Sáng kiến kinh nghiệm Góp phần phát triển năng lực giải quyết vấn đề và năng lực sáng tạo cho học sinh lớp 12 thông qua dạy học chủ đề tương giao

 t m . 
+ Lập bảng biến thiên của hàm số ( )y f u t 
Bước 3. Sử dụng các kiến thức, kĩ năng toán học để giải quyết vấn đề đặt ra. 
+ Đặt 1t x . Suy ra 1x t . 
+ Khi đó ta có: 2 22 ( 1)f x x f t 
 Đặt 2 1u t ; 
Ta có ' 2 0 0u t t 
Bảng biến thiên của hàm số u là: 
t 0 
u' - 0 + 
u 
 1 
38 
Dòng 1: Trên R hàm số 2 1u t có 3 điểm kỳ dị. 
Dòng 2: Ngoài các giá trị i iu u a với 1,...,3i 
Ta bổ sung thêm điểm kỳ dị của hàm ( )y f x trên nửa đoạn [ )1; là 0 và 1. 
Dòng 3: Chiều biến thiên của hàm số f u 
t 
 0 
u 
1 0 1 0 1 
f ( u ) 
1 
 2 
 3 
 2 
 1 
1y 
Dựa vào BBT ta có phương trình 2 2 ( ) 1f x x f u có 6 nghiệm phân biệt. 
Ví dụ 2.3.14. Cho hàm số f x , có bảng biến thiên của hàm số 2 1y f x như 
sau : 
Số nghiệm của phương trình 2 34 1 1
2
f x là: 
A. 4 . B. 7 . C. 6 . D. 5 . 
Lời giải 
+ Đặt 2 1t x . Suy ra 
1
2
t
x
 . 
+ Khi đó ta có: 2 2 34 1 1 2 2 1
2
f x f t t 
Đặt 2 2 2 1u t t ; 
Ta có 
2
1
' 0 1
2 2
t
u t
t t
Bảng biến thiên của hàm số u là: 
39 
t 1 
u' - 0 + 
u 
 0 
Dòng 1: Trên R hàm số 2 2 2 1u t t có 3 điểm kỳ dị. 
Dòng 2: Ngoài các giá trị i iu u a với 1,...,3i 
Ta bổ sung thêm điểm kỳ dị của hàm ( )y f x trên nửa đoạn [0; ) là 1. 
Dòng 3: Chiều biến thiên của hàm số f u 
t 
 1 
u 
 1 0 1 
f ( u ) 
 2 
 1 
2 
Từ bảng biến thiên ta thấy phương trình 2 34 1 1 ( )
2
f x f u có 4 nghiệm phân 
biệt. 
Nhận xét: Bằng cách thay đổi giả thiết cho biết bảng biến thiên hoặc đồ thị hàm 
số y= f ' x tìm số nghiệm của phương trình f u( x ) m ta có các bài toán sau: 
Ví dụ 2.3.15. Cho hàm số 3 2y f x a.x b.x c.x d với , , ,a b c d R , có 
đồ thị y= f ' x như hình dưới đây 
Biết 0 0f . Khi đó số nghiệm của phương trình 2 0f x x là: 
A. 2. B. 4. C. 3. D. 6. 
Lời giải: 
*Cách 1: (cách giải truyền thống) 
Từ đồ thị y= f ' x ta có BBT y= f x sau: 
40 
Từ bảng biến thiên ta có phương trình 
0
0
2
x
f x
x a
. 
 Do đó phương trình 
2
2
2
0 1
0
2
x x
f x x
x x a
Ta có : Phương trình (1) 
0
1
x
x
. 
 Phương trình (2) 2 0x x a , có 1 4 0 2a , a  nên (2) luôn 
có 2 nghiệm phân biệt khác 0 và 1. 
Vậy phương trình 2 0f x x có 4 nghiệm phân biệt. 
