 
điều kiện đi qua các đỉnh 𝑁(−50, 30), 𝐴(0,40), 𝑀(50, 30) như hình vẽ. 
- Dựa vào chiều cao 1m của thùng rượu ta tìm được các cận của tích phân. 
Khi đó lập được công thức tính được thể tích thùng rượu. 
Hướng dẫn giải: 
Chọn D 
Ta sẽ để thùng rượu nằm ngang để thuận lợi cho việc tính toán. 
46 
Ta cần tìm phương trình parabol (𝑃): 𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 (𝑎 ≠ 0) đi qua đỉnh M, 
N, A. 
{
𝑀(50, 30) ∈ (𝑃)
𝐴(0,40) ∈ (𝑃)
𝑁(−50, 30) ∈ (𝑃)
⇔ {
502. 𝑎 + 50𝑏 + 𝑐 = 30
𝑐 = 40
502. 𝑎 − 50𝑏 + 𝑐 = 30
⇔ {
𝑎 = −
1
250
𝑏 = 0
𝑐 = 40
⇒ (𝑃): 𝑦 = −
𝑥2
250
+ 40 
Tới đây ta áp dụng công thức tính thể tích V khi quay hình phẳng giới hạn bởi 
parabol, 𝑥 = 50, 𝑥 = −50, 𝑦 = 0 xung quanh trục hoành 𝑂𝑥 : 
𝑉 = 𝜋 ∫ 𝑦2𝑑𝑥 = 𝜋
50
−50
∫ (−
𝑥2
250
+ 40)
2
𝑑𝑥 
50
−50
= 𝜋 ∫ (
𝑥4
2502
−
80𝑥2
250
+ 402) 𝑑𝑥
50
−50
⇒ 𝑉 = 𝜋 (
𝑥5
312500
−
8𝑥3
75
+ 402. 𝑥)|
50
−50
=
406000𝜋
3
≈ 425162,2 𝑐𝑚3 ≈ 425.16(𝑙) 
Vậy thùng rượu chứa được tối đa 425,16 lít. 
Nhận xét: Để giải quyết bài toán trên khâu vẽ hình đóng vai trò quan trọng trong 
việc mô tả bài toán, kỹ năng vẽ hình, vẽ đồ thị cũng là kỹ năng thành phần của năng 
lực mô hình hóa. Bằng cách sử dụng các phần mềm Sketchpad (phần mềm có bản Việt 
47 
hóa và rất dễ thao tác và sử dụng) ta có thể dễ dàng có được những hình vẽ, đồ thị mong 
muốn, đặc biệt là ứng dụng cho các chủ đề về đồ thị hàm số và tính thể tích, diện tích 
bằng tích phân. Sau đây là cách sử dụng Sketchpad để minh họa bài toán trên. 
Bước 1: Khởi động Sketchpad, trên giao diện của Sketchpad ta di chuyển con trỏ 
đến “Đồ thị” trên thanh công cụ nằm ngang phía trên màn hình, click vào dòng “Hệ 
trục tọa độ mặc định” và ta đã có được hệ tọa độ 𝑂𝑥𝑦. 
Bước 2: Sử dụng các công cụ có sẵn để tô màu và ký hiệu các trục tung, trục hoành, 
gốc 𝑂. Bằng cách click phải con trỏ vào các mục tiêu cần chỉnh sửa, sẽ có bảng với cá 
thông tin về mục tiêu để lựa chọn và chỉnh sửa theo ý muốn. 
48 
Bước 3: Vẽ các đường cong, bằng cách click con trỏ phải vào “dựng hình”, chọn 
‘dựng cung tròn qua 3 điểm” chúng ta sẽ có hình vẽ như sau: 
Bước 4: Trau chuốt và hoàn thành hình vẽ ta sẽ có hình vẽ như ý muốn. 