Cách 2: Phương pháp ghép bảng biến thiên. 
Từ đồ thị y= f ' x ta có bảng biến thiên của hàm số y= f x như sau: 
Đặt 2u x x . Ta có 
1
2 1 0
2
u' x x 
x 
1
2
u' - 0 + 
u 
1
4
Dòng 1: Trên R hàm số 2u x x có 3 điểm kỳ dị. 
41 
 Dòng 2: Ngoài các giá trị i iu u a với 1,...,3i 
 Ta bổ sung thêm điểm kỳ dị của hàm ( )y f x trên nửa đoạn [ )
1
;
4
 là 0 
và 2. 
Dòng 3: Chiều biến thiên của hàm số f u 
x 
 0.5 
u 
2 0 0 25. 0 2 
f ( u ) 
2f ( ) 
 0 
0 25f ( . ) 
 0 
2f ( ) 
Từ bảng biến thiên ta thấy phương trình 2 0f x x f u có 4 nghiệm phân 
biệt. 
Ví dụ 2.3.16. 
Cho hàm số 4 2y f x a.x b.x c với , ,a b c R , biết 1 1f và 2022c 
và đồ thị y= f ' x như hình dưới đây 
Số nghiệm của phương trình 2 2 1 2021f x x là: 
 A. 6. B. 7. C. 10. D. 8. 
 Lời giải 
Phương pháp ghép bảng biến thiên. 
Từ đồ thị y= f ' x ta có BBT y= f x sau: 
x 1 0 1 
f '( x ) - 0 + 0 - 0 + 
f ( x ) 
 1 
 c 
 1 
42 
Đặt 2 2 1u x x . 
Suy ra 
2
2
( 2 ).(2 2)
'
2
x x x
u
x x
Ta có ' 0 1u x 
 'u không xác định khi và chỉ khi 
2
0
x
x
Bảng biến thiên 
x -2 1 0 
u' - + 0 - + 
u 
 1 
 0 
 1 
Dòng 1: Trên R hàm số 2 2 1u x x có 5 điểm kỳ dị. 
Dòng 2: Ngoài các giá trị i iu u a với 1,...,5i 
 Ta bổ sung thêm điểm kỳ dị của hàm ( )y f x trên nửa đoạn [-1; ) là 0 và 1. 
Dòng 3: Chiều biến thiên của hàm số f u 
x 
 -2 -1 0 
u 
1 0 -1 0 -1 0 1 
f ( u ) 
 1 
 c 
 1 
 c 
 1 
 c 
 2021y 
 1 
Từ bảng biến thiên ta thấy phương trình 2 2 1 ( ) 2021f x x f u có 8 
nghiệm phân biệt. 
43 
2.4. Bài tập tự luyện 
Bài 4.1 [Đề thi TNTHPT năm 2020 ]Cho hàm số bậc bốn có đồ thị là 
đường cong trong hình bên. 
Số nghiệm của phương trình là 
A. . B. . C. . D. . 
Bài 4.2. (Trích câu 43 mà đề 101 đề thi quốc gia 2019) Cho hàm số bậc ba 
 y f x có đồ thị như hình vẽ bên. 
Số nghiệm thực của phương trình 3
4
3
3
f x x là 
Bài 4.3. Cho hàm số ( )y f x có bảng biến thiên như sau 
Số nghiệm thuộc đoạn [ ;2 ]
2
 của phương trình 2 (cos2 sin ) 3 0f x x là 
A. 9. B. 10. C. 8. D. 7. 
Bài 4.4. Cho hàm số có bảng biến thiên như sau: 
 y f x 
1
2
f x 
3 4 2 1x 
 f x
44 
Số nghiệm thuộc đoạn của phương trình là 
A. . B. . C. . D. . 
Bài 4.5. Cho hàm số y f x liên tục trên R và có bảng biến thiên như sau: 
Phương trình  (cos2 ) 0f f x có bao nhiêu nghiệm thuộc khoảng  0;4 ? 
 A. 5. B. 6. C. 8. D. 7. 
Bài 4.6. Gọi S là tập tất cả các giá trị nguyên của m để đồ thị hàm số 
 5xf x me x cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt. Tính tổng tất cả các phần 
tử của S? 
A. 1540 B. 1485 C. 28 D. 136 
Bài 4.7. Cho hàm số bậc ba y f x có đồ thị hàm số 2y f x như hình 
vẽ dưới đây 
Tìm số nghiệm thực của phương trình 2 4 3 2.f x x 
A. 1 B. 3 . C. 4 . D. 5 . 
Bài 4.8. Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hai hàm số 
 22 1 1y x x và 
11 1
11
3 4 2
y m
x x
cắt nhau tại 2 điểm phân biệt? 
A. ;0 . B. ;1 . C. ;1 . D. ;2 . 
Bài 4.9. Cho hàm số dcxbxaxxfy 23)( có đồ thị như hình dưới đây 
5
0;
2
 sin 1f x 
7 4 5 6
45 
Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số 5;5 m để phương trình 
042)()4()(2 mxfmxf có 6 nghiệm phân biệt: 
 A. 2 . B. 4 . C. 3 . D. 5 . 
Bài 4.10. Cho hàm số bậc ba y f x có đồ thị hàm số 2y f x như hình 
vẽ dưới đây: 
Tìm số nghiệm thực của phương trình 2 4 1 2.f x x 
A. 1 B. 3 . C. 4 . D. 5 . 
Chương 3. Tổ chức thực hiện và kết quả nghiên cứu 
3.1. Mục đích thực nghiệm 
 Kiểm tra tính hiệu quả của sáng kiến. 
3.2. Nội dung thực nghiệm 
Thực nghiệm theo nội dung của sáng kiến. 
3.3. Tổ chức thực nghiệm 
 3.3.1. Địa điểm và đối tượng thực nghiệm 
Thực nghiệm sư phạm được tiến hành tại các lớp 12D1, 12D2, 12D3 trường 
THPT Đô Lương 3, huyện Đô Lương, tỉnh Nghệ An. 
+ Lớp thực nghiệm: 12D1 (42 học sinh), 12D2 (41 học sinh) (năm học 2021 
- 2022). 
+ Lớp đối chứng: 12D3 sĩ số 44 học sinh (năm học 2021 - 2022). 
Tôi đã tiến hành tìm hiểu và nhận thấy trình độ chung về môn toán tương 
ứng của các lớp 12D2, 12D3 là tương đương nhau. Đối với lớp 12D1 có học lực 
khá hơn. 
46 
Trên cơ sở đó, tôi đã đề xuất được thực nghiệm tại lớp 12D1, 12D3 và lấy 
12D2 làm lớp đối chứng. 
3.3.2. Thời gian thực nghiệm sư phạm 
 - Thực nghiệm được tiến hành từ ngày 12/10/2021 đến 12/04/2022. 
 - Phần lớn số tiết này được giảng dạy cho học sinh trong các tiết luyện tập, tự 
chọn, các bài sát hạch, ôn thi TNTHPT. 
3.3.3. Công tác chuẩn bị và tổ chức thực hiện 
 + Công tác chuẩn bị: 
Điều tra thực trạng học tập của lớp thực nghiệm. 
Soạn bài giảng dạy theo nội dung của sáng kiến. 
Bài kiểm tra thực nghiệm. 
 + Tổ chức thực hiện: 
 * Ở lớp dạy thực nghiệm: 
Dạy theo nội dung sáng kiến trong các giờ luyện tập, ôn thi TNTHPT quốc 
gia. Quan sát hoạt động học tập của học sinh xem các em có phát huy được tính 
tích cực, tự giác và có phát triển được tư duy sáng tạo hay không. 