49 
Phần III. KẾT LUẬN 
I. Kết luận. 
1. Những kết quả đạt được. 
- Làm rõ thêm sự thống nhất giữa các bước dạy học “mô hình hóa toán học” với các 
bước dạy học theo chương trình “đổi mới giáo dục 2018” được trình bày theo các hoạt 
động trong các bộ sách giáo khoa toán 10 (Cánh diều, Kết nối tri thức, Chân trời sáng 
tạo). 
- Diễn đạt được nội dung bài học từ chương trình cũ sang chương trình mới theo các 
yêu cầu đã nêu, đây là điều mà bản thân tôi và các thầy cô tổ chuyên môn Toán – Tin 
trường THPT Phan Bội Châu cảm thấy tâm đắc vì các bài học được cụ thể hóa yêu cầu 
một cách rõ ràng, trong sáng trong từng hoạt động. Các thầy cô giáo có thể trực tiếp 
bám sát theo từng hoạt động để dạy. Việc chuyển đổi cách trình bày có thể thực hiện 
với tất cả các bài dạy trong SGK cũ, từ đó các thầy cô có thể lên kế hoạch cho các bài 
học nằm trong chương trình lớp 11 và lớp 12 từ năm học 2022 – 2023 theo định hướng, 
mục đích và yêu cầu đổi mới phương pháp giảng dạy của chương trình giáo dục 2018, 
là một điều rất cần thiết cho các em học sinh đang theo học chương trình SGK cũ. 
- Việc thay đổi cấu trúc bài học (từ cũ sang mới) phải đi đôi với đổi mới phương pháp 
dạy học, lấy học sinh làm trung tâm, dạy học theo tiến trình nhận thức của học sinh 
được thực hiện theo các hoạt động của học sinh. 
- Thực hiện triết lý “Mang cuộc sống vào bài học, đưa bài học vào cuộc sống” thể hiện 
ở các nội dung tích hợp vào bài học, để toán học không còn khô khan, không chỉ là các 
bài toán tính toán thuần túy về hàn lâm mà còn là văn hóa, lịch sử, là tinh thần dân tộc, 
những giá trị về mặt đạo đức và phẩm chất mà ta có thể bồi dưỡng cho học sinh. 
- Hoạt động chủ đạo của toán học vẫn luôn là “giải bài tập” tuy nhiên thông qua cách 
giảng dạy mới các em còn có thể rèn luyện những kỹ năng mềm về giao tiếp, hoạt động 
50 
nhóm, thuyết trình, về công nghệ thông tin, điều mà trước đây các em ít được thực hành 
trong toán học. 
- Trong tiết 3 của phần thiết kế hoạt động, tôi đã đưa ra nhiệm vụ bài học tính diện tích 
các mô hình chỉ cho hình vẽ theo tỷ lệ mà không nói đến hình dạng của nó. Các em 
phải tự tìm tòi, đo đạc các thông tin của bài toán và giải quyết chúng, đây là sự khác 
biệt lớn với các bài toán tìm diện tích trong SGK và SBT hiện tại vì các bài toán này 
hầu hết đã biết hình dạng, kích thước, mọi thông số để các em chỉ có áp dụng công thức 
và tính toán, như vậy các em chỉ rèn luyện được kỹ năng tư duy và giải toán chứ không 
có những trải nghiệm thực tế về toán học. 
2. Lời cảm ơn, kiến nghị, đề xuất 
Xin được được gửi lời cảm ơn chân thành nhất đến các thầy cô ban giám hiệu, 
các thầy cô tổ Toán – Tin và các em học sinh lớp 12A5 trường THPT Chuyên Phan Bội 
Châu đã giúp đỡ tôi trong quá trình làm SKKN này. Tôi mong rằng SKKN này sẽ là sự 
giúp đỡ, sự hỗ trợ đắc lực và hữu ích cho các thầy cô trong quá trình giảng dạy, rất 
mong được sự đóng góp từ các thầy cô để sáng kiến được hoàn thiện hơn. Xin chân 
thành cảm ơn! 