 Tiến hành bài kiểm tra (45 phút) sau khi thực nghiệm. 
 Cho các em giải các bài toán về tương giao trong các đề thi thử TNTHPT. 
* Ở lớp đối chứng: 
Giáo viên thực hiện quan sát hoạt động học tập của học sinh ở lớp đối chứng 
được giáo viên giảng dạy các bài tập cùng nội dung trong sáng kiến nhưng không 
theo hướng đi của sáng kiến. 
Tiến hành cùng một đề kiểm tra như lớp thực nghiệm. 
3.4. Đánh giá kết quả thực nghiệm sư phạm 
Thực tế cho thấy, nhìn chung có khá nhiều em học sinh học tập bị động, 
máy móc, thiếu tính linh hoạt và sáng tạo, không có nhiều tìm tòi để sáng tạo ra 
bài toán mới, học tập không thật sự tích cực. 
 Nhưng tôi vẫn thấy rằng, ở lớp thực nghiệm thì nhìn chung các em tích cực 
hoạt động, học tập sôi nổi và có sự linh hoạt hơn. Đa số các học sinh khá – giỏi 
môn Toán rất hứng thú trong buổi học chuyên đề do giáo viên thực hiện. Các em 
không chỉ nắm được cốt lõi cách giải các bài toán mà còn tự xây dựng được các 
bài toán mới và giải các bài toán đó một cách linh hoạt. 
Các giờ học đã góp phần phát triển năng lực giải quyết vấn đề và năng lực 
sáng tạo cho các em học sinh lớp 12. Còn ở lớp đối chứng, hoạt động học tập diễn 
47 
ra trầm, các em chủ yếu giải toán một cách thụ động, hoặc chỉ giải được bài toán 
mà không khai thác được bài toán đó, ít có khả năng sáng tạo ra cái mới. 
Nhiều em học sinh ở các lớp thực nghiệm đã giải được nhiều bài toán tương 
giao trong các kỳ thi THPT quốc gia những năm trước, kỳ thi thử TNTHPT và 
các đề thi chọn học sinh giỏi 12 các tỉnh thành phố trên cả nước sau khi các em 
đã được giảng dạy theo nội dung của sáng kiến. 
Tôi áp dụng đề tài này đối với học sinh lớp 12D1, 12D2 và 12D3 ở năm 
học 2020 - 2021 đã thu được kết quả bài kiểm tra như sau: 
Khi chưa áp dụng sáng kiến: 
Lớp Số HS 
Điểm 9-10 Điểm 7-8 Điểm 5-6 Điểm <5 
SL TL(%) SL TL(%) SL TL(%) SL TL(%) 
12D1 42 2 4,8% 20 47,6% 17 40,5% 3 7,1% 
12D2 41 0 0% 13 31,7% 19 46,3% 9 22,0% 
12D3 44 0 0% 14 31,8% 20 45,5% 10 22,7% 
Năm học 2021 - 2022 áp dụng sáng kiến với lớp 12D1, 12D2 và kết quả 
bài kiểm tra: 
Lớp Số HS 
Điểm 9-10 Điểm 7-8 Điểm 5-6 Điểm <5 
SL TL(%) SL TL(%) SL TL(%) SL TL(%) 
12D1 42 7 16,7% 24 57,1% 11 26,2% 0 0% 
12D2 41 0 0% 15 36,6% 21 51,2% 5 12,2% 
Căn cứ vào kết quả thực nghiệm, bước đầu có thể thấy hiệu quả của việc 
rèn luyện năng lực giải quyết vấn đề và năng lực sáng tạo cho học sinh thông qua 
dạy học chủ đề tương giao mà tôi đã đề xuất và thực hiện trong quá trình thực 
nghiệm. 
Qua các bài thi thử và thi TN THPT QG tôi thấy nhiều em đạt điểm cao và 
điều đặc biệt nhiều em khá đã giải được các bài toán tương giao ở mức độ vân 
dụng và vận dụng cao. 
48 
Phần III. KẾT LUẬN 
1. Đề tài đã giải quyết được vấn đề sau 
- Củng cố cho học sinh các chuẩn kiến thức, kỹ năng của chuyên đề tương giao 
thuộc chương trình giải tích lớp 12. 
- Hình thành kỹ năng giải toán tương giao cho học sinh qua đó góp phần 
phát triển năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh lớp 12. 
- Giúp học sinh xây dựng các bài toán mới về tương giao qua đó góp phần 
phát triển năng lực sáng tạo cho học lớp 12. 
- Như vậy đề tài đã góp phần phát triển năng lực giải quyết vấn đề và năng 
lực sáng tạo, đây là các năng lực đặc thù của bộ môn Toán mà chúng ta cần rèn 
luyện cho học sinh theo chương trình GDPT mới năm 2018. 
- Đã tổ chức thực nghiệm sư phạm để minh hoạ cho tính khả thi và hiệu 
quả của sáng kiến. 
2. Hướng phát triển của đề tài 
Đề tài có thể phát triển lên theo hướng tiếp tục nghiên cứu các bài toán 
tương giao của hàm liên kết. 
3. Một số kinh nghiệm rút ra 
3.1. Đối với giáo viên 
Cần chủ động, tích cực tìm hiểu, nghiên cứu chương trình GDPT mới năm 
2018 thông qua việc học tập nghiêm túc các nội dung BDTX theo các Mô đun do 
Sở GD&ĐT tổ chức. 
Tăng cường đổi mới phương pháp dạy học và kiểm tra đánh giá theo định 
hướng phát triển phẩm chất và năng lực người học. 
Rèn luyện cho học sinh thói quen, tính kỉ luật trong việc thực hiện các kĩ 
năng giải toán thông qua việc luyện tập; nhằm khắc phục tính chủ quan, hình thành 
tính độc lập, tính tự giác ở người học, thông qua đó hình thành và phát triển phẩm 
chất và năng lực của các em học sinh. 
 Phải thường xuyên học hỏi trau dồi chuyên môn để tìm ra phương pháp dạy học 
phù hợp. 
 Luôn tạo ra tình huống có vấn đề, kích thích hứng thú tìm tòi học tập ở học 
sinh. 
 Đặt ra câu hỏi gợi mở phù hợp với đối tượng học sinh. 
 Rèn luyện tư duy tương tự hóa, khái quát hóa và đặc biệt hóa cho học sinh, 
giúp các em có cách nhìn nhận vấn đề một cách bao quát, cụ thể, có tính hệ thống, 
và giải quyết vấn đề nhanh hơn, có tính lôgic cao hơn... 
3.2. Đối với học sinh 
49 
Việc học tập theo định hướng trên giúp học sinh: 
Không còn bỡ ngỡ, có cách tiếp cận và có kỹ năng tốt hơn trong việc giải 
các bài toán về tương giao, hình thành cho bản thân năng lực giải quyết vấn đề. 
Biết cách sáng tạo bài toán mới từ những kiến thức đã biết, hình thành cho 
bản thân năng lực sáng tạo. 
4. Kiến nghị 
Bài toán tương giao thường xuất hiện trong các đề thi THPTQG nay là kỳ 
thi TNTHPT đặc biệt là các kỳ thi HSG. Các bài toán này không được đề cập 
trong SGK và SBT hiện hành mà thường xuất hiện trong các tài liệu tham khảo. 
Đề tài này góp phần hệ thống lại chủ đề tương giao và đưa ra một số hướng giúp 
các em học sinh xây dưng bài toán mới. Đề tài có thể đưa vào giảng dạy lồng 
ghép trong tiết tự chọn khi luyện tập về chủ đề tương giao của hàm hợp , phù hợp 
với đối tượng học sinh khá giỏi; góp phần nâng cao chất lượng kết quả bộ môn, 
đặc biệt là kết quả thi TNTHPT sắp tới. 