51 
Tài liệu tham khảo 
 [1] Nguyễn Thị Tân An (2013), Xây dựng các tình huống dạy học hỗ trợ quá trình toán 
học hóa, Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM, Số 48, tr.5-14. 
[2] Phan Anh, Góp phần phát triển năng lực toán học hóa tình huống thực tiễn cho học 
sinh Trung học phồ thông qua dạy học Đại số và Giải tích, Luận án Tiến sĩ, Đại học 
Vinh. 
[3] Bộ GD&ĐT, (2018), Chương trình giáo dục phổ thông, Chương trình tổng thể, (Ban 
hành kèm theo Thông tư số 32/2018/TT-BGDĐT ngày 26 tháng 12 năm 2018 của Bộ 
trưởng Bộ Giáo dục và Đào tạo). 
[4] Bộ GD&ĐT, (2018), Chương trình giáo dục phổ thông Môn Toán, (Ban hành kèm 
theo Thông tư số 32/2018/TT-BGDĐT ngày 26 tháng 12 năm 2018 của Bộ trưởng Bộ 
Giáo dục và Đào tạo). 
[5] Bộ GD&ĐT, (2014), Tài liệu thực hành giới thiệuPISA và các dạng câu hỏi được 
OECD phát hành(Lưu hành nội bộ). NXB Giáo dục. 
[6] Lê Thị Hoài Châu (2014), Mô hình hóa trong dạy học khái niệm đạo hàm, Tạp chí 
KHOA HỌC ĐHSP TP HCM, Số 65, tr. 5-18. 
[7] Nguyễn Huy Đoan(Chủ biên), Trần Phương Dung, Nguyễn Xuân Liêm, Phạm Thị 
Bạch Ngọc, Đoàn Quỳnh, Đặng Hùng Thắng,(2008), Bài tập Giải tích 12 nâng cao, 
Nxb Giáo dục. 
[8] Phan Thị Thu Hiền (2015), Vận dụng phương pháp mô hình hóa trong dạy học đại 
số lớp 10 ở trường trung học phổ thông, Luận văn Thạc Sĩ, ĐH Thái Nguyên. 
[9] Nguyễn Bá Kim, (2011), Phương pháp dạy học môn Toán, Nxb Đại học Sư phạm, 
Hà Nội. 
52 
[10] Nguyễn Danh Nam (2013), Phương pháp mô hình hóa trong dạy học Toán ở 
Trường phổ thông, Kỷ yếu Hội thảo khoa học cán bộ trẻ các trường sư phạm toàn quốc, 
NXB Đà Nẵng, tr.512-516. 
[11] Nguyễn Danh Nam (2015), Quy trình mô hình hóa trong dạy học toán ở trường 
phổ thông, Tạp chí khoa học ĐHQGHN: Nghiên cứu Giáo dục, Tập 31, Số 3, tr. 1-10. 
[12] Nguyễn Danh Nam. Năng lực mô hình hóa toán học của học sinh phổ thông, trường 
Đại học Sư phạm – Đại học Thái Nguyên. 
[13] Nguyễn Thị Nga (2011), Mô hình hóa toán học các hoạt động biến thiên trong dạy 
học nhờ hình học động dự án nghiên cứu MIRA, Tạp chí khoa học ĐHSP TP HCM, số 
28, tr.55-63. 
[14] Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên), Nguyễn Huy Đoan(Chủ biên), Trần phương Dung, 
Nguyễn Xuân Liêm, Đặng Hùng Thắng, (2008), Giải tích 12 nâng cao(Sách giáo viên), 
Nxb Giáo dục. 
[15] Trần Trung, Đặng Xuân Cương, Nguyễn Văn Hồng, Nguyễn Danh Nam (2011). 
Ứng dụng công nghệ thông tin vào dạy học môn Toán ở trường phổ thông. NXB Giáo 
dục Việt Nam. 
[16] Trần Vui, (2014),Giải quyết vấn đề thực tế trong dạy học Toán. Nxb ĐH Huế