Tuy đã cố gắng nỗ lực, song do năng lực chuyên môn và thời gian thực hiện 
có hạn nên đề tài chỉ đạt được một số kết quả mang tính minh họa, các ví dụ còn 
chưa đa dạng. Bên cạnh đó, đề tài không tránh khỏi những thiếu sót, kính mong 
quý thầy cô, đồng nghiệp đặc biệt góp ý. 
Tôi xin chân thành cảm ơn! 
50 
PHỤ LỤC 
ĐỀ KIỂM TRA THỰC NGHIỆM 
 Thời gian làm bài: 45 phút 
Câu 1. Cho hàm số f x , có bảng biến thiên như sau: 
Số nghiệm của phương trình 3 2 0f x là: 
 A. 1. B. 3 . C. 2. D. 0. 
 Câu 2. Cho hàm số f x có bảng biến thiên như sau: 
Số nghiệm của phương trình 1 2 2f x là: 
 A. 1. B. 3 . C. 2. D. 4. 
Câu 3. Cho hàm số f x có bảng biến thiên như sau: 
Số nghiệm của phương trình 2 2 1 1f x x là: 
 A. 6. B. 3 . C. 5. D. 4. 
Câu 4. Cho hàm số bậc 4 có bảng biến thiên như hình vẽ. 
51 
Số nghiệm của phương trình 2( 1) 2f x là: 
 A. 1. B. 3 . C. 2. D. 4. 
Câu 5. Cho hàm số f x có đồ thị hình vẽ: 
 Phương trình 0f f x có bao nhiêu nghiệm thực? 
 A. 5 . B. 7 . C. 9 . D. 3 . 
 Câu 6. Hàm số 4 3 2( )f x ax bx cx dx e có đồ thị như hình dưới đây. 
 Số nghiệm của phương trình 1 0f f x là: 
 A. 3 . B. 5 . C. 6 . D. 4 . 
Câu 7. Cho hàm số ( )y f x có bảng biến thiên như sau: 
 Số nghiệm thuộc đoạn  ; của phương trình 3 (2 os ) 1 0f c x là: 
A. 6. B.5. C. 2. D. 4. 
Câu 8. Cho hàm số f x có bảng biến thiên như sau: 
52 
 Số nghiệm dương của phương trình 22 2 5 0f x x là: 
 A. 2 . B. 1 . C.5 . D. 4 . 
Câu 9. Cho hàm số dcxbxaxxfy 23)( có đồ thị như hình dưới đây: 
Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số 5;5 m để phương trình 
042)()4()(2 mxfmxf có 6 nghiệm phân biệt: 
A. 2 . B. 4 . C. 3 . D. 5 . 
Câu 10. Cho hàm số y f x có đồ thị 'y f x như hình vẽ bên. Có bao nhiêu 
giá trị nguyên của m để phương trình 22 3 4 6 9 3f x x m có nghiệm 
 A. 6 . B. 5 C. 9 . D. 17 . 
53 
VI. TÀI LIỆU THAM KHẢO 
[1]. Các đề thi minh họa, đề thi tham khảo, đề thi chính thức; các đề thi thử 
THPTQG, TNTHPT trên toàn quốc qua. 
[2]. Chương trình giáo dục phổ thông môn Toán năm 2018. 
[3]. Một số đề thi HSG tỉnh, HSG Quốc gia, các đề thi thử HSG các cụm. 
[4]. Tạp chí toán học tuổi trẻ. 
[5]. Polya G (1997), Sáng tạo toán học (bản dịch), Nhà xuất bản Giáo dục, 
Hà Nội. 
[6]. SGK Giải tích 12. 
[7]. Sách Bài tập Giải tích 12. 
 [8]. Phương pháp dạy học môn toán. (Nguyễn Bá Kim